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固定有限个观测函数时，如何转到标准空间

对应 A §2.1（p.3）与 B §2.1（pp.3–4）的标准模型化简。C 第一单元的直接有限轨道转移并不需要这一步。

设 $(X,\mathcal F,\mu,T)$ 是任意概率空间上的可逆、双可测、保概率系统，固定 $f_1,\ldots,f_d\in L^\infty(\mu)$ 。这里不假设原概率空间是标准的。

将函数归一化后，可以选择处处满足 $|f_j|\le1$ 的可测代表元。不同代表元只在零测集上不同，而有限个函数沿全部整数次迭代的差异仍包含在一个可数并零测集中。更明确地，若 $g_j$ 是所选代表元，则所有差异包含在

Z=\bigcup_{j=1}^d\bigcup_{k\in\mathbb Z}T^{-k}\{f_j\ne g_j\}.

这个集合可测、测度为零且 $T$ 不变，因此不影响所研究的几乎处处结论。

令 $D=\{z\in\mathbb C:|z|\le1\}$ ，取

Y=D^{\{1,\ldots,d\}\times\mathbb Z}.

这是可数个紧度量空间的乘积，仍为紧度量空间。其 Borel 概率空间属于标准 Borel 概率空间。定义

\pi(x)_{j,k}=f_j(T^kx),\quad (Sy)_{j,k}=y_{j,k+1},\quad \nu=\pi_*\mu.

每个坐标可测，所以 $\pi$ 可测。 $S$ 是可逆连续移位，且逐坐标有

\pi\circ T=S\circ\pi.

对每个 Borel 集 $E\subseteq Y$ ，

\nu(S^{-1}E) =\mu\bigl(\pi^{-1}(S^{-1}E)\bigr) =\mu\bigl(T^{-1}(\pi^{-1}E)\bigr) =\nu(E).

所以 $(Y,\nu,S)$ 保概率。

令 $F_j(y)=y_{j,0}$ ，则 $F_j$ 连续有界，且对所有整数 $n$ ，

f_j(T^nx)=F_j(S^n\pi(x)).

因此任意固定整数斜率 $a_1,\ldots,a_d$ 的平均满足精确恒等式

\frac1N\sum_{n=1}^N\prod_{j=1}^df_j(T^{a_jn}x) = \left[\frac1N\sum_{n=1}^N\prod_{j=1}^dF_j\circ S^{a_jn}\right](\pi(x)).

若右侧平均在 $Y$ 的一个 Borel 满测集上收敛，则其原像在 $X$ 上也满测，于是左侧几乎处处收敛。收敛点集可以用 Cauchy 条件写成可数次并交，因而确实是 Borel 集；这里不需要处理不可测的任意例外集。

若所调用的外部定理要求完备的标准概率空间，可以先将 $\nu$ 完备化再应用该定理，但不需要、也不应据此断言 $\pi$ 对完备化后的目标仍自动可测。上式的平均函数在 $Y$ 上连续，其收敛集，以及收敛到指定常数的集合，都已是原 Borel $\sigma$ -代数中的集合。只拉回这个 Borel 满测集即可。

混合性也传给这个因子。若原系统混合，则对 $Y$ 中的 Borel 集 $E,G$ ，

\begin{aligned} \nu(E\cap S^{-n}G) &=\mu\bigl(\pi^{-1}E\cap T^{-n}(\pi^{-1}G)\bigr)\\ &\longrightarrow\mu(\pi^{-1}E)\mu(\pi^{-1}G) =\nu(E)\nu(G). \end{aligned}

并且 $\int_YF_j\,\mathrm{d}\nu=\int_Xf_j\,\mathrm{d}\mu$ ，所以积分乘积极限也按原样拉回。

这个构造依赖事先固定的有限组函数。它解释了为何不少针对固定有界观测的遍历结论可以从标准空间推广到一般概率空间。它没有给出一个同时覆盖原空间全部 $L^\infty$ 函数的共同标准因子，也不解决多重平均收敛本身。