第二单元：从局部估计到有限轨道振荡

第一单元把 C Proposition 3.5 的振荡界作为输入。本单元继续向前追到 C Theorem 2.2，逐段讨论 Lemmas 3.2–3.4 和 Proposition 3.5 的证明，覆盖 C pp.3–4、6–9。

这里仍把 Theorem 2.2 作为指定假设。原稿将其证明放在 §§4–6，并引用 H、D 中的核心分析结果；本单元核对的是从这一局部估计到振荡界的推导。

1. 局部估计究竟允许什么

1.1 斜率、区间和深度

固定两两不同的整数 $b_0=0,b_1,b_2,b_3$ ，满足

\gcd(|b_1|,|b_2|,|b_3|)=1.

取一个平移后的二进区间格。区间均为半开区间；一棵以 $J$ 为根的有限树包含所选区间与根之间的全部祖先。对树中区间 $I$ ，深度为

s(I)=\log_2(|J|/|I|).

深度越大，区间越小。树的最大深度记为 $d$ 。

1.2 可容许核的完整条件

对应 C Definition 2.1，p.3，式 (2.1)–(2.3)。

固定 $\delta_0>0$ 、 $C_0\ge1$ 。长度为 $r$ 的区间 $I$ 上，核 $w_I\in C_c^\infty(\mathbb R^2;\mathbb C)$ 满足以下三项要求。

第一，支撑上的每个坐标 $x+b_jt$ 都在 $I$ 内，并距端点至少 $\delta_0r$ ：

x+b_jt\in I, \quad \operatorname{dist}(x+b_jt,\partial I)\ge\delta_0r, \quad 0\le j\le3.

第二，沿每个坐标方向都有消去性：对每个 $v\in\mathbb R$ 和 $0\le j\le3$ ，

\int_{\mathbb R}w_I(v-b_jt,t)\,\mathrm{d}t=0.

第三，若 $a,e$ 为非负整数， $n=a+e$ ，则

\|\partial_x^a\partial_t^e w_I\|_\infty \le r^{-n}[C_0(n+2)]^{C_0(n+2)}.

相应局部四线性形式为

H_I(z_0,z_1,z_2,z_3) =r^{-2}\int_{\mathbb R^2}w_I(x,t) \prod_{j=0}^{3}z_j(x+b_jt)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

因子 $r^{-2}$ 与二维积分的尺度相配。后面出现 $rH_I$ 时，核前的系数是 $r^{-1}$ ，这一归一化决定最终能否精确还原尺度差。

1.3 每块内的幅度与变差

对于深度块 $B=\{u,\ldots,v\}$ 以及函数列 $(z_s)$ ，定义逐点量

\mathcal V_B(z)=\max_{u\le s\le v}|z_s| +\sum_{s=u}^{v-1}|z_{s+1}-z_s|.

它同时控制块内幅度与总变差；相邻不同块之间的跳变不计入。

C Theorem 2.2（pp.3–4，式 (2.4)）主张：对每个位置 $j=0,1,2,3$ ，给定全部深度上的可测函数 $z_{j,s}:J\to\mathbb C$ ，并把 $\{0,\ldots,d\}$ 分成 $W_j\ge1$ 个确定的非空连续块。若每个块满足

\mathcal V_B(z_j)\le W_j^{-1/2} \quad\text{几乎处处于 }J,

将所有函数在 $J$ 外作零延拓。则对树中任意区间子集 $\mathcal I$ ，

\sum_{I\in\mathcal I}|I|\, \bigl|H_I(z_{0,s(I)},z_{1,s(I)},z_{2,s(I)},z_{3,s(I)})\bigr| \le C_{b,\delta_0,C_0}|J|. \tag{T}

常数不依赖二进格的平移、树、深度、子集、具体核以及四个分块方案和块数。所有深度的函数均须给定，即使该深度恰无求和区间。

式 (T) 估计的是逐项绝对值之和，而不仅是整个和的绝对值。后面的应用只需第零位置随深度变化，另外三个位置固定；定理的陈述更一般。

2. 把光滑尺度差写成四方向消去核

对应 C Lemma 3.2，p.6。固定第一单元所定义的平均权重 $\varphi$ ，记

\psi=\varphi_2-\varphi, \quad \Delta_k(t)=\varphi_{2^{k+1}}(t)-\varphi_{2^k}(t) =2^{-k}\psi(2^{-k}t).

2.1 为什么需要四个消失矩

对 $j=0,1,2,3$ ，换元得到

\int t^j\psi(t)\,\mathrm{d}t =(2^j-1)\int t^j\varphi(t)\,\mathrm{d}t=0.

当 $j=0$ 时，因子 $2^j-1$ 本身为零；其余三项用到 $\varphi$ 的消失矩。

取 $B\ge1$ ，使 $\operatorname{supp}\psi\subseteq[-B,B]$ ，并定义

g(t)=\frac16\int_{-\infty}^{t}(t-v)^3\psi(v)\,\mathrm{d}v.

连续求导四次得到 $g^{(4)}=\psi$ 。若 $t<-B$ ，积分为零；若 $t>B$ ，把 $(t-v)^3$ 展开成 $v$ 的三次多项式，四个矩全为零，因此积分仍为零。所以 $g\in C_c^\infty(\mathbb R)$ ，支撑在 $[-B,B]$ 。

低于四阶的导数由有限区间积分直接估计；其余导数是 $\psi$ 的导数。因此 $g$ 仍满足第一单元的导数增长形式，常数可以增大。

2.2 四个微分算子的作用

取第一单元构造的非负质量一函数 $\rho$ ，令

u(z)=8\rho(8z).

则 $\int u=1$ ，且 $\operatorname{supp}u\subseteq[-1/8,1/8]$ 。选一个二进整数 $D\ge1$ ，使

D>4B\max_{0\le j\le3}|b_j|.

定义

F(z,\sigma)=u(z)D^{-3}g(D\sigma), \quad L_j=\partial_\sigma-b_j\partial_z, \quad W=\prod_{j=0}^{3}L_jF.

这些常系数微分算子相互交换。对长度 $r=D2^k$ 、中点 $m_I$ 的区间 $I$ ，令

w_I(x,t)=W\left(\frac{x-m_I}{r},\frac tr\right).

这就是需要送入式 (T) 的核。

2.3 支撑与边界距离

在 $W$ 的支撑上， $|z|\le1/8$ 、 $|\sigma|\le B/D$ ，故

|z+b_j\sigma| \le\frac18+\frac{|b_j|B}{D}<\frac38.

放大到区间 $I$ 后， $|x+b_jt-m_I|<3r/8$ 。由于端点距中点为 $r/2$ ，每个坐标距端点大于 $r/8$ 。因此可取 $\delta_0=1/8$ 。

导数由链式法则各产生 $r^{-1}$ 。固定 $D$ 、斜率和 $F$ 的导数常数后，乘积法则给出 §1.2 的导数界，某个 $C_0$ 只依赖 $\varphi$ 与固定斜率。

2.4 沿四个方向的积分为什么为零

对固定 $j$ ，令

G_j=\prod_{i\ne j}L_iF, \quad W=L_jG_j.

链式法则精确给出

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G_j\left(\frac{v-b_jt-m_I}{r},\frac tr\right) =\frac1r w_I(v-b_jt,t).

所以核等于右边被求导函数的导数乘 $r$ ，不是直接等于该导数。被求导函数关于 $t$ 紧支撑，积分后边界项为零，得到四条线消去条件。

2.5 对空间坐标积分后恰好得到尺度差

把 $W=\prod_j(\partial_\sigma-b_j\partial_z)F$ 展开。每个含 $\partial_z$ 的项在对 $z$ 积分时消失，只剩 $\partial_\sigma^4F$ 。由 $\int u=1$ 与 $g^{(4)}=\psi$ ，

\int_{\mathbb R}W(z,\sigma)\,\mathrm{d}z =D\psi(D\sigma).

于是

\frac1r\int_{\mathbb R}W(z,t/r)\,\mathrm{d}z =\frac Dr\psi(Dt/r) =2^{-k}\psi(2^{-k}t) =\Delta_k(t). \tag{K}

这就是 C 式 (3.4)。前三阶消失矩的作用在此完全明确：它们保证四重原函数 $g$ 仍紧支撑，从而既能实现尺度差，又能得到四方向消去。

3. 从二进区间估计到实直线估计

对应 C Lemma 3.3，p.7，式 (3.5)–(3.6)。

3.1 所要证明的实直线不等式

固定 $0\le k_-\le k_+$ ，将整数尺度 $\{k_-,\ldots,k_+\}$ 分成 $w$ 个确定的非空连续块。设有界 Borel 函数 $h_1,h_2,h_3,h_{0,k}$ 都支撑在一个长度为 $L$ 的共同区间，并满足

|h_j|\le1\quad (j=1,2,3), \quad \mathcal V_B(h_0)\le w^{-1/2}

，对每个尺度块 $B$ 成立。要由式 (T) 推出

\left|\sum_{k=k_-}^{k_+}\int_{\mathbb R^2} h_{0,k}(x)\prod_{j=1}^{3}h_j(x+b_jt)\Delta_k(t) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t\right| \le C_{\varphi,b}(L+D2^{k_+}). \tag{R2}

3.2 根区间总长度为何只付边界损失

令 $r_k=D2^k$ 、 $R=r_{k_+}$ 。对每个 $a\in[0,R)$ ，采用平移二进格

\mathcal D_a=\{[a+m2^q,a+(m+1)2^q):m,q\in\mathbb Z\}.

只有长度为 $R$ 、且与共同支撑区间相交的根区间可能贡献。它们除两端至多各伸出一个长度 $R$ 外，没有多余部分，总长度至多 $L+2R$ 。

把所有函数限制到每个根区间内。局部核的四个坐标都落在自己的区间 $I$ 内，而 $I$ 包含在根内，所以这个限制不改变局部形式。

在根树内，尺度 $k$ 对应深度 $s=k_+-k$ 。颠倒尺度顺序不改变块内最大幅度，也不改变相邻差的绝对值之和。因此第零位置满足式 (T) 的分块条件；其余位置固定，取 $W_j=1$ 即可。

在各根上应用式 (T)，再相加并用三角不等式，得到

\left|\sum_{k=k_-}^{k_+} \sum_{\substack{I\in\mathcal D_a\\|I|=r_k}} r_kH_I(h_{0,k},h_1,h_2,h_3)\right| \le C_{b,1/8,C_0}(L+2R). \tag{D}

3.3 平移平均如何消去区间分割

固定尺度 $r=r_k$ 。长度 $r$ 的区间中点为 $a+(m+1/2)r$ ，故

\sum_{\substack{I\in\mathcal D_a\\|I|=r}} r^{-1}w_I(x,t) =\sum_{m\in\mathbb Z}r^{-1} W\left(\frac{x-a-(m+1/2)r}{r},\frac tr\right).

这个和关于 $a$ 是 $r$ -周期的。因为 $R/r$ 是整数，先把 $[0,R)$ 平均化成一个周期上的平均，再对每个 $m$ 作变量代换，得到

\begin{aligned} \frac1R\int_0^R \sum_{|I|=r}r^{-1}w_I(x,t)\,\mathrm{d}a &=\frac1r\int_0^r\sum_{m\in\mathbb Z}r^{-1} W\left(\frac{x-a-(m+1/2)r}{r},\frac tr\right)\,\mathrm{d}a\\ &=\frac1r\int_{\mathbb R}W(z,t/r)\,\mathrm{d}z\\ &=\Delta_k(t). \end{aligned}

第二个等号利用的是所有 $m$ 对应的代换区间恰好覆盖实直线，边界重叠只发生在零测集。第三个等号就是式 (K)。

将式 (D) 对 $a\in[0,R)$ 平均，局部核便被替换成 $\Delta_k$ ，得到式 (R2)。这里只涉及有限个尺度、有界支撑以及一致有限的相关区间数，交换积分和求和合法。

4. 从实直线函数到整数序列

对应 C Lemma 3.4，pp.7–8，式 (3.7)–(3.8)。

4.1 需要整个整数配置，而不只是两个坐标

由互素条件，可以选整数 $e_1,e_2,e_3$ ，使 $\sum_{j=1}^{3}e_jb_j=1$ 。再令 $e_0=-\sum_{j=1}^{3}e_j$ ，便有

\sum_{j=0}^{3}e_j=0, \quad \sum_{j=0}^{3}e_jb_j=1. \tag{E}

因此对 $y_j=x+b_jt$ ， $t=\sum_je_jy_j$ 。这是 C Lemma 2.3 中的整数重建关系。

互素并不意味着某两个斜率之差为 $1$ 。例如 $(0,6,10,15)$ 满足整体互素，但任意两项之差的绝对值都不为 $1$ 。后面的重建使用式 (E)，不除以任何一对斜率之差。

4.2 在整数点周围放置小区间

现在 $h_j,h_{0,k}$ 是整数序列，支撑在同一个含 $L$ 个整数的区间内，满足上一节同样的幅度和分块变差条件。记

E_b=\sum_{j=0}^{3}|e_j|.

取 $0<\rho<1/4$ ，使

\rho\left(2+\max_j|b_j|E_b\right)<1.

把整数值 $h(m)$ 延拓成区间 $[m-\rho,m+\rho)$ 上的常数，在其余实数点取零。区间彼此不交，幅度和逐点变差条件保持。全部实支撑落在长度不超过 $L-1+2\rho\le L$ 的区间中。

4.3 为什么不会产生额外的格点配置

假设四个实坐标 $x+b_jt$ 分别落在整数中心 $p_j$ 的小区间中。除去边界零测集，令

\delta_j=x+b_jt-p_j, \quad |\delta_j|<\rho,

m=p_0, \quad n=\sum_je_jp_j, \quad \xi=x-m, \quad \eta=t-n.

由式 (E)， $\eta=\sum_je_j\delta_j$ ，故 $|\eta|\le\rho E_b$ ，且 $|\xi|=|\delta_0|<\rho$ 。对每个 $j$ ，

|p_j-(m+b_jn)| =|\xi+b_j\eta-\delta_j| <\rho(2+|b_j|E_b)<1.

左边是一个整数的绝对值，所以只能为零，即 $p_j=m+b_jn$ 。因此每个有贡献的实配置都来自唯一整数配置。

反过来，给定整数 $(m,n)$ ，相应实配置恰由

(\xi,\eta)\in P_\rho =\{(\xi,\eta):|\xi+b_j\eta|<\rho,\ 0\le j\le3\}

参数化，边界可忽略。 $P_\rho$ 包含原点的一个邻域，且由任意两个不同线性形式的限制可知有界，所以其面积 $A_\rho$ 有限且为正。不同整数 $(m,n)$ 对应的区域除边界外不交。

4.4 离散核与连续核的误差可求和

记种植后的实直线积分为 $I_k$ ，整数形式为

D_k=\sum_{m,n\in\mathbb Z} h_{0,k}(m)\prod_{j=1}^{3}h_j(m+b_jn)\Delta_k(n).

上述分区给出精确公式

I_k=\sum_{m,n\in\mathbb Z} h_{0,k}(m)\prod_{j=1}^{3}h_j(m+b_jn) \int_{P_\rho}\Delta_k(n+\eta)\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.

因为 $\Delta_k(t)=2^{-k}\psi(2^{-k}t)$ ，有

\|\Delta_k'\|_\infty=2^{-2k}\|\psi'\|_\infty.

于是 $|\Delta_k(n+\eta)-\Delta_k(n)|\le\rho E_b\|\psi'\|_\infty2^{-2k}$ 。该差若不为零，则 $|n|\le B2^k+\rho E_b$ ，因此相关整数 $n$ 的数量为 $O_{\varphi,b}(2^k)$ ，这里使用 $k\ge0$ 。整数 $m$ 至多有 $L$ 个，系数乘积的绝对值至多 $1$ 。故

|I_k-A_\rho D_k| \le A_\rho C_{\varphi,b}L2^{-k}.

对 $k$ 求和时， $\sum_{k\ge0}2^{-k}=2$ 。把该误差和上一节的实直线估计合并，再除以 $A_\rho>0$ ，得到

\left|\sum_{k=k_-}^{k_+}\sum_{m,n\in\mathbb Z} h_{0,k}(m)\prod_{j=1}^{3}h_j(m+b_jn)\Delta_k(n)\right| \le C'_{\varphi,b}(L+D2^{k_+}). \tag{Z}

这就是 C 式 (3.7)。常数不依赖尺度区间、分块方案或所选序列。

5. 最大值线性化为什么产生随尺度变化的函数

对应 C Proposition 3.5 证明的前半，p.9，从最小最大化指标的选择到式 (3.12)。

5.1 在整数序列上定义光滑平均

设 $h_1,h_2,h_3$ 是绝对值不超过 $1$ 的整数序列，共同支撑在含 $L$ 个整数的区间 $K$ 内。定义

V_k(m)=\sum_{n\in\mathbb Z}\varphi_{2^k}(n) \prod_{j=1}^{3}h_j(m+b_jn).

固定端点 $0\le k_1<\cdots<k_{w+1}$ 以及 $E\subseteq K$ 。对每个 $m\in E$ ，令 $\ell_i(m)$ 是使

|V_\ell(m)-V_{k_i}(m)|

在 $k_i\le\ell\le k_{i+1}$ 上达到最大值的最小整数。最大值范围有限，这个选择完全确定。令

d_i(m)=V_{\ell_i(m)}(m)-V_{k_i}(m), \quad \alpha_i(m)= \begin{cases} \overline{d_i(m)}/|d_i(m)|,&d_i(m)\ne0,\\ 0,&d_i(m)=0. \end{cases}

于是 $|\alpha_i|\le1$ ，且 $\alpha_i d_i=|d_i|$ 。复共轭在这里不可省略；若用 $d_i/|d_i|$ ，一般并不能把乘积变成非负实数。

5.2 前缀截断与块内变差

在尺度块 $k_i\le k<k_{i+1}$ 中，定义

h_{0,k}(m)= \begin{cases} \alpha_i(m)/(4\sqrt w),&m\in E,\ k<\ell_i(m),\\ 0,&\text{其余情形。} \end{cases}

对每个固定 $m$ ，它在该块的一段前缀上取常值，超过停止位置后为零。幅度至多 $1/(4\sqrt w)$ ，块内最多跳一次，跳幅也至多 $1/(4\sqrt w)$ 。因此

\mathcal V_B(h_0)\le\frac1{2\sqrt w}\le w^{-1/2}.

如果 $\ell_i(m)=k_i$ ，前缀为空；如果 $\ell_i(m)=k_{i+1}$ ，块内没有跳变。这两种端点情形也满足同一界。不同块之间的跳变无需控制，因为式 (T) 的定义只计算块内变差。

虽然停止指标依赖 $m$ ，块端点 $k_i$ 仍固定。这恰好符合式 (Z) 的假设；固定函数的局部估计则不能直接处理这种随尺度变化的测试函数。

5.3 差核求和精确恢复振荡

由 $\Delta_k=\varphi_{2^{k+1}}-\varphi_{2^k}$ ，有

V_{k+1}(m)-V_k(m) =\sum_n\Delta_k(n)\prod_{j=1}^{3}h_j(m+b_jn).

所以式 (Z) 左边被取绝对值之前的和，等于

\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{w}\sum_{m\in E} \frac{\alpha_i(m)}{4\sqrt w} \sum_{k=k_i}^{\ell_i(m)-1}(V_{k+1}(m)-V_k(m))\\ &\quad=\frac1{4\sqrt w}\sum_{m\in E}\sum_{i=1}^{w} \max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}}|V_\ell(m)-V_{k_i}(m)|. \end{aligned}

右边非负，因此整个和外的绝对值可以去掉。式 (Z) 所用的最大核尺度是 $k_{w+1}-1$ ；把边界项放宽到 $D2^{k_{w+1}}$ ，得到

\sum_{m\in E}\sum_{i=1}^{w} \max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}}|V_\ell(m)-V_{k_i}(m)| \le4C'_{\varphi,b}\sqrt w\,(L+D2^{k_{w+1}}). \tag{S}

这就是 C 式 (3.12)。 $\sqrt w$ 来自测试函数的归一化，而不是对最大值作一个独立的概率估计。

6. 有限轨道转移与一般概率空间

对应 C Proposition 3.5 证明的后半，p.9，式 (3.12) 之后至证明结束。

6.1 固定端点后，先确定截断余量

设 $S$ 是任意概率空间上的可逆、双可测保概率变换， $|f_j|\le1$ 。固定端点 $0\le k_1<\cdots<k_{w+1}$ 。选 $B_\varphi\ge1$ 使 $\operatorname{supp}\varphi\subseteq[-B_\varphi,B_\varphi]$ ，再固定一个整数

Q\ge B_\varphi\max_j|b_j|\,2^{k_{w+1}}.

$Q$ 依赖本次端点，但此后在轨道长度 $M$ 趋于无穷时保持不变。

对每个 $M\ge1$ 和 $x\in X$ ，定义有限序列

h_{j,x}(r)= \begin{cases} f_j(S^rx),&1-Q\le r\le M+Q,\\ 0,&\text{其余整数 }r. \end{cases}

共同支撑的整数数目为 $M+2Q$ 。对 $1\le m\le M$ 及所有 $k_1\le k\le k_{w+1}$ ，若 $\varphi_{2^k}(n)\ne0$ ，则

|b_jn|\le B_\varphi|b_j|2^k\le Q.

所以 $m+b_jn$ 均在未截断区间内。于是序列平均满足精确等式

V_k(m)=\sum_n\varphi_{2^k}(n) \prod_{j=1}^{3}f_j(S^{m+b_jn}x) =V_k^\varphi(S^mx).

这个等式覆盖各端点之间的全部中间尺度，而不只是端点本身。

6.2 积分后利用保测性

在式 (S) 中取 $L=M+2Q$ 、 $E=\{1,\ldots,M\}$ ，再对 $x$ 积分。所有平均与最大值都由有限个可测函数构成，故积分有定义。

对每个 $m$ ，保测性给出

\int_X\max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}} |V_\ell^\varphi(S^mx)-V_{k_i}^\varphi(S^mx)|\,\mathrm{d}\mu(x) = \int_X\max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}} |V_\ell^\varphi-V_{k_i}^\varphi|\,\mathrm{d}\mu.

因此

\begin{aligned} &M\sum_{i=1}^{w}\int_X \max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}} |V_\ell^\varphi-V_{k_i}^\varphi|\,\mathrm{d}\mu\\ &\quad\le4C'_{\varphi,b}\sqrt w \,(M+2Q+D2^{k_{w+1}}). \end{aligned}

除以 $M$ ，然后令 $M\to\infty$ 。此时端点及 $Q$ 已固定，所以边界项消失，得到

\sum_{i=1}^{w}\int_X \max_{k_i\le\ell\le k_{i+1}} |V_\ell^\varphi-V_{k_i}^\varphi|\,\mathrm{d}\mu \le4C'_{\varphi,b}\sqrt w.

这正是第一单元使用的 Proposition 3.5，常数不依赖系统、函数或端点。有限轨道化虽然产生了依赖端点的截断余量，但在最后取 $M\to\infty$ 时完全消失。

6.3 为什么不需要标准性或混合性

这一过程只沿有限轨道读出可测函数，应用整数序列不等式，再用保测性积分。它没有使用条件分布、遍历分解或拓扑模型，因此不要求概率空间标准。也没有出现相关衰减，故不使用混合性。

可逆性用于解释整数序列中的负时间。若函数最初只是 $L^\infty$ 等价类，先取有界代表元并删除全部整数平移后的例外零测集，处理方式与第一单元相同。

7. 常数与极限次序

固定斜率和一个平均权重后，先由 Lemma 3.2 确定 $D,C_0$ ，再由整数重建系数确定 $\rho,A_\rho$ 。这些量均不依赖后来的尺度端点和输入函数。

给定某组尺度端点后，构造随尺度变化的测试函数，并选择相应的轨道截断余量 $Q$ 。最后才让轨道长度 $M$ 趋于无穷。式 (T) 的常数必须从一开始就对深度和各块数统一，否则最后无法得到第一单元的式 (O)。

两个单元合并后，得到一条条件性推导：C Theorem 2.2 的局部绝对和估计，推出 C Theorem 1.1 的混合系统三重逐点结论。仍需继续审读的是 Theorem 2.2 自身的证明，包括 D 中随深度变化的局部估计，以及 H 中被引用的具体分析命题。

原文对照

C p.3，Definition 2.1 与式 (2.1)–(2.3)：可容许核与局部形式。
C pp.3–4，Theorem 2.2 与式 (2.4)：深度变化的局部绝对和。
C p.4，Lemma 2.3 与式 (2.5)：整数配置的整体重建。
C p.6，Lemma 3.2 与式 (3.3)–(3.4)：尺度差及四方向消去核。
C p.7，Lemma 3.3 与式 (3.5)–(3.6)：平移二进格平均。
C pp.7–8，Lemma 3.4 与式 (3.7)–(3.8)：整数种植及误差求和。
C p.9，Proposition 3.5 证明与式 (3.12)：复相位、前缀截断和有限轨道转移。