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多重遍历平均 / 原文精读

第三单元：固定函数的行估计如何容许深度变化

本单元讨论 D 的 §§4.1–4.2，原文 pp.17–22，主要结果是 Lemmas 4.1–4.4。第二单元中的最大值线性化已经产生随尺度变化的测试函数；这里研究原稿用来控制这种变化的一个抽象算子论步骤。

讨论范围止于 Lemma 4.4。结论以各尺度共用的列结构、两类分割的细化关系和原始联合 Bessel 估计为假设。后续如何为原稿的各种投影、局部模式和光滑行验证这些假设，是另外的具体问题。

1. 固定向量估计与变化向量估计

设一族有界线性算子满足

∑ν∥Aνz∥2≤B2∥z∥2对每个固定 z. \sum_\nu\|A_\nu z\|^2\le B^2\|z\|^2 \quad\text{对每个固定 }z.

这里所有行算子作用于同一个 zz。如果第 ν\nu 行所用的是 FsνF_{s_\nu}，不能直接把上式的 zz 逐行替换成不同向量。原稿要求函数列在确定的深度块内具有总变差控制，并对行的伴随添加一种空间结构。

本单元有两个不同的索引：函数指标 ss，以及空间二进区间的深度。二者不必相等。行按轮次 nn 排列，每轮使用同一个 FsnF_{s_n}，并要求 sns_n 非递减。

2. 深度函数的幅度与变差

对应 D §4.1、Lemma 4.1，pp.17–18，式 (4.1)–(4.2)。

2.1 完整假设

取有界二进区间 RR，其长度为正。除非另作说明，L2(R)L^2(R) 使用未归一化的 Lebesgue 测度。设 H\mathcal H 是复 Hilbert 空间，内积对第一变量线性。

令 S={s−,s−+1,…,s+}\mathcal S=\{s_-,s_-+1,\ldots,s_+\}，将其分成 W≥1W\ge1 个确定的非空连续块 S1,…,SW\mathcal S_1,\ldots,\mathcal S_W。强可测函数 Fs:R→HF_s:R\to\mathcal H 满足

max⁡s∈Sb∥Fs(y)∥H+∑s,s+1∈Sb∥Fs+1(y)−Fs(y)∥H≤W−1/2(1≤b≤W)(V) \max_{s\in\mathcal S_b}\|F_s(y)\|_{\mathcal H} +\sum_{s,s+1\in\mathcal S_b} \|F_{s+1}(y)-F_s(y)\|_{\mathcal H} \le W^{-1/2} \quad (1\le b\le W) \tag{V}

，几乎处处成立。数据有限，因而可在各块之间取一个共同的例外零测集。块之间的跳跃不计入式 (V)。

对可测 E⊆RE\subseteq R、∣E∣>0|E|>0，立即有

∥Fs∥q,E≤W−1/2,∥1EFs∥2≤W−1/2∣E∣1/2, \|F_s\|_{q,E}\le W^{-1/2}, \quad \|\mathbf1_EF_s\|_2\le W^{-1/2}|E|^{1/2},

其中第一项用 EE 上归一化测度，1≤q≤∞1\le q\le\infty。

2.2 一批差分的平方和

设 J\mathcal J 是有限个索引区间 [r,t][r,t]，r≤tr\le t，端点属于 S\mathcal S。定义边重叠数

m=max⁡s−≤j<s+#{[r,t]∈J:r≤j<t}. m=\max_{s_-\le j<s_+} \#\{[r,t]\in\mathcal J:r\le j<t\}.

若没有这样的边，最大值取零。Lemma 4.1 声称

∑[r,t]∈J∥1E(Ft−Fr)∥22≤m(1+4(W−1)W)∣E∣≤5m∣E∣.(D) \sum_{[r,t]\in\mathcal J} \|\mathbf1_E(F_t-F_r)\|_2^2 \le m\left(1+\frac{4(W-1)}W\right)|E| \le5m|E|. \tag{D}

固定一个不在例外零测集中的 yy，记

dj=∥Fj+1(y)−Fj(y)∥,vb=∑j,j+1∈Sbdj≤W−1/2. d_j=\|F_{j+1}(y)-F_j(y)\|, \quad v_b=\sum_{j,j+1\in\mathcal S_b}d_j\le W^{-1/2}.

若 r,tr,t 在同一块 Sb\mathcal S_b，则

δr,t=∥Ft(y)−Fr(y)∥≤∑j=rt−1dj≤vb. \delta_{r,t}=\|F_t(y)-F_r(y)\| \le\sum_{j=r}^{t-1}d_j\le v_b.

由此

∑[r,t]∈Jr,t∈Sbδr,t2≤vb∑[r,t]∈Jr,t∈Sb∑j=rt−1dj≤mvb2. \sum_{\substack{[r,t]\in\mathcal J\\r,t\in\mathcal S_b}} \delta_{r,t}^2 \le v_b\sum_{\substack{[r,t]\in\mathcal J\\r,t\in\mathcal S_b}} \sum_{j=r}^{t-1}d_j \le mv_b^2.

最后一步使用每条边最多被 mm 个区间穿过。对全部同块区间求和，至多得到 m∑bvb2≤mm\sum_bv_b^2\le m。

若两个端点在不同块，把该区间归到它穿过的第一个块边界。每个边界最多被 mm 个区间穿过，所以这种区间的总数至多 m(W−1)m(W-1)。每个差的范数由两端幅度控制为 2W−1/22W^{-1/2}，故平方和至多 4m(W−1)/W4m(W-1)/W。

两类相加给出逐点界，再在 EE 上积分，得到式 (D)。这个常数不随深度数或块数增长。

2.3 非递减的指标可以跳过或重复

后面选取非递减指标 s1≤⋯≤sNs_1\le\cdots\le s_N。在同一原始块内，相邻所选函数之间的差可用原索引边的差分和控制。非递减性保证每条原始边最多经过一次；重复指标只产生零差。因此式 (V) 沿这一子序列仍成立，归一化仍使用原来的 WW。没有选到的块贡献为零。

对式 (D) 也可作同样限制。如果所选指标列表中的某些区间具有边重叠数 mm，任意原始边 (j,j+1)(j,j+1) 对应列表中“指标值不超过 jj”与“指标值大于 jj”之间的唯一切口；穿过原边的区间一定穿过这个切口。因此重叠次数仍不超过 mm。

3. 各尺度共用的列函数与私有坐标

对应 D §4.2、Lemma 4.2，pp.18–19，式 (4.3)–(4.4)。

3.1 列的定义

取一个有限标签集 V\mathcal V。每个标签 vv 有一个起始二进区间 Jv⊆RJ_v\subseteq R、一个强可测函数 ϕv:Jv→H0\phi_v:J_v\to\mathcal H_0 和非零标量 γv\gamma_v。在

H=H0⊕ℓ2(V) \mathcal H=\mathcal H_0\oplus\ell^2(\mathcal V)

中定义

Φv(y)=(ϕv(y),γvev),y∈Jv. \Phi_v(y)=(\phi_v(y),\gamma_ve_v), \quad y\in J_v.

eve_v 是标签 vv 独有的标准正交坐标。即使两个原函数分量 ϕv\phi_v 相同，第二个分量仍可区分它们。

对于后代区间 QQ，可用标签为

V(Q)={v∈V:Q⊆Jv}. \mathcal V(Q)=\{v\in\mathcal V:Q\subseteq J_v\}.

列在 QQ 上就是同一个 Φv\Phi_v 的限制。向后代区间移动时，不重新定义函数或私有方向；已有系数也不改变。这对应原文的 persistent catalog：各尺度共用同一固定指标集及其已定义的列函数。某次只选用部分标签，不会删掉其余标签或改变后代区间上的列。

3.2 三个定量条件

假设有 D≥2D\ge2，使

∣γv∣≥D−1,∥Φv∥L∞(Jv;H)≤D,∑v∈V1Jv(y)≤D几乎处处于 R.(P) |\gamma_v|\ge D^{-1}, \quad \|\Phi_v\|_{L^\infty(J_v;\mathcal H)}\le D, \quad \sum_{v\in\mathcal V}\mathbf1_{J_v}(y)\le D \quad\text{几乎处处于 }R. \tag{P}

最后一项计数的是包含一个点的全部已定义标签，而不只是当前选中的标签。整个有限集 V\mathcal V 的基数不必由 DD 控制；不同空间位置可以出现不同的标签。

3.3 系数向量与函数值的双向比较

对 a=(av)v∈V(Q)a=(a_v)_{v\in\mathcal V(Q)}，Lemma 4.2 给出

D−1∥a∥ℓ2≤∥∑v∈V(Q)avΦv(y)∥H≤D3/2∥a∥ℓ2几乎处处于 Q.(P2) D^{-1}\|a\|_{\ell^2} \le\left\|\sum_{v\in\mathcal V(Q)}a_v\Phi_v(y)\right\|_{\mathcal H} \le D^{3/2}\|a\|_{\ell^2} \quad\text{几乎处处于 }Q. \tag{P2}

下界来自私有分量：

∥∑vavΦv(y)∥2=∥∑vavϕv(y)∥2+∑v∣avγv∣2≥D−2∑v∣av∣2. \left\|\sum_va_v\Phi_v(y)\right\|^2 =\left\|\sum_va_v\phi_v(y)\right\|^2 +\sum_v|a_v\gamma_v|^2 \ge D^{-2}\sum_v|a_v|^2.

上界用 Cauchy–Schwarz：

∥∑vavΦv(y)∥≤(∑v:y∈Jv∥Φv(y)∥2)1/2∥a∥2≤D3/2∥a∥2. \left\|\sum_va_v\Phi_v(y)\right\| \le\left(\sum_{v:y\in J_v}\|\Phi_v(y)\|^2\right)^{1/2}\|a\|_2 \le D^{3/2}\|a\|_2.

这里同时用到了每列大小至多 DD 及每条路径至多 DD 个标签。标签有限，因此可选择共同的零测例外集。

下界保证系数表示唯一：若两个系数向量表示同一个函数，两者之差的 L2(Q)L^2(Q) 范数为零，式 (P2) 迫使系数差为零。把系数向量补零后视为全空间 ℓ2(V)\ell^2(\mathcal V) 中的向量，限制到后代区间时该向量不变。

3.4 限制到子根不会增加 DD

取二进子根 R′⊆RR'\subseteq R。删除与 R′R' 不交的起始区间；若 R′⊆JvR'\subseteq J_v，把该列在新根的起始区间记为 R′R'；其余保留 Jv⊆R′J_v\subseteq R' 的列。二进区间相交时必然嵌套，所以这些情况已经穷尽。

所有保留列的函数值和私有坐标不变。在 R′R' 的每个点，新标签计数就是原标签计数的限制，因此式 (P) 的三个界均不增加。后面在子根上重新应用引理时，可使用同一个 DD。

4. 最大伴随部分和的精确命题

对应 D Lemma 4.3，p.19；证明在 pp.20–22，式 (4.5)–(4.9)。

4.1 两类空间分割

每轮 n=1,…,Nn=1,\ldots,N 有两份有限二进分割 πn,σn\pi_n,\sigma_n，满足

σn 细化 πn(1≤n≤N),πn+1 细化 σn(1≤n<N). \sigma_n\text{ 细化 }\pi_n\quad (1\le n\le N), \quad \pi_{n+1}\text{ 细化 }\sigma_n\quad (1\le n<N).

πn\pi_n 规定这一轮整行算子的支撑；σn\sigma_n 规定在哪些更小区间上观察其伴随的常系数表示。先确定整行归属，再在较细分割上判断是否停止，是下面构造的次序。

4.2 行的支撑、系数表示和联合 Bessel 估计

每轮有一个有限行指标集 Rn\mathcal R_n，不同轮的指标互不相交，总集为 R\mathcal R。对 ν∈Rn\nu\in\mathcal R_n，给定 Hilbert 空间 YνY_\nu、区间 Qν∈πnQ_\nu\in\pi_n 和有界线性算子

Aν:L2(R;H)⟶Yν. A_\nu:L^2(R;\mathcal H)\longrightarrow Y_\nu.

要求整行支撑在 QνQ_\nu：Aν=Aν1QνA_\nu=A_\nu\mathbf1_{Q_\nu}。对每个 K∈σnK\in\sigma_n 和每个 c∈Yνc\in Y_\nu，存在不随 y∈Ky\in K 改变的系数，使

1KAν∗c=1K∑v∈V(K)aν,K,v(c)Φv于 L2(R;H). \mathbf1_KA_\nu^*c =\mathbf1_K\sum_{v\in\mathcal V(K)}a_{\nu,K,v}(c)\Phi_v \quad\text{于 }L^2(R;\mathcal H).

此处不要求这些系数有另一个统一大小界。

此外，存在 B≥0B\ge0，使全部原始行满足

∑ν∈R∥Aνz∥Yν2≤B2∥z∥L2(R;H)2对所有 z∈L2(R;H).(B) \sum_{\nu\in\mathcal R}\|A_\nu z\|_{Y_\nu}^2 \le B^2\|z\|_{L^2(R;\mathcal H)}^2 \quad\text{对所有 }z\in L^2(R;\mathcal H). \tag{B}

空轮次允许存在，一个支撑区间也可以有多行。估计必须是对任意 zz 的真正算子界，不能只对构造这些行时使用的原函数成立。

4.3 结论与常数

任取连续轮次 p≤n≤qp\le n\le q 及测试向量 cν∈Yνc_\nu\in Y_\nu。记

Ec=∑n=pq∑ν∈Rn∥cν∥2,gn=∑ν∈RnAν∗cν, E_c=\sum_{n=p}^{q}\sum_{\nu\in\mathcal R_n}\|c_\nu\|^2, \quad g_n=\sum_{\nu\in\mathcal R_n}A_\nu^*c_\nu,
Sj=∑n=pjgn,Sp−1=0,M(y)=max⁡p−1≤j≤q∥Sj(y)∥H. S_j=\sum_{n=p}^{j}g_n, \quad S_{p-1}=0, \quad M(y)=\max_{p-1\le j\le q}\|S_j(y)\|_{\mathcal H}.

令

LD=1+⌈5log⁡2D⌉,CD=839+LD2≤403log⁡2(2D). L_D=1+\lceil5\log_2D\rceil, \quad C_D=\frac83\sqrt{9+L_D^2} \le\frac{40}{3}\log_2(2D).

Lemma 4.3 的结论是，对每个 λ>0\lambda>0，

∣{M>λ}∣≤min⁡{∣R∣,CD2B2Ec4λ2},∥M∥L1(R)≤CDB∣R∣1/2Ec1/2.(Max) |\{M>\lambda\}| \le\min\left\{|R|,\frac{C_D^2B^2E_c}{4\lambda^2}\right\}, \quad \|M\|_{L^1(R)}\le C_DB|R|^{1/2}E_c^{1/2}. \tag{Max}

常数取决于列函数的控制常数 DD，但不含轮次数 NN 或总标签数 ∣V∣|\mathcal V|。后面的证明说明 log⁡D\log D 从何而来。

5. Lemma 4.3：整行分组与最大估计

5.1 先固定测试向量，再选择共同代表元

原文位置：D p.20，证明第一段。

只保留轮次 p,…,qp,\ldots,q，重新编号为 1,…,N1,\ldots,N。固定测试向量 c=(cν)c=(c_\nu) 和阈值 λ>0\lambda>0。每个被测试伴随 Aν∗cνA_\nu^*c_\nu 在有限个观察区间上有指定的列表示。去掉这些有限个表示的例外零测集，再去掉列函数估计的例外零测集，所有后续恒等式就在一个共同满测集上成立。

这一步不对所有可能的测试向量取零测集之并。证明先固定 cc，最后所得范数估计对每个 cc 成立，已经足以使用对偶性。

在每个 K∈σnK\in\sigma_n 上，gng_n 具有唯一的常系数向量 an(K)∈ℓ2(V)a_n(K)\in\ell^2(\mathcal V)。由支撑恒等式取伴随，得到

Aν∗=1QνAν∗. A_\nu^*=\mathbf1_{Q_\nu}A_\nu^*.

所以在 KK 上，只有支撑于包含 KK 的那个 πn\pi_n-区间的行会贡献。

5.2 分组数与停止阈值

令

T=2⌈5log⁡2D⌉,τ=λ4D3/2. T=2^{\lceil5\log_2D\rceil}, \quad \tau=\frac{\lambda}{4D^{3/2}}.

TT 是二的整数幂，且 T≥D5T\ge D^5。下面把原始整行分配到至多 TT 组。每个空间位置按顺序使用这些组；当前系数和超过 τ\tau 时，结束当前组并进入下一组。

由于同一行可能覆盖多个观察区间，不能先按每个点决定停止、再把一行的输出任意切开。原稿的两类分割正是为避免这种操作。

5.3 每轮的构造次序

第一轮开始时，所有支撑区间的组号为 11，当前系数向量为零。归纳假设：第 nn 轮开始时，组号和当前系数向量在每个 Q∈πnQ\in\pi_n 上恒定，且向量仅使用 V(Q)\mathcal V(Q) 中的标签。

先把支撑为 QQ 的全部行分配到该区间的当前组。如果组号已经是 T+1T+1，就不再分配这些行。

随后只对当前组号不超过 TT 的较细观察区间 K∈σnK\in\sigma_n，把本轮系数 an(K)a_n(K) 加到当前向量上。若所得向量的 ℓ2\ell^2 范数大于 τ\tau，结束当前组，将组号增加一，当前向量重置为零；否则保留向量和组号。完成第 TT 组后，此后组号与系数和保持为 (T+1,0)(T+1,0)。

新的组号和系数和在每个 σn\sigma_n-区间上恒定。由于 πn+1\pi_{n+1} 细化 σn\sigma_n，下一轮的每个支撑区间都有确定的组号和系数和。旧列限制到后代时不变，标签仍可用，所以旧系数向量可以与新系数向量在同一个 ℓ2(V)\ell^2(\mathcal V) 中相加。

因此，归纳始终保持：每一条原始行只分到一个组，其整个支撑具有同一归属；不同观察区间上的停止结果不会把已经分配的行拆开。这些选择只涉及有限个区间及常向量运算，每组结束的点集可测。

5.4 为什么测试依赖的分组仍可用原 Bessel 界

令 Bi\mathcal B_i 为分到第 ii 组的行集合，并令

vi=∑ν∈BiAν∗cν,1≤i≤T. v_i=\sum_{\nu\in\mathcal B_i}A_\nu^*c_\nu, \quad 1\le i\le T.

虽然 Bi\mathcal B_i 的选择依赖固定的 cc 和 λ\lambda，它们仍是原始行指标的互不相交子集。

把全部行合成算子 A:z↦(Aνz)νA:z\mapsto(A_\nu z)_\nu。式 (B) 表示 ∥A∥≤B\|A\|\le B，所以 ∥A∗∥≤B\|A^*\|\le B。对任意 J⊆{1,…,T}J\subseteq\{1,\ldots,T\}，将测试向量在 ⋃i∈JBi\bigcup_{i\in J}\mathcal B_i 外的坐标置零，便得到

∥∑i∈Jvi∥22≤B2∑ν∈⋃i∈JBi∥cν∥2.(Adj) \left\|\sum_{i\in J}v_i\right\|_2^2 \le B^2\sum_{\nu\in\bigcup_{i\in J}\mathcal B_i}\|c_\nu\|^2. \tag{Adj}

这就是 D 式 (4.6)。它只是原联合算子不等式的一个子坐标应用；分组依赖测试向量并不影响该事实。若将一个伴随输出乘上任意空间截断再称为“半条行”，则未必还能如此应用式 (B)。

特别地，分别对单个组使用式 (Adj) 再求和，得到

∑i=1T∥vi∥22≤B2Ec.(Energy) \sum_{i=1}^{T}\|v_i\|_2^2\le B^2E_c. \tag{Energy}

5.5 完成 TT 组的点集

令 ΩT\Omega_T 为完成全部 TT 组的点集。在这样的点 yy 上，每个 vi(y)v_i(y) 恰好是第 ii 组从开始到系数范数首次超过 τ\tau 那一轮的累计值。

理由是：支撑不含 yy 的行在 yy 处为零；支撑含 yy 的行，正好在该路径使用第 ii 组时被分入此组；组号只增加，不会回到旧组，所以此后没有新的非零贡献进入已经结束的组。

每个结束组的系数范数大于 τ\tau。这些标签在最终观察区间上仍可用，式 (P2) 的下界给出

∥vi(y)∥H>D−1τ(1≤i≤T,y∈ΩT). \|v_i(y)\|_{\mathcal H}>D^{-1}\tau \quad (1\le i\le T, y\in\Omega_T).

积分并用式 (Energy)，得到

TD−2τ2∣ΩT∣≤∑i=1T∥vi∥22≤B2Ec. T D^{-2}\tau^2|\Omega_T| \le\sum_{i=1}^{T}\|v_i\|_2^2 \le B^2E_c.

代入 τ\tau 的值，得

∣ΩT∣≤16D5B2EcTλ2.(Hit) |\Omega_T|\le\frac{16D^5B^2E_c}{T\lambda^2}. \tag{Hit}

这就是 D 式 (4.7)。五次幂由两处系数比较共同产生：未完成部分用上界 D3/2D^{3/2}，结束部分用下界 D−1D^{-1}，平方后合为 D5D^5。

5.6 未完成部分的范数至多 λ/4\lambda/4

在 ΩT\Omega_T 之外，任意轮次的部分和，都等于若干已经结束的组的前缀和，加上当前未完成的系数和。后者系数范数不超过 τ\tau，所以由式 (P2) 的上界，其 Hilbert 范数不超过

D3/2τ=λ/4. D^{3/2}\tau=\lambda/4.

一组刚结束时，把新结束的组放入前缀，未完成部分取零，结论仍成立。在 ΩT\Omega_T 外，没有含该点的行因为达到 T+1T+1 而被遗漏；因此这里比较的仍是全部原始行的部分和。

令

MT(y)=max⁡0≤j≤T∥∑i=1jvi(y)∥H. M_T(y)=\max_{0\le j\le T} \left\|\sum_{i=1}^{j}v_i(y)\right\|_{\mathcal H}.

得到原文式 (4.8)：

M(y)≤MT(y)+λ/4(y∉ΩT).(Rem) M(y)\le M_T(y)+\lambda/4 \quad (y\notin\Omega_T). \tag{Rem}

5.7 二进前缀分解只付 log⁡T\log T 的损失

因为 TT 是二的整数幂，对每个 0≤k≤log⁡2T0\le k\le\log_2T，令 Dk\mathcal D_k 为 {1,…,T}\{1,\ldots,T\} 上长度 2k2^k 的连续二进区间分割。对 J∈DkJ\in\mathcal D_k，令 vJ=∑i∈Jviv_J=\sum_{i\in J}v_i。

每个前缀 {1,…,j}\{1,\ldots,j\} 都能分成互不相交的二进区间，而且每个长度至多用一个。于是逐点有

MT≤∑k=0log⁡2T(∑J∈Dk∥vJ∥H2)1/2. M_T\le\sum_{k=0}^{\log_2T} \left(\sum_{J\in\mathcal D_k}\|v_J\|_{\mathcal H}^2\right)^{1/2}.

固定 kk 时，Dk\mathcal D_k 的区间不交。由式 (Adj)，

∑J∈Dk∥vJ∥22≤B2Ec. \sum_{J\in\mathcal D_k}\|v_J\|_2^2 \le B^2E_c.

在 L2(R)L^2(R) 中应用三角不等式，得到

∥MT∥2≤(1+log⁡2T)BEc1/2=LDBEc1/2.(Prefix) \|M_T\|_2 \le(1+\log_2T)B E_c^{1/2} =L_DB E_c^{1/2}. \tag{Prefix}

这就是 D 式 (4.9)。log⁡T\log T 来自有限前缀的二进分解；由于 TT 只依赖 DD，这里没有出现 log⁡N\log N。

5.8 弱平方可积界与 L1L^1 最大界

由式 (Rem)，

{M>λ}⊆ΩT∪{MT>3λ/4} \{M>\lambda\}\subseteq \Omega_T\cup\{M_T>3\lambda/4\}

，模一个固定零测集成立。结合式 (Hit)、式 (Prefix) 及 Chebyshev 不等式，得到

∣{M>λ}∣≤16D5B2EcTλ2+16LD2B2Ec9λ2≤16(9+LD2)B2Ec9λ2=CD2B2Ec4λ2. \begin{aligned} |\{M>\lambda\}| &\le\frac{16D^5B^2E_c}{T\lambda^2} +\frac{16L_D^2B^2E_c}{9\lambda^2}\\ &\le\frac{16(9+L_D^2)B^2E_c}{9\lambda^2} =\frac{C_D^2B^2E_c}{4\lambda^2}. \end{aligned}

第二行使用 T≥D5T\ge D^5。再结合显然的 ∣{M>λ}∣≤∣R∣|\{M>\lambda\}|\le|R|，得到式 (Max) 的弱估计。

若 BEc1/2=0BE_c^{1/2}=0，该估计直接说明 M=0M=0 几乎处处。否则令 H=(CD/2)BEc1/2H=(C_D/2)BE_c^{1/2}。由非负函数的分布函数积分公式，

∥M∥1=∫0∞∣{M>λ}∣ dλ≤∫0∞min⁡{∣R∣,H2/λ2} dλ=2H∣R∣1/2. \begin{aligned} \|M\|_1 &=\int_0^\infty|\{M>\lambda\}|\,\mathrm{d}\lambda\\ &\le\int_0^\infty\min\{|R|,H^2/\lambda^2\}\,\mathrm{d}\lambda =2H|R|^{1/2}. \end{aligned}

最后一个积分在 λ=H/∣R∣1/2\lambda=H/|R|^{1/2} 处分开，两部分都等于 H∣R∣1/2H|R|^{1/2}。这给出式 (Max) 的 L1L^1 估计。

为核对常数的简化，令 x=log⁡2D≥1x=\log_2D\ge1。则 LD≤5x+2L_D\le5x+2，且

9+(5x+2)2≤25(x+1)2. 9+(5x+2)^2\le25(x+1)^2.

因此 CD≤(40/3)log⁡2(2D)C_D\le(40/3)\log_2(2D)。Lemma 4.3 证明完成。

6. Lemma 4.4：对随深度变化的函数列应用行估计

对应 D p.22，Lemma 4.4，式 (4.10)。

6.1 完整陈述

保留 Lemma 4.3 的全部假设。令 (Fs)s∈S(F_s)_{s\in\mathcal S} 满足式 (V)，并选非递减函数指标

s1≤s2≤⋯≤sN,sn∈S. s_1\le s_2\le\cdots\le s_N, \quad s_n\in\mathcal S.

每轮 nn 的全部行使用同一个 FsnF_{s_n}。函数指标不要求等于行支撑区间的空间深度。原稿主张

(∑n=1N∑ν∈Rn∥AνFsn∥Yν2)1/2≤CDB∣R∣1/2≤403Blog⁡2(2D)∣R∣1/2.(Var) \left(\sum_{n=1}^{N}\sum_{\nu\in\mathcal R_n} \|A_\nu F_{s_n}\|_{Y_\nu}^2\right)^{1/2} \le C_DB|R|^{1/2} \le\frac{40}{3}B\log_2(2D)|R|^{1/2}. \tag{Var}

常数不依赖行数、深度数或函数块数 WW。

6.2 按函数块划分轮次

固定任意测试向量 c=(cν)c=(c_\nu)。由于所选函数指标非递减，落在同一函数块 Sb\mathcal S_b 中的轮次构成一个连续区间 p≤n≤qp\le n\le q，也可能为空。

在这个区间上，按 Lemma 4.3 定义

gn=∑ν∈RnAν∗cν,Sn=∑j=pngj,Sp−1=0,M=max⁡p−1≤n≤q∥Sn∥. g_n=\sum_{\nu\in\mathcal R_n}A_\nu^*c_\nu, \quad S_n=\sum_{j=p}^{n}g_j, \quad S_{p-1}=0, \quad M=\max_{p-1\le n\le q}\|S_n\|.

伴随恒等式将该块的输出配对写为

∑n=pq∑ν∈Rn⟨AνFsn,cν⟩Yν=∫R∑n=pq⟨Fsn(y),gn(y)⟩H dy. \sum_{n=p}^{q}\sum_{\nu\in\mathcal R_n} \langle A_\nu F_{s_n},c_\nu\rangle_{Y_\nu} =\int_R\sum_{n=p}^{q} \langle F_{s_n}(y),g_n(y)\rangle_{\mathcal H}\,\mathrm{d}y.

所有和有限，各配对由 L2L^2 Cauchy–Schwarz 保证可积。

6.3 逐点 Abel 求和

由 gn=Sn−Sn−1g_n=S_n-S_{n-1}，对每个非例外点，有

∑n=pq⟨Fsn,gn⟩=⟨Fsq,Sq⟩+∑n=pq−1⟨Fsn−Fsn+1,Sn⟩. \sum_{n=p}^{q}\langle F_{s_n},g_n\rangle =\langle F_{s_q},S_q\rangle +\sum_{n=p}^{q-1}\langle F_{s_n}-F_{s_{n+1}},S_n\rangle.

内积对第一变量线性，所以上式中的差分位于第一变量；没有遗漏复共轭。

取绝对值并用 Cauchy–Schwarz，右边至多为

(∥Fsq∥+∑n=pq−1∥Fsn+1−Fsn∥)M≤W−1/2M. \left(\|F_{s_q}\|+ \sum_{n=p}^{q-1}\|F_{s_{n+1}}-F_{s_n}\|\right)M \le W^{-1/2}M.

最后一步使用本单元 §2.3：非递减指标在同一个原始块内，每条边至多经过一次；重复指标贡献零。因此幅度加变差仍受式 (V) 控制。

6.4 块数如何消失

记该块的测试能量为

Eb=∑n=pq∑ν∈Rn∥cν∥2, E_b=\sum_{n=p}^{q}\sum_{\nu\in\mathcal R_n}\|c_\nu\|^2,

空块取零。把上一式积分，并应用 Lemma 4.3 的 L1L^1 最大界，得到该块配对绝对值至多

CDBW−1/2∣R∣1/2Eb1/2. C_DBW^{-1/2}|R|^{1/2}E_b^{1/2}.

对全部 WW 块相加，再对有限数列应用 Cauchy–Schwarz：

W−1/2∑b=1WEb1/2≤(∑b=1WEb)1/2=(∑ν∈R∥cν∥2)1/2. W^{-1/2}\sum_{b=1}^{W}E_b^{1/2} \le\left(\sum_{b=1}^{W}E_b\right)^{1/2} =\left(\sum_{\nu\in\mathcal R}\|c_\nu\|^2\right)^{1/2}.

因此

∣∑n=1N∑ν∈Rn⟨AνFsn,cν⟩∣≤CDB∣R∣1/2(∑ν∈R∥cν∥2)1/2. \left|\sum_{n=1}^{N}\sum_{\nu\in\mathcal R_n} \langle A_\nu F_{s_n},c_\nu\rangle\right| \le C_DB|R|^{1/2} \left(\sum_{\nu\in\mathcal R}\|c_\nu\|^2\right)^{1/2}.

在有限 Hilbert 直和 ⨁ν∈RYν\bigoplus_{\nu\in\mathcal R}Y_\nu 中取对偶范数，即得式 (Var)。W−1/2W^{-1/2} 与块间 Cauchy–Schwarz 产生的 W\sqrt W 恰好抵消。

7. 这一引理可以怎样用于原稿，不能省去哪项核对

原稿允许已经构造出的有限行、分割和共用列函数依赖给定函数列 (Fs)(F_s)。但构造完成后，这些对象必须保持固定，再验证式 (B) 对任意测试向量 zz 成立。只有对原先那一个 FsF_s 的估计，不能用于 Lemma 4.3 的测试依赖分组，也不能由对偶性推出 Lemma 4.4。

随后每次使用这两个引理，至少要逐项确认：整行支撑是否保留；伴随是否在观察细胞上由同一固定指标集中的列作常系数表示；下一轮支撑分割是否细化当前观察分割；联合 Bessel 界是否对任意函数成立；每轮是否使用同一个函数指标，以及这些索引是否非递减。

本单元没有用到 mixing，也没有直接得出局部四线性 Theorem 3.2。它证明的是原稿所使用的一项变化函数行估计。对投影增量、平滑均值零行及后续局部模式的具体应用，仍须把上述结构逐项落实。

原文对照

  • D p.17，式 (4.1)：固定函数块上的幅度与总变差。
  • D pp.17–18，Lemma 4.1，式 (4.2)：重叠区间差分平方和与非递减指标。
  • D pp.18–19，式 (4.3)、Lemma 4.2、式 (4.4)：共用列函数、私有坐标及系数双边界。
  • D p.19，Lemma 4.3 的全部假设与式 (4.5)：最大伴随部分和结论。
  • D p.20，整行分组构造与式 (4.6)：测试依赖子家族的原联合算子界。
  • D p.21，式 (4.7)–(4.9)：完成全部分组的点集、余项和二进前缀估计。
  • D p.22，Lemma 4.3 末段：分布函数积分及常数简化。
  • D p.22，Lemma 4.4 与式 (4.10)：逐点 Abel 求和、块间 Cauchy–Schwarz 和直和对偶性。