第三单元（续）：坏层数怎样控制模式行的平方和

本篇讨论 D §6.4 的前半部分，原文 pp.49–50，特别是式 (6.12)。前篇冻结行定理要求每组模式投影已有普通联合 Bessel 界。这里说明原稿实际选择的非核心模式行为什么满足这一前提，再从正交投影过渡到模式系数的精确部分和。

D 沿用 H §§8.4–8.6 的图、好坏分类及其几何结论。本篇明确保留两项源前提：每个主列的异常块与坏高度数界，以及不相邻模式的振荡内积小量。相应的有理高度稳定证明与 Fourier 振荡估计尚未在这里全部重新证明。计数链、从小内积到 Bessel 界，以及精确部分和的后续推导则在下文展开。

1. 在同一个冻结列表上定义两个图

固定位置、组、偏移及一个分析块。模式列表在 $u_b=b-4K$ 冻结，在深度 $v_b=b-2K$ 的保留区间 $J$ 上比较，当前块末为 $t_b=b+K$ 。包括系数为零的所有已可用模式，列表在相关后代上保留。统一常数 $D_*\ge\mathrm e^k$ 同时控制一条路径上全部相关组的永久模式数、冻结系数绝对值之和及私有权重倒数；水平参数维数满足 $d_{\max}\le C_qk^C$ ，见 D 式 (6.9) 及其后说明。

模式的标量二次频率斜率为

\omega_m(x)=2\lambda_mx+\gamma_m.

H 用同一个水平频率向量 $\vartheta$ ，以及层数参数

\Delta=10,\qquad L_h=6^h,\qquad E_h=A_0^{h+1} \quad(0\le h\le J_*),

其中 $A_0\ge6$ 足够大。 $L_h$ 是允许平移的分母， $E_h$ 是整数平移范围，不是正交投影。分离阈值记为 $\Xi$ ，源选择为 $\Xi=D_*^{1000}$ 。

在高度 $h$ ，若存在整数向量 $n$ 、 $\|n\|_\infty\le E_h$ ，使

\sup_{x\in J} |\omega_m(x)-\omega_{m'}(x)+n\cdot\vartheta/L_h| \le\Xi/r_{v_b},

则在 PRE 图中连接 $m,m'$ 。将右侧换成 $\Xi/r_{t_b}$ ，就定义 CURRENT 图。这里 $r_s=2^{-s}|J_{\mathrm{original}}|$ 。

因为 $r_{t_b}<r_{v_b}$ ，PRE 图包含的边也是 CURRENT 图的边。记相应连通分量为

\mathsf E_h(m),\qquad\mathsf F_h(m).

把旧见证 $n$ 换成 $6n$ ，表明两图随 $h$ 增加只加边不删边。后代区间缩小且比较阈值增大，也使既有边在原文规定的后续列表上保留。

“最小分量”在本节指高度零的连通分量。对模式集合 $D$ ， $\pi(D)$ 表示其主列标签集合，不是概率因子映射。

2. 好高度、核心模式与非核心模式

原文有一个主列是否在当前块异常的判断，以及非异常主列在高度 $h$ 是否满足高度稳定条件的判断。它们来自 H Lemmas 8.2–8.3（pp.67–69）。本节使用的准确数量结论是：

一个固定主列沿路径至多在 $B_{\mathrm{bad}}\le C d_{\max}$ 个块异常；
在一个固定块，非异常主列至多在 $A_{\mathrm{bad}}\le C d_{\max}R_{\mathrm{ht}}$ 个高度不满足稳定条件。

其中 $d_{\max}$ 控制相关水平参数维数， $R_{\mathrm{ht}}$ 是源有理高度论证的辅助整数。它可能依赖较大的模式常数。所选总高度 $J_*$ 将先吸收这种依赖。

对 $h\ge\Delta$ ，一个模式 $m$ 在高度 $h$ 为好，要求

\left\lfloor\log_{1.1}|\pi(\mathsf E_{h-\Delta}(m))|\right\rfloor = \left\lfloor\log_{1.1}|\pi(\mathsf F_h(m))|\right\rfloor,

且 $\pi(\mathsf F_h(m))$ 中至少九成主列在该块非异常并在该高度稳定。低于 $\Delta$ 的高度一律为坏。

固定一个足够小的绝对常数 $\delta_*>0$ 。若模式的坏高度数至多为 $\delta_*(J_*+1)$ ，称为核心模式；否则为非核心模式，原文称 linear-side mode。

同一个最小 PRE 分量中的模式，在所有更高 PRE 图和 CURRENT 图中具有相同连通分量。因此它们的好坏判断完全相同，整个最小 PRE 分量要么全为核心，要么全为非核心。这一简单继承事实足以用于本篇的非核心事件选择。

3. 非核心事件如何排成链

固定一个位置与组。一个事件为

(b,J,E),

其中 $J$ 是保留的深度 $v_b$ 区间， $E$ 是其冻结列表中的一个非核心最小 PRE 分量。

将分析块编号分成模十的十类。在同一类中，若后事件位于前事件的后代路径上，且两者某些模式相同或在后事件最小 PRE 图中相邻，就从前事件连到后事件。

同类相邻块至少相隔 $10K$ ，故后块的 PRE 比较深度不小于前块末深度。前块的每条 CURRENT 边在后块 PRE 图中仍成立：较后区间更小，阈值更宽，模式与整数平移见证保留。最小 PRE 的连线在所有高度仍保留。

于是对一条事件链，任取每个事件的一个模式，并记其在高度 $h$ 的主列集合为 $P_{i,h},C_{i,h}$ ，有

P_{i,h}\subseteq C_{i,h}\subseteq P_{i+1,h}. \tag{Chain-nesting}

两列也各自随 $h$ 增加。每个集合非空，大小至多为主列数上界 $D_{\mathrm m}$ 。这里使用主列数，而非可能大得多的模式数 $D_*$ 。

4. 一个进入次序的有限求和引理

对应 H Lemma 8.5，pp.69–70。

设非空有限集合

S_1\subseteq\cdots\subseteq S_T,\qquad |S_T|\le M,

并有 $X_t\subseteq S_t$ ，每个元素最多属于 $A$ 个 $X_t$ 。则

\sum_{t=1}^{T}\frac{|X_t|}{|S_t|} \le A H_M,\qquad H_M=\sum_{r=1}^{\lfloor M\rfloor}\frac1r\le1+\log M. \tag{Entry-rank}

按元素首次进入 $S_t$ 的次序编号，同一步进入者任意排序。排名为 $r$ 的元素所处的任何集合至少有 $r$ 个元素，因此每次贡献至多 $1/r$ ，总共最多贡献 $A/r$ 。对所有排名求和即可。

这个引理不要求知道元素何时离开 $X_t$ ；只有每个元素的总出现次数受控。

5. 坏高度链的计数证明

下面展开 H Lemma 8.6（p.70）在当前证明中的形式。

设一条链有 $N$ 个事件，高度为 $0,\ldots,J$ 。集合满足式 (Chain-nesting)，大小至多 $M$ 。每个主列至多在 $B$ 个事件异常；对固定事件，每个非异常主列至多在 $A$ 个高度不稳定。

设异常集为 $X_i$ ，高度不稳定集为 $Y_{i,h}$ 。对 $h\ge\Delta$ ，坏高度由以下任一条件触发：两个基数的底数 $1.1$ 对数取整不同，或

\frac{|(X_i\cup Y_{i,h})\cap C_{i,h}|}{|C_{i,h}|}>\beta.

每个事件有超过 $\delta(J+1)$ 个坏高度。定义

L_0=\lfloor\log_{1.1}M\rfloor,\qquad Q=\Delta(L_0+1)+\beta^{-1}AH_M.

5.1 基数变化产生的坏高度数

记

p_{i,h}=\lfloor\log_{1.1}|P_{i,h}|\rfloor,\quad c_{i,h}=\lfloor\log_{1.1}|C_{i,h}|\rfloor.

其值在 $0,\ldots,L_0$ 中。若两个取整不同，因集合包含，差至少为一，故其指示函数不超过

c_{i,h}-p_{i,h-\Delta} =(p_{i,h}-p_{i,h-\Delta})+(c_{i,h}-p_{i,h}).

固定 $i$ ，对第一项在 $h$ 上求和至多为 $\Delta L_0$ ：每次单步增长只在至多 $\Delta$ 个窗口中出现。

固定 $h$ ，由 $C_{i,h}\subseteq P_{i+1,h}$ ，第二项在 $i$ 上的和至多为 $L_0$ 。加上每个事件最初 $\Delta$ 个坏高度，这一类坏事件总数至多为

N\Delta(L_0+1)+(J+1)L_0.

5.2 异常与高度不稳定的贡献

坏比例条件的指示函数不超过 $\beta^{-1}$ 乘异常比例与不稳定比例之和。

固定事件 $i$ ，集合 $C_{i,h}$ 随 $h$ 增加，每个非异常主列最多在 $A$ 个 $Y_{i,h}$ 出现。式 (Entry-rank) 给出不稳定比例总和至多 $AH_M$ 。

固定高度 $h$ ，集合 $C_{i,h}$ 随 $i$ 增加，每个主列最多在 $B$ 个异常集出现，故异常比例总和至多 $BH_M$ 。

合并两类，坏高度总数不超过

NQ+(J+1)(L_0+\beta^{-1}BH_M).

另一方面它严格大于 $\delta N(J+1)$ 。若

J+1\ge\frac{2Q}{\delta},

则 $NQ$ 可吸收到左侧的一半，得到

N<\frac2\delta(L_0+\beta^{-1}BH_M). \tag{Chain-length}

5.3 较大的高度参数在哪里消失

代入

M=\lceil D_{\mathrm m}\rceil,\quad \beta=1/10,\quad \delta=\delta_*,\quad A\le C d_{\max}R_{\mathrm{ht}},\quad B\le C d_{\max}.

H 先将 $J_*$ 选得足够大，以满足上面的吸收条件。最终链长界因而为

N\le C_{\delta_*}d_{\max}\log(2D_{\mathrm m}). \tag{Short-chain}

$R_{\mathrm{ht}}$ 只影响需要取多大的 $J_*$ ，不再出现在最终链长中。这是不能把粗略的全部模式高度数直接作为行数成本的原因。

6. 同一链层的模式行具有普通 Bessel 界

给每个事件赋予以它为终点的最长链长度。存在连线的两个事件具有不同层数，所以同一层中两个重叠事件没有相同或相邻的模式。同一块同一区间上的不同事件本来就是不同最小 PRE 分量，也没有跨分量的边。

因此沿一条路径，同层事件的模式标签集两两不交，其总大小至多 $D_*$ 。H Lemma 8.7 的振荡部分进一步给出：两个重叠事件间任意模式对，在较小区间上的归一化内积绝对值至多

D_*^{-200}. \tag{Mode-pair}

这一分析小量来自源 PRE 不相邻性、允许的整数平移和截断 Fourier 尾部，是此处明确使用的第二项几何前提。

6.1 从小内积直接证明投影的联合界

令 $P_e$ 为事件 $e$ 的模式张成上的局部正交投影。用对偶性，只需估计这些值域中任意函数 $f_e$ 的合成和。写

f_e=\mathbf1_{J_e}\sum_{m\in E_e}\beta_{e,m}\psi_m, \qquad b_e=\left(\sum_m|\beta_{e,m}|^2\right)^{1/2}.

私有权重下界给出

|J_e|b_e^2\le D_*^2\|f_e\|_2^2.

若两个区间不交，内积为零；若相交，由式 (Mode-pair) 及每组至多 $D_*$ 个模式，

|\langle f_e,f_f\rangle| \le D_*^{-199}|J_e\cap J_f|\,b_eb_f.

沿路径最多有 $D_*$ 个同层非空事件。故

\begin{aligned} \sum_{e\ne f}|\langle f_e,f_f\rangle| &\le D_*^{-199}\int_R \left(\sum_{e:y\in J_e}b_e\right)^2\,\mathrm{d}y\\ &\le D_*^{-198}\sum_e|J_e|b_e^2 \le D_*^{-196}\sum_e\|f_e\|_2^2. \end{aligned}

加上对角项，得到一个绝对的合成界；由对偶性，这些局部模式投影具有绝对的普通联合 Bessel 常数。

6.2 加回块余数与链层

共有十个块余数类，每类链层数满足式 (Short-chain)。将各层的平方和相加，固定组的全部事件行具有平方 Bessel 常数

C d_{\max}\log(2D_{\mathrm m})\le G_0.

这是前篇 D Lemma 6.3 所需的联合行前提，确实由所选事件结构得到，而不只是每行单独为正交投影。

7. 冻结行定理处理随块变化的函数

事件行的模式输出区间为 $J_e$ ，主端点是包含它的深度 $u_b$ 区间。模式列表在该端点已可用，保留区间又在本块后续步骤中实际使用，因此前篇冻结行定理的条件成立。

于是

\sum_{G,b,J,E}\|P_{E,J}\widetilde Z_{G,b}\|_2^2 \le G_0|R|. \tag{Projection-energy}

这里跨组求和保持同一个位置、搜索分支与颜色。各块的冻结函数来自各自的 $F_{u_b}$ 。这个求和已由变化函数行定理处理，不要求不同块的模式系数彼此相同。固定不变的是模式标签、展开资料与相关算子结构。

8. 正交投影与精确系数部分和的区别

令

T_{E,J} =\mathbf1_J\sum_{m\in E}\alpha_m\psi_m

为冻结模式展开在 $E$ 中的精确系数部分和。一般情况下，它不等于 $P_{E,J}\widetilde Z_{G,b}$ ，因为不同模式只近似正交。

补集中的每个模式与 $E$ 中每个模式满足式 (Mode-pair)。若 $v$ 为 $E$ 张成内归一化 $L^2(J)$ 范数为一的函数，私有方向给出其系数 $\ell^1$ 范数至多 $D_*^{3/2}$ 。冻结函数的外部系数绝对值之和至多 $D_*$ ，所以

|\langle \widetilde Z_{G,b}-T_{E,J},v\rangle_{2,J}| \le D_*^{-200}D_*D_*^{3/2} \le D_*^{-190}.

这里 $\langle\cdot,\cdot\rangle_{2,J}$ 用归一化测度。因此

\|P_{E,J}\widetilde Z_{G,b}-T_{E,J}\|_{2,J} \le D_*^{-190}. \tag{Subtotal-error}

把链层数上界记为

N_{\mathrm{lev}}\le C d_{\max}\log(2D_{\mathrm m}).

固定一个模十余数类、一层及路径点 $y$ ，每个包含该点的事件至少占用一个永久模式标签。同组同层的这些标签不交，不同组的永久标签又已区分；统一预算包含所有相关组。因此事件数至多为 $D_*$ ，从而

\sum_e|J_e|\le10N_{\mathrm{lev}}D_*|R|.

式 (Subtotal-error) 的普通 $L^2$ 平方误差至多为 $|J_e|D_*^{-380}$ ，所以全部误差平方和至多

10N_{\mathrm{lev}}D_*^{-379}|R|.

由 $d_{\max}\le C_qk^C$ 、 $\log D_{\mathrm m}\le C_qk^C$ 和 $D_*\ge\mathrm e^k$ ，提高起始精度后，这项至多为 $|R|$ 。最后逐项使用

\|T_{E,J}\|_2^2 \le2\|P_{E,J}\widetilde Z_{G,b}\|_2^2 +2\|T_{E,J}-P_{E,J}\widetilde Z_{G,b}\|_2^2,

与式 (Projection-energy) 合并，得到全部精确 $T_{E,J}$ 的平方范数和界。

9. 非核心部分的平方能量

同一 $J$ 上，不同最小 PRE 分量的标签互不相交，并满足同样的跨模式小内积。第 6.1 节的系数计算因此也适用于这些精确部分和，得到其合成和的平方范数由各自平方范数和控制。

定义 $V_{l,G,b}$ 为 $\widetilde Z_{l,G,b}$ 的全部非核心模式精确部分和，包括私有坐标；在无所需输出或使用依据的分支设为零。对同层 $J$ 的不交区间及全部 $G,b$ 求和，得到 D 式 (6.12)：

\sum_{G,b}\|V_{l,G,b}\|_2^2\le G_0|R|. \tag{Side-energy}

整个证明对固定但任意的备选偏移成立。后续可先平均物理逼近误差，再选择一个合适偏移；这个统一平方能量界仍然保留。证明也没有要求同一个模式在不同块中的冻结系数相等。

原文范围与下一步

D pp.49–50：冻结列表、PRE/CURRENT 分类、事件行及非核心精确部分和，式 (6.12)。
H §§8.4–8.5，pp.67–70：两个图、好坏高度、核心分类、进入次序求和与坏高度链。
H Lemma 8.7、Proposition 8.9，pp.70–73：振荡小内积、事件分层、联合 Bessel 与精确系数部分和。

本篇只将源异常块/高度计数及振荡小内积作为前提，不把它们归因于普通正交性。下一段 D pp.50–52 要选择偏移、同时控制滚动变化与非核心部分的路径平方和，再取得核心代表的数量与大小条件。那些后续步骤仍需要分别核对。