第三单元（续）：冻结模式行为什么只付主列函数的代价

本篇展开 D §6.3、Lemma 6.3，原文 pp.47–49。模式函数族可能比主列函数族大得多。关键是在读取不同冻结深度的函数之前，先把全部模式行组成一个普通 Bessel 算子；随后复合主投影，使最终伴随落回整个主端点区间。

本篇使用 H Lemma 8.1 的首次匹配展开、指定模式行的普通联合 Bessel 界、可用主端点空间分离，以及 H Compression。它们的准确作用在下文分别列出。模式行的 Bessel 界如何由频率图构造得到，还须继续核对 D §6.4 及 H 的相应几何论证。

1. 三个深度与两种列函数规模

固定晚精度 $k$ 、一个搜索分支、一个位置和颜色。仍用

\log D_{\mathrm m}\le C_qk^C,\qquad G_0=\exp\bigl(C_q(1+\log(2k))^C\bigr)

控制主列函数族与允许的主算子代价。

另有独立的附加模式空间及常数 $D_*$ ，其中

\log D_*\le C_q(1+k+P)^C.

它控制模式数、系数、相对有理频率高度和私有权重。这里 $P$ 后续可以按 $\exp(\alpha k^\theta)$ 增长，所以不能把 $\log D_*$ 当成 $\log D_{\mathrm m}$ 的同阶量。

按 H 的选择，分析块长度 $K$ 是一个正的二进整数，满足

K\le C_q(1+k+P)^{C_5}.

将深度分为 $[b,b+K)$ ，定义

u_b=b-4K,\qquad v_b=b-2K,\qquad t_b=b+K.

当前使用深度满足 $b\le s<t_b$ 。在 $u_b$ 冻结主输出，在 $v_b$ 的共同区间上比较模式，再用于更晚的当前深度。

原函数列自己的确定分块不要求与这些分析块对齐。若 $u_b$ 在当前局部化根之前，冻结输出规定为零。

2. 首次匹配后哪些资料必须固定

D p.48 引用 H Lemma 8.1（pp.65–66）。对每个主列 $\Phi=(\phi_\Phi,\sqrt{\epsilon_\Phi}\,e_\Phi)$ ，在其首次匹配区间 $I_0$ 上，源结论给出一个有限的永久标记展开。对每个位置与组固定一个备选偏移 $\rho$ ，所有首次匹配分支和分析块共用这个偏移。对应模式为

\psi_m(y)= \left( \zeta^\rho(y)\mathrm e(\kappa_l p^\rho(y)) \mathrm e(\lambda_my^2+\gamma_my), \sqrt{\epsilon_m}\,e_m \right). \tag{Mode}

这里 $\kappa=(-1,3,-3,1)$ ， $l$ 是当前位置； $\zeta^\rho,p^\rho$ 为 H 所定义的截断与相位函数。本篇只用截断的有界性、下述展开精度及一致的模式标签。

对应的标量系数 $a_{\Phi,m}$ 在首次匹配后固定。一个主列的所有模式具有同一个 $\lambda_m$ ，且

|\lambda_m||I_0|^2,\quad \sum_m|a_{\Phi,m}|,\quad \#\{m\} \le D_1,\qquad \log D_1\le\operatorname{poly}(P,k).

它们的相对线性频率具有源结论规定的有理高度上界。

这些标签、私有方向和系数在相关后代上保留，不在新的冻结时间重新采样。某个主列在一次冻结时系数为零，也不删除它已经可用的模式。不同首次匹配分支可以使用不同的私有标签。

3. 一个跨分析块不变的有界线性映射

H Lemma 8.1 不只给每个主列一个近似，还给每个固定组 $G$ 一个与分析块无关的逐点线性映射

\mathcal R_G:\mathcal H_{\mathrm{main}}\to\mathcal H_{\mathrm{mode}}.

作为函数上的乘法型映射，它在 $L^2$ 中也有统一有界范数，并保持空间支撑。

其明确构造说明为什么不同块可以共用一个算子。令

q_\Phi(y)= \sum_m a_{\Phi,m}(\psi_m)_{\mathrm{phys}}(y) -(\zeta^\rho(y))^2\phi_\Phi(y).

首次匹配展开保证 $|q_\Phi|\le\delta_c$ 于相关子树； $q_\Phi$ 及该次首次匹配的模式坐标在相应子树之外设为零。以下求和只取 $y$ 所在路径上已匹配的标签，其中 $\delta_c$ 在主列函数常数确定后选得足够小。

对任意附加主空间向量函数 $F$ ，定义映射的物理分量为

(\mathcal R_GF)_{\mathrm{phys}} =(\zeta^\rho)^2F_{\mathrm{phys}} +\sum_{\Phi\text{ 已匹配}} \frac{F_\Phi}{\sqrt{\epsilon_\Phi}}q_\Phi.

属于主列 $\Phi$ 的模式私有分量定义为

(\mathcal R_GF)_m =\sqrt{\epsilon_m}\,a_{\Phi,m} \frac{F_\Phi}{\sqrt{\epsilon_\Phi}},

在相应首次匹配之前设为零。

3.1 逐点范数为什么有统一上界

主指标的路径数和私有权重倒数受 $D_{\mathrm m}$ 控制。对物理修正项作 Cauchy–Schwarz，

\left|\sum_\Phi\frac{F_\Phi}{\sqrt{\epsilon_\Phi}}q_\Phi\right| \le \left(\sum_\Phi|F_\Phi|^2\right)^{1/2} \left(\sum_\Phi\frac{|q_\Phi|^2}{\epsilon_\Phi}\right)^{1/2} \le \delta_cD_{\mathrm m}^{C}\|F\|.

先选 $\delta_c$ 使 $\delta_cD_{\mathrm m}^C\le1$ ，即可控制这部分。

再选择正私有权重，使对每个主列

\sum_{m\text{ 属于 }\Phi}\epsilon_m|a_{\Phi,m}|^2 \le\epsilon_\Phi.

例如在非空模式族中，可根据该族的有限个数及共同系数上界选择同一个足够小的正权重。模式标签区分不同主列，因此其私有输出平方和不超过 $\sum_\Phi|F_\Phi|^2$ 。相应逆权重仍可由 $D_*$ 控制，因为模式数、系数及主权重倒数的对数都有规定的多项式上界。

结合 $|\zeta^\rho|\le1$ ，得到 $\|\mathcal R_G(y)\|_{\mathrm{op}}\le C$ ，对组和备选偏移一致。因此

\|\mathcal R_GF\|_{L^2}\le C\|F\|_{L^2}. \tag{Lift-bound}

3.2 它对冻结主输出的作用是精确的

对该组已匹配的外层球投影输出，在一个合法端点区间 $U$ 上若有

Z_G=\sum_\Phi\beta_\Phi\Phi

，系数 $\beta_\Phi$ 为常数，则代入刚才的定义，物理修正恰好补上各 $q_\Phi$ ，私有坐标恰好给出各模式系数。所以

\mathcal R_GZ_G=\sum_{\Phi,m}\beta_\Phi a_{\Phi,m}\psi_m

是精确等式。其系数在整个 $U$ 上仍为常数。

在分析块 $b$ 中，冻结模式输出为

\widetilde Z_{G,b}=\mathcal R_G Z_{G,u_b}.

不同块中的 $\beta_\Phi$ 可以不同；同一个 $\mathcal R_G$ 、模式列表与展开系数保持不变。这是普通联合算子估计能在各冻结时间同时使用的原因。

4. 冻结模式行的完整条件

对应 D Lemma 6.3，p.48。

对固定组 $G$ ，取有限个模式投影 $P_e$ 。每个 $P_e$ 是 $L^2(J_e;\mathcal H_{\mathrm{mode}})$ 到其可用模式限制的常系数张成上的正交投影；在 $R$ 上通过输入限制到 $J_e$ 、输出零延拓实现。

要求对任意共同模式函数 $H$ ，该组全部行满足

\sum_{e\text{ 属于 }G}\|P_eH\|_2^2 \le G_0\|H\|_2^2. \tag{Mode-Bessel}

每一行单独为范数至多一的正交投影，并不能推出这个联合界；它是本命题明确要求先由源模式构造建立的前提。

设

J_e\subseteq U_e,

其中 $U_e$ 为主端点区间，具有组 $G$ 的后代实际使用，并且对外层主投影所用每个非零范围都合法。该行的模式标签在 $U_e$ 已可用。

在 $U_e$ 上，基本 $B$ 为

B_{U_e}=\sum_{\tau=1}^{h_0}\varepsilon_\tau Q^\tau_{U_e}F_{s(U_e)},\qquad h_0\le2.

每个非零组成部分含它指定的基础主投影 $Q^\tau_{U_e}$ 。内部有序积 $\mathcal B_{U_e}$ 是搜索分支规定的、与组无关的主投影平均及补算子组合，长度为 $O(\log L)$ 。外层正投影平均记为 $L_{G,U_e}$ 。

结论为

\sum_{G,e} \|P_e\mathcal R_G L_{G,U_e} \mathcal B_{U_e} B_{U_e}\|_2^2 \le G_0|R|. \tag{Frozen-bound}

$G_0$ 可在既定形式内放大。端点深度可不同、不必为组的当前使用深度；多个行可以共用一个 $U_e$ 。估计对预先固定的备选偏移一致。

5. 先在一个组内建立普通联合算子界

由式 (Mode-Bessel) 和同一个固定映射的式 (Lift-bound)，

\sum_{e\text{ 属于 }G}\|P_e\mathcal R_GF\|_2^2 \le C G_0\|F\|_2^2.

各行只依赖 $J_e$ ，因此也只依赖包含它的决策区间 $U_e$ 。

先对该组全部端点行选择同一个外层投影平均编号，使每个 $U_e$ 上取到的投影来自同一套继承族，再插入这个单独外层主投影。H Compression 的普通算子结论适用，代价为主常数 $D_{\mathrm m}$ 的对数多项式。再以归一化平均恢复外层正投影平均。对固定组得到一个行算子 $A_G$ ，仍具有 $G_0$ 形式的普通平方范数界。

一个单独行的伴随次序为

L_{G,U_e}\mathcal R_G^*P_e. \tag{First-adjoint}

其值域落在整个 $U_e$ 上的主组投影范围，而不是只在较小的模式输出区间 $J_e$ 上。

6. 跨组的联合界使用主端点空间分离

对任意各组行测试向量 $w_G$ ，式 (First-adjoint) 说明 $A_G^*w_G$ 是合法主端点范围中有限个列函数的组合。它们满足前篇明确列出的 H 端点空间分离不等式，因此

\left\|\sum_GA_G^*w_G\right\|_2^2 \le C\sum_G\|A_G^*w_G\|_2^2 \le G_0\sum_G\|w_G\|^2.

由对偶性，所有组与模式行共同组成一个普通联合 Bessel 算子。

这个步骤使用的是主端点 $U_e$ 的完整范围。即使输出仅在 $J_e$ 上观察，外层投影伴随会回到整个 $U_e$ ；它恰好仍属于空间分离结论允许的对象。

7. 再插入内部有序积与基础投影

现在全部组的行已经具有普通联合界，再在决策区间 $U_e$ 上使用 H Compression，插入共同内部有序积与一个固定基础组成部分 $Q^\tau_{U_e}$ 。

展开补算子时保持源次序。内部共有平均中的每个投影选择，以及基础组成部分 $\tau$ ，在跨全部组的行族中兼容共用；每个深度都取该同一继承族的对应投影。完成这种固定选择后，才恢复正平均与带符号和。每个固定展开项得到普通行 $T_e$ ，满足

\sum_{G,e}\|T_eH\|_2^2\le G_0\|H\|_2^2 \quad\text{对每个 }H\in L^2(R;\mathcal H_{\mathrm{main}}). \tag{Ordinary-frozen-rows}

这里尚未将 $H$ 换成每行不同的 $F_{s(U_e)}$ 。

每个非零基本组成部分最靠输入侧都有 $Q^\tau_{U_e}$ 。因此 $T_e^*$ 的最后作用是这个基础主投影，其值域是整个 $U_e$ 上的主列函数常系数组合。即使其余全部因子恰为恒等算子，这个基础投影仍在。

所以 $T_e$ 的输入支撑为 $U_e$ ，观察分割也可以取深度 $s(U_e)$ 的完整分割。按这些深度递增分轮，同一轮全部行读取同一个 $F_{s(U_e)}$ 。完整分割逐层细化，读取下标非递减。

D Lemma 4.4 于是可以将式 (Ordinary-frozen-rows) 转为变化函数估计。恢复有限个带符号基础组成部分、补算子展开和归一化正平均，得到式 (Frozen-bound)。

8. 为什么最终使用的是 $D_{\mathrm m}$ ，不是 $D_*$

模式投影 $P_e$ 和映射 $\mathcal R_G$ 在形成普通联合 Bessel 算子时已经处理。它们的相关条件最终体现为式 (Mode-Bessel) 及统一映射范数。

应用变化函数行估计时，负责其列函数表示的是 $T_e^*$ 的最终值域。该值域由输入侧基础主投影 $Q^\tau_{U_e}$ 决定，因此使用主列函数常数 $D_{\mathrm m}$ 。

如果忽略复合的顺序，只看到中间有模式投影便用 $D_*$ 作为变化函数常数，会引入可能含 $P$ 固定幂的额外损失。相反，如果完全删掉基础投影，也不能未经检查仍声称最终伴随在主列函数范围中。本命题只对已经规定的基本 $B$ 组成部分使用这项结论。

模式行自身的联合 Bessel 前提仍须在后续实际所选模式族上验证；把它列为前提不意味着任意大模式族都自动满足同一个 $G_0$ 。

9. 冻结深度决定读取与观察

若行来自分析块 $[b,b+K)$ ，它的主端点为深度 $u_b=b-4K$ 的区间。因此

s(U_e)=u_b

同时是最后变化函数行估计的使用下标与观察深度。后来模式输出区间 $J_e$ 更细，实际形式使用深度也更晚，都不改变这个归属。

归一化函数列在整个 $u_b$ 区间上已经有大小控制，不需要把当前细区间范数反向放大到祖先区间。因此冻结落后 $4K$ 层本身不在这里产生 $2^{4K}$ 大小因子。实际输出从深度 $u_b$ 变化到当前深度的误差，由前篇的跨深度变差估计另行控制。

原文范围与下一步

D pp.47–48，式 (6.9)：主列函数与模式列函数的不同规模，分析块的三个深度，首次匹配后的固定模式。
H Lemma 8.1，pp.65–66：首次匹配展开与块无关的逐点有界线性映射，本篇写出其构造与范数用途。
D pp.48–49，Lemma 6.3、式 (6.10)–(6.11)：先建立普通联合界，再读取不同端点函数，最终伴随落回主范围。
H Lemma 8.8，pp.71–72：对应的固定函数复合结论；D 在此加入变化端点函数的处理。

下一段 D §6.4 必须说明实际选择的模式投影怎样具有式 (Mode-Bessel)，怎样从这些投影转为模式系数的精确部分和，以及如何选择偏移并得到非核心部分的平方能量。当前命题没有代替那些频率图与计数条件。