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多重遍历平均 / 原文精读
局部化与跨深度控制 D §6.4 · (6.16)–(6.17)
第三单元（续）：核心代表的继承与首个超阈值区间
本篇展开 D §6.4 末段，原文 pp.51–52，式 (6.16)–(6.17)。后面的核心计数需要两种不同资料：沿路径出现的不同代表有频率间隔；给定大小区间内，所有组的代表总数受控。它们分别来自继承代表的构造和模式投影的平方能量。
原稿在这里使用 H Lemmas 8.4、8.10–8.11 及 Proposition 8.12。本篇在已列出的图稳定与振荡小内积前提下，展开其集合论、近正交及停止求和部分；不重新证明 H 的有理高度稳定定理。
1. 好模式共享哪个前驱分量
沿用前篇的 PRE 分量 E h ( m ) \mathsf E_h(m) E h ( m ) F h ( m ) \mathsf F_h(m) F h ( m ) π \pi π h h h h − Δ h-\Delta h − Δ
若两个好模式在同一个 F h \mathsf F_h F h F F F ∣ F ∣ / 1.1 |F|/1.1 ∣ F ∣/1.1
( 2 / 1.1 − 1 ) ∣ F ∣ > ∣ F ∣ / 10.
(2/1.1-1)|F|>|F|/10.
( 2/1.1 − 1 ) ∣ F ∣ > ∣ F ∣/10. CURRENT 分量中不符合非异常及高度稳定条件的主列少于或等于十分之一，所以交中存在一个符合条件的主列。取它在两个前驱中的见证模式。高度稳定使二者有一条 PRE 边，因此两个 PRE 前驱实际相同。
这证明：一个 CURRENT 分量中的所有好模式有同一个高度 h − Δ h-\Delta h − Δ
2. 上部高度为什么选择完整核心部分和
令
H u p = { h ∈ Z : ⌈ 4 δ ∗ J ∗ ⌉ ≤ h ≤ J ∗ } .
H_{\mathrm{up}}=\{h\in\mathbb Z:
\lceil4\delta_*J_*\rceil\le h\le J_*\}.
H up = { h ∈ Z : ⌈ 4 δ ∗ J ∗ ⌉ ≤ h ≤ J ∗ } . 若两个核心模式属于同一个最小 CURRENT 分量，它们一共至多有 2 δ ∗ ( J ∗ + 1 ) 2\delta_*(J_*+1) 2 δ ∗ ( J ∗ + 1 ) J ∗ J_* J ∗ h 0 h_0 h 0
它们在所有高度的 CURRENT 分量相同，第 1 节遂使它们在 h 0 − Δ h_0-\Delta h 0 − Δ H u p H_{\mathrm{up}} H up
因此上部好高度的选择会保留或删去一个最小 CURRENT 分量中的完整核心部分和，不会只抽取其中一部分核心模式。每个核心模式在 H u p H_{\mathrm{up}} H up 2 δ ∗ 2\delta_* 2 δ ∗
∣ H u p ∣ ≥ ( 1 − 4 δ ∗ ) J ∗
|H_{\mathrm{up}}|\ge(1-4\delta_*)J_*
∣ H up ∣ ≥ ( 1 − 4 δ ∗ ) J ∗ 及其全范围坏高度数界得到。
3. 成功分量与两项类型
固定位置、组、上部高度 h h h F = F h F=\mathsf F_h F = F h E = E h − Δ E=\mathsf E_{h-\Delta} E = E h − Δ
类型由两个整数组成：
( ⌊ log 1.1 ∣ π ( E ) ∣ ⌋ , ⌊ log 1.1 ∣ E ∣ ⌋ ) . (Type)
\left(
\lfloor\log_{1.1}|\pi(E)|\rfloor,\
\lfloor\log_{1.1}|E|\rfloor
\right).
\tag{Type}
( ⌊ log 1.1 ∣ π ( E ) ∣ ⌋ , ⌊ log 1.1 ∣ E ∣ ⌋ ) . ( Type ) 第一项数主列，第二项数模式。下面分别使用它们，不能只保留第一项。
代表选择的是 E E E
4. 同类型的相连前驱必须包含
对应 H Lemma 8.10，pp.74–75。
固定同一个高度、位置、组和类型。若较早成功分量的一模式与较后成功分量的一模式相同或在后来的 CURRENT 图中相邻，就称两者相连。
旧边和模式保留，因此较早 CURRENT 分量包含在较后 CURRENT 分量中。记后者的主列集合为 F F F
∣ π ( E l a t e ) ∣ > ∣ F ∣ / 1.1.
|\pi(E_{\mathrm{late}})|>|F|/1.1.
∣ π ( E late ) ∣ > ∣ F ∣/1.1. 两前驱的第一类型相同，故
∣ π ( E e a r l y ) ∣ > ∣ π ( E l a t e ) ∣ / 1.1 > ∣ F ∣ / 1.1 2 .
|\pi(E_{\mathrm{early}})|
>|\pi(E_{\mathrm{late}})|/1.1
>|F|/1.1^2.
∣ π ( E early ) ∣ > ∣ π ( E late ) ∣/1.1 > ∣ F ∣/1. 1 2 . 两者都在 F F F
( 1 / 1.1 + 1 / 1.1 2 − 1 ) ∣ F ∣ > ∣ F ∣ / 10.
(1/1.1+1/1.1^2-1)|F|>|F|/10.
( 1/1.1 + 1/1. 1 2 − 1 ) ∣ F ∣ > ∣ F ∣/10. 交中存在后块非异常且高度稳定的主列。它在两个前驱中的模式位于同一个后 CURRENT 分量，因而在后 PRE 图高度 h − Δ h-\Delta h − Δ
E e a r l y ⊆ E l a t e . (Predecessor-inclusion)
E_{\mathrm{early}}\subseteq E_{\mathrm{late}}.
\tag{Predecessor-inclusion}
E early ⊆ E late . ( Predecessor-inclusion ) 这一步是集合包含，不能仅由两个分量大小接近推出；直接 PRE 边来自高度稳定前提。
5. 一致选择沿后代继承的代表
按分析块顺序处理同类型的前驱。若当前前驱包含路径上较早的一个成功前驱，就继承其代表；否则按固定的模式标签次序任选当前前驱中的第一个标签。
要核对多个较早前驱被当前前驱包含时会不会要求两个不同代表。由第二类型相同，每个较早前驱的模式数都大于当前前驱模式数的 1 / 1.1 1/1.1 1/1.1
它们位于同一条路径上，共有模式使二者相连。式 (Predecessor-inclusion) 说明它们按时间嵌套，归纳上已经继承同一个代表。故当前继承规则一致。
若两个可比较实际使用区间上的代表不同，其对应分量间不可能有任何相同或后 CURRENT 相邻的模式，否则式 (Predecessor-inclusion) 将迫使后者继承前者代表。
6. 从图不相邻得到同一点的频率间隔
设两个不同代表为 a , a ′ a,a' a , a ′ I , I ′ I,I' I , I ′ x ∗ ∈ I ∩ I ′ x_*\in I\cap I' x ∗ ∈ I ∩ I ′ I ′ ⊆ I I'\subseteq I I ′ ⊆ I b ′ b' b ′ I I I
n ∈ Z dim ϑ , ∥ n ∥ ∞ ≤ E h ,
n\in\mathbb Z^{\dim\vartheta},\quad\|n\|_\infty\le E_h,
n ∈ Z d i m ϑ , ∥ n ∥ ∞ ≤ E h , CURRENT 不相邻给出在后 PRE 区间 J ′ J' J ′ Ξ / r t b ′ \Xi/r_{t_{b'}} Ξ/ r t b ′
源斜率振幅界也适用于较早模式在后比较区间上的限制，给出
osc J ′ ( ω a − ω a ′ ) ≤ 2 C D ∗ 2 − 4 K r v b ′ ≤ Ξ 2 r t b ′ .
\operatorname{osc}_{J'}(\omega_a-\omega_{a'})
\le\frac{2C D_*2^{-4K}}{r_{v_{b'}}}
\le\frac{\Xi}{2r_{t_{b'}}}.
osc J ′ ( ω a − ω a ′ ) ≤ r v b ′ 2 C D ∗ 2 − 4 K ≤ 2 r t b ′ Ξ . 最后一步由源块长度 K K K x ∗ x_* x ∗ ∣ I ′ ∣ ≥ r t b ′ |I'|\ge r_{t_{b'}} ∣ I ′ ∣ ≥ r t b ′
∣ ω a ( x ∗ ) − ω a ′ ( x ∗ ) + n ⋅ ϑ / L h ∣ > Ξ 2 max { ∣ I ∣ − 1 , ∣ I ′ ∣ − 1 } . (Representative-gap)
|\omega_a(x_*)-\omega_{a'}(x_*)+n\cdot\vartheta/L_h|
>\frac{\Xi}{2}\max\{|I|^{-1},|I'|^{-1}\}.
\tag{Representative-gap}
∣ ω a ( x ∗ ) − ω a ′ ( x ∗ ) + n ⋅ ϑ / L h ∣ > 2 Ξ max { ∣ I ∣ − 1 , ∣ I ′ ∣ − 1 } . ( Representative-gap ) 这就是 D 式 (6.16)。
比较的是永久标签的同一个函数值 ω a ( x ∗ ) \omega_a(x_*) ω a ( x ∗ )
7. 核心大小为何带一个很小的系数项
对应 D p.52 的定义及 H 式 (26)。
对一个实际使用区间 I I I F F F D ⊆ F D\subseteq F D ⊆ F A D A_D A D D D D
σ F 2 = ∑ D ⊆ F ( ∥ A D ∥ 2 , I + D ∗ − 30 ∑ m ∈ D m 为核心 ∣ α m ∣ ) 2 . (Component-size)
\sigma_F^2
=\sum_{D\subseteq F}
\left(
\|A_D\|_{2,I}
+D_*^{-30}\sum_{\substack{m\in D\\m\text{ 为核心}}}|\alpha_m|
\right)^2.
\tag{Component-size}
σ F 2 = D ⊆ F ∑ ∥ A D ∥ 2 , I + D ∗ − 30 m ∈ D m 为核心 ∑ ∣ α m ∣ 2 . ( Component-size ) 系数项很小，但不能删去：它为后续统一线性化及 Fourier 截断误差保留控制，同时不以整个系数绝对值和替代核心的真实 L 2 L^2 L 2
令 P F , I P_{F,I} P F , I F F F I I I V F V_F V F
σ F 2 ≤ C ( ∥ P F , I Z ~ G , b ∥ 2 , I 2 + ∥ V F ∥ 2 , I 2 + D ∗ − 50 ) , (Size-comparison)
\sigma_F^2
\le C\left(
\|P_{F,I}\widetilde Z_{G,b}\|_{2,I}^2
+\|V_F\|_{2,I}^2+D_*^{-50}\right),
\tag{Size-comparison}
σ F 2 ≤ C ( ∥ P F , I Z G , b ∥ 2 , I 2 + ∥ V F ∥ 2 , I 2 + D ∗ − 50 ) , ( Size-comparison ) 以及在同一实际区间上
∑ F 成功 ∥ V F ∥ 2 , I 2 ≤ C ∥ V G , b ∥ 2 , I 2 . (Side-subtotals)
\sum_{F\text{ 成功}}\|V_F\|_{2,I}^2
\le C\|V_{G,b}\|_{2,I}^2.
\tag{Side-subtotals}
F 成功 ∑ ∥ V F ∥ 2 , I 2 ≤ C ∥ V G , b ∥ 2 , I 2 . ( Side-subtotals )
8. 大小比较的近正交计算
不同最小 CURRENT 分量在实际区间 I I I f D f_D f D
∣ ∥ ∑ D f D ∥ 2 , I 2 − ∑ D ∥ f D ∥ 2 , I 2 ∣ ≤ ε ∗ ∑ D ∥ f D ∥ 2 , I 2
\left|\left\|\sum_Df_D\right\|_{2,I}^2
-\sum_D\|f_D\|_{2,I}^2\right|
\le\varepsilon_*\sum_D\|f_D\|_{2,I}^2
D ∑ f D 2 , I 2 − D ∑ ∥ f D ∥ 2 , I 2 ≤ ε ∗ D ∑ ∥ f D ∥ 2 , I 2 ，其中 ε ∗ \varepsilon_* ε ∗ D ∗ D_* D ∗
令 T F T_F T F F F F
A F = ∑ D ⊆ F A D = T F − V F .
A_F=\sum_{D\subseteq F}A_D=T_F-V_F.
A F = D ⊆ F ∑ A D = T F − V F . 近正交性控制 ∑ D ∥ A D ∥ 2 , I 2 ≤ C ∥ A F ∥ 2 , I 2 \sum_D\|A_D\|_{2,I}^2\le C\|A_F\|_{2,I}^2 ∑ D ∥ A D ∥ 2 , I 2 ≤ C ∥ A F ∥ 2 , I 2
C D ∗ − 60 ( ∑ m ∣ α m ∣ ) 2 ≤ C D ∗ − 58 .
C D_*^{-60}\left(\sum_m|\alpha_m|\right)^2
\le C D_*^{-58}.
C D ∗ − 60 ( m ∑ ∣ α m ∣ ) 2 ≤ C D ∗ − 58 . 另一方面，F F F F F F
∥ P F , I Z ~ G , b − T F ∥ 2 , I ≤ D ∗ − 190 .
\|P_{F,I}\widetilde Z_{G,b}-T_F\|_{2,I}
\le D_*^{-190}.
∥ P F , I Z G , b − T F ∥ 2 , I ≤ D ∗ − 190 . 将这些估计与 ∥ T F − V F ∥ 2 ≤ 2 ∥ T F ∥ 2 + 2 ∥ V F ∥ 2 \|T_F-V_F\|^2\le2\|T_F\|^2+2\|V_F\|^2 ∥ T F − V F ∥ 2 ≤ 2∥ T F ∥ 2 + 2∥ V F ∥ 2 D ∗ − 50 D_*^{-50} D ∗ − 50
把全部非核心模式按高度 h h h
9. 每个代表第一次超过阈值的区间
固定一个位置、上部高度、类型及二进阈值
D ∗ − 1 ≤ σ ≤ D ∗ 2 .
D_*^{-1}\le\sigma\le D_*^2.
D ∗ − 1 ≤ σ ≤ D ∗ 2 . 对每个组与代表，在每条空间分支上取首个满足 σ F ≥ σ \sigma_F\ge\sigma σ F ≥ σ
先固定一个组 G G G
每行输出支撑为当前实际区间 I I I u b u_b u b
∑ t o p s ∥ P F , I Z ~ G , b ∥ 2 2 ≤ G 0 ∣ R ∣ . (Top-projections)
\sum_{\mathrm{tops}}
\|P_{F,I}\widetilde Z_{G,b}\|_2^2
\le G_0|R|.
\tag{Top-projections}
tops ∑ ∥ P F , I Z G , b ∥ 2 2 ≤ G 0 ∣ R ∣. ( Top-projections ) 即使多个顶部共用一个冻结祖先，也不能将主输入投影先限制到较小顶部；这里使用的是祖先上的完整主投影。
10. 顶部长度的能量界
对式 (Size-comparison) 乘 ∣ I ∣ |I| ∣ I ∣ K K K
∑ t o p s ∣ I ∣ ∥ V F ∥ 2 , I 2 ≤ C K ∑ G , b ∥ V G , b ∥ 2 2 ≤ K G 0 ∣ R ∣ .
\sum_{\mathrm{tops}}|I|\|V_F\|_{2,I}^2
\le CK\sum_{G,b}\|V_{G,b}\|_2^2
\le KG_0|R|.
tops ∑ ∣ I ∣∥ V F ∥ 2 , I 2 ≤ C K G , b ∑ ∥ V G , b ∥ 2 2 ≤ K G 0 ∣ R ∣. 与式 (Top-projections) 合并，得到
σ 2 ∑ t o p s ∣ I ∣ ≤ C ( 1 + K ) G 0 ∣ R ∣ + C D ∗ − 50 ∑ t o p s ∣ I ∣ .
\sigma^2\sum_{\mathrm{tops}}|I|
\le C(1+K)G_0|R|+C D_*^{-50}\sum_{\mathrm{tops}}|I|.
σ 2 tops ∑ ∣ I ∣ ≤ C ( 1 + K ) G 0 ∣ R ∣ + C D ∗ − 50 tops ∑ ∣ I ∣. 由于 σ 2 ≥ D ∗ − 2 \sigma^2\ge D_*^{-2} σ 2 ≥ D ∗ − 2
σ 2 ∑ t o p s ∣ I ∣ ≤ C ( 1 + K ) G 0 ∣ R ∣ . (Top-length)
\sigma^2\sum_{\mathrm{tops}}|I|
\le C(1+K)G_0|R|.
\tag{Top-length}
σ 2 tops ∑ ∣ I ∣ ≤ C ( 1 + K ) G 0 ∣ R ∣. ( Top-length ) 这一步直接吸收同一个顶部长度和，不需对顶部的总数作粗略估计。
11. 从顶部长度到路径上的代表数
设
N σ ( y ) = ∑ t o p s 1 I ( y ) ,
N_\sigma(y)=\sum_{\mathrm{tops}}\mathbf1_I(y),
N σ ( y ) = tops ∑ 1 I ( y ) , 其中事件按组与代表计数。若不同顶部事件恰好使用同一个区间，仍分别计入。式 (Top-length) 给出
∫ R N σ ( y ) d y ≤ C ( 1 + K ) G 0 σ − 2 ∣ R ∣ .
\int_RN_\sigma(y)\,\mathrm{d}y
\le C(1+K)G_0\sigma^{-2}|R|.
∫ R N σ ( y ) d y ≤ C ( 1 + K ) G 0 σ − 2 ∣ R ∣. 高度、类型及阈值的选择数是 P , k P,k P , k J ∗ J_* J ∗ O ( log D ∗ ) O(\log D_*) O ( log D ∗ )
对每种选择，把沿路径的顶部计数首次超过一个阈值的原实际区间切出。用与前篇相同的有限首次超限论证，阈值可选为
P C σ − 2 ,
P^C\sigma^{-2},
P C σ − 2 , 并把全部选择产生的停止区间总长控制为任意预定的小固定比例。这里使用 K ≤ poly ( P , k ) K\le\operatorname{poly}(P,k) K ≤ poly ( P , k ) G 0 = P o ( 1 ) G_0=P^{o(1)} G 0 = P o ( 1 )
在本次尝试保留的路径上，若一个代表在大小区间 [ σ , 2 σ ) [\sigma,2\sigma) [ σ , 2 σ ) σ \sigma σ N σ ( y ) N_\sigma(y) N σ ( y )
记 A σ G \mathcal A_\sigma^G A σ G
∑ G ∣ A σ G ∣ ≤ min { D ∗ , P C σ − 2 } . (Representative-count)
\sum_G|\mathcal A_\sigma^G|
\le\min\{D_*,P^C\sigma^{-2}\}.
\tag{Representative-count}
G ∑ ∣ A σ G ∣ ≤ min { D ∗ , P C σ − 2 } . ( Representative-count ) 第一项来自全模式路径预算。若 σ < D ∗ − 1 \sigma<D_*^{-1} σ < D ∗ − 1 P C σ − 2 ≥ D ∗ P^C\sigma^{-2}\ge D_* P C σ − 2 ≥ D ∗
12. 核心大小的局部上界与后续用途
前篇保留路径上已经有
∥ Z ~ G , b ∥ 2 , I + ∥ V G , b ∥ 2 , I ≤ P C .
\|\widetilde Z_{G,b}\|_{2,I}+\|V_{G,b}\|_{2,I}\le P^C.
∥ Z G , b ∥ 2 , I + ∥ V G , b ∥ 2 , I ≤ P C . P F , I P_{F,I} P F , I I I I
σ F ≤ P C
\sigma_F\le P^C
σ F ≤ P C 于全部保留使用。
后续核心计数所用的资料现在包括：
上部好高度选择完整的最小 CURRENT 核心部分和；
固定位置、高度、类型下代表沿后代继承，并具有式 (Representative-gap) 的全部允许整数平移间隔；
相同大小区间中，跨全部组的实际代表数满足式 (Representative-count)；
核心大小及完整非核心局部大小由 P C P^C P C
这些都是对同一实际使用区间和永久标签的陈述。当前还没有计算至少三个核心位置的四线性求和；D §6.6 将把以上条件送入 H 的分离频率计数，而两非核心位置的情况则需要另行处理匹配差分和。
原文范围
D pp.51–52，式 (6.16)：固定类型的继承代表及点态频率间隔。
D p.52：完整核心大小、同区间大小比较、冻结顶部行能量，式 (6.17)。
H Lemmas 8.4、8.10–8.11、Proposition 8.12，pp.69、74–77：源好高度与前驱结构，代表选择，近正交比较与顶部停止。