第三单元（续）：三个非核心位置与两个非核心位置为何分开处理

本篇讨论 D §6.5 的开头，原文 pp.52–54，特别是式 (6.18)。三个具有路径平方和控制的函数可以直接用 Hölder 求和；恰好两个时，还要移走互补位置的投影，利用完整 $Y$ 的小相关，并保留一项带 $P^{-1}$ 系数的匹配差分和。

投影转移的远差分控制来自 H Lemma 6.9 的闭合与标签分离结论。本篇证明其有限代数恒等式，解释源假设分别用于哪里，并展开从已证变差界得到的冻结误差。固定短块比较及最后的 $P^{-1/2}$ 收益留待下一篇。

1. 三个路径平方和足以控制 $p$ 次幂

设三个非核心位置的局部大小分别为 $a_{s,G},b_{s,G},c_{s,G}$ 。取

a_s=\left(\sum_Ga_{s,G}^2\right)^{1/2}, \quad b_s=\left(\sum_Gb_{s,G}^2\right)^{1/2}, \quad c_s=\left(\sum_Gc_{s,G}^2\right)^{1/2}.

这些量沿保留路径的平方和均被 $P^C$ 控制。第四个位置只需已有的局部 $P^C$ 上界。

局部绝对估计和组指标中的 Cauchy–Schwarz 给出

\left|\sum_G\mathcal H_I(\text{这四个位置})\right| \le P^C a_sb_sc_s.

例如先用第四个局部上界，再用

\sum_Ga_{s,G}b_{s,G}c_{s,G} \le\left(\sum_Ga_{s,G}^2\right)^{1/2} \left(\sum_Gb_{s,G}^2c_{s,G}^2\right)^{1/2} \le a_sb_sc_s.

原转移中出现的共享大小按共享量计一次，不在每个组上重复复制；相应两份组指标 Cauchy–Schwarz作同样处理。

固定 $2/3<p<1$ 。先对深度用三因子 Hölder，再用 $3p>2$ ，得到

\begin{aligned} \sum_s(a_sb_sc_s)^p &\le \left(\sum_sa_s^{3p}\right)^{1/3} \left(\sum_sb_s^{3p}\right)^{1/3} \left(\sum_sc_s^{3p}\right)^{1/3}\\ &\le \left(\sum_sa_s^2\right)^{p/2} \left(\sum_sb_s^2\right)^{p/2} \left(\sum_sc_s^2\right)^{p/2} \le P^C. \end{aligned} \tag{Three-side-power}

第二步就是有限数列的 $\ell^{3p}$ 范数不超过其 $\ell^2$ 范数。

在路径点上积分，将各原区间的常数值转成长度加权和，得到总 $p$ 次幂成本 $P^C|R|$ 。对一个原区间的整体组和绝对值 $x$ ，

\min\{\eta,x\}\le\eta^{1-p}x^p \quad(x\ge0),

于是获得一个正幂 $\eta^{1-p}$ 。这里先在原区间内把规定的组和保留为整体，再取 $p$ 次幂；没有把每个组的 $p$ 次幂全部单独相加。

2. 恰好两个非核心位置时先恢复完整互补函数

设非核心位置为 $a,b$ ，互补位置为 $c,d$ 。由物理分解

Z=A+S+E,

在两个互补位置把核心部分 $A$ 换为完整当前输出 $Z$ 。所产生的校正项含第三个非核心位置，或者含已经估计过的物理误差。前者由式 (Three-side-power) 处理，后者的总绝对误差为 $O(\mathrm e^{-k}|R|)$ 。

因此只需处理两个固定完整非核心向量 $S_a,S_b$ ，配上两个完整当前互补输出。基本 $U$ 位置没有核心部分，始终属于非核心位置，故此时互补位置都是基本 $B$ 类型。

H Lemma 6.9 按源秩序从较大的外层正滤子开始移除互补位置的滤子，并把对应辅助投影平均转到位置 $a$ 。这里的辅助闭合以已经固定的整个 $S_a$ 为测试基底。补算子先展开为恒等算子减正平均，每个所得有序积保持原次序。

3. 一步转移的全部有限代数

对应 D 式 (6.18)，p.53；H 式 (15)，p.51。

在一次从位置 $c$ 转到位置 $a$ 的步骤中，令 $Q_{l,p}$ 、 $1\le p\le P$ ，为位置 $l=a,c$ 的嵌套正交投影。置

Q_{l,0}=0,\quad Q_{l,P+1}=1, \quad A_l^p=Q_{l,p}-Q_{l,p-1}, \quad Q_l=\frac1P\sum_{p=1}^{P}Q_{l,p}.

同一位置的 $A_l^p$ 是两两正交的差分投影，且

\sum_{p=1}^{P+1}A_l^p=1.

由 $Q_{l,u}=\sum_{p\le u}A_l^p$ ，可将平均写成

Q_l=\sum_{p=1}^{P+1}\frac{P-p+1}{P}A_l^p. \tag{Average-weights}

末端 $p=P+1$ 的权重为零，但对应差分仍须保留，才能使全部差分和为恒等算子。

令 $x_c$ 为删去当前外层滤子后保留的完整内部有序积作用于 $B_c$ ，令 $x_d$ 为另一互补位置剩下的整个函数。令 $x_a$ 为已经转移的辅助投影积作用于 $S_a$ ， $x_b=S_b$ 。

将式 (Average-weights) 及两个恒等差分和代入四线性形式，得到

\begin{aligned} &\mathcal H_I(x_a,x_b,Q_cx_c,x_d) -\mathcal H_I(Q_ax_a,x_b,x_c,x_d)\\ &\quad=\sum_{p,q'=1}^{P+1} \frac{p-q'}P \mathcal H_I(A_a^px_a,x_b,A_c^{q'}x_c,x_d). \end{aligned} \tag{Transfer}

函数按位置 $a,b,c,d$ 的原顺序放回形式。系数是两个平均权重之差：

\frac{P-q'+1}{P}-\frac{P-p+1}{P} =\frac{p-q'}P.

这个恒等式包括全部末端差分，不需要各位置之间的投影交换。

4. 为什么远差分可丢弃而近差分必须保留整体

源闭合与标签分离结论使 $|p-q'|>2$ 的全部远差分，在每个区间及组中的总绝对大小不超过

D_{\mathrm{base}}^{-C_3} \|S_a\|_{2,I}\|S_b\|_{2,I}

，其中 $C_3$ 可按需要先指定，源数值精度随后选择。全部主与辅助计数须先于对应的失配精度固定。

H Lemma 6.9 的两个方向使用不同条件：

$p>q'+2$ 时，较低的互补差分由正投影源列组成；其标签在较高辅助残差所需的两个使用集合内，且秩较低。因此用以整个 $S_a$ 为基底的辅助闭合测试。
$q'>p+2$ 时，从另一互补位置 $x_d$ 的较低秩源列出发。近标签由相邻集合闭合进入较高互补残差的使用集合；远标签则与辅助正投影源分离。前者用主闭合测试，后者用源失配估计。

移除滤子的顺序保证另一个互补源秩严格较低。相差大于二提供所需的一层邻接余量。源测试中的分母抵消被展开的低秩列系数上界；保留的完整函数不作全面系数展开。这些是 H 转移结论的结构前提，并非仅由式 (Transfer) 的代数推出。

对剩余项固定

\ell=q'-p\in\{-2,-1,0,1,2\}.

其系数为 $-\ell/P$ ，并保留

\sum_{\substack{1\le p\le P+1\\1\le p+\ell\le P+1}} \mathcal H_I(A_a^px_a,x_b,A_c^{p+\ell}x_c,x_d) \tag{Matched-bands}

这个完整匹配和。零偏移项系数为零。不能先把式 (Matched-bands) 中每个 $p$ 的绝对值分开，再假装没有支付差分数目。

5. 转移完成的主项可使用完整 $Y$ 的小相关

经过源规定的有限步骤，主项为

\mathcal H_I(D_{a,s}S_a,S_b,B_c,B_d),

其中 $D_{a,s}$ 为长度 $O(\log L)$ 的辅助正投影平均积，因而在当前区间上压缩。

写

B_c=Y_c-U_c,\qquad B_d=Y_d-U_d.

含 $U_c$ 或 $U_d$ 的校正有第三个基本非核心位置，已有路径平方和控制。剩余的 $Y_c,Y_d$ 是 Proposition 5.6 的完整互补对，其形式范数不超过 $\eta$ 。因此主项的绝对值被

\eta\,\|S_a\|_{2,I}\|S_b\|_{2,I}

控制，有限有序积与搜索分支的成本可吸收进所列多项式。对组与深度用 Cauchy–Schwarz及路径平方和，得到总绝对成本

\eta P^C|R|.

这里恢复到完整 $Y$ 后才使用小相关，没有将这个性质赋给原来的两个单独核心部分。

数值转移误差的全部求和及其精度选择是所引源转移结论的一部分；原文要求在主与辅助计数确定后选精度，使这些误差总计 $O(\mathrm e^{-k}|R|)$ 。

6. 近匹配和的互补位置在块起点冻结

对固定转移步骤、搜索分支及偏移 $\ell$ ，记

C_{G,s}^{q'}=A_c^{q'}x_{c,s}, \qquad D_{G,s}=x_{d,s}.

在以下冻结大小与误差估计中，将全部合法匹配坐标合成一个 Hilbert 向量

\boldsymbol C_{G,s} =(C_{G,s}^{p+\ell})_{p:\,1\le p,p+\ell\le P+1}, \qquad \|\boldsymbol C_{G,s}\|_{2,I}^2 =\sum_{p:\,\text{合法}}\|C_{G,s}^{p+\ell}\|_{2,I}^2.

固定 $\ell$ 时， $p\mapsto p+\ell$ 没有重复。由同一端点差分投影的正交性，这个当前向量的范数由 $x_{c,s}$ 的范数控制。

这些向量和另一互补函数在块起点 $b$ 冻结为 $\boldsymbol C_{G,b}$ 、 $D_{G,b}$ 。这里的冻结时间是 $b$ ，与模式展开的 $u_b=b-4K$ 不同。

D Corollary 6.2 已为这些准确的源有序积提供跨深度变差界。在球滤子转移中，非末端差分是两个允许组端点之差，末端差分是共享内部函数减正组端点；在累积滤子转移中，外球已移除，全部端点均共享。另一互补位置也可能保留一个外球或已经共享。

共享项按其实际使用区间的并统计一次。对 $[b,s]$ 的 $O(K)$ 边重叠，以及 $P+1$ 个差分求和，只增加此处允许的 $P$ 固定幂成本。所有实际需要的端点都在完整祖先区间上评估，并有后代实际使用依据。

7. 冻结误差为什么成为第三份路径平方和

本节将 $C_{G,s}^{p+\ell}$ 重记为 $C_s^p$ ，仍只取 $1\le p,p+\ell\le P+1$ 的合法指标； $\boldsymbol C_s$ 是这些匹配坐标组成的向量。逐坐标把当前互补对换成冻结对，双线性差为

[C_s^p,D_s]-[C_b^p,D_b] =[C_s^p-C_b^p,D_s]+[C_b^p,D_s-D_b].

在第一项的完整匹配和中，局部四个 $L^2$ 函数的绝对估计及 $p$ 上的 Cauchy–Schwarz 给出

\begin{aligned} &\left|\sum_p \mathcal H_I(A_a^px_a,S_b,C_s^p-C_b^p,D_s)\right|\\ &\quad\le C\|S_b\|_{2,I}\|D_s\|_{2,I} \left(\sum_p\|A_a^px_a\|_{2,I}^2\right)^{1/2} \|\boldsymbol C_s-\boldsymbol C_b\|_{2,I}\\ &\quad\le C\|S_a\|_{2,I}\|S_b\|_{2,I}\|D_s\|_{2,I} \|\boldsymbol C_s-\boldsymbol C_b\|_{2,I}. \end{aligned}

最后一步使用辅助差分的正交性和已转移有序积的压缩性。这样控制的是整个匹配和，没有遗漏差分数目。共同投影选择固定后先作此计算，再恢复其归一化平均。

第一项多出的路径平方大小是完整向量差。第二项同样先在 $p$ 上 Cauchy–Schwarz，而 $\boldsymbol C_b$ 可能较大，先写

\boldsymbol C_b=\boldsymbol C_s+(\boldsymbol C_b-\boldsymbol C_s).

于是它成为一个有三份路径平方和的项，以及一个有四份路径平方和的项；其他当前互补函数的局部大小由其正交差分和及压缩性控制。

这些平方和已经由第 6 节和前篇的首次超限构造控制。因此冻结误差可用式 (Three-side-power) 求得总 $p$ 次幂成本 $P^C|R|$ 。

原文还排除不适合短块比较的过大冻结互补大小。其中差分一侧的大小始终指完整 $\boldsymbol C$ 向量的范数，另一互补位置则用 $D$ 的范数。若当前大小至多 $C_{\mathrm{fr}}\ge1$ ，而冻结大小大于 $2C_{\mathrm{fr}}$ ，则其差大于 $C_{\mathrm{fr}}$ ，所以

\mathbf1_{\{\text{冻结大小}>2C_{\mathrm{fr}}\}} \le C_{\mathrm{fr}}^{-2} \|\text{冻结值}-\text{当前值}\|^2.

该标志的平方根因此是另一份可由变差控制的路径平方大小。被大值标志排除的近差分贡献计入这个幂次误差和，原求和区间并不因此立即停止。只有这些非负成本的累计预算首次超过阈值，才把相应原区间和后代移交新尝试。

源冻结与恢复构造将所需整块祖先区间和边界叶一并纳入测试，额外传播成本至多为 $K$ 。在未被上述大值标志排除的近差分使用上，两个冻结互补函数在短块比较所需的整个祖先区间及边界叶上具有统一局部大小。这个整区间条件不能只用当前最细使用点上的大小代替。

8. 剩余近差分的目标

至此已经处理：

三个或四个非核心位置的 $p$ 次幂求和；
恰好两个非核心位置转移完成后的主项；
远差分、物理误差及冻结、过大互补大小、恢复误差。

真正留下的是固定 $\ell$ 下式 (Matched-bands) 的完整匹配和，其系数为 $O(P^{-1})$ 。这个小系数尚未自动完成证明，因为求和包含 $P+1$ 个差分，并跨很多组和块。

下一篇将为两个非核心位置构造固定的 Hilbert 向量函数族，使两边的总平方能量分别为

P G_0|R|,\qquad G_0|R|.

再通过整个祖先区间上的最大值与稀疏分解，把短块根的大小乘积和控制为 $P^{1/2}G_0|R|$ 。只有完成这一步，才由 $P^{-1}$ 留下 $P^{-1/2}$ 的收益。

原文范围

D p.52：三份路径平方和的 $p$ 次幂估计。
D p.53，式 (6.18)：投影平均权重、完整转移恒等式及固定近偏移匹配和。
D pp.53–54：恢复完整 $Y$ 、互补端点在 $b$ 冻结及第三份平方和误差。
H Lemma 6.9，pp.50–52：作为明确前提的秩序、闭合与标签分离控制。