第三单元（续）：短块比较与整祖先区间最大值

本篇展开 D §6.5.2，原文 pp.55–57，式 (6.20)–(6.22)。前篇已经构造两侧固定 Hilbert 向量函数族，其总平方能量分别为 $P G_0|R|$ 与 $G_0|R|$ 。下面保留差分匹配，通过随机化、短块比较和整祖先区间上的最大值，把近差分成本降为 $P^{-1/2}$ 。

短块比较本身是 H Lemma 7.2 的源结论。本篇完整写出它的函数类别与量词，并展开随机化及最大值求和；不把仅有 $L^2$ 控制的随机化函数直接代入固定 $L^q$ 的局部定理。

1. 尚未使用统一界的固定函数常数

固定 $2<q<3$ ，令

M_qg=(M(|g|^q))^{1/q},

其中 $M$ 为非中心 Hardy–Littlewood 最大算子。

对每个整数 $N\ge1$ ，令 $C_N(q)$ 为最小常数，使对任意二进格、至多 $N$ 个连续深度中的有限原区间族、允许的核，以及四个跨整个区间族固定的紧支撑标量 $L^q$ 函数，都有

\sum_{I\in\mathcal A}|I|\, |\mathcal H_I(g_0,g_1,g_2,g_3)| \le C_N(q)\int_{\mathbb R}\prod_{j=0}^{3}M_qg_j. \tag{Fixed-local}

它在尚未证明深度无关时已经有限。局部绝对估计用四个 $L^q$ 范数，因为 $4/q<2$ 。同一深度的区间不交，而且对 $x\in I$ ， $M_qg_j(x)\ge\|g_j\|_{q,I}$ 。故每层的和被右侧积分乘一个固定常数控制，至多 $N$ 层给出

C_N(q)\le CN.

此处还未使用 $\sup_NC_N(q)<\infty$ 。

在 D 的应用中，取 $N=d+1$ ， $d$ 为原始树最大深度。重新分配局部尝试只改变原区间的归属，不增加新的形式求和区间。祖先区间与边界补全叶即使更深，也只用于几何和叶范数条件，不计入这 $N$ 个原求和深度。

2. 所用短块比较的完整范围

一块内取有限树片段，根为 $Q$ ，内部求和区间来自原 $N$ 层范围中的至多 $K$ 个连续深度，叶在该块内或块后再下一层。

给定支撑于 $Q$ 的四个确定 Hilbert 向量函数 $z_j$ ，在每个叶 $L$ 上满足

\|z_j\|_{2,L}\le s_j.

其标量随机化 $z_j^\sigma$ 对每个有限实数 $a\ge1$ 满足

\left(\mathbb E_\sigma|z_j^\sigma(y)|^a\right)^{1/a} \le C_a\|z_j(y)\| \quad\text{几乎处处}, \tag{Moment}

其中 $C_a$ 不依赖树与 $K$ 。四个位置的随机化可以共享部分符号，以保留所需匹配。

D 式 (6.21) 引用的短块结论是：对内部区间的任意子集，以及任意可测复系数 $|\varepsilon_I(\sigma)|\le1$ ，

\begin{aligned} \mathbb E_\sigma\left| \sum_I|I|\varepsilon_I(\sigma) \mathcal H_I(z_0^\sigma,z_1^\sigma,z_2^\sigma,z_3^\sigma) \right| \le{}&(1+C_N(q))C_q(1+\log(K+2))^C\\ &\cdot(K+2)^{C_{19}(q-2)}|Q|\prod_js_j. \end{aligned} \tag{Short-block}

$C_{19}$ 为绝对次数。绝对值包住整个区间和，再对随机参数取期望；不是把随机化后每个区间的绝对值先单独相加。

3. 随机化如何同时选择位置并保留全部匹配差分

固定组、块与辅助选择 $\nu$ ，以及近偏移 $\ell$ 。记第一侧的坐标为 $W_{i,p}$ ，第二侧为 $V_j$ ，冻结互补差分 $C^{p+\ell}$ 以 $p$ 重编号为 $C_p$ ，另一个冻结互补函数为 $D$ 。

取彼此独立的 Rademacher 符号族

(\epsilon_i)_i,\qquad(\eta_j)_j,\qquad(\zeta_p)_p.

定义标量随机化为各物理分量的和：

g_a^\sigma=\sum_{i,p}\epsilon_i\zeta_p(W_{i,p})_{\mathrm{phys}}, \quad g_b^\sigma=\sum_j\eta_j(V_j)_{\mathrm{phys}},

g_c^\sigma=\sum_p\zeta_p(C_p)_{\mathrm{phys}}, \quad g_d^\sigma=D_{\mathrm{phys}}.

若当前区间选用位置 $i_0,j_0$ ，将 $\epsilon_{i_0}\eta_{j_0}$ 放入该区间的系数。符号独立性给出

\mathbb E[\epsilon_{i_0}\eta_{j_0} \epsilon_i\eta_j\zeta_p\zeta_{p'}] =\mathbf1_{i=i_0}\mathbf1_{j=j_0}\mathbf1_{p=p'}.

四线性和有限性因而使

\mathbb E_\sigma\bigl[ \epsilon_{i_0}\eta_{j_0} \mathcal H_I(g_a^\sigma,g_b^\sigma,g_c^\sigma,g_d^\sigma)\bigr] =\sum_{p\text{ 合法}} \mathcal H_I(W_{i_0,p},V_{j_0},C_p,D). \tag{Matching}

右侧正是固定偏移的整个匹配和。没有用随机化只选一个 $p$ 。

3.1 每个原区间绝对值的线性化

记式 (Matching) 右侧为 $H_I^{\mathrm{match}}$ 。取确定的相位

\tau_I= \begin{cases} \overline{H_I^{\mathrm{match}}}/|H_I^{\mathrm{match}}|, &H_I^{\mathrm{match}}\ne0,\\ 0,&H_I^{\mathrm{match}}=0. \end{cases}

于是长度加权绝对和不超过

\mathbb E_\sigma\left| \sum_I|I|\tau_I\epsilon_{i_0(I)}\eta_{j_0(I)} \mathcal H_I(g_a^\sigma,g_b^\sigma,g_c^\sigma,g_d^\sigma) \right|.

这恰好可以使用式 (Short-block) 允许的可测系数。转移系数 $-\ell/P$ 在固定 $\ell$ 下提出，绝对值至多 $2/P$ 。

3.2 矩条件没有维数损失

单符号和由 Khintchine 不等式控制。对双符号和，先对一族符号用 Khintchine，再对另一族用同一不等式与 Minkowski；对于 $a\ge2$ ，得到

\left(\mathbb E\left| \sum_{i,p}\epsilon_i\zeta_p w_{i,p}\right|^a\right)^{1/a} \le C_a\left(\sum_{i,p}|w_{i,p}|^2\right)^{1/2}.

$1\le a<2$ 时可由 $L^2$ 矩控制。物理分量平方和不超过附加 Hilbert 向量的平方和，所以式 (Moment) 对四个随机化均成立。位置间共享 $\zeta_p$ 不妨碍这项逐位置矩估计。

4. 为什么没有把随机化 $L^2$ 当成 $L^q$

固定符号后，上述函数是固定的标量 $L^2$ 函数。仅凭这一点，不能使用式 (Fixed-local)，因为 $q>2$ 。

H 的短块证明包含专门的连续形式重建步骤。固定辅助随机及快速参数后，其构造出的 burst 函数是有限个有界区间指示函数的有限标量线性组合。因此这些被送入式 (Fixed-local) 的函数确为紧支撑 $L^q$ 函数，而且跨原求和区间固定。随后才积分回辅助参数。

该步骤的截断与混合最大算子计算给出的块幂为

(K+2)^{11(q-2)/(q-1)} \le(K+2)^{11(q-2)};

其余块成本为对数。这里引用的是 H Lemma 7.2 的完整比较结论，不声称已经在本篇重证其 burst 构造。式 (Moment) 和叶范数条件是 D 接入这个结论所实际核对的条件。

5. 固定函数族的整祖先区间最大值

对一个完整索引 $\nu$ ，令 $\Omega_\nu$ 为其原使用区间的并。其极大使用区间两两不交，从它们到各实际使用之间的全部二进祖先区间组成一个有限的完整祖先集合，以下称 hull。

固定已经存好的向量函数，定义

m_\nu^{\mathrm{full}}(x) =\sup_{\substack{I\text{ 在完整 hull 中}\\x\in I}} \frac1{|I|}\int_I\|\operatorname{stack}_\nu(y)\|^2\,\mathrm{d}y,

在 hull 外设为零。每个候选区间都按整个区间使用，包括其后来被切出的后代部分。

设某侧总能量为

\sum_\nu\|\operatorname{stack}_\nu\|_2^2=E|R|,

且

\sum_\nu|\Omega_\nu|\le M_0|R|, \qquad M_0\le\exp(C_qk^C).

这个支持计数来自原活跃组/区间次数与辅助选择数，已经包括全部组和块。若 $E=0$ ，相应项为零；以下设 $E>0$ 。

6. 完整最大值的弱界与截断积分

对每个 $\nu$ ，取平均值超过 $T$ 的极大 hull 区间。它们互不相交，每个满足

T|I|<\int_I\|\operatorname{stack}_\nu\|^2.

于是求和得到

\sum_\nu|\{m_\nu^{\mathrm{full}}>T\}| \le\min\{M_0|R|,CE|R|/T\}. \tag{Weak-max}

对固定 $C_1\ge1$ ，层蛋糕积分给出

\begin{aligned} \sum_\nu\int_R\min(m_\nu^{\mathrm{full}},C_1E) &=\int_0^{C_1E}\sum_\nu|\{m_\nu^{\mathrm{full}}>t\}|\,\mathrm{d}t\\ &\le CE(1+\log(2+C_1M_0))|R|. \end{aligned} \tag{Truncated-max}

若分界 $CE/M_0$ 小于积分上限，就在该处分开常数段与 $1/t$ 段；否则常数段本身至多为 $CE|R|$ 。因为截断高度正比于 $E$ ，最终对数中不出现额外的能量大小。

7. 两次首次超限得到共享的点态上界

先对每个函数族成员的平均值，在第一次超过 $C_1E$ 的 hull 区间停止。式 (Weak-max) 说明全部这种区间之并的长度至多为 $C|R|/C_1$ 。

关键是停止发生在将该区间的新值加入保留最大值之前。保留的祖先平均仍在整个祖先区间上定义；进入停止区间的点，只保留此前祖先的贡献。因而所有点上的保留最大值都不超过

\min(m_\nu^{\mathrm{full}},C_1E).

再对全部 $\nu$ 的保留祖先上确界之和，进行一次共同的首次超限停止。式 (Truncated-max) 与 Markov 不等式表明，可以把共同阈值取为

CE(1+\log(2+C_1M_0))

乘一个足够大的固定数，使新停止长度又小于预先规定的固定比例。

在某个共同区间即将超限时，先移去该区间及以下的未来更新，再保留旧祖先值。故最终上界对所有点成立，也包括位于后来切格之内、但仍属于某个保留祖先区间的点。

对两侧分别使用前篇能量 $E_a\le PG_0$ 、 $E_b\le G_0$ ，再把 $\log(2+M_0)$ 纳入允许放大的 $G_0$ ，得到

\sum_\nu m_{a,\nu}(x)\le PG_0, \qquad \sum_\nu m_{b,\nu}(x)\le G_0. \tag{Retained-max}

所有潜在需要的块内祖先区间须在这些共同停止之前已经纳入候选集合。

8. 稀疏分解提供短块所需的叶大小

在每个保留 hull 中，从一个根 $Q$ 开始，遇到任一侧平方平均第一次超过根上相应平均的十六倍时停止。若某侧根平均为零，则该侧固定向量在 $Q$ 上为零，相关贡献为零。

对非零情况，每侧坏子区间总长至多为 $|Q|/16$ ，两侧并集至多为 $|Q|/8$ 。令

E_Q=Q\setminus\bigcup\{\text{这些停止子区间}\},

则 $|E_Q|\ge7|Q|/8$ 。对同一个 $\nu$ ，各稀疏根的余集 $E_Q$ 两两不交。

把每个树片段补上其已包含区间的直接子区间作为边界叶。子区间的非负平方平均至多为父区间的两倍。因此叶上的两侧平方平均至多为根平均的三十二倍，正好给式 (Short-block) 的叶 $L^2$ 条件。

两个冻结互补函数的大小则来自前篇去掉大值标志后的近差分使用，已经在整个祖先区间及边界叶上受控。补全叶只供应范数条件，没有增加新的形式求和项。

9. 为什么必须在整个祖先区间上保留最大值

记两侧在稀疏根上的大小为

a_Q^2=\frac1{|Q|}\int_Q\|\operatorname{stack}_{a,\nu}\|^2, \qquad b_Q^2=\frac1{|Q|}\int_Q\|\operatorname{stack}_{b,\nu}\|^2.

对每个 $x\in E_Q$ ，整个 $Q$ 仍属于两侧最大值的候选区间，所以

m_{a,\nu}(x)\ge a_Q^2,\qquad m_{b,\nu}(x)\ge b_Q^2.

即使 $x$ 在后来某个切格中，这句话也成立，因为只删除后代候选，未将保留祖先区间截去一块。

利用 $|E_Q|\ge7|Q|/8$ 和余集不交，

\begin{aligned} \sum_{\nu,Q}|Q|a_Qb_Q &\le C\int_R\sum_\nu\sqrt{m_{a,\nu}(x)m_{b,\nu}(x)}\,\mathrm{d}x\\ &\le C\int_R \left(\sum_\nu m_{a,\nu}(x)\right)^{1/2} \left(\sum_\nu m_{b,\nu}(x)\right)^{1/2}\,\mathrm{d}x\\ &\le P^{1/2}G_0|R|. \end{aligned} \tag{Root-size}

如果在切格以下把保留祖先值也设为零，第一行便没有依据。这正是原文 whole-hull 约定所保留的数学信息。

10. 与短块比较及 $P^{-1}$ 系数合并

对每个稀疏树片段，使用式 (Short-block) 与式 (Matching)。两个非核心位置的叶大小由 $a_Q,b_Q$ 控制；冻结互补位置具有统一叶大小。对全部 $\nu,Q$ 求和后，式 (Root-size) 给出 $P^{1/2}G_0|R|$ 。

每个固定近偏移的转移系数为 $O(P^{-1})$ 。有限近偏移、固定搜索分支与转移步骤的额外数目，以及短块的对数因子，纳入允许放大的 $G_0$ 。于是得到 D 式 (6.22)：

(1+C_N(q))C_q P^{-1/2}G_0 (K+2)^{C_{19}(q-2)}|R|. \tag{Near-bound}

它控制原区间贡献的绝对和，而每个区间内仍保留规定的固定偏移匹配差分和。

当前 $C_N(q)$ 仍带原树深度。D §7 必须再通过 H 固定函数证明允许的共同 $q$ 选择，取得 $\sup_NC_N(q)<\infty$ ，并吸收块幂成本。不能只凭式 (Near-bound) 就提前声称局部主定理的常数已经与深度无关。

原文范围与下一步

D p.55，式 (6.20)：固定标量 $L^q$ 常数及其有限深度的初始有限性。
D p.56，式 (6.21)：Hilbert 函数的矩条件、匹配随机化及源短块比较。
D pp.56–57：完整祖先最大值的弱界、两次首次超限、稀疏叶条件与根大小乘积。
D p.57，式 (6.22)：保留匹配和后得到的 $P^{-1/2}$ 收益。
H Lemma 7.2：仍作为明确输入的短块比较及其中将标量 $L^2$ 数据转入固定 $L^q$ 局部界的步骤。

下一段 D §6.6 处理至少三个核心位置。这里每组的完整元组计数 $N_s^G$ 要保留在幂内；原区间的最低值先取，再对组和配置使用次可加性，不能拆成单个元组后分别取幂。