第三单元（续）：核心元组的计数与振幅插值

本篇展开 D §6.6，原文 pp.57–58，式 (6.23)–(6.24)。对应的源论证为 H 的 2026-10-05 版 §9，尤其 Proposition 9.2（pp.87–88）与 Proposition 9.3（pp.89–90）。

前篇处理两个侧函数的位置。本篇处理至少三个核心位置：一个区间中可能出现很多代表元组，逐个元组取小于一的幂会丢掉计数的节省。因此先保留每组的完整计数，再在深度、组、振幅与频率之间依次求和。

H §§9.1–9.2 的标量核计算在这里作为输入。Lemma 9.1 的有限组合证明另见稀疏尺度上的有限计数。下文写明这些结果的陈述与适用条件，并完整展开 D 改变函数后需要核对的条件、由稀疏质量到幂计数的推导，以及后面的插值求和。

1. 固定哪些数据，计数什么

固定一条保留路径上的点 $x_*$ 、一组 $G$ 、一个上层高度、各位置的类型、频率参数 $(\mu,\nu,\Lambda)$ 与四个振幅区间 $\sigma_j$ 。这里

0<\mu\le1\le\nu,\qquad \Lambda\ge1

均取二进值；四个位置都是核心时令 $\Lambda=1$ 。

深度 $s$ 的路径区间记为 $I_s$ ，长度为 $r_s$ ，倒尺度记为 $R_s=r_s^{-1}$ 。代表标签 $a$ 对应的实数是

\gamma_a=\omega_a(x_*).

同一个标签在不同深度始终使用这个数值。

令 $N_s^G$ 为在上述固定数据下通过原文频率测试的核心代表标签元组数。一个元组在同一深度至多计一次。这里测试的是实际标量计算留下的元组，不能换成“所有频率大致相近的元组”。

核心位置 $j$ 的标签集合记为 $\mathcal A_j^G$ ，定义

M_j^G=|\mathcal A_j^G|.

若有一个侧位置 $l$ ，定义

M_l^G=\sigma_l^{-2} \sum_{s:\,G\text{ 在 }I_s\text{ 使用}} \|S_{l,G,s}\|_{2,I_s}^{\,2}, \qquad M'=\max_{0\le j\le3}M_j^G. \tag{Role-count}

归一化局部范数为

\|f\|_{2,I}^{\,2}=|I|^{-1}\int_I|f|^2.

没有非零计数的组可以省去。其余组满足 $M'\ge1$ ；侧位置有非零使用时，后面的 Fourier 窗口大小至少为 $\sigma_l$ ，Parseval 也给出这一结论。

2. 标量计算给出的量及其来源

2.1 共同高度、完整分量与误差

H §9.1 对一个核心元组抽取共同高度，取首次使全部核心位置成功的高度。失败记录只按位置分配，成功与失败条件都选取最小 CURRENT 分量中的完整核心部分和；这些分量中还可能含有侧模式。不能根据一个分量内部某个 Fourier 模式的大小重新剪切核心部分和。

设核心位置数为 $m_0\in\{3,4\}$ ，此前 $n$ 次失败中有 $n_j$ 次分配给位置 $j$ 。原文的核心大小 $\sigma_{F_j}$ 与环面函数大小 $a_j'$ 满足

a_j'\le C\sigma_{F_j}, \qquad \mathbb E(a_j')^2 \le C(2\delta_*)^{n_j}\sigma_{F_j}^2.

用确定上界把二阶矩升至 $m_0$ 阶矩，再用 Hölder，

\mathbb E\prod_j a_j' \le C^{m_0}(2\delta_*)^{n/m_0}\prod_j\sigma_{F_j}.

长度 $n$ 的失败位置记录最多有 $m_0^n$ 种，故只要固定的 $\delta_*$ 足够小，

\sum_{n\ge0}m_0^n(2\delta_*)^{n/m_0}<\infty.

这是失败记录没有再产生一个随深度增长的因子的原因。

标量近似、Fourier 尾部及被舍去的小量在取幂之前按绝对值估计，其总和为 $O(e^{-k}|R|)$ 。这一误差不会被改成 $p$ 次幂后重新累加。

2.2 频率测试的具体形状

沿用 H 的水平频率向量与高度尺度，记

\xi=\vartheta_{\rm freq}/L_{h-\Delta}, \qquad U_0=D_*^{250}.

这里 $\vartheta_{\rm freq}$ 是频率向量，与后文插值所用的小标量 $\vartheta$ 无关。实际保留的频率范围为

U_0^{-1}\le\mu\le1\le\nu,\Lambda\le C U_0.

本篇最后可以把这些有限范围扩大后求和。

四核心时令

Q=\sum_{j=0}^3\gamma_j,\qquad T=\sum_{j=0}^3j\gamma_j.

在完整有限平移范围中选择参考向量 $n,m$ ，使

q'=Q+n\cdot\xi,\qquad t'=T+m\cdot\xi

处于原文允许的中等频率范围。参考选择按一个固定规则进行，不依赖后来抽取的失败记录或分量选择。参数满足

\mu\asymp \min\left(1,\min_{0\le j\le3}\frac{|t'-jq'|}{R_s}\right), \qquad \nu\asymp\max\left(1,\frac{|q'|}{R_s},\frac{|t'|}{R_s}\right). \tag{Four-test}

三核心、侧位置为 $l$ 时，令

Q=\sum_{j\ne l}\gamma_j,\qquad T_l=\sum_{j\ne l}(j-l)\gamma_j.

选取允许的 $m$ ，以

\beta=r_s(T_l+m\cdot\xi),\qquad \mu\asymp\min(1,|\beta|),\qquad \nu\asymp\max(1,|\beta|) \tag{Three-test}

分组。过小的非零参数与没有中等频率参考的情况已经归入绝对误差。

侧函数使用当前区间上的实际 $S_{l,G,s}$ 。加入一个新抽取的平移截断并去掉其固定二次相位，得到 $S'$ ，且

\|S'\|_{2,I_s}\le\|S_{l,G,s}\|_{2,I_s}.

对应窗口大小为

b_\Lambda^2= \mathbb E_{\rho_l} \sum_{\substack{k'\in\mathbb Z:\\ |k'+r_s(Q+n\cdot\xi)|\le2\Lambda\\ \text{对某个允许的 }n}} |\widehat{S'}_{I_s}(k')|^2. \tag{Side-window}

平移向量 $n$ 在完整 Fourier 范围中取值；该窗口不随失败记录改变。同一格上测试不同元组时使用同一个新平移 $\rho_l$ 。侧位置的 $\sigma_l$ 是 $b_\Lambda$ 所属的二进振幅区间。

2.3 本篇使用的标量输入

H §9.2 的结论是：除去上述绝对误差后，固定数据的区间贡献由

C_L\mu\nu^{-L}\Lambda^{-L} \left(\prod_{j=0}^3\sigma_j\right)N_s^G \tag{Cell-core}

控制， $L$ 可取任意足够大的固定整数。

其中 $\mu$ 来自核的消失边缘， $\nu^{-L}$ 来自光滑核的远频率衰减；三核心的 $\Lambda^{-L}$ 来自侧函数 Fourier 窗口之间的配对衰减。四核心的配对使用环面上的四因子 $L^2$ 估计；三核心则使用其对偶形式与 Parseval。它们需要 H 构造中保留的完整频率平移范围、纯平移间隙及高度余量。式 (Cell-core) 在这里是准确指定的输入，不能只从普通的代表分离推出。

3. 有限稀疏计数引理的完整陈述

H Lemma 9.1（pp.81–87）使用如下有限数据。

有四个位置 $0,1,2,3$ ，其中三或四个为核心，集合为 $\mathcal J$ 。给定

M,L\ge1,\quad d\ge0,\quad B\ge1,\quad 0<\mu\le1\le\nu,

每个核心位置有有限实数标签集 $\mathcal A_i$ ， $|\mathcal A_i|\le M$ ，同一位置的标签到实数的对应为单射。给定 $\zeta\in\mathbb R^d$ 。

在有限多个不同整数 $s$ 上取

R_s=R_0\,2^s,\qquad E_s\subseteq\prod_{i\in\mathcal J}\mathcal A_i,\qquad N_s=|E_s|.

假设：

（1）两个不同核心位置的标签至多确定一个完整核心元组，而且这对标签出现的尺度数至多为 $L$ 。（2）若有侧位置 $l$ ，存在 $w_s\ge0$ ，满足 $\sum_s w_s\le M$ ，且深度 $s$ 中包含任一固定核心标签的元组数至多为 $w_s$ 。（3）同一核心位置的不同标签 $a,a'$ 分别在尺度 $s,t$ 出现时，对所有 $|n|_\infty\le Q$ 的整数向量，

|a-a'+n\cdot\zeta|>\Sigma\max(R_s,R_t). \tag{Separation}

（4）对每个三核心子集 $\mathcal T\subseteq\mathcal J$ ，设 $l'$ 为被排除的位置。每个尺度 $s$ 的元组都有某个整数向量 $|n|_\infty\le B$ ，使

\mu R_s\le \left|\sum_{i\in\mathcal T}(i-l')a_i+36n\cdot\zeta\right| \le\nu R_s. \tag{Annulus}

（5）每个有元组的尺度 $s$ 上，对所有 $|n|_\infty\le Q$ ，

|n\cdot\zeta|\notin [\mu R_s/1000,\,1000\nu R_s]. \tag{Pure-gap}

另要求

Q\ge C_{\rm res}(d+1)^2B,\qquad \Sigma\ge C_{\rm res}(d+1)^2\nu.

则对 $0<\delta\le1$ ，

\sum_{s:\,N_s\le\delta M^2}N_s \le C\ell L^{29}\delta^{1/2080}M^2, \quad \ell=1+\log_2\!\left(2+(d+1)^2\nu/\mu\right). \tag{Sparse-mass}

常数不依赖尺度数、标签数或具体实数频率。

下面使用这一结论，其四步路径与薄层覆盖证明已在上述扩展篇中展开。条件 (Annulus) 与 (Pure-gap) 是实质条件，不能由“两标签决定元组”代替。

4. D 改变函数后，哪些条件需要重新检查

4.1 两个核心标签决定其余标签

四核心时，若两元组共享位置 $i,j$ 的标签，剩余位置为 $a,b$ 。相减其 $Q,T$ 测试，未知差值满足一个近似的二元线性方程组，其系数矩阵为

\begin{pmatrix}1&1\\a&b\end{pmatrix}.

行列式为 $b-a$ ，绝对值属于 $\{1,2,3\}$ 。因此两个未知差值都落在一个由有限平移及 $O(\nu\max(R_s,R_t))$ 误差描述的范围。原分离条件的余量覆盖这些相减、除以整数及平移，迫使两个位置的标签分别相同。

三核心时，两个标签固定后，剩余标签由 $T_l$ 的一个方程确定；系数为非零整数 $j-l$ ，绝对值至多三，同样由分离余量得到唯一性。

这里分离尺度取 $\max(R_s,R_t)$ ，所以比较不同深度时仍然有效。每个完整元组能通过测试的尺度数，则由 H 的高度分组结论控制：

L_0\le P^C(1+\log(\nu/\mu))^C. \tag{Scale-count}

这一步使用频率环带测试，而非只使用标签唯一性。

4.2 核心与侧位置的配对计数

固定一个核心标签和一个尺度。若两个不同的三核心元组在式 (Side-window) 中的窗口重叠，其 $Q$ 频率在有限平移后相差 $O(\Lambda R_s)$ 。结合两个 $T_l$ 方程，再次得到行列式绝对值至多三的二元方程组。由于原构造的分离量远大于允许的 $\nu,\Lambda$ ，其余两标签必须相同。

因此不同元组的窗口不交。每个被计入的元组满足 $b_\Lambda\ge\sigma_l$ 。对同一个新平移先用 Parseval，再取期望，得到

\#\{\text{包含此核心标签的元组}\} \le \sigma_l^{-2}\|S_{l,G,s}\|_{2,I_s}^{\,2} =:w_s. \tag{Incidence}

对尺度求和正好给出 $\sum_s w_s=M_l^G$ 。

这一计算只能用当前格的实际侧函数。不同块中冻结的旧系数可以毫无关系，不能把它们当作同一个 Fourier 系数列使用。

4.3 频率间隙的继承

应用有限引理时，H 取

\zeta=\xi/36,\qquad M=M',\qquad L=L_0.

式 (Four-test) 与 (Three-test) 给出三核心子集的环带测试。为核对有限引理中两个数值条件，原文使用

\zeta=\frac{\xi}{36} =6^{\Delta-2}\frac{\vartheta_{\rm freq}}{L_h}, \qquad B_h'=D_*^5E_{h-\Delta},

Q_{\rm res}= \left\lfloor E_h/6^{\Delta-2}\right\rfloor, \qquad \Sigma=\Xi/2,\qquad \Xi=D_*^{1000}, \qquad B=C B_h'. \tag{Count-reserves}

这里 $Q_{\rm res}$ 对应有限引理的 $Q$ 。 $E_h,L_h$ 是原高度构造中的平移范围与分母尺度；上述等式使用 $L_h/L_{h-\Delta}=6^\Delta$ 。H 对高度参数 $A_0$ 的选择给出

Q_{\rm res}\ge C_{\rm res}(d+1)^2B.

又因为 $\nu\le C D_*^{250}$ ，水平维数受此前固定的界控制，且 $\Xi=D_*^{1000}$ ，源分离参数保证

\Sigma\ge C_{\rm res}(d+1)^2\nu.

有限的环带常数可以通过把 $\mu$ 减小、 $\nu$ 增大固定倍数吸收；上述余量仍成立。

纯平移间隙使用每个成功分量中至少一个非例外的主标签。代表标签本身可以是例外标签；需要的是同一成功分量内存在上述主标签。源有理高度界 $H$ 覆盖式 (Count-reserves) 中全部纯水平平移。对它们，原频率二分法给出

|n\cdot\zeta|\le T^{-1}/r_{v_b} \quad\text{或}\quad |n\cdot\zeta|\ge T/r_{t_b}.

测试格的倒尺度位于 $r_{v_b}^{-1}$ 与 $r_{t_b}^{-1}$ 之间；结合 $\mu\ge U_0^{-1}$ 、 $\nu\le CU_0$ ，源参数 $T$ 的选择使第一种情况严格小于 $\mu R_s/1000$ ，第二种严格大于 $1000\nu R_s$ 。这就验证了 (Pure-gap)。

这些具体数值关系是从 H 构造继承的前提。本篇核对了它们如何对应有限引理的每个条件，并未重新证明整个模式图与高度构造。

至此，D 新函数影响的部分是固定代表值、各位置计数及实际侧函数的平方大小；其余频率测试与间隙按 H 的构造保留。

5. 先得到两个不同的计数界

对任意不同位置 $i,j$ ，上述配对计数给出

\sum_sN_s^G\le L_0M_i^GM_j^G. \tag{Count-one}

两位置均为核心时，这是标签对数乘尺度出现数；一核心一侧时，由式 (Incidence) 得到，乘上 $L_0\ge1$ 仍成立。

有限稀疏质量引理给出某个绝对 $c'>0$ ，例如 $c'=1/2080$ ，使

\sum_{s:\,N_s^G\le\delta(M')^2}N_s^G \le P^C(1+\nu+\mu^{-1}+\Lambda)^C \delta^{c'}(M')^2. \tag{Small-count-mass}

该系数已包含式 (Sparse-mass) 的维数、对数及 $L_0$ 成本。

由两个核心标签的唯一性，

N_s^G\le(M')^2.

取

p_0=1-\frac{c'}2\in(0,1).

在

2^{-h-1}(M')^2<N_s^G\le2^{-h}(M')^2

的尺度上，因为 $p_0-1<0$ ，

(N_s^G)^{p_0} =N_s^G(N_s^G)^{-(1-p_0)} \le N_s^G \left(\frac{2^{h+1}}{(M')^2}\right)^{1-p_0}.

使用式 (Small-count-mass)，再对 $h\ge0$ 求和，得到

\begin{aligned} \sum_s(N_s^G)^{p_0} &\le C P^C(1+\nu+\mu^{-1}+\Lambda)^C (M')^{2p_0} \sum_{h\ge0}2^{h(1-p_0-c')}\\ &\le P^C(1+\nu+\mu^{-1}+\Lambda)^C(M')^{2p_0}. \end{aligned} \tag{Count-small-power}

这里 $1-p_0-c'=-c'/2<0$ 。这就是 D (6.23) 的第二个估计。零计数尺度不贡献任何项。

6. 在两个计数估计之间插值

选择一个稍后确定的绝对小数 $\vartheta\in(0,1)$ ，定义

p=(1-\vartheta)+\vartheta p_0 =1-\varepsilon,\qquad \varepsilon=\vartheta(1-p_0)>0.

Hölder 直接给出

\begin{aligned} \sum_s(N_s^G)^p &=\sum_s (N_s^G)^{1-\vartheta} \big((N_s^G)^{p_0}\big)^\vartheta\\ &\le \left(\sum_sN_s^G\right)^{1-\vartheta} \left(\sum_s(N_s^G)^{p_0}\right)^\vartheta\\ &\le (L_0M_i^GM_j^G)^{1-\vartheta} \left[ P^C(1+\nu+\mu^{-1}+\Lambda)^C(M')^{2p_0} \right]^\vartheta. \end{aligned} \tag{Interpolated-count}

$N_s^G$ 始终作为整体留在幂内，没有展开为 $N_s^G$ 个单位项。

7. 对组求和：为什么总次数大于一有用

前面的分量大小和顶部计数，以及侧函数的路径平方和，给出每个位置

\sum_GM_i^G\le C P^C\sigma_i^{-2}. \tag{Role-total}

核心位置还有

\sum_GM_i^G\le D_*. \tag{Core-cap}

原文对数增长条件保证随后出现的 $\log D_*$ 可纳入允许的 $P,k$ 多项式；这里不会把 $D_*$ 本身误当成 $P$ 的小幂。

需要如下初等事实。若 $m_i^G\ge0$ 、 $\beta_i\ge0$ ，且

B=\sum_i\beta_i\ge1,

则

\sum_G\prod_i(m_i^G)^{\beta_i} \le\prod_i\left(\sum_Gm_i^G\right)^{\beta_i}. \tag{Group-sum}

证明：省去零指数位置。若某个所需总和为零，两边都为零；否则令

a_i^G=m_i^G\Big/\sum_Gm_i^G, \qquad \sum_Ga_i^G=1.

Hölder 的指数为 $B/\beta_i$ ，于是

\sum_G\prod_i(a_i^G)^{\beta_i} \le \prod_i\left(\sum_G(a_i^G)^B\right)^{\beta_i/B} \le1,

最后一步用 $0\le a_i^G\le1$ 与 $B\ge1$ 。

式 (Interpolated-count) 中把 $M'=\max_iM_i^G$ 按达到最大值的位置分成至多四种情况。各项的总次数为

2(1-\vartheta)+2\vartheta p_0=2p.

稍后取 $p>2/3$ ，因此 $2p>1$ ，可以使用式 (Group-sum)。

8. 振幅的三个比值与一个共同缩放

暂按大小把四个位置重编号为 $1,2,3,4$ ，令

\sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3\ge\sigma_4.

这一编号仅表示振幅次序，不改变原遍历平均中的位置。使用式 (Interpolated-count) 的配对 $1,2$ 。由于至多有一个侧位置，这两个位置中至少一个是核心。

由式 (Role-total)，来自 $M'^{2\vartheta p_0}$ 的最坏振幅成本可用

\sigma_4^{-4\vartheta p_0}

控制。核心配对位置还可使用式 (Core-cap)，给出一个

\min(1,D_*\sigma_i^2)^{1-\vartheta}

因子。若该核心位置为 $i=2$ ，因 $\sigma_2\le\sigma_1$ ，仍可上界为用 $\sigma_1$ 的同一因子。常数及 $P$ 的幂统一纳入 $P^C$ 。

再乘式 (Cell-core) 的振幅 $p$ 次幂，得到

P^C \min(1,D_*\sigma_1^2)^{1-\vartheta} \sigma_1^{p-2(1-\vartheta)} \sigma_2^{p-2(1-\vartheta)} \sigma_3^p \sigma_4^{p-4\vartheta p_0}. \tag{Amplitude}

记四个指数为 $e_1,e_2,e_3,e_4$ 。代入 $p=1-\vartheta+\vartheta p_0$ ，直接计算

e_1+e_2+e_3+e_4=0,

并且

\begin{aligned} e_1&=-1+\vartheta(1+p_0),\\ e_1+e_2&=-2+2\vartheta(1+p_0),\\ e_1+e_2+e_3&=-1+\vartheta(1+3p_0). \end{aligned} \tag{Partial-exponents}

固定足够小的 $\vartheta$ ，这三个数都严格为负。

令

g_j=\log_2(\sigma_j/\sigma_{j+1})\in\mathbb Z_{\ge0}, \qquad j=1,2,3.

总指数为零意味着

\prod_{i=1}^4\sigma_i^{e_i} = 2^{\,g_1e_1+g_2(e_1+e_2)+g_3(e_1+e_2+e_3)}.

所以对每个振幅间隙 $g_j$ 都得到收敛的几何级数。

剩下四个振幅同时乘同一二进因子的自由度。保留格上的上界为 $\sigma_1\le P^C$ 。当

\sigma_1<D_*^{-1/2}

时，式 (Amplitude) 的前因子为

(D_*\sigma_1^2)^{1-\vartheta},

随着 $\sigma_1$ 二进减小而几何衰减；在 $D_*^{-1/2}\le\sigma_1\le P^C$ 之间只有

O(1+\log D_*+\log P)

个二进振幅。于是共同缩放的成本仅为允许的对数多项式。最后加上至多 $24$ 种振幅次序即可。

9. 频率参数的求和与选择顺序

式 (Count-one) 的频率损失只是 $1+\log(\nu/\mu)$ 的固定幂。第二个计数经过插值后，损失至多为

\mu^{-C\vartheta}\nu^{C\vartheta}\Lambda^{C\vartheta}.

核系数的 $p$ 次幂为

\mu^p\nu^{-Lp}\Lambda^{-Lp}.

因此先把绝对数 $\vartheta$ 取小，使

p>2/3,\qquad p-C\vartheta>0

以及式 (Partial-exponents) 的三个严格负号同时成立；再选一个足够大的固定整数 $L$ ，使

Lp-C\vartheta>0.

这时

\sum_{\mu=2^{-a},\,a\ge0} \sum_{\nu=2^b,\,b\ge0} \sum_{\Lambda=2^c,\,c\ge0} \mu^{p-C\vartheta} \nu^{-Lp+C\vartheta} \Lambda^{-Lp+C\vartheta} (1+\log(\nu/\mu))^C <\infty.

固定的对数幂被严格几何衰减控制。将实际有限频率范围扩展为以上无穷范围只会增加上界。

高度、类型、位置模式与保留搜索叶的数目纳入 $P$ 的固定幂。由此得到每条保留路径上

\sum_{\substack{G,s\\\text{其余配置}}} \left[ C_L\mu\nu^{-L}\Lambda^{-L} \left(\prod_j\sigma_j\right)N_s^G \right]^p \le C_qP^{C_4}. \tag{Path-power}

$p_0,\vartheta,\varepsilon,C_4$ 都可以在选择 $q$ 接近二的程度之前固定。

10. 回到原区间的最低值

令 $C_I$ 为原格中上述主项的绝对值之和。先取原格的最低值，再用 $0<p<1$ 的次可加性：

\min(\eta,C_I) \le\eta^{1-p}C_I^p \le\eta^\varepsilon \sum_{\text{组及配置}} (\text{该组与配置在 }I\text{ 的完整主项})^p. \tag{Cell-minimum}

这里可以对组和配置拆和，但每项内部的 $N_s^G$ 必须保留。若提前按单个标签元组拆成单位贡献，式 (Count-small-power) 提供的节省就消失了。

对于非负格数据 $F_I$ ，有限求和与积分满足精确恒等式

\sum_{I\subseteq R}|I|F_I = \int_R\sum_{I\ni x_*}F_I\,\mathrm dx_*.

将式 (Path-power) 代入即得

\sum_{I\text{ 保留}}|I| \min(\eta,\text{核心主项的绝对和}) \le C_q\eta^\varepsilon P^{C_4}|R|.

加回此前按绝对值单独控制的误差，得到 D (6.24)：

C_q\eta^\varepsilon P^{C_4}|R| +O(e^{-k}|R|), \qquad 1-\varepsilon>2/3. \tag{Core-bound}

原文范围与尚待展开的部分

D pp.57–58：实际函数改变后仍能使用核心计数的三项检查，式 (6.23) 与式 (6.24)。
H §§9.1–9.2，pp.78–81：共同高度、完整分量选择、环面核计算及实际侧函数窗口；本篇列出所用结论，未完整重证环面近似与全部 Fourier 误差。
H Lemma 9.1，2026-10-05 版 pp.81–87：本篇列明完整假设；组合证明已由扩展篇展开并单独审读。D 应用所需的源频率间隙及高度分组仍有各自前提。
H Proposition 9.2，pp.87–88：配对唯一性、实际侧函数 Parseval、由稀疏质量得到 $p_0$ 次幂计数。
H Proposition 9.3，pp.89–90：本篇完整展开的跨组不等式、振幅间隙求和、频率求和与原格最低值。

下一篇合并三类位置组合，处理重新开始的原区间分配，并说明为什么 H 与 D 必须选用同一个 $q>2$ 。只有这些参数选择完成后，局部估计才与原树深度无关。