第三单元（扩展）：稀疏尺度上的有限计数

本篇逐步展开 H Lemma 9.1，2026-10-05 版，pp.81–87。它在 D §6.6 中提供小于一次幂的计数收益；与前篇振幅插值之间的衔接见“核心元组的计数与振幅插值”§§5–6。

以下证明限于所列五项假设下的有限命题。原文版本与 D 的引用已经逐项对照；D 的实际应用仍须提供频率间隙、角色计数及标量核估计。

1. 有限命题及其五个条件

四个位置为 $0,1,2,3$ ，其中三或四个为核心位置，集合为 $\mathcal J$ 。给定

M,L\ge1,\quad d\ge0,\quad B\ge1,\quad 0<\mu\le1\le\nu,\quad \zeta\in\mathbb R^d.

每个核心位置有一个有限实数标签集 $\mathcal A_i$ ，同一位置的标签彼此不同，且 $|\mathcal A_i|\le M$ 。

固定 $R_0>0$ 。对有限多个不同整数 $s$ ，给定

R_s=R_0\,2^s,\qquad E_s\subseteq\prod_{i\in\mathcal J}\mathcal A_i, \qquad N_s=|E_s|.

这里 $R_s$ 是倒尺度。一个元组在不同尺度出现时，按不同“出现”计数。

假设：

（1）两个不同核心位置的标签至多确定一个完整核心元组，并且该对标签至多在 $L$ 个尺度出现。（2）若有侧位置 $l$ ，存在 $w_s\ge0$ 、 $\sum_sw_s\le M$ ，使在尺度 $s$ 包含任一固定核心标签的元组数至多为 $w_s$ 。（3）同一核心位置的不同标签 $a,a'$ 分别在尺度 $s,t$ 出现时，对所有整数向量 $|n|_\infty\le Q$ ，

|a-a'+n\cdot\zeta|>\Sigma\max(R_s,R_t). \tag{Separated}

（4）对任一三核心子集，设 $l'$ 为被排除的位置， $\alpha_i=i-l'$ 。每个元组在尺度 $s$ 都有一个整数向量 $|n|_\infty\le B$ ，使

\mu R_s\le \left|\sum_i\alpha_i a_i+36n\cdot\zeta\right| \le\nu R_s. \tag{Test-annulus}

其中各 $\alpha_i$ 均属于 $\{\pm1,\pm2,\pm3\}$ 。（5）在每个被占用的尺度，对所有 $|n|_\infty\le Q$ ，

|n\cdot\zeta|\notin [\mu R_s/1000,\,1000\nu R_s]. \tag{Shift-gap}

另有固定的充分大绝对常数 $C_{\rm res}$ ，使

Q\ge C_{\rm res}(d+1)^2B,\qquad \Sigma\ge C_{\rm res}(d+1)^2\nu. \tag{Reserves}

要证对 $0<\delta\le1$ ，

\sum_{s:\,N_s\le\delta M^2}N_s \le C\ell L^{29}\delta^{1/2080}M^2, \qquad \ell=1+\log_2\!\left(2+(d+1)^2\nu/\mu\right). \tag{Sparse-count}

常数不依赖维数、尺度数或标签数。

2. 先把实数数据放到共同细格

所有标签、尺度和 $|n|_\infty\le Q$ 的平移均为有限集合。可以用步长 $h_0>0$ 的共同格逼近全部实数，并使原坐标落在 $h_0$ 的一个固定整数倍上，保证稍后除以 $1,2,3$ 仍落在共同细格内。

取 $h_0$ 时放在全部有限数据之后。使所有误差小于最小 $R_s$ 的足够小倍数，就保留：

分离条件中的 $\Sigma/2$ ；
环带下界 $\mu/2$ 与上界 $2\nu$ ；
原纯平移间隙内部更窄但仍有固定余量的间隙。

具体地，取工作参数 $\mu=\mu_{\rm old}/2$ 、 $\nu=2\nu_{\rm old}$ 、 $\Sigma=\Sigma_{\rm old}/2$ ，并在原 $C_{\rm res}$ 中预留固定倍数余量。网格证明只要求

|n\cdot\zeta|\notin[\mu R_s/50,\,50\nu R_s]. \tag{Grid-gap}

这个区间严格位于原始宽禁区内部，有限数据的充分细逼近保留它。这里没有声称舍入后仍自动满足重新命名参数下的全部千倍禁区。

宽度向上取整至格点只增加 $h_0$ 。这些固定倍数由式 (Reserves) 的绝对余量吸收。以下沿用原字母写格点情形，但纯平移反证只用式 (Grid-gap)；第 10 节产生的区间严格包含在这一较窄禁区内。每个估计均与 $h_0$ 无关，因而最后适用于原实数数据。

3. 一个有许多四色路径的二部图

设二部图两侧顶点数至多为 $M$ ，边数至少为 $\eta M^2$ ， $0<\eta\le1$ 。边有至多 $M$ 种颜色，同一顶点相接的边颜色互不相同。要找左侧一个大小至少 $c\eta M$ 的集合，使其中任意两点之间有至少 $c\eta^5M^3$ 条四步路径。

3.1 随机邻域与坏点对

把右侧补足到 $m=\lceil M\rceil\le2M$ 个顶点。均匀选一个右侧顶点，令 $Y$ 为其左侧邻域。则

\mathbb E|Y|\ge\eta M/2, \qquad \mathbb E|Y|^2\ge\eta^2M^2/4.

称一个有序左侧点对为坏点对，如果其共同邻点数小于 $c_0\eta^2M$ 。它同时落入 $Y$ 的概率为共同邻点数除以 $m$ 。因此 $Y^2$ 中坏有序对数 $B_Y$ 满足

\mathbb EB_Y\le c_0\eta^2M^2.

取 $c_0$ 充分小，便有

\mathbb E(|Y|^2-100B_Y)\ge c\eta^2M^2.

所以存在一个 $Y$ ，满足 $|Y|\ge c\eta M$ 且 $B_Y<|Y|^2/100$ 。

3.2 删除少量顶点

删去在 $Y$ 中有超过 $|Y|/4$ 个坏伙伴的顶点。被删数少于 $|Y|/25$ 。令剩余集合为 $B_0$ ，仍有

|B_0|\ge c\eta M.

对 $a,a'\in B_0$ ，至少 $|Y|/2$ 个中点 $z\in Y$ 同时是二者的好伙伴。每对 $(a,z)$ 、 $(z,a')$ 各有至少 $c_0\eta^2M$ 个右侧共同邻点，可独立选择。因此四步路径数至少为

c|Y|(\eta^2M)^2\ge c\eta^5M^3. \tag{Four-paths}

允许重复顶点。固定起点与四个有序边颜色，可按颜色唯一重建每一步，因此固定两端点时，不同路径对应不同的有序四色组。

4. 按计数质量分块，构造差集覆盖

以下先处理充分小的 $\delta>0$ ，较大 $\delta$ 留到末节用总质量粗界处理。只保留 $N_s\le\delta M^2$ 的尺度。由任意一对核心位置的唯一性及尺度重数，

\sum_sN_s\le LM^2.

取稍后确定的参数

0<\alpha\le1,\qquad \delta\le\alpha/2,\qquad 0<\kappa<1.

把保留尺度按 $R_s$ 递减排列，贪心分成每块质量至多 $\alpha M^2$ 的连续计数块。除最后一块外，各块质量大于 $(\alpha-\delta)M^2$ 。块数满足

J_0\le3L/\alpha. \tag{Block-number}

这些是按质量排列的计数块，与此前分析中的连续深度块不同。

4.1 每块的有限平移邻域

令 $R_b^+$ 为块 $b$ 的最大倒尺度，设

N_0=\lceil32B\rceil,\qquad \epsilon_b=h_0\left\lceil16\nu R_b^+/h_0\right\rceil.

格足够细时， $\epsilon_b\le17\nu R_b^+$ 。对整数 $t\ge1$ ，定义有限对称集合

U_b(t)= \{6n\cdot\zeta+u: n\in\mathbb Z^d,\ |n|_\infty\le tN_0,\ u\in h_0\mathbb Z,\ |u|\le t\epsilon_b\}. \tag{Neighborhood}

它含零，并且

U_b(t)+U_b(t')\subseteq U_b(t+t').

4.2 从未覆盖出现构造图

固定一个核心位置 $i$ 和一个块。只要其尚未覆盖标签涉及的出现质量超过 $\kappa M^2$ ，任选另两个核心位置 $j,k$ 。

将这些出现投影为 $(i,j)$ 标签的简单二部图，每对标签只留一个本块尺度证书。每对至多出现 $L$ 次，故边数大于

(\kappa/L)M^2.

以第三位置的 $k$ -标签给边着色。着色是正常的：若两条边在同一端点处有同一颜色，就共享两个核心标签，因而必须是同一个完整元组与同一条边。

令 $\eta=\kappa/L$ 。第 3 节给出

|B_0|\ge c\eta M

及式 (Four-paths)。

4.3 四条环带式消去中间标签

四步路径的左侧依次为 $a,a_1,a'$ ，右侧为 $b,b'$ ，颜色为 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 。将四个三位置环带式交替相加减，中间的 $a_1,b,b'$ 消掉。除以 $\alpha_i$ ，得到

a-a'\in q(c_1,c_2,c_3,c_4)+U_b(1), \tag{Color-difference}

其中 $q$ 只依赖四色组。

具体地，颜色项为

-\frac{\alpha_k}{\alpha_i}(c_1-c_2+c_3-c_4).

平移项系数 $36/\alpha_i$ 是六的整数倍，四个平移相加后在 $6\zeta$ 格中的指标至多为 $24B\le N_0$ 。标量误差至多为 $4\nu R_b^+$ ，被 $\epsilon_b$ 容纳。

4.4 差集的最大分离子集

在 $B_0-B_0$ 中取一个极大集合，使两个不同元素的差不属于 $U_b(2)$ 。为每个选中差值选一对端点。每对端点有至少 $c\eta^5M^3$ 个四色组。

两个选中差值不能共享同一四色组，否则由式 (Color-difference)，它们的差属于

U_b(1)-U_b(1)\subseteq U_b(2),

矛盾。全部四色组至多有 $M^4$ 个，因此选中差值数至多为

C\eta^{-5}M.

极大性说明这些差值为中心的 $U_b(2)$ 平移覆盖整个 $B_0-B_0$ 。

删去这一批 $B_0$ 标签，重复上述步骤。每次删去至少 $c\eta M$ 个标签，总次数至多为 $C\eta^{-1}$ 。因此每个核心位置在每块中，除质量至多 $\kappa M^2$ 的未覆盖出现外，其标签被至多

K_1=C(L/\kappa)^6 \tag{Cover-number}

个集合 $B$ 覆盖；每个 $B-B$ 又被至多 $K_1M$ 个 $U_b(2)$ 平移覆盖。

5. 排除缺少三个未来位置的出现

先删去任一核心位置在本块没有被覆盖的出现，总损失至多为

4J_0\kappa M^2.

对剩余出现，若一个核心标签还属于某个更晚计数块的同位置覆盖集合，称该位置为未来位置。否则称为非未来位置。

固定一个位置，不同计数块中的非未来允许标签集互不相交：若某标签属于后块的覆盖集合，它在前块就属于未来位置。记每块非未来标签数为 $m_i^b$ ，则

\sum_bm_i^b\le M.

若存在侧位置 $l$ ，它一律视为非未来，定义

m_l^b=\sum_{s\in b}w_s,\qquad \sum_bm_l^b\le M.

不足三个未来位置的出现至少有两个非未来位置，固定规则给它分配一对 $i,j$ 。在块 $b$ ，该类质量至多为

\min(\alpha M^2,Lm_i^bm_j^b).

若都是核心，这是标签对及尺度重数；若是一核心一侧，这是侧位置的关联数界，额外 $L\ge1$ 无妨。

利用 $\min(x,y)\le\sqrt{xy}$ 和 Cauchy–Schwarz，

\begin{aligned} \sum_b\min(\alpha M^2,Lm_i^bm_j^b) &\le\sqrt{L\alpha}\,M \sum_b\sqrt{m_i^bm_j^b}\\ &\le\sqrt{L\alpha}\,M^2. \end{aligned} \tag{Nonfuture}

至多六种配对只增加绝对常数。

6. 固定三个未来覆盖集合并分成四段

剩余每个出现至少有三个未来核心位置。用固定规则选一个三元位置组，并给每个标签选一个后块覆盖集合。全部组合数至多为

4J_0(J_0K_1)^3=4J_0^4K_1^3. \tag{Configurations}

固定一个组合，其质量为 $\rho M^2>0$ 。它包含当前计数块、三个核心位置及三个严格后块的覆盖集合 $B_1,B_2,B_3$ 。下标 $1,2,3$ 仅给这三个位置编号，原系数 $\alpha_i$ 不变。

令

\Gamma=C_{\rm gap}(d+1)^2\nu/\mu.

若 $\rho\le C\delta\ell$ ，已经有后面需要的小量界。以下设 $\rho>C\delta\ell$ ，其中绝对常数充分大。

按倒尺度递减把这个组合的质量分成四个四分位段，并删去穿过三个分界的尺度格。每格质量至多为 $\delta M^2$ ，所以四段各至少留下

\rho M^2/8

的质量，并至少包含 $\rho/(8\delta)$ 个被占用的二进尺度。令 $R_\#$ 为第二段最大的倒尺度。

6.1 第一段给出分离锚点

每个固定核心标签总共关联至多 $LM$ 次出现。第一段因而在每个 $B_i$ 中提供锚点集合 $B_i^0$ ，满足

|B_i^0|\ge c\rho M/L. \tag{Anchors}

锚点都有倒尺度至少为 $R_\#$ 的出现证书，因此不同锚点按式 (Separated) 在允许平移下相隔超过 $\Sigma R_\#$ 。

6.2 最后一段给出很多实际三元组

完整三元组至多出现 $L$ 次，因此最后一段可取不同实际三元组集合 $F$ ，每个选一个尺度证书，且

|F|\ge c\rho M^2/L. \tag{Last-triples}

6.3 第二、三段留下尺度间隔

第三段有至少 $\rho/(8\delta)$ 个不同二进尺度。由于 $\rho>C\delta\ell$ ，它保证任一第二段倒尺度比任一最后一段倒尺度至少大 $\Gamma$ 倍。严格后块的倒尺度更小，同样满足这一间隔。

在第二段贪心保留相邻倒尺度比至少为 $\Gamma$ 的尺度。一次选择至多去掉 $1+\lceil\log_2\Gamma\rceil\le C\ell$ 个尺度，因而保留数

q\ge c\rho/(\delta\ell). \tag{Translators}

每个所选尺度 $R_v$ 取一个实际三元组 $t_v$ 。后面考察带指标的 $q|F|$ 个输出 $t_v+f$ ， $f\in F$ 。

7. 只寻找一次小增长，避免维数指数成本

令 $U_i,\epsilon_i$ 为未来覆盖集合 $B_i$ 所属计数块的邻域及宽度。

将每个整数系数区间和标量区间分段，可用至多

(2t+1)^{d+1}

个 $U_i(1)$ 平移覆盖 $U_i(t)$ 。因此存在一个奇数

1\le H_i\le100(d+1)^2

使

|U_i(H_i+2)|\le2|U_i(H_i)|. \tag{Small-growth}

否则每隔两个整数基数都翻倍，到 $t\asymp(d+1)^2$ 时，指数增长超过上述 $t$ 的 $d+1$ 次幂上界。

这里的维数指数只用于保证存在一个小增长位置；后面的估计使用固定因子二，不把 $(2t+1)^{d+1}$ 加入最终常数。

7.1 锚点邻域互不相交

集合

a+U_i(H_i),\qquad a\in B_i^0

两两不交。若相交，两个锚点的差属于 $U_i(2H_i)$ ，其平移指标至多为 $C(d+1)^2B$ ，标量宽度至多为 $C(d+1)^2\nu R_\#$ ，与式 (Reserves) 和锚点分离矛盾。

令

Z_i=B_i^0+U_i(H_i).

于是 $|Z_i|=|B_i^0||U_i(H_i)|$ 。由 $B_i-B_i$ 的覆盖，

\begin{aligned} |Z_i-B_i| &\le K_1M\,|U_i(H_i+2)|\\ &\le2K_1M|U_i(H_i)|\\ &\le C(K_1L/\rho)|Z_i|. \end{aligned} \tag{Small-expansion}

8. 最小增长子集与二重、三重和集的覆盖

选非空 $X_i\subseteq Z_i$ ，使

r_i=\frac{|X_i-B_i|}{|X_i|}

在所有非空子集中最小。由式 (Small-expansion)，

r_i\le CK_1L/\rho.

8.1 迭代不等式的完整证明

暂写 $X=X_i,B=B_i,r=r_i$ 。给定有限平移集 $C_0=\{c_1,\ldots,c_q\}$ ，令

X_j=\{x\in X:x+c_j\notin\cup_{v<j}(X+c_v)\}.

则

|X+C_0|=\sum_j|X_j|.

每个 $(X\setminus X_j)-B+c_j$ 中的点已经属于较早的 $(X-B)+c_v$ 。因此第 $j$ 步新增点数至多为

|X-B|-|(X\setminus X_j)-B|.

由 $X$ 的最小增长性质，非空 $X\setminus X_j$ 满足

|(X\setminus X_j)-B|\ge r|X\setminus X_j|.

空集情况也成立。故新增点数至多为 $r|X_j|$ ，相加得到

|X+C_0-B|\le r|X+C_0|.

依次取 $C_0=-(m-1)B$ ，归纳可得

|X_i-mB_i|\le r_i^m|X_i|, \qquad m\ge1. \tag{Iterated-growth}

8.2 和集中的分离集

$Z_i$ 由至多 $M$ 个锚点邻域组成，所以某个邻域内的部分

Y_i\subseteq X_i

满足 $|Y_i|\ge|X_i|/M$ ，且

Y_i-Y_i\subseteq U_i(2H_i).

若 $P_i\subseteq mB_i$ 的任意两个不同元素之差不属于 $U_i(2H_i)$ ，则 $Y_i-p$ 、 $p\in P_i$ 两两不交，并包含于 $X_i-mB_i$ 。由式 (Iterated-growth)，

|P_i|\frac{|X_i|}{M} \le r_i^m|X_i|, \qquad |P_i|\le r_i^mM. \tag{Sumset-packing}

取极大分离集，就给出 $mB_i$ 的同样数目邻域平移覆盖。这里只需要 $m=2,3$ 。

9. 用锚点把第三个标签数因子消掉

置

r_0=CK_1L/\rho\ge\max_i r_i.

考虑 $2B_1\times2B_2\times2B_3$ 中满足

\left|\sum_{i=1}^3\alpha_i x_i+36n\cdot\zeta\right| \le2\nu R_\# \quad\text{对某个 }|n|_\infty\le2B \tag{Slab}

的输出。

前两坐标各可由至多 $r_0^2M$ 个 $U_i(2H_i)$ 平移覆盖。固定其中一对覆盖盒，由式 (Slab) 解出第三坐标，它必须属于 $2B_3$ 与下列集合的交：

c+\{n\cdot\zeta:|n|_\infty\le C(d+1)^2B\} +[-C(d+1)^2\nu R_\#,\,C(d+1)^2\nu R_\#]. \tag{Third-location}

除以 $\alpha_3$ 不产生非整数平移指标：邻域的平移系数是六，环带平移系数是三十六，二者都可被 $1,2,3$ 整除。

在这个局部第三坐标集合中取极大分离集 $P$ ，分离邻域为 $U_3(2H_3)$ 。集合

B_3^0+P\subseteq3B_3

仍是分离集。相同锚点时由 $P$ 的定义保证；不同锚点若发生碰撞，由式 (Third-location) 会得到锚点差在允许平移后仅为 $O((d+1)^2\nu R_\#)$ ，与锚点分离矛盾。

因此式 (Sumset-packing) 对 $m=3$ 给出

|B_3^0||P|\le r_0^3M, \qquad |P|\le Cr_0^3L/\rho.

这里利用了全部分离锚点，消去了第三个 $M$ 。

于是整个薄层可由至多

C(r_0^2M)^2r_0^3L/\rho \le CK_1^7(L/\rho)^8M^2 \tag{Slab-cover}

个 $\prod_iU_i(2H_i)$ 的平移覆盖。

10. 每个覆盖盒至多容纳一个带指标输出

所有 $t_v+f$ 都满足式 (Slab)：将第二段和最后一段的环带式相加即可。还需证明这些带指标输出在覆盖尺度上彼此分离。

10.1 同一平移中的两个不同三元组

若 $f,f'\in F$ 不同，至少有一个坐标标签不同。它们最后一段的出现证书都早于全部未来块，即倒尺度都更大。因此式 (Separated) 的间隔大于对应 $U_i(4H_i)$ 的平移与标量宽度。

同一覆盖盒内两点的坐标差必须在 $U_i(4H_i)$ 中，故 $t_v+f$ 和 $t_v+f'$ 不能在同一盒中。

10.2 不同平移之间的两个输出

考虑 $t_v+f$ 与 $t_{v'}+f'$ ，设较大的第二段倒尺度为 $R_{\rm big}$ 。该三元组的环带剩余量绝对值在

[\mu R_{\rm big},\,\nu R_{\rm big}]

中。另一第二段和两个最后一段的剩余量，总绝对值至多为 $\mu R_{\rm big}/10$ ，这由 $\Gamma$ 间隔保证。

因此输出差的线性形式加一个 $O(B)$ 指标平移后，绝对值处于

[9\mu R_{\rm big}/10,\,2\nu R_{\rm big}].

若两输出在同一覆盖盒中，其坐标差属于 $U_i(4H_i)$ 。盒宽造成的额外标量误差至多为

C(d+1)^2\nu\max_iR_{\rm future,i}^+ \le\mu R_{\rm big}/10.

所有平移指标合并后仍至多为 $C(d+1)^2B\le Q$ 。这将产生一个纯平移，其绝对值处于

[4\mu R_{\rm big}/5,\,3\nu R_{\rm big}],

落在式 (Grid-gap) 禁止的较窄区间中，矛盾。

所以覆盖盒与带指标输出至多一一匹配，既排除了同一平移内部的重合，也排除了不同平移产生同一输出。

11. 比较输出数与覆盖数

由式 (Translators) 与式 (Last-triples)，

q|F|\ge c\,\frac{\rho^2}{\delta\ell L}M^2.

与式 (Slab-cover) 比较并消去 $M^2$ ，得到

c\frac{\rho^2}{\delta\ell L} \le CK_1^7(L/\rho)^8, \qquad \rho^{10}\le C\delta\ell K_1^7L^9.

由于 $\ell,K_1,L\ge1$ ，可以稍放宽为

\rho\le C\ell K_1L\delta^{1/10}. \tag{Combination-mass}

先前省去的 $\rho\le C\delta\ell$ 情形也满足此式。

12. 最后选择两个辅助小参数

组合数由式 (Configurations) 控制。将组合质量、未覆盖质量以及式 (Nonfuture) 相加，得到

\begin{aligned} M^{-2}\sum_{s:\,N_s\le\delta M^2}N_s &\le C\left( J_0\kappa+\sqrt{L\alpha} +\ell L J_0^4K_1^4\delta^{1/10} \right)\\ &\le C\left( \frac{L\kappa}{\alpha} +\sqrt{L\alpha} +\ell L^{29}\alpha^{-4}\kappa^{-24}\delta^{1/10} \right). \end{aligned} \tag{Before-choice}

最后一项的 $L^{29}$ 来自

L\cdot L^4\cdot L^{24},

分别对应组合质量、四个计数块选择与四份差集覆盖成本。

当 $\delta$ 足够小时，取

\alpha=\delta^{1/1040},\qquad \kappa=\alpha^2.

此时 $\delta\le\alpha/2$ 。三个 $\delta$ 指数分别为

\frac1{1040},\qquad \frac1{2080},\qquad \frac1{10}-\frac4{1040}-\frac{48}{1040} =\frac1{20}.

因 $0<\delta\le1$ ，最小指数 $1/2080$ 给出统一上界，且 $\ell,L\ge1$ ，式 (Before-choice) 就成为式 (Sparse-count)。

对其余 $\delta$ ，直接使用总质量 $LM^2$ ，增大一个绝对常数便得到同一结果。舍入保持标签与元组的离散索引，也保持每个 $N_s$ 。工作参数的 $\nu/\mu$ 为原比值的四倍，因此

\ell_{\rm work}\le\ell_{\rm old}+2\le3\ell_{\rm old}.

于是网格估计给回原命题的同一 $\ell$ 因子，只有绝对常数改变。所有估计不依赖 $h_0$ ，并且这里只需对给定的有限数据取一次充分细的格，无需任何无限尺度极限。

13. 这一收益怎样用于 D

令

c'=1/2080,\qquad p_0=1-c'/2.

把尺度按 $N_s$ 相对 $M^2$ 的二进大小分组，式 (Sparse-count) 中的 $\delta^{c'}$ 抵消 $p_0<1$ 对小计数的放大，得到

\sum_sN_s^{p_0} \le C(\text{明确参数成本})\,M^{2p_0}.

随后 D 的证明把它与一次幂配对计数插值，再使用跨组角色数界求振幅和。这一有限引理本身不证明标量核式、角色数界或纯平移间隙；那些适用前提仍须由各自章节提供。

本有限证明已完成单独审读。核对范围为上述有限组合命题及其与 D §6.6 引用的对应，不包括 H 的其他解析与几何证明，也不包括 A/B 使用的 R 多重混合命题。