第五单元（下）：单状态条件期望与方阵中的非零相关

本篇讨论 A §6，原文 pp.17–21。沿用前篇选出的最小支撑 $k$ 、最大辅助位置数 $r$ 、稳定系统 $Y$ ，以及重新分组后的 $Z=M_b(Y)$ 。下面逐步说明：只稳定“全部参数加一个状态”，就能计算行列相关；参数的条件独立性与一个 Hilbert 空间引理再保证该相关非零，从而把辅助位置数增加到 $r+1$ 。

本篇的条件前提与前篇相同：三组保持仍依赖所列高阶 mixing 结论，参数条件律仍依赖低阶逐点结论和相对结构定理。最终得到的是这些前提下 A 的证明闭合，不是对配套稿 R、H 或所有结构定理的独立认证。

1. 方阵中每个符号的含义

对应 A §6.1，p.17，式 (6.1)–(6.3)。

旧选取分布的空间为 $(Y^I,\lambda_Y)$ ， $I=\{1,\ldots,n\}$ 。固定支撑 $J\subseteq I$ ， $|J|=k$ ，辅助位置集合为 $A\subseteq J$ ， $|A|=r$ ，且 $b\in J\setminus A$ 。令

q((y_i)_{i\in I})= \prod_{j\in J\setminus\{b\}}h_j(L_j(y_j)), \quad g(P,y_b)=\mathbb E_{\lambda_Y}[q\mid P,y_b]. \tag{g-A}

前篇已经证明函数 $g(P,y_b)$ 在 $L^2(\lambda_Y)$ 中非零。

同一个 $Y^I$ 作为新系统 $Z$ 的单状态空间，测度为 $m_Z=\lambda_Y$ 。记 $e=\omega_Z(z)$ ，定义

u(e,y_b)=\mathbb E_{m_Z}[q\mid e,y_b]. \tag{u-A}

旧参数数组 $P$ 包含在新最大 distal 因子中，故可选 Borel 因子映射 $R$ ，使

R(e)=P, \quad\kappa(e)=R(e)_b \quad\text{模零成立}.

$\kappa$ 是位置 $b$ 的流因子 $\theta:Z\to Y$ 在旧 distal 参数上的映射，其中 $\theta(z)=y_b$ 。

取全域有界实 Borel 代表元 $g,u$ ，满足 $|g|,|u|\le\|q\|_\infty$ ；实际分布之外可设为零。定义是条件期望的函数类等式，不断言在每个异常参数值上都有条件期望意义。由于 $P=R(e)$ ，单状态中的塔式性质只给出

\mathbb E[u(e,y_b)\mid P,y_b]=g(P,y_b),

尚不能把 $u$ 与 $g$ 直接等同。

现在在 $(Z^I,\lambda_Z)$ 上写

z_i=(y_{ij})_{j\in I}, \quad E_i=\omega_Z(z_i), \quad E=(E_i)_{i\in I}.

第一个指标 $i$ 指行，第二个指标 $j$ 指该行内的位置。记第 $b$ 列及其参数为

y_i=y_{ib}, \quad p=(\kappa(E_i))_{i\in I}, \quad w=\kappa(E_b). \tag{Square-data}

共同角点为 $y_b=y_{bb}$ 。第 $b$ 行的旧参数数组为 $R(E_b)$ ，第 $b$ 列的旧参数数组为 $p$ ；二者的第 $b$ 个参数都是 $w$ 。

第 $b$ 列具有分布 $\lambda_Y$ ，因为 $\theta:Z\to Y$ 是速度为一的流因子，选取分布满足因子兼容性。第 $b$ 行也具有分布 $\lambda_Y$ ，因为 $\lambda_Z$ 的单坐标边缘为 $m_Z=\lambda_Y$ 。这两个分布结论来源不同，没有推出整个方阵在转置下不变。

2. 类型零稳定性确定整列条件律

对应 A Lemma 6.1 证明第一段，p.18。

把前篇的式 (Stable-A) 用于扩张 $\theta:Z\to Y$ ，首先取类型 $0$ 。旧条件信息是 $\sigma(P)$ ，拉回方阵后是 $\sigma(p)$ ；新条件信息是 $\sigma(E)$ 。因此对任意 $f\in L^2(\lambda_Y)$ ，

\mathbb E_{\lambda_Z}[f((y_i)_{i\in I})\mid E] =\mathbb E_{\lambda_Y}[f\mid P]\big|_{P=p}.

先对旧状态空间 $Y^I$ 的可数 Borel 生成代数的指示函数使用该式，取共同的 $E$ -满测集，再由测度唯一性可写成条件概率核等式

\operatorname{Law}_{\lambda_Z}((y_i)_{i\in I}\mid E) =\lambda_Y(\,\cdot\mid P=p). \tag{Column-A}

取第 $b$ 个边缘，A Proposition 3.3 的单状态情形给出

\operatorname{Law}_{\lambda_Z}(y_b\mid E)=m_{Y,w}. \tag{Corner-A}

因为 $w=\kappa(E_b)$ ，将条件从 $E$ 缩到 $E_b$ ，右侧不变。再利用第 $b$ 行的边缘为 $m_Z$ ，得到单个 $Z$ -状态中的结论

\operatorname{Law}_{m_Z}(y_b\mid e)=m_{Y,\kappa(e)}. \tag{Single-corner}

这一步证明了增加到新参数 $e$ 后角点条件律仍然只依赖旧参数 $\kappa(e)$ 。它来自指定稳定性，不是一般的“增加条件不影响独立性”。

3. 类型 $b$ 稳定性直接确定列函数的条件平均

对应 A p.18，式 (6.5)。

对同一个扩张 $\theta:Z\to Y$ ，这次取条件类型 $b$ 。旧数据为 $(P,y_b)$ ，新数据为 $(E,z_b)$ 。把旧测试取为函数 $q$ ，式 (Stable-A) 给出

\mathbb E_{\lambda_Z}[q((y_i)_{i\in I})\mid E,z_b] =g(p,y_b). \tag{Direct-A}

这里旧的完整状态 $y_b$ 对应新的一整行状态 $z_b$ 。这正是采用单状态条件代数 $\mathcal D_b(Y)=\sigma(P,y_b)$ 的作用。证明没有要求其余 $n-1$ 行共同独立，也没有使用一般系统上 $n-1$ 项逐点收敛。

将式 (Direct-A) 乘以 $q(z_b)$ ，再对 $E$ 取条件期望，得到

\mathbb E_{\lambda_Z}[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E] =\mathbb E_{\lambda_Z}[g(p,y_b)q(z_b)\mid E].

A Proposition 3.3 用于系统 $Z$ 的单位置情形，说明给定 $E$ 时， $z_b$ 的分布为 $m_{Z,E_b}$ 。在这个纤维中再给定其位置 $b$ 的状态 $y_b$ ，式 (u-A) 把 $q$ 的条件期望写为 $u(E_b,y_b)$ 。结合式 (Single-corner)，得到 A 式 (6.4)：

K(E)=\mathbb E_{\lambda_Z}[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E] =\int_Yg(p,y)u(E_b,y)\,\mathrm{d}m_{Y,w}(y). \tag{Pair-A}

这项积分是两个可能不同向量的实内积，没有预先给定符号。

3.1 参数依赖测试为何合法

在固定的单状态 $Z$ 中，取正则条件概率核 $m_{Z,e}$ 。对 $Y$ 的可数生成代数中的集合 $B$ ，定义 $u$ 和式 (Single-corner) 给出

\int q(z)\mathbf1_B(\theta z)\,\mathrm{d}m_{Z,e}(z) =\int_Bu(e,y)\,\mathrm{d}m_{Y,\kappa(e)}(y)

对几乎每个 $e$ 同时成立。两边是 $Y$ 上的有界有限符号测度，因此等式对任意有界 Borel 的 $y$ -测试成立。可在这个核等式中使用 $y\mapsto g(p,y)$ ，即使 $p$ 本身是已经给定的 $E$ 的一部分。

$E_b$ 的边缘是 $(\omega_Z)_*m_Z$ ，故旧核的异常 $e$ 集在方阵中仍为零测。式 (Direct-A) 同样是实际方阵分布下的函数类等式；乘有界行函数再条件化合法。整个计算没有对不可数个参数另取共同零集。

4. 两份参数在共同角点参数上条件独立

对应 A Lemma 6.2，pp.18–19。

结论为

p\text{ 与 }E_b\text{ 在给定 }w\text{ 后条件独立}. \tag{PI-A}

4.1 用确定长度参数律表示待比较的积分

取任意有界实函数 $F_0$ 于 $W_Z$ ，以及有界实函数 $H_i$ 于 $W_Y$ 。在单状态参数分布 $\nu_Z=(\omega_Z)_*m_Z$ 下选 $\overline F_0$ ，满足

\overline F_0(\kappa(e)) =\mathbb E_{\nu_Z}[F_0(e)\mid\kappa(e)].

全部变量均为新参数数组 $E$ 的函数，所以上篇式 (Parameter-n) 用于 $Z$ ，把

\mathbb E_{\lambda_Z}\left[F_0(E_b)\prod_{i\in I}H_i(p_i)\right]

写成 $L\to\infty$ 时下列确定长度积分的极限：

\frac1L\int_0^L\int_Z F_0(\omega_Z(S_Z^{bt}z)) \prod_{i\in I}H_i(\kappa(\omega_Z(S_Z^{it}z))) \,\mathrm{d}m_Z(z)\,\mathrm{d}t. \tag{Fixed-L}

4.2 每个固定时间的保测换元

固定 $t$ ，令 $z'=S_Z^{bt}z$ 。式 (Fixed-L) 中的空间积分变为

\int_ZF_0(\omega_Z(z')) \prod_{i\in I}H_i(\kappa(\omega_Z(S_Z^{(i-b)t}z'))) \,\mathrm{d}m_Z(z').

对该固定 $t$ ，乘积中的每个因子都对 $\kappa\circ\omega_Z$ 可测。理由为

\kappa\circ\omega_Z=\omega_Y\circ\theta, \quad\theta\circ S_Z^s=S_Y^s\circ\theta

按固定时间模零成立，且旧因子 $W_Y$ 被每个流时间保留。故旧参数在时间 $(i-b)t$ 的读数是时间零旧参数的可测函数。负时间由可逆流作用定义。

因此可以把 $F_0(\omega_Z(z'))$ 替换为其对这个旧参数的条件期望 $\overline F_0(\kappa(\omega_Z(z')))$ 。逆换元后，对每个确定的 $L>0$ ，式 (Fixed-L) 的值与把 $F_0$ 换成 $\overline F_0\circ\kappa$ 后的值完全相等。

换元不改变 $t$ 或 $[0,L]$ ，没有末段误差，也没有移动依点选择的 $N_a$ ；当前公式已经是确定长度的参数平均。所有被积函数在原流上联合可测且有界，固定时间的模零等式可由 Fubini 用于时间积分，不需全实时间共同的因子点态模型。

4.3 从测试等式得到条件独立性

令 $L\to\infty$ ，得到

\mathbb E_{\lambda_Z}\left[F_0(E_b)\prod_iH_i(p_i)\right] =\mathbb E_{\lambda_Z}\left[\overline F_0(w)\prod_iH_i(p_i)\right].

参数矩形测试确定 $p$ 的 $\sigma$ -代数，所以

\mathbb E[F_0(E_b)\mid p]=\overline F_0(w).

$E_b$ 的边缘是 $\nu_Z$ ，故右边也等于 $\mathbb E[F_0(E_b)\mid w]$ 。而 $w=p_b$ 本身是 $p$ 的函数；这正是式 (PI-A)。通过可数生成测试选择版本后，它成为条件联合分布的核等式。

5. 在同一个旧纤维中比较 $g$ 与 $u$

对应 A §6.3，pp.19–20，式 (6.6)–(6.7)。

5.1 两个参数测度

令 $\alpha_w$ 为列参数数组 $p$ 给定其第 $b$ 个参数 $w$ 后的分布；令 $\beta_w$ 为 $E_b$ 给定 $w$ 后的分布。式 (PI-A) 说明

\operatorname{Law}(p,E_b\mid w)=\alpha_w\otimes\beta_w. \tag{Parameter-product}

第 $b$ 行与第 $b$ 列都有旧分布 $\lambda_Y$ ，两份完整旧参数的第 $b$ 个坐标又都是 $w$ ，故

R_*\beta_w=\alpha_w \quad\text{对几乎每个 }w. \tag{Pushforward}

这里行列边缘相同只给出式 (Pushforward)；把联合分布写成乘积还需要刚刚证明的参数独立性。

5.2 强可测的纤维随机向量

对几乎每个固定 $w$ ，考虑实 Hilbert 空间

\mathcal H_w=L^2(m_{Y,w};\mathbb R).

标准 Borel 空间 $Y$ 的一个可数生成代数所产生的有理简单函数，在每个这样的 $L^2$ 空间中稠密，因此 $\mathcal H_w$ 可分。

固定全域有界 Borel 代表元 $g,u$ 。用该代数产生的递增有限分割，在 $y$ 变量上对它们作条件平均。每个近似位于有限维子空间，其系数是对固定纤维测度的积分，关于 $p$ 或 $e$ 可测；零测原子上设系数为零。近似在 $\mathcal H_w$ 中趋于原函数。因此

p\longmapsto g(p,\cdot), \quad e\longmapsto u(e,\cdot)

是强可测随机向量。范数均不超过 $\|q\|_\infty$ ，所以平方可积。

5.3 从标量塔式性质到 Hilbert 空间值条件期望

在单个 $Z$ -状态中，写角点状态为 $y$ 。式 (Single-corner) 给出

\operatorname{Law}(e,y\mid w) =\beta_w(\mathrm{d}e)m_{Y,w}(\mathrm{d}y). \tag{State-product}

另一方面， $m_Z=\lambda_Y$ 与 $P=R(e)$ 使标量塔式性质成为

\mathbb E[u(e,y)\mid R(e),y]=g(R(e),y).

式 (State-product) 表明，再给定 $R(e)$ 时， $e$ 的条件分布不会额外依赖 $y$ 。这项条件乘积律不能省略。

为把等式写在同一个 $w$ -满测集上，令 $s_j$ 遍历上述有理简单函数，令 $B$ 遍历旧参数空间的一套可数 Borel 生成代数。对几乎每个 $w$ ，有

\int_{R(e)\in B} \langle u(e,\cdot),s_j\rangle_{\mathcal H_w} \,\mathrm{d}\beta_w(e) = \int_B\langle g(p',\cdot),s_j\rangle_{\mathcal H_w} \,\mathrm{d}\alpha_w(p'). \tag{Tests-A}

先对可数个 $(B,j)$ 取共同满测集。固定这样的 $w$ ，测度唯一性把 $B$ 扩至所有 Borel 集， $s_j$ 的稠密性再确定向量。结合式 (Pushforward)，这正是

\mathbb E_{\beta_w}[u(e,\cdot)\mid R(e)] =g(R(e),\cdot) \quad\text{于 }\mathcal H_w. \tag{Hilbert-tower}

6. 非零随机向量不可能与独立副本几乎处处正交

对应 A p.20，式 (6.8) 后的论证。

设 $V$ 是可分实 Hilbert 空间中的平方可积随机向量， $V'$ 是独立同分布副本。如果 $\langle V,V'\rangle=0$ 几乎处处，则 $V=0$ 几乎处处。

假设 $V$ 不几乎处处为零。存在 $\varepsilon>0$ ，使事件 $\|V\|\ge\varepsilon$ 的概率为正。可分性给出半径 $\varepsilon/4$ 的球的可数覆盖，因此其中一个球与该事件相交的概率为正。独立性保证两个副本同时进入这个交集的概率为正。在此事件上，

\|V\|,\|V'\|\ge\varepsilon, \quad\|V-V'\|\le\varepsilon/2,

所以

\langle V,V'\rangle =\frac{\|V\|^2+\|V'\|^2-\|V-V'\|^2}{2} \ge\frac{7\varepsilon^2}{8}>0,

矛盾。

7. 行列相关不能几乎处处为零

假设式 (Pair-A) 的 $K(E)$ 几乎处处为零。由式 (Parameter-product)，对几乎每个 $w$ ，

\langle g(p,\cdot),u(e,\cdot)\rangle_{\mathcal H_w}=0 \quad\text{对 }\alpha_w\otimes\beta_w\text{ 几乎处处的 }(p,e).

固定几乎每个 $p$ ，在 $e$ 上条件于 $R(e)=p'$ 。有界性允许内积这个连续线性泛函与条件期望交换。式 (Hilbert-tower) 与 $R_*\beta_w=\alpha_w$ 因而给出

\langle g(p,\cdot),g(p',\cdot)\rangle_{\mathcal H_w}=0 \quad\text{对 }\alpha_w\otimes\alpha_w\text{ 几乎处处的 }(p,p').

第 6 节的引理用于参数分布为 $\alpha_w$ 的随机向量 $g(p,\cdot)$ ，迫使它为零，且对几乎每个 $w$ 成立。旧选取分布给定完整参数后的单状态律为 $m_{Y,P_b}$ ，所以

\begin{aligned} \|g(P,y_b)\|_{L^2(\lambda_Y)}^2 &=\int_{W_Y}\int \|g(p,\cdot)\|_{\mathcal H_w}^2 \,\mathrm{d}\alpha_w(p)\,\mathrm{d}\nu_Y(w)\\ &=0. \end{aligned}

这与式 (g-A) 的非零性矛盾。因此 $K$ 不是零函数。

这一段使用的独立副本是条件参数乘积空间中的两个 $g$ 向量。实际方阵的整行与整列没有被断言独立。

8. 在同一个最小支撑上增加一个辅助位置

对应 A §6.4，p.20，式 (6.9)。

取有界实参数函数 $\Theta(E)=\operatorname{sgn}K(E)$ ，则

\mathbb E_{\lambda_Z}[\Theta(E)q((y_i)_i)q(z_b)] =\mathbb E_{\lambda_Z}|K(E)|>0. \tag{New-correlation}

这个乘积仍然只使用位置集合 $J$ ：列函数在 $J\setminus\{b\}$ 各有一个因子，行函数 $q(z_b)$ 放在位置 $b$ 。逐类检查它们是否满足前篇式 (Corr-A) 的要求。

8.1 旧辅助位置仍为辅助位置

若 $i\in A$ ，列因子为 $h_i(d_Y(y_{ib}))$ 。位置 $i$ 的新状态为 $z_i$ ，其中旧位置 $b$ 的辅助列表已完整保留。因此该函数只依赖新辅助变量，可以忽略新列表的其他坐标，仍是辅助位置。

其实际使用的坐标在新乘积空间律下具有旧的辅助乘积边缘，所以零均值保持。

8.2 其余含原变量的位置保持允许的真子集

若 $i\in J\setminus(A\cup\{b\})$ ，旧列表为

L_i=(x_0,d_{Y,H_i}), \quad H_i\subsetneq\{1,2,3\}.

列上的新函数使用 $x_0(y_{ib})$ ，恰是新系统的原变量；还使用旧位置 $b$ 中原来属于 $H_i$ 的辅助变量。因为这些旧组三编号被保留，函数可以视为新原变量与新组集合 $H_i$ 的函数，并忽略各组中新增加的其他坐标。 $H_i$ 仍是真子集，所以是允许的含原变量列表。

其所使用坐标的乘积边缘与旧列表相同，故均值仍为零。这一步正好需要 A 比 B 更宽的列表定义。

8.3 位置 $b$ 成为新的辅助位置

$q(z_b)$ 是新增加的列表 $Q_j$ 、 $j\in J\setminus\{b\}$ 的函数。它只用辅助变量。在全部新辅助变量的乘积空间律下，这些列表相互独立，而各 $h_j$ 具有零均值，因此

\int q\,\mathrm{d}(\text{新辅助乘积测度}) =\prod_{j\in J\setminus\{b\}} \int h_j\,\mathrm{d}\kappa_j=0.

集合 $J\setminus\{b\}$ 非空，因为 $k\ge4$ 。所以 $q(z_b)$ 也是允许的中心化辅助测试。

式 (New-correlation) 因而是支撑仍为 $k$ 、辅助位置数为 $r+1$ 的非零相关，与 $r$ 在最小支撑上的最大性矛盾。

9. 这条条件证明得到的结论

对应 A p.21，Theorem 1.1 的完成段落。

A Theorem 1.1 声称：若 $(X,\mathcal F,\mu,T)$ 为可逆、双可测、保概率的混合系统，则对每个固定整数 $n\ge2$ 和每个固定有界可测元组 $f_1,\ldots,f_n$ ，

\frac1N\sum_{l=1}^{N}\prod_{i=1}^{n}f_i(T^{il}x) \longrightarrow\prod_{i=1}^{n}\int_Xf_i\,\mathrm{d}\mu \quad\text{对几乎每个 }x,

其中 $N$ 经过全部正整数。零测例外集可以依赖系统、 $n$ 和这个固定元组；不要求对所有有界函数同时成立。

第五单元展开的反证链是：若这个逐点结论失败，中心化展开留下一个非空支撑；选择长度与相位权重保留严格正相关；至多三状态的条件律迫使最小支撑 $k\ge4$ ；最小支撑与最大辅助位置数允许重分组三组；单状态稳定性及纤维非零性再产生 $r+1$ ，矛盾。

这一推导对原文列出的光滑三重、相对结构和高阶 mixing 前提是闭合的。原始空间无需标准，可由固定元组的可数轨道读数因子拉回 Borel 满测收敛集。标准化的完整证明和完成化边界见对应补充。

对任意固定的两两不同正整数斜率，可把缺少的位置填入常数 $1$ ，作为上述陈述的直接后果。此处没有把结论扩大为任意正负混合斜率的全部有限阶陈述。

原文对照

A p.17，式 (6.1)–(6.3)： $q,g,u$ 、两种参数及方阵坐标。
A p.18，Lemma 6.1、式 (6.4)–(6.5)：类型零与单状态稳定性、角点条件律、行列配对。
A pp.18–19，Lemma 6.2：在原流上重新选择时间原点，得到参数条件独立性。
A pp.19–20，式 (6.6)–(6.8)：纤维参数乘积、Hilbert 空间值塔性质、独立副本非零引理。
A pp.20–21，式 (6.9) 与主定理完成段落：同支撑增加辅助位置数，及固定元组的全长度结论。

本单元已展开 A §§2–6 的这条条件证明；Appendix A 的投影计数与第四单元 B §4 的证明对应。未覆盖的是 R 的高阶 mixing 全证明、C 所需解析估计的全部外部证明，以及所引相对结构理论的原始完整证明。