第五单元（中）：最小支撑与最大辅助位置数

本篇讨论 A §§4–5，原文 pp.10–17。任意有限阶时，没有一般辅助系统上所有真子集平均的逐点结论。A 的处理是先在全部非零相关中选择最小支撑，再在这个固定大小上选择最多的辅助位置。较小支撑的相关因而必须为零，这只决定允许的空间列表的联合分布，并不决定完整状态的联合分布。

全篇固定同一个 $n$ 、悬挂系统 $C$ 、选择函数列 $(N_a)$ 和自由超滤子 $\mathcal U$ 。各个流扩张均使用这组固定资料的拉回；比较不同允许系统时不重新选择它们。

三组辅助变量在选取分布下保持这一事实，仍依赖 A Theorem 2.1 引用的配套稿 R。其准确形式为：对每个固定有限 $s\ge2$ 、有界函数 $g_1,\ldots,g_s$ ，

\int_X\prod_{j=1}^{s}g_j(T^{t_j}x)\,\mathrm{d}\mu(x) \longrightarrow\prod_{j=1}^{s}\int_Xg_j\,\mathrm{d}\mu \quad\text{当 }\min_{i\ne j}|t_i-t_j|\longrightarrow\infty. \tag{HM-A}

R 从普通 mixing 推出这一结论的逐步推导，见多重混合依赖精读。以下明确以式 (HM-A)、第五单元上篇的条件分布结论以及已列出的相对结构结果为前提。

1. 三组辅助变量的定义

对应 A Definition 4.1，pp.10–11，式 (4.1)。

固定 $I=\{1,\ldots,n\}$ 。设 $Y$ 为悬挂 $C$ 上的标准保概率流，原始因子为 $\pi_Y:Y\to C$ 。另给定有限个保概率映射 $D_\gamma:Y\to C$ 和正有理速度 $q_\gamma$ ，满足对每个固定 $t$ ，

D_\gamma\circ S_Y^t=S_C^{q_\gamma t}\circ D_\gamma \quad\text{模零成立}.

将辅助指标分为三组 $\mathcal D_1,\mathcal D_2,\mathcal D_3$ ，允许空组。记

x_0=\xi\circ\pi_Y, \quad x_\gamma=\xi\circ D_\gamma, \quad d_Y=(x_\gamma)_\gamma, \quad d_{Y,H}=(x_\gamma)_{\gamma\in\cup_{j\in H}\mathcal D_j}.

令 $V$ 收集原始因子及全部辅助因子的相位。要求

\operatorname{Law}_{m_Y}(d_Y\mid V)=\bigotimes_\gamma\mu, \tag{G1-A}

以及对每个真子集 $H\subsetneq\{1,2,3\}$ ，

\operatorname{Law}_{m_Y}(x_0,d_{Y,H}\mid V) =\mu\otimes\bigotimes_{\gamma\in\cup_{j\in H}\mathcal D_j}\mu. \tag{G2-A}

空列表按单点概率空间解释。第二式包括空 $H$ ，故 $x_0$ 与完整相位独立；却不要求 $x_0$ 与全部三组整体独立。

原文将整个带这些资料的流称为 channel。下文直接称为具有三组辅助变量的系统。

2. 与第四单元相同的结论，哪些参数发生了变化

2.1 相位条件提升为 distal 参数条件

A Lemma 4.2（p.11）断言：式 (G1-A)、(G2-A) 把条件 $V$ 改为最大 distal 因子 $W_Y$ 后仍成立；进一步流扩张保留这些条件律。

其证明与第四单元的 B Lemma 5.2 相同。清除有理速度的分母后，某个整数时间 $h$ 固定所有相位，空间元组按有限个正整数幂的乘积变换演化。普通 mixing 使这个乘积系统 mixing。逐个固定相位的相关趋零，再由统一有界上界和支配收敛，得到相位基底上的相对弱混合。 $W_Y$ 在同一时间 $h$ 下相对 distal，故相对不交性决定其条件空间律仍为固定乘积律。

这里不使用式 (HM-A)。高阶 mixing 只在下一项的重复空间读数中出现。扩张时先拉回全部既有变量，它们的联合分布不变；再对新最大 distal 因子使用相同论证。

2.2 复制到全部 $n$ 个位置

A Proposition 4.3（pp.11–14）说明：在 $M_b(Y)$ 上保留原始因子 $\pi_Y(y_b)$ ，将所有 $D_\gamma(y_i)$ 、 $i\in I$ 都列为辅助因子，并保留 $\gamma$ 的原组三编号，仍然满足两条条件律。

第四单元已展开这一保持证明的所有估计。由四个位置改为固定 $n$ 个位置时，需要核对的是下列有限性，而不是假设新的任意阶逐点定理。

写 $t=hl+s$ 、 $0\le s<h$ ，令 $e_\gamma=hq_\gamma\in\mathbb N$ 。每个辅助读数的时间为

e_\gamma i l+a_{\gamma,i}, \quad i\in I,

偏移 $a_{\gamma,i}$ 只有有限种模式。旧原变量的读数时间为 $hbl+a_0$ 。选择长度 $N=c2^k$ 删去不足一个长度为 $h$ 的末段，并换归一化，误差至多 $2h/N$ 。

若只使用真子集辅助组，原变量与这些组在给定相位后独立。对任一含中心化函数的辅助坐标，式 (HM-A) 使其不同位置的相关趋零，且有限种偏移可取共同阈值。其 Cesàro 均值的尾部上确界趋零，所以可用于任意足够大的依点选择长度。若只有原变量被中心化，则用 $T^{hb}$ 的 Birkhoff 定理。

若三个组都出现中心化函数，就得到三个实 Hilbert 空间中的单位球向量 $u_l,v_l,w_l$ 。前两列向量在删去有限初始段后，各自的内积在某个有界度数图以外不超过 $\eta$ 。原因是坏对只能落在有限多个约束

|e_\gamma i l-e_\gamma i'l'+a|\le R

中；对每个固定 $l$ ，每个约束只允许有界多个 $l'$ ，因为 $e_\gamma i'>0$ 。这时式 (HM-A) 的阶数和图度数可依赖固定 $n$ 与固定测试，不要求对 $n$ 一致。

在一个长度事件中，令 $p$ 为其条件概率， $m=\lfloor c2^k/h\rfloor$ ，并令

d_m=\left\lceil(1+\log m)^{3/2}\right\rceil.

先固定 $0<\varepsilon\le1$ ，再取 $0<\eta\le\varepsilon^2/10^4$ ，随后确定相应的图度数与初始截断。对 $u_l\otimes v_l$ 的协方差取前 $d_m$ 个特征方向。A Appendix A 的 Theorem A.1 与 B Theorem 4.1 是同一投影计数估计，已在第四单元完整展开。其主要部分对该长度事件贡献至多 $p(\varepsilon+o(1))$ ；剩余部分由协方差迹和事件子概率密度控制为 $\sqrt{p/d_m}$ 。

这些估计的维数增长及求和只涉及 $m$ ，没有使用位置数恰为四。先固定 $\varepsilon,\eta$ 和相应图度数、截断，再取长度尾部上确界，主要部分总和至多 $\varepsilon+o(1)$ 。剩余部分满足

\sum_{k\ge a,\ c\in F}\sqrt{p_{k,c}/d_{m(k,c)}} \le\left(\sum_{k\ge a,\ c\in F}d_{m(k,c)}^{-1}\right)^{1/2} \longrightarrow0.

事件的两组边缘由可数生成代数选择共同零集；投影只需对可数个长度与有限种偏移预选。最后 $a\to\infty$ ，再 $\varepsilon\downarrow0$ 。这逐项说明前篇已证估计可以用于当前任意固定的 $n$ 。

2.3 给定旧完整参数后的全部辅助乘积律

A Corollary 4.4（p.14）的结论是

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((d_Y(y_i))_{i\in I}\mid P) =\bigotimes_{i\in I}\operatorname{Law}_{m_Y}(d_Y). \tag{All-outputs}

证明先在 $M_b(Y)$ 使用刚刚得到的三组结构，再用 Lemma 4.2 条件于新最大 distal 因子。旧参数数组 $P$ 包含在该因子中，对较小的 $P$ 取条件期望，固定乘积测度保持不变。

3. 一个位置上允许哪两类空间列表

对应 A §5.1，p.14。

每个位置 $i$ 预先指定以下两类之一：

L_i(y_i)=d_Y(y_i) \quad\text{为辅助变量位置};

或

L_i(y_i)=(x_0(y_i),d_{Y,H_i}(y_i)), \quad H_i\subsetneq\{1,2,3\}, \quad\text{为含原变量的位置}.

原文分别称为 output role 与 input role。第二类允许函数同时依赖原变量与旧三组的一个真子集，这一点比 B 的对应选择更宽。函数可以忽略列表中的部分坐标，但位置类别仍按事先指定的列表计算。

每类列表都有固定的乘积空间分布，记为 $\kappa_i$ 。对非空 $J\subseteq I$ ，选取实有界函数 $h_i$ 满足

\int h_i\,\mathrm{d}\kappa_i=0 \quad(i\in J),

并考虑

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[ \Phi(P)\prod_{i\in J}h_i(L_i(y_i))\right], \tag{Corr-A}

其中 $\Phi$ 是完整参数数组的任意实有界函数。Lemma 4.2 进一步保证

\mathbb E_{m_Y}[h_i(L_i)\mid W_Y]=0.

4. 最小支撑给出的乘积律

对应 A Lemma 5.1，p.15。

4.1 最小值存在并至少为四

第五单元上篇的正相关在没有辅助变量的悬挂系统上给出式 (Corr-A) 的一个非零例子。在全部允许系统、全部角色列表及测试函数中，令 $k$ 为非零相关的最小支撑大小。可能大小只属于有限集合 $\{1,\ldots,n\}$ ，非零例子保证其中的非空子集有最小元素。

若 $|J|\le3$ ，A Proposition 3.3 的完整参数条件律使这些完整状态在给定 $P$ 后独立。再用每个位置的条件中心化，得到

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[\prod_{i\in J}h_i(L_i(y_i))\mid P\right]=0.

乘任意 $\Phi(P)$ 后仍为零，故 $k\ge4$ 。如果 $n<4$ ，此时已经与逐点失败矛盾；以下只讨论 $4\le k\le n$ 。

4.2 对任意较小列表组合完整展开测试

任取一个允许系统，选 $s<k$ 个不同位置 $i_1,\ldots,i_s$ ，每处指定一个允许空间列表。对任意实有界测试 $F_j$ ，写

c_j=\int F_j\,\mathrm{d}\kappa_{i_j}, \quad F_j=c_j+\widetilde F_j, \quad \int\widetilde F_j\,\mathrm{d}\kappa_{i_j}=0.

有限展开为

\prod_{j=1}^{s}F_j(L_{i_j}) =\sum_{K\subseteq\{1,\ldots,s\}} \left(\prod_{j\notin K}c_j\right) \prod_{j\in K}\widetilde F_j(L_{i_j}).

对每个非空 $K$ ，右边的中心化乘积只用 $|K|\le s<k$ 个位置。它乘任意实有界 $\Phi(P)$ 后的积分，按 $k$ 的全局最小性为零。因此

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[ \prod_{j=1}^{s}F_j(L_{i_j})\mid P\right] =\prod_{j=1}^{s}c_j.

对各标准空间的可数 Borel 生成代数先取共同参数满测集，乘积测试决定概率测度；测度唯一性再延伸至全部 Borel 集。于是

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((L_{i_j}(y_{i_j}))_{j=1}^{s}\mid P) =\bigotimes_{j=1}^{s}\kappa_{i_j}. \tag{Below-k}

这项结论对任何允许系统成立，因为最小值正是在全部系统中选择的。它只涉及指定的空间列表；没有证明 $s$ 个任意完整状态在给定参数后相互独立。

5. 固定最小支撑后，再取最多的辅助位置

仍对应 A p.15。

在支撑恰为 $k$ 的所有非零相关中，令 $r$ 为辅助变量位置数的最大值。它属于 $\{0,\ldots,k\}$ ，因此可以选到实现该数值的一个系统和相关。

若 $r=k$ ，所有列表都只用辅助变量。式 (All-outputs) 及每个空间测试的零均值使相关为零。因此

0\le r<k.

选定一个实现 $(k,r)$ 的相关，令 $A\subseteq J$ 为其辅助位置集合，取 $b\in J\setminus A$ 。于是

|J|=k, \quad |A|=r, \quad L_b=(x_0,d_{Y,H_b}), \quad H_b\subsetneq\{1,2,3\}.

下一步只扩张这个已经选定的系统，并保留其相关值。 $k,r$ 的全局极值仍对扩张后的允许系统有效。

6. 只稳定参数与单个完整状态

对应 A §5.2、Lemma 5.2，pp.15–16，式 (5.2)–(5.3)。

这里定义

\mathcal D_0(Y)=\sigma(P), \quad\mathcal D_i(Y)=\sigma(P,y_i) \quad(i\in I). \tag{Data-A}

A 使用的是一个状态，而 B §6.2 使用的是除一个位置外的其他三个状态。两种条件信息不能互换。A 后续的方阵证明将直接利用当前单状态形式。

6.1 扩张下的包含关系

若 $\rho:Y'\to Y$ 为 $C$ 上的流扩张， $(\rho^I)_*\lambda_{Y'}=\lambda_Y$ 。旧 $W_Y$ 拉回后为新流的 distal 因子，故包含在 $W_{Y'}$ 中；旧位置 $y_i$ 是新位置的映像。因此

(\rho^I)^{-1}\mathcal D_l(Y) \subseteq\mathcal D_l(Y') \quad(l\in\{0\}\cup I),

均按模零包含理解。

Lemma 5.2 的结论是存在标准流扩张 $Y_*\to Y$ ，使对任意进一步标准流扩张 $\rho:Y'\to Y_*$ 、任意 $f\in L^2(\lambda_{Y_*})$ 和任意 $l\in\{0\}\cup I$ ，

\mathbb E_{\lambda_{Y'}}[f\circ\rho^I\mid\mathcal D_l(Y')] =\mathbb E_{\lambda_{Y_*}}[f\mid\mathcal D_l(Y_*)]\circ\rho^I. \tag{Stable-A}

这是 $L^2(\lambda_{Y'})$ 中的函数类等式；不要求所有扩张和测试共用一个逐点满测集。

6.2 有界能量与可数安排

对阶段上固定的测试 $f$ 和类型 $l$ ，定义能量

\mathcal E(f,l)=\|\mathbb E[f\mid\mathcal D_l]\|_2^2.

包含关系使该数在进一步扩张时不降，并被 $\|f\|_2^2$ 控制。每个阶段的 $L^2$ 可分，取一个可数稠密集，保留此前所有测试的拉回。用可数对角安排，使每个保留测试与每个 $l$ 都反复处理，规定误差趋于零。

在处理 $(f,l)$ 的阶段，从全部标准扩张中选一个，使其能量距离可达到的上确界小于规定误差 $\varepsilon$ 。标准 Borel 空间、测度、Borel 作用及因子映射可在固定标准空间上编码，因此这里可在一个集合上取上确界。恒等扩张保证候选非空；有界性保证上确界有限。只需按定义选到近似最优者，不要求最大值实现。

6.3 逆极限与任意进一步扩张的比较

取构造链的可数逆极限 $Y_*$ 。按上篇的完整乘积实现，固定时间保测、因子关系模零成立，阶段选取分布彼此兼容且阶段函数在极限 $L^2$ 中稠密。

固定一个保留测试、一个类型及任意扩张 $Y'\to Y_*$ 。若某次优化之前和之后的阶段为 $Y_a,Y_{a+1}$ ，误差为 $\varepsilon_a$ ，则 $Y'$ 也是 $Y_a$ 的扩张，故

\mathcal E_{Y'}(f,l) \le\sup_{R\to Y_a}\mathcal E_R(f,l) \le\mathcal E_{Y_{a+1}}(f,l)+\varepsilon_a \le\mathcal E_{Y_*}(f,l)+\varepsilon_a.

沿该对数据反复被处理的子序列令 $\varepsilon_a\to0$ ，得到不等式的一侧；能量单调性给出反向不等式，因此能量相等。

把旧 $L^2$ 作为新 $L^2$ 的等距子空间，旧、新条件期望分别是到嵌套闭子空间的正交投影 $P_0,P_1$ 。有

\|P_1f\|_2^2=\|P_0f\|_2^2+\|P_1f-P_0f\|_2^2.

能量相等迫使投影相同。阶段稠密性和条件期望的压缩性把结论延伸到所有 $f$ ，证明式 (Stable-A)。没有使用最大 distal 因子与逆极限交换的断言。

6.4 极值相关随扩张保留

原始因子及三组变量拉回后仍满足条件律。选取分布的因子兼容性保留原相关的积分，旧参数权重成为新参数的函数。因此扩张后仍是支撑为 $k$ 、辅助位置数为 $r$ 的同一个非零相关。此后把这个稳定系统仍记为 $Y$ 。

7. 将其他支撑位置变为新辅助列表

对应 A §5.3，p.16。

取 $Z=M_b(Y)$ 。其状态为 $z=(y_j)_{j\in I}$ ，测度为 $m_Z=\lambda_Y$ ，原始因子为 $\pi_Y(y_b)$ 。

先保留位置 $b$ 的全部旧辅助因子，并保留它们的原组三编号。对每个 $j\in J\setminus\{b\}$ ，另增加整个列表

Q_j=L_j(y_j).

若 $j$ 是含原变量的位置，这个列表中的原变量也来自真实的 $C$ -值因子 $\pi_Y(y_j)$ ，不是仅增加一个没有流结构的空间坐标。

因为 $k\ge4$ ，存在满射

\tau:J\setminus\{b\}\longrightarrow\{1,2,3\}.

把整个 $Q_j$ 放入新第 $\tau(j)$ 组。列表内部不再拆分。旧因子在位置 $j$ 的速度乘以 $j/b$ ，所以新速度仍为正有理数；每个因子的保概率边缘也不变。

这里有两个不同规则：位置 $b$ 保留旧组三编号，其他位置的整个列表按 $\tau$ 分配。下面分别用到它们。

8. A Lemma 5.3：两条新条件律的完整证明

原文 pp.16–17。

所有新相位都是旧完整参数数组 $P$ 的函数。只需先给定 $P$ 证明固定空间乘积律，再将条件缩到新完整相位。

8.1 全部新辅助列表

新辅助变量分成 $k$ 个旧位置的列表：

d_Y(y_b),\quad Q_j\ (j\in J\setminus\{b\}).

每个列表都是旧系统中的允许列表。对每个列表取一个实有界测试，写成其固定乘积空间均值加中心化部分，再展开。

若展开项包含的中心化位置数小于 $k$ ，式 (Below-k) 决定它的条件均值：只要有中心化项就为零。唯一尚待处理的是全部 $k$ 个测试都中心化的项。

若此项对 $P$ 的条件期望非零，取其符号为参数权重，积分便为其绝对值的正积分。由此得到旧系统上的一个非零相关：支撑仍为 $k$ ，原来其他位置的类别不变，位置 $b$ 却改成仅用辅助列表。因此辅助位置有 $r+1$ 个，与 $r$ 的最大性矛盾。

若 $d_Y(y_b)$ 为空，单点空间上的中心化测试就是零，以上结论同样成立。因此全部新辅助变量在给定 $P$ 后具有各自空间分布的乘积律，即第一条新规则。

8.2 新原变量与任意真子集新组

取 $H\subsetneq\{1,2,3\}$ ，并加上新原变量 $x_0(y_b)$ 。在旧位置 $b$ ，保留的列表恰为

(x_0(y_b),d_{Y,H}(y_b)),

因为此处旧组三编号没有改变。它是允许的含原变量列表。

其余位置 $j$ 被纳入当且仅当 $\tau(j)\in H$ ；一旦纳入，就保留完整 $Q_j$ 。由于 $\tau$ 满射且 $H$ 为真子集，至少一个 $j\in J\setminus\{b\}$ 被遗漏。因此实际涉及的旧位置数严格小于 $k$ 。

在这些位置应用式 (Below-k)，得到所需的完整空间乘积律。各列表内部的固定空间分布又由 Lemma 4.2 确定，因此新原变量及所保留的新组也满足第二条规则。

8.3 缩小条件与两种选择的用途

刚刚得到的两个右侧乘积测度均为常量，不依赖 $P$ 。新相位对 $P$ 可测，条件期望的塔式性质因此把两条律降到新相位，证明 $Z$ 确实具有三组辅助变量结构。

满射 $\tau$ 保证第二条规则遗漏至少一个支撑位置；保留位置 $b$ 的旧组三编号，保证其原变量与剩余旧组仍组成允许列表。若任意混合这两种分组规则，上述应用最小支撑的理由就会消失。

9. 已形成的非零条件平均

对应 A §6.1 开头，p.17。

令

q((y_i)_{i\in I})=\prod_{j\in J\setminus\{b\}}h_j(L_j(y_j)), \quad g(P,y_b)=\mathbb E_{\lambda_Y}[q\mid P,y_b].

原非零相关为

\mathbb E_{\lambda_Y}[\Phi(P)h_b(L_b(y_b))g(P,y_b)].

若 $g(P,y_b)=0$ 于 $L^2(\lambda_Y)$ ，此积分就为零，矛盾。因此 $g\ne0$ 。在同一状态空间视为 $Z$ 时， $q$ 只使用新增加的辅助列表。下一篇将用式 (Stable-A) 的单状态条件信息，直接比较方阵中的 $q$ 行函数与列函数。

原文范围与未覆盖部分

A pp.10–14，Definition 4.1、Lemma 4.2、Proposition 4.3、Corollary 4.4：三组定义及保持；具体张量估计已在第四单元展开，本篇核对任意固定位置数的适用条件。
A pp.14–15，式 (5.1)、Lemma 5.1：允许列表、全局最小支撑及较小列表的条件乘积律。
A pp.15–16，式 (5.2)–(5.3)、Lemma 5.2：参数与单状态条件期望的同时稳定扩张。
A pp.16–17，Lemma 5.3：按满射重分组的两条条件律。

尚未证明行列相关非零及辅助位置数最终增加；这些是下一篇 A §6 的内容。高阶 mixing 与所列结构定理仍是明确的外部前提。