成功高度之后：从标量 Fourier 展开到频率测试

本章精读 An $L^3$ bound for the trilinear Hilbert transform，固定 October 5 稿，具体是第 78 页式 (29)，以及第 79–81 页 §9.2 的式 (30)–(33)。

目标是解释：成功高度给出的有限模式展开，怎样变成带衰减权重的频率测试；三个核心角色时，第四个角色为什么必须携带一个 Fourier 平方质量。有限稀疏计数是接下来的 §9.3 Lemma 9.1，不是 §9.1，也不在本章重新证明。

1. 本章从哪些已经列明的条件开始

固定一个保留尝试的根 $R$ 、一个局部化叶、一个实际使用格 $I=I_s$ 和组 $G$ 。记

r=|I|,\quad R_s=r^{-1},\quad x^*\in I.

所有模式列表都有限。核心角色集合 $J\subset\{0,1,2,3\}$ 的大小为 $m_0=3$ 或 $4$ ；若只有三个核心角色，余下的侧角色记为 $l$ 。仍取 $c=(-1,3,-3,1)$ 。

本章输入包括：源 Lemma 8.4 的成功前驱唯一性和最小 CURRENT 分量上的谓词一致性；Lemma 8.10 的遗传代表与分离；Lemma 8.11 的分量近正交；式 (26) 的分量大小；Proposition 8.12 的路径预算。这些结构不能从下面一次 Fourier 展开自行推出。

参数 $D_*$ 控制有限目录和绝对系数预算， $\log D_*\le\operatorname{poly}(P,k)$ 。所有精度指数先固定，然后选择预滞后及 Fourier 截断。扩大 $D_*$ 一个固定幂不会改变其对数预算。实际格的深度位于相应块的深度范围中，而不是把空间区间 $I$ 当作一个深度区间。

2. 成功高度给出的真实标量模型

先说明参数。组的共同曲率标签记为 $z$ ， $Q_0$ 是清除 $C_z$ 分母的共同整数， $\vartheta=\theta_z/Q_0$ 。源 §8.3 固定 $\Delta=10$ ，并取

L_h=6^h,\quad E_h=A_0^{h+1},\quad 0\le h\le J_*,

其中 $A_0$ 是按此前高度、Fourier 截断和目录预算选定的足够大整数， $J_*$ 是有限最高高度。 $E_h$ 是整数移位半径，不是投影算子。每次高度都在源文指定的上部范围

\mathcal H_{\mathrm{up}}=\{h\in\mathbb Z:\lceil4\delta_*J_*\rceil\le h\le J_*\}

独立均匀抽取，且此前选择 $J_*$ 足够大，使其下端至少为 $\Delta$ 。最小 CURRENT 分量上的谓词一致性与每个核心模式至多 $2\delta_*$ 的坏密度，均在这个范围中使用。固定最终成功高度 $h\in\mathcal H_{\mathrm{up}}$ ，置

\xi=\vartheta/L_{h-\Delta},\quad \gamma_j^*=\omega_{a_j}(x^*),

其中 $a_j$ 是所选前驱的继承代表。PRE 路径和预滞后使每个所选核心模式的斜率可以写成 $\gamma_j^*+n_j\cdot\xi$ ，误差乘以 $r$ 后极小；其二次 Taylor 误差也极小。

因此第 $j$ 个物理核心参数满足源式 (29)：

f_j^{\mathrm{sel}}(y) =e(c_jp_{\rho_j}(y))e(\gamma_j^*(y-x^*)) g_j(\xi(y-x^*))+\mathrm{Err}_j(y). \tag{模型}

记所选绝对模式系数和为 $A_j$ 。可取

\|\mathrm{Err}_j\|_\infty\le D_*^{-150}A_j.

这里先使用真实周期 cutoff，乘以有限模式三角多项式，识别共同的 progression multiplier；之后才把 cutoff 截断成有限 Fourier 多项式。真实选中参数和真实 cutoff 模型的物理上界都不超过 $A_j$ ，截断后的模型可取上界 $2A_j$ 。

包括 multiplier 在内，在任一角色作锚点的坐标中，所需 Fourier 支持都包含于完整整数盒

|n|_\infty,|m|_\infty\le B_h',\quad B_h'=D_*^5E_{h-\Delta}. \tag{完整盒}

盒子必须覆盖所有卷积及以后作差的范围。通过允许的预算扩大，可以用 $D_*A_j$ 控制每个 $g_j$ 的 Wiener 范数，用 $D_*$ 控制截断 multiplier 的 Wiener 范数。精度选择使截断尾部也不超过所需的固定逆幂误差。

3. Tiny/huge 条件必须作用于差频率

成功高度提供非例外 primary 及一个有理子空间 $K_B\subset\mathbb R^d$ ，其中 $d$ 是当前水平维数。我们需要如下定量二分，对完整 Fourier 范围中的每个字符差 $n$ 都成立：

n\in K_B\quad\Longrightarrow\quad |rn\cdot\xi|\le\varepsilon_{\mathrm{gap}},

n\notin K_B\quad\Longrightarrow\quad |rn\cdot\xi|\ge M_{\mathrm{gap}}. \tag{Gap}

小量可以小到任意预先指定的 $D_*$ 逆幂；大量可以大到任意预先指定的固定幂。下面要求 $M_{\mathrm{gap}}>10D_*^{250}$ ，且 $\varepsilon_{\mathrm{gap}}$ 足以吸收所有有限 Wiener 成本。

这不是只检验每个原频率的条件。例如两个本身都很大的频率仍可能相差很小；平方范数及两个参考频率的分离都要检验它们的差。

令

\mathcal L=K_B\cap\mathbb Z^d,\quad H=\mathcal L^\perp =\{u\in\mathbb T^d:e(n\cdot u)=1\text{ 对所有 }n\in\mathcal L\}.

若非零整数 $q$ 满足 $qn\in\mathcal L$ ，则 $n\in K_B$ ，所以 $n\in\mathcal L$ 。因此 $\mathcal L$ 是饱和格。整数基的标准消元把它化为无扭结的坐标子格，故其 annihilator $H$ 是连通环面，包括零维情形。其字符群为 $\mathbb Z^d/\mathcal L$ ，并有

\int_H e(n\cdot u)\,\mathrm{d}u=\mathbf1_{\mathcal L}(n). \tag{Haar 字符}

所有 Haar 测度均归一化为概率测度。

4. 区间平方平均怎样成为 Haar 平方平均

写有限展开 $g(u)=\sum_n\widehat g(n)e(n\cdot u)$ 。对一个差频率 $v$ ，归一化区间平均为

J_I(v)=\frac1r\int_Ie(v\cdot\xi(y-x^*))\,\mathrm{d}y.

若 $v\in\mathcal L$ ，因 $|y-x^*|\le r$ ，

|J_I(v)-1|\le2\pi|rv\cdot\xi|\le2\pi\varepsilon_{\mathrm{gap}}.

若 $v\notin\mathcal L$ ，直接积分指数函数得到

|J_I(v)|\le\frac1{\pi r|v\cdot\xi|}\le\frac1{\pi M_{\mathrm{gap}}}.

展开 $|g|^2$ ，逐项与 Haar 字符积分比较：

\left|\frac1r\int_I|g(\xi(y-x^*))|^2\,\mathrm{d}y-\|g\|_{L^2(H)}^2\right| \le C(\varepsilon_{\mathrm{gap}}+M_{\mathrm{gap}}^{-1})\|g\|_{\mathrm W}^2. \tag{平均比较}

有限性保证无需交换未经控制的无限求和。精度选择后，右端至多为 $D_*^{-100}A_j^2$ 。

现在解释式 (30) 的分量控制。记 $\mathcal D_j^{\mathrm{sel}}$ 为所选最小 CURRENT 分量；由于谓词一致，选中的是整个核心小计 $A_D$ 。定义

A(D)=\sum_{\substack{m\text{ 为核心}\\m\in D}}|\alpha_m|,\quad w_D=\bigl(\|A_D\|_{2,I}+D_*^{-30}A(D)\bigr)^2.

源式 (26) 就是 $\sigma_{F_j}^2=\sum_{D\subset F_j}w_D$ 。Lemma 8.11 对任意不同最小分量内的系数小计提供

\left\|\sum_DA_D\right\|_{2,I} \le C\left(\sum_D\|A_D\|_{2,I}^2\right)^{1/2}.

这里只需其上界一侧。模型误差和平均比较的平方根因此给出

a_j'\le C\left(\sum_{D\in\mathcal D_j^{\mathrm{sel}}}\|A_D\|_{2,I}^2\right)^{1/2} +CD_*^{-50}\sum_{D\in\mathcal D_j^{\mathrm{sel}}}A(D).

平方后得到

(a_j')^2=\|g_j\|_{L^2(H)}^2 \le C\sum_{D\in\mathcal D_j^{\mathrm{sel}}}w_D. \tag{分量控制}

为核误差吸收，若至多有 $D_*$ 个分量，则

D_*^{-100}\left(\sum_DA(D)\right)^2 \le D_*^{-99}\sum_DA(D)^2 \le D_*^{-60}\sum_DA(D)^2.

最后一项已包含在 $\sum_Dw_D$ 中。增强空间的范数控制物理分量，所以丢掉私有坐标不会增加右端所需预算。

5. 四因子的 Haar 估计究竟用了什么

在 $H^2$ 上考虑四个 progression 坐标 $u+(j-l')v$ 。任意不同的两个坐标定义的整数线性映射，其行列式为非零整数 $j'-j$ 。连通环面上的非零整数倍映射满射，故这两个坐标具有独立 Haar 分布。

本章实际所需的四因子界还可以直接证明：

\begin{aligned} &\int_{H^2}\prod_{j=0}^3|h_j(u+(j-l')v)|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\\ &\quad\le \left(\int_{H^2}|h_0(u-l'v)h_1(u+(1-l')v)|^2\right)^{1/2}\\ &\quad\cdot \left(\int_{H^2}|h_2(u+(2-l')v)h_3(u+(3-l')v)|^2\right)^{1/2} =\prod_{j=0}^3\|h_j\|_{L^2(H)}. \end{aligned} \tag{四因子}

两个相邻配对映射的行列式均为 $1$ ，所以这个具体 $L^2$ 界对任意紧阿贝尔群也成立。连通性用于前面“任意两坐标独立”的较强陈述，不能声称它是这一相邻配对界的必要条件。插入一致有界 multiplier 只增加其上界因子。

6. 四条 Fourier 消失线

以角色 $l'$ 作锚点，置

y_{l'}=x^*+rh,\quad t=rv,\quad y_j=x^*+r(h+(j-l')v).

归一化核记为 $W_s(h,v)$ ，定义正号 Fourier 变换

\mathcal F_s(\alpha,\beta)= \iint W_s(h,v)e(\alpha h+\beta v)\,\mathrm{d}h\,\mathrm{d}v.

原核四个边缘积分均为零。固定 $j$ ，换元 $u=h+(j-l')v$ ，于是

\mathcal F_s(\alpha,(j-l')\alpha) =\int e(\alpha u) \left[\int W_s(u-(j-l')v,v)\,\mathrm{d}v\right]\mathrm{d}u=0. \tag{消失线}

所以一般锚点的四条斜率为 $j-l'$ 。下面四核心部分取 $l'=0$ ，才可把四条线写成 $\beta=j\alpha$ 。

平滑紧支撑使 $\mathcal F_s$ 及其各阶导数快速衰减，常数对格 $I$ 统一。记

d(\alpha,\beta)=\min_{0\le j\le3}|\beta-j\alpha|,\quad \nu\asymp\max(1,|\alpha|,|\beta|),\quad \mu\asymp\min(1,d(\alpha,\beta)).

在 $d\le1$ 时向最近消失线使用均值定理，附近点的频率大小与原点频率大小可比；在 $d>1$ 时直接用快速衰减。因此对每个固定 $N$ ，

|\mathcal F_s(\alpha,\beta)|\le C_N\mu\nu^{-N}. \tag{线衰减}

零距离先按消失线处理，不给零数选正二进尺度。

7. 四核心：为何只能保留一个完整陪集对

置 $U_0=D_*^{250}$ ，并定义

Q=\sum_j\gamma_j^*,\quad T=\sum_jj\gamma_j^*.

令

D(u,v)=R_z(u,v)\prod_{j=0}^3g_j(u+jv),

其中 $R_z$ 为真实共同分支相位的平滑周期 multiplier 截断，具有一致上界。其 Fourier 展开把局部形式写成

\sum_{n,m}\widehat D(n,m) \mathcal F_s\bigl(r(Q+n\cdot\xi),r(T+m\cdot\xi)\bigr). \tag{采样}

在完整盒中寻找一对 $(n_0,m_0)$ ，使两个归一化实频率的绝对值都不超过 $U_0$ 。参考的选择只依赖完整盒、格、代表及固定规则，不依赖历史失败掩膜。

若两个频率对都适中，它们的差在每个坐标中至多为 $2U_0$ 。Gap 因而迫使对应整数差属于 $\mathcal L$ 。所以适中频率只可能属于一个陪集对

(n_0+\mathcal L,m_0+\mathcal L).

同一陪集内的归一化实频率与参考相差至多 $\varepsilon_{\mathrm{gap}}$ ；未归一化差则至多为 $\varepsilon_{\mathrm{gap}}/r$ 。

保留这个陪集对时要把其中所有实际 Fourier 系数一起保留，即使某个频率因微小误差刚好越过 $U_0$ 的边界。整体系数和准确等于

\int_{H^2}D(u,v)e(-n_0\cdot u-m_0\cdot v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v. \tag{全陪集系数}

若只保留阈值内的碎片，就失去这个 Haar 系数恒等式。

8. 四核心的大小、舍弃与误差

四因子界说明全陪集系数的绝对值不超过 $C\prod_ja_j'$ 。在保留陪集内以参考值替换 Fourier 核，由其一致 Lipschitz 界和 Wiener 成本，误差为允许的极小绝对量。其他陪集没有适中点，使用快速衰减。

设参考归一化频率为 $(\alpha_0,\beta_0)$ 。如果不存在参考，或者

\min_j|\beta_0-j\alpha_0|<U_0^{-1},

则整项可以放入绝对误差。否则再给正数选择二进参数

\mu\asymp\min(1,\min_j|\beta_0-j\alpha_0|),\quad \nu\asymp\max(1,|\alpha_0|,|\beta_0|).

于是四核心贡献满足

C_N\mu\nu^{-N}\prod_ja_j' \tag{四核心界}

加允许的绝对误差。舍弃近消失线项时应先用系数绝对和与 $U_0^{-1}$ ，不要先把很小的误差取小于 $1$ 的幂。

9. 三核心：侧角色必须先去共同分支相位

设侧角色为 $l$ ，插入一个新鲜随机平移 cutoff $\zeta^{\rho_l}$ 。其期望为与位置无关的常数

c_\zeta=\mathbb E_{\rho_l}\zeta^{\rho_l}\ge1/2.

在原形式外保留因子 $c_\zeta^{-1}$ ，并定义

S'=\zeta^{\rho_l}e(-c_lp_{\rho_l})S_{\mathrm{phys}}. \tag{侧参数}

由于 $|\zeta^{\rho_l}|\le1$ 及分支相位模为 $1$ ，

\|S'\|_{2,I}\le\|S\|_{2,I}.

负号不可漏：源模型中的共同分支相位要与侧角色补齐以后才能变成周期 multiplier。

现在以 $l'=l$ 为锚点，

Q=\sum_{j\ne l}\gamma_j^*,\quad T_l=\sum_{j\ne l}(j-l)\gamma_j^*.

只在纵向盒中寻找参考 $m_0$ ，满足

|\beta|=|r(T_l+m_0\cdot\xi)|\le U_0.

没有参考或 $|\beta|<U_0^{-1}$ 的情形放进绝对误差；其余定义

\mu\asymp\min(1,|\beta|),\quad \nu\asymp\max(1,|\beta|).

此处只用锚点角色对应的 $\beta=0$ 消失线。

10. 纵向积分留下一个 $L^2$ 横向系数序列

定义

W_\beta(h)=\int W_s(h,v)e(\beta v)\,\mathrm{d}v.

它支撑于锚点区间内部。锚点边缘消失给出 $W_0(h)=0$ ；在 $\beta$ 很小时用均值定理，在大频率时对 $v$ 分部积分。因此任意固定阶数的 $h$ 导数均满足

\|\partial_h^aW_\beta\|_\infty\le C_{a,N}\mu\nu^{-N}. \tag{纵向衰减}

令

D(u,v)=R_z(u,v)\prod_{j\ne l}g_j(u+(j-l)v),\quad D_{m_0}(u)=\int_HD(u,v)e(-m_0\cdot v)\,\mathrm{d}v.

对任意 $\|q\|_{L^2(H)}\le1$ ，把 $\overline q(u)$ 当作锚点的第四因子，四因子界给出

\left|\int_HD_{m_0}(u)\overline{q(u)}\,\mathrm{d}u\right| \le C\prod_{j\ne l}a_j'.

由 Hilbert 空间对偶性，

\|D_{m_0}\|_{L^2(H)}\le C\prod_{j\ne l}a_j'. \tag{横向系数范数}

将其 Fourier 系数按 $\mathbb Z^d/\mathcal L$ 合并。Parseval 说明合并系数序列的 $\ell^2$ 范数具有同一上界，而不是把系数的绝对和作为核心大小。

每个横陪集在完整盒中选一个参考 $n$ 。不同参考的归一化实频率 $rn\cdot\xi$ 相差超过 $1$ ；同一陪集内归一化实频率差不超过 $\varepsilon_{\mathrm{gap}}$ 。用参考替换其余频率时，对侧参数用 $L^2$ 配对控制误差，不要求侧参数有绝对可和 Fourier 系数。

11. Schur 界的行和列都必须数

在 $I$ 上用正交 Fourier 基展开侧参数：

S'(y)=\sum_{k'\in\mathbb Z}\widehat S'_I(k')e(k'(y-x^*)/r),\quad \sum_{k'}|\widehat S'_I(k')|^2=\|S'\|_{2,I}^2.

先对侧 Fourier 级数作有限截断。下面的 Schur 界与截断长度无关；证明后用 Fourier 级数在 $L^2(I)$ 中收敛，以及与固定有界光滑核配对的连续性，令截断长度趋于无穷。整个过程不要求逐点收敛或绝对收敛。

对一个横参考 $n$ ，记

\lambda_n=r(Q+n\cdot\xi).

剩余矩阵配对的条目为一个受控的 Fourier 积分，因而

|M_{n,k'}|\le C_{N,A}\mu\nu^{-N}(1+|k'+\lambda_n|)^{-A}. \tag{矩阵}

这里相加的是归一化横向实频率和整数侧 Fourier 频率。

按二进半径 $\Lambda=1,2,4,\ldots$ 分壳。固定一行 $n$ ，因 $k'$ 为整数，壳内至多有 $C\Lambda$ 项；固定一列 $k'$ ，因 $\lambda_n$ 两两 $1$ -分离，同样至多有 $C\Lambda$ 项。因此壳矩阵的最大绝对行和、列和都不超过

C_{N,A}\mu\nu^{-N}\Lambda^{1-A}.

Schur 不等式可直接由两次加权 Cauchy–Schwarz 得到

\|M^{(\Lambda)}\|_{\ell^2\to\ell^2} \le\sqrt{\sup_n\sum_{k'}|M^{(\Lambda)}_{n,k'}| \sup_{k'}\sum_n|M^{(\Lambda)}_{n,k'}|}.

取 $A\ge N+1$ ，得到 $C_N\mu\nu^{-N}\Lambda^{-N}$ 。只检查整数频率造成的行计数，而漏掉横参考分离所控制的列计数，不足以证明这个界。

12. 完整窗口定义与新鲜偏移平均

定义窗口

\mathcal W_\Lambda= \{k'\in\mathbb Z:\ |k'+r(Q+n\cdot\xi)|\le2\Lambda \text{ 对完整盒内某个 }n\}.

注意这里用完整盒，不能只用当前失败掩膜选出的模式。定义平均平方质量的平方根

b_\Lambda^2= \mathbb E_{\rho_l}\sum_{k'\in\mathcal W_\Lambda}|\widehat S'_I(k')|^2. \tag{窗口质量}

对每个新鲜偏移先应用矩阵界与横向系数范数，再对偏移使用 Cauchy–Schwarz，得到源式 (32) 的形式

C_N\mu\nu^{-N}\prod_{j\ne l}a_j' \sum_{\substack{\Lambda=1,2,4,\ldots\\\Lambda\le U_0}} \Lambda^{-N}b_\Lambda. \tag{三核心界}

外面的 $c_\zeta^{-1}\le2$ 已吸收到绝对常数。大于 $U_0$ 的壳由同一 Schur 估计或普通 $L^2$ 配对控制在绝对误差内。

对单个窗口，Parseval 只说明 $b_\Lambda^2\le\|S\|_{2,I}^2$ 。以后若要对很多三元组求平方和，还需要对应窗口族的不交性或受控重数。例如不同窗口中心集彼此距离超过 $4\Lambda$ ，就保证半径 $2\Lambda$ 的窗口不交。这个几何条件由后续分离测试核实，不能从单窗口 Parseval 直接推出任意三元组平方和界。

同一个格中所有被测试三元组必须共用同一个新鲜偏移 $\rho_l$ 。这样在固定偏移下可先对不交窗口求和，再取期望。逐三元组重抽偏移会丢掉这条直接共同平方预算。

13. 绝对误差为什么不乘失败历史数

逐角色替换模型、Fourier 截断、同陪集频率替换、远频尾部和舍弃近消失线项，均可控制为

CD_*^{-100}\prod_{j\in J}A_j, \tag{绝对误差}

若有侧角色，再乘 $\|S\|_{2,I}$ 。例如模型误差 $D_*^{-150}A_j$ 与其他角色的物理上界相乘，直接保留足够余量；即使只调用有限的 Wiener 成本，也有远强于 $-100$ 的余量。所有精度幂在参数选择以前固定。

关键是按纯模式元组先展开绝对系数和。每次从 $\mathcal H_{\mathrm{up}}$ 独立均匀抽高度，保留该元组第一次所有角色都成功的时刻。单次成功概率至少为

1-2m_0\delta_*>0,

所以该元组所有第一次成功历史的总概率恰好为 $1$ 。因此误差对全部历史求期望后，仍只有这一个纯元组的绝对系数乘积，不出现失败历史数。

源文把这种误差沿路径积分成 $O(e^{-k}|R|)$ 时，还使用目录、系数和保留大小的路径预算。本章证明上述局部绝对误差及无历史数损失；全局路径预算仍是第 8 节给出的输入。数值误差始终在取小于 $1$ 的幂之前单独估计。

14. 失败次数怎样转成分量大小的概率幂

固定最终成功高度和分量元组。若之前有 $n$ 次失败，把每次失败分配给第一个失败角色；至多有 $m_0^n$ 种分配。记角色 $j$ 被分配 $n_j$ 次，故 $\sum_jn_j=n$ 。

在最小 CURRENT 分量上谓词一致，所以选中条件是对整个权重 $w_D$ 的开关。每次分配给该角色的独立高度，失败概率至多为 $2\delta_*$ 。忽略额外成功条件只会增大概率，因而分量控制给出

a_j'\le C\sigma_{F_j},\quad \mathbb E(a_j')^2\le C(2\delta_*)^{n_j}\sigma_{F_j}^2. \tag{失败二阶矩}

这里期望是在先前抽取高度的原始乘积概率上计算，失败和成功要求留在掩膜指示函数中。不能改成“条件于前 $n$ 次已经失败”的概率；那样这些小概率因子就消失了。

不同角色使用同一高度，彼此不独立。正确做法是 Hölder，再用确定上界把二阶矩升到 $m_0$ 阶：

\begin{aligned} \mathbb E\prod_ja_j' &\le\prod_j\bigl(\mathbb E(a_j')^{m_0}\bigr)^{1/m_0}\\ &\le C^{m_0}(2\delta_*)^{n/m_0}\prod_j\sigma_{F_j}. \end{aligned} \tag{历史衰减}

于是全部历史由几何级数

\sum_{n\ge0}m_0^n(2\delta_*)^{n/m_0}

控制，只需预先取 $m_0(2\delta_*)^{1/m_0}<1$ 。

15. 式 (33) 到底交给下一节什么

再按最终高度、类型和二进大小分箱。核心角色的 $\sigma_j$ 是源式 (26) 的大小分箱；侧角色的 $\sigma_l$ 是 $b_\Lambda$ 的分箱。四核心时设 $\Lambda=1$ 。所有频率与大小参数固定后，局部贡献被下式控制：

C_N\mu\nu^{-N}\Lambda^{-N} \left(\prod_{j=0}^3\sigma_j\right)N_s^G, \tag{计数接口}

加前面单独处理的绝对误差。 $N_s^G$ 是在当前格通过非忽略频率测试的核心标签元组数；同一元组每个尺度至多计一次。

这正是 §9.3 Lemma 9.1 的有限组合输入。之后的幂估计必须把 $N_s^G$ 保留在幂内，并在次可加性以前使用原始格上的最小值。本章没有从三核心 Fourier 界直接推出整个跨尺度稀疏计数，也没有自动证明 H 的主定理。