从全体小返回的增量界到有理快分裂

本章重建 H 第 17–18 页 Lemma 4.3 证明的几何数论部分，取 Lemma 6.1 实际需要的一参数情形。原稿见 An $L^3$ bound for the trilinear Hilbert transform，固定 October 5 稿，第 17 页。第 41 页把这一部分用于双槽位返回检测的输出。

前一章已经把不小的双槽位相关性转成了“每一个足够小的返回都有有界频率增量”。下面只使用这一条输入。证明包括极体的逐次极小值比较、投影的分子分母界，以及一个长度有定量下界的非零返回。大实向量 $V$ 和大实数 $\Lambda$ 不出现在最终复杂度预算中。

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1. 输入、结论和一参数范围

设 $d\ge0$ ， $C\in\mathbb Q^{d\times d}$ 的条目高度不超过 $H\ge2$ ，而

V\in\mathbb R^d,\quad \Lambda\in\mathbb R

任意。这里 $V$ 是单个列向量，不是多参数水平矩阵。置

A=C-C^T,\quad C_{\mathrm{sy}}=\frac{C+C^T}{2},\quad C_{\mathrm{sk}}=\frac{C-C^T}{2}.

取正整数 $P$ ，使 $PC$ 为整数矩阵。这个 $P$ 是清分母的整数，不是 H 第 6 节的尺度参数。

假定有 $0<a\le1/2$ 、 $B_\Omega\ge1$ ，对所有

h\in\mathbb R,\quad m\in P\mathbb Z^d,\quad \delta=Vh-m,\quad |h|+\|\delta\|_2\le a

都有

|\Omega(h,m)|\le B_\Omega,\quad \Omega(h,m)=(2\Lambda+V^TCV)h-V^TAm. \tag{返回假设}

在双槽位模块中可取 $B_\Omega=9$ ，并可取该模块的清分母整数 $P_0$ 作为这里的 $P$ 。

要构造有理子空间 $U\subset\mathbb R^d$ ，其正交投影为 $P_f$ 、 $P_s=I-P_f$ ，使

A|_{U\times U}=0,\quad V_f=P_fV,\quad V_s=P_sV,

\|V_s\|_2\le H',\quad |\Lambda_*|\le H',\quad \Lambda_*=\Lambda+\frac12V^TC_{\mathrm{sy}}V+V_f^TC_{\mathrm{sk}}V_s, \tag{分裂目标}

并使两投影的有理高度不超过 $H'$ 。

一个足够的统一预算是

H'=\exp\!\left(C_*(d+1)^4\mathcal T\right),\quad \mathcal T=1+\log H+\log P+\log(1/a)+\log(1+B_\Omega), \tag{总预算}

其中 $C_*$ 是充分大的绝对常数。下面给出每一阶段更具体的预算，再核它们被此式控制。

2. 两次返回为何产生一个必须为零的整数

矩阵的条目绝对值不超过高度，所以

\|A\|_{\mathrm{op}}\le2dH.

缩小阈值为

a_0=\min\left(a,\frac1{100(1+B_\Omega+2dH)}\right).

取两次阈值内返回 $Vh=m+\delta$ 、 $Vh'=m'+\delta'$ 。因为 $V^TAV=0$ ，直接展开可得

\begin{aligned} \delta'^TA\delta &=(Vh'-m')^TA(Vh-m)\\ &=-h'V^TAm+hV^TAm'+m'^TAm, \end{aligned}

而 $\Omega$ 中的第一项在反对称化时相消。因此

h'\Omega(h,m)-h\Omega(h',m') =\delta'^TA\delta-m'^TAm. \tag{反对称恒等式}

这不是一个渐近等式，没有丢弃任何包含 $V$ 的大项。

写 $m=Pz,m'=Pz'$ ，则

m'^TAm=P^2z'^T(C-C^T)z\in\mathbb Z

因为 $PC$ 已为整数矩阵。另一方面，

|m'^TAm|\le2a_0B_\Omega+\|A\|_{\mathrm{op}}a_0^2<1.

它必须等于零。因此，所有阈值 $a_0$ 内返回的整数位移两两满足

m'^TAm=0. \tag{整数各向同性}

这里必须同时有“所有小返回”的假设和对两次返回统一的阈值。

3. 极体与逐次极小值的定义

先设 $d\ge1$ 。定义中心对称凸体

K=P^{-1}V[-1,1]+[-1,1]^d.

它是线段与立方体的 Minkowski 和，紧、凸、中心对称，并包含整个立方体，因而有非空内部。即使 $V=0$ 也不退化。

极体定义为

K^\circ=\{q\in\mathbb R^d:\sup_{x\in K}|q\cdot x|\le1\}.

在当前情形，原凸体的支持函数可直接计算；它刻画了极体：

\sup_{x\in K}|q\cdot x|=P^{-1}|q\cdot V|+\|q\|_1. \tag{支持函数}

特别地， $K^\circ$ 也为有非空内部的中心对称紧凸体。

对 $1\le j\le d$ ，定义

\lambda_j=\min\{t>0:tK\text{ 含有 }j\text{ 个线性独立的整数向量}\},

并以 $\mu_j$ 表示 $K^\circ$ 的相应极小值。两列均为有限正数，且按指标非减。紧性与格点离散性保证极小值可以取到。

4. 精确使用的经典输入

唯一在这里不重证的经典几何数论输入是 Minkowski 第二定理的上界：

\left(\prod_{j=1}^d\lambda_j(B,\Gamma)\right)\operatorname{vol}(B) \le2^d\det\Gamma. \tag{Minkowski}

其假设是 $B$ 为关于原点中心对称的紧凸体且有非空内部， $\Gamma$ 为满秩格。H 所引的直接来源是 Martin Henk, “Successive Minima and Lattice Points”, arXiv:math/0204158v1, Theorem 1.3，第 2 页；该原始来源正是上述单边形式。这里分别以 $B=K,K^\circ$ 、 $\Gamma=\mathbb Z^d$ 应用，格行列式均为 $1$ 。不需要引用更强的极体转移定理。

以下把所需转移不等式从这个输入完整推出。

5. 极体转移下界与体积乘积

选取 $j$ 个独立整数向量 $x_1,\ldots,x_j\in\lambda_jK$ ，以及 $d+1-j$ 个独立整数向量 $q_1,\ldots,q_{d+1-j}\in\mu_{d+1-j}K^\circ$ 。

如果全部交叉内积都是零，则后一个空间包含在前一个空间的正交补中，但其维数为 $d+1-j>d-j$ ，矛盾。因此某个整数内积非零；它的绝对值至少为 $1$ ，而极体定义给出

1\le\lambda_j\mu_{d+1-j}. \tag{转移下界}

为了得到上界，先证明一个足够的体积乘积界。由紧性，在 $K$ 中选 $v_1,\ldots,v_d$ ，使 $T=(v_1,\ldots,v_d)$ 的行列式绝对值最大。因 $K$ 有内部，最大值为正。令 $B_1^d=\{t:\sum|t_j|\le1\}$ ，则凸性、对称性给出

TB_1^d\subset K.

对任意 $x=Tt\in K$ ，把 $T$ 的第 $j$ 列换成 $x$ ，新行列式等于 $t_j\det T$ 。最大性遂给出 $|t_j|\le1$ ，所以

K\subset T[-1,1]^d.

取极体并反转包含关系：

K^\circ\supset T^{-T}B_1^d.

交叉多面体 $B_1^d$ 是 $2^d$ 个体积 $1/d!$ 的单纯形的并，内部互不相交，因此

\operatorname{vol}(K)\operatorname{vol}(K^\circ) \ge|\det T|\frac{2^d}{d!}\,|\det T|^{-1}\frac{2^d}{d!} =\frac{4^d}{(d!)^2}. \tag{体积乘积}

6. 不调用更强定理的转移上界

对 $K$ 和 $K^\circ$ 分别应用 Minkowski 上界，再相乘：

\prod_{j=1}^d\lambda_j\mu_j \le\frac{4^d}{\operatorname{vol}(K)\operatorname{vol}(K^\circ)} \le(d!)^2.

这一乘积与 $\prod_j\lambda_j\mu_{d+1-j}$ 相同。第 5 节已证明每个反序乘积至少为 $1$ ，故任何一个都不能超过总乘积：

1\le\lambda_j\mu_{d+1-j}\le(d!)^2,\quad 1\le j\le d. \tag{转移}

这已经是下面所需的全部极体转移信息。

7. 极小值之间选空档，得到各向同性空间

置

L=16(d!)^2,\quad b_{\max}=\frac{a_0}{100P(d+2)}.

这里的 $L$ 只是本段的空档倍率，与图路径长度或 H 的颜色数无关。考察 $d+1$ 个互不相交的半开区间

(b_{\max}L^{-j-1},\,b_{\max}L^{-j}],\quad j=0,\ldots,d.

只有 $d$ 个极小值，所以至少一个区间不含任何 $\lambda_\nu$ 。把其左端点记为 $b_0$ 。于是

b_{\max}L^{-d-1}\le b_0\le b_{\max},\quad (b_0,Lb_0]\text{ 不含极小值}. \tag{空档}

定义

U=\operatorname{span}_{\mathbb R}(\mathbb Z^d\cap b_0K),\quad r_0=\dim U.

由于 $b_0K$ 紧，其整数点有限，故 $U$ 为有理空间。

任一 $n\in\mathbb Z^d\cap b_0K$ 都可写成

n=P^{-1}Vh+w,\quad |h|\le b_0,\quad \|w\|_\infty\le b_0.

令 $m=Pn$ 、 $\delta=-Pw=Vh-m$ ，则

|h|+\|\delta\|_2\le b_0+P\sqrt d\,b_0\le a_0.

所以这些 $m$ 都属于第 2 节的小返回。任意两个生成元 $n,n'$ 满足 $P^2n'^TAn=0$ ，从而

A|_{U\times U}=0. \tag{快空间各向同性}

若 $r_0<d$ ，极小值定义和空档合起来给出

\lambda_{r_0+1}>Lb_0. \tag{快慢间隔}

这一步保留了半开端点： $\lambda=b_0$ 可以出现并已属于 $U$ ，而 $\lambda=Lb_0$ 被空档排除。

8. 短整数法向量同时控制高度和慢量

先对所有秩统一定义 $\beta=1/(16b_0)$ 。若 $r_0=d$ ，直接取 $P_f=I,P_s=0$ ，本节其余部分可略过。否则转移不等式给出

\mu_{d-r_0}\le\frac{(d!)^2}{\lambda_{r_0+1}} <\frac{(d!)^2}{Lb_0}=\frac1{16b_0}=\beta.

因此存在 $d-r_0$ 个独立整数向量 $q_\nu\in\beta K^\circ$ 。对每个 $n\in\mathbb Z^d\cap b_0K$ ，

|q_\nu\cdot n|\le\beta b_0=1/16<1.

该内积为整数，所以等于零。维数恰好匹配，故这些 $q_\nu$ 张成 $U^\perp$ 。

上述支持函数公式同时给出两类不同的控制：

\|q_\nu\|_1\le\beta,\quad |q_\nu^TV|\le P\beta. \tag{法向量两种界}

第一条约束整数坐标及投影高度；第二条约束它在大向量 $V$ 上的值。只知道第一条不能推出 $\|P_sV\|$ 有界。

9. 展开 Gram 逆矩阵，避免隐藏一个 $\|V\|$

以下 Gram 逆矩阵与余子式计算仅在快空间不是整个环境空间时进行，此时行数为正；满维时已取慢投影为零，末尾统一预算仍适用。

令 $m_0=d-r_0$ ，将 $q_\nu^T$ 作为行组成整数矩阵 $S$ 。它具有满行秩，

G=SS^T,\quad P_s=S^TG^{-1}S.

$G$ 正定且为整数矩阵，故 $\det G$ 是正整数，至少为 $1$ 。

置 $t=1+\beta\ge1$ 。逐项有

|S_{\nu j}|\le t,\quad |G_{\nu\mu}|\le dt^2.

行列式展开及余子式展开给出

\det G\le m_0!(dt^2)^{m_0},\quad |\operatorname{cof}_{\nu\mu}G| \le(m_0-1)!(dt^2)^{m_0-1}. \tag{Gram 整数预算}

当 $m_0=1$ 时，零阶余子式取 $1$ ，同式有效。

因此 $P_s$ 每个条目都有公共分母 $\det G$ ，而分子绝对值至多

m_0^2t^2(m_0-1)!(dt^2)^{m_0-1}.

约分只会降低高度。对 $P_f=I-P_s$ ，分子多加一个 $\det G$ ，同类上界仍成立。

更重要的是，直接使用 $SV$ ，而不估计 $\|S\|\|V\|$ ：

|(SV)_\nu|\le P\beta\le Pt.

若 $y=G^{-1}SV$ ，伴随矩阵公式及 $\det G\ge1$ 给出

|y_\nu|\le m_0(m_0-1)!(dt^2)^{m_0-1}Pt,

所以

|(P_sV)_j|\le m_0^2t(m_0-1)!(dt^2)^{m_0-1}Pt.

以上全部量连同 $\|P_sV\|_2$ 均由

Q=\bigl(4P(d+1)^2(1+\beta)^2\bigr)^{2d+4} \tag{投影预算}

控制。这个刻意宽松的表达式足以吸收平方根维数、阶乘及 $I-P_s$ 的加法。若 $r_0=d$ ，仍可沿用同一个 $Q$ 作为上界。

10. 鸽巢返回必须有长度下界

仅有任意小的非零返回还不够：最后要除以返回长度。为此构造一个带定量下界的返回。

令

q=\left\lceil4/b_0\right\rceil,\quad M_0=q^d.

把 $\mathbb T^d$ 分成 $M_0$ 个半开立方体，每边长 $1/q\le b_0/4$ 。取 $M_0+1$ 个等间隔时刻

t_j=\frac{jb_0}{M_0},\quad j=0,\ldots,M_0,

并观察 $P^{-1}Vt_j\bmod\mathbb Z^d$ 。两个点落在同一个小立方体。取后一个时刻减前一个，得到

b_0/M_0\le h\le b_0,\quad P^{-1}Vh=n+\eta,\quad n\in\mathbb Z^d,\quad \|\eta\|_\infty\le b_0/4. \tag{非零返回}

令 $m=Pn$ 、 $\delta=P\eta$ 。则

|h|+\|\delta\|_2 \le b_0+P\sqrt d\,b_0/4\le a_0,

所以返回假设适用。又

n=P^{-1}Vh-\eta\in b_0K.

因此 $n\in U$ ，也即 $m\in U$ 。时刻差为严格正数，且倒数满足

h^{-1}\le M_0/b_0,\quad M_0\le(1+4/b_0)^d. \tag{除法预算}

这一步不需要 $V$ 满足任何 Diophantine 条件。

11. 有效曲率的大项怎样抵消

写

F=P_fV,\quad V_s=P_sV,\quad \Delta=m-Fh=-P_f\delta.

因为 $m,F\in U$ ，所以 $\Delta\in U$ ，且 $\|\Delta\|_2\le\|\delta\|_2$ 。各向同性说明

F^TA\Delta=0,\quad V^TA\Delta=V_s^TA\Delta. \tag{只剩慢量}

一参数情形中 $V^TC_{\mathrm{sk}}V=0$ ，而

V^TAF=(F+V_s)^T(2C_{\mathrm{sk}})F =-2F^TC_{\mathrm{sk}}V_s.

因此有精确恒等式

2\Lambda+V^TCV-V^TAF =2\left(\Lambda+\frac12V^TC_{\mathrm{sy}}V +F^TC_{\mathrm{sk}}V_s\right)=2\Lambda_*. \tag{曲率恒等式}

代入 $m=Fh+\Delta$ ，得到

\Omega(h,m)=2\Lambda_*h-V_s^TA\Delta.

于是由上节的非零返回，

|\Lambda_*| \le\frac{M_0}{2b_0} \left(B_\Omega+\|V_s\|_2\|A\|_{\mathrm{op}}\|\delta\|_2\right) \le\frac{M_0}{2b_0} \left(B_\Omega+Q(2dH)P\sqrt d\,b_0/4\right). \tag{曲率预算}

右端没有 $\|F\|$ 、 $\|V\|$ 或 $|\Lambda|$ 。这些大项不是分别估计后碰巧消失，而是在准确恒等式中先抵消。

12. 核算最终依赖与退化情形

逐项追踪对数。由 $a_0$ 的定义，

\log(1/a_0)\le C(\mathcal T+\log(d+1)).

由 $L=16(d!)^2$ 及空档选择，

\begin{aligned} \log(1/b_0) &\le\log(1/a_0)+\log(100P(d+2))+(d+1)\log L\\ &\le C\bigl(\mathcal T+(d+1)^2\log(d+2)\bigr). \end{aligned}

投影预算、除法预算和曲率预算随后给出

\log\!\left(2+Q+\frac{M_0}{2b_0} \left[B_\Omega+Q(2dH)P\sqrt d\,b_0/4\right]\right) \le C(d+1)\bigl(\mathcal T+(d+1)^2\log(d+2)\bigr).

因 $\mathcal T\ge1$ 且 $\log(d+2)\le C(d+1)$ ，这一项被第 1 节的总预算控制。至此，投影高度、慢量和有效曲率全部闭合。

若 $d=0$ ，不使用凸体或 Gram 矩阵。取 $h=a/2$ ，空整数位移 $m=0$ ，返回条件成立且 $\Omega=2\Lambda h=\Lambda a$ ，所以

|\Lambda|\le B_\Omega/a.

取 $U=\{0\}$ ，投影为空矩阵，其高度按 $1$ 计。这也满足总预算。若 $d\ge1$ 但 $r_0=0$ ，第 8–11 节原样适用；若 $r_0=d$ ，使用 $P_s=0$ ，但仍通过第 10 节的非零返回控制 $\Lambda_*$ ，不能因为慢量为零就省略曲率步骤。

13. 回接 H Lemma 6.1，但不越过同槽位边界

双槽位返回章给出 $d\le2\log H$ 、清分母整数满足 $\log P\le C(1+\log H)^3$ ，以及

B_\Omega=9,\quad \log(1/a)\le C(1+\log H+\log(1/\tau_2))^C.

代入本章总预算，即得到

H'\le\exp\!\left(C(1+\log H+\log(1/\tau_2))^C\right).

这是差数据的一参数式 (2)。预先按所有列的统一复杂度选择 $H_{\mathrm{ed}}\ge H'$ ，大于 $\tau_2$ 的双槽位相关性就迫使两标签由一条边相连，完成该不同槽位分支的反证。

这里使用的经典输入已经精确列明；其余极体、投影与曲率推导都已逐式给出。本章并未证明源 Lemma 4.3 对一般 $1\le k\le3$ 的全部矩阵情形：多参数时还存在 $V_s^TC_{\mathrm{sk}}V_s$ 这一矩阵项，并需逐坐标返回。同槽位内积首先还要通过平滑和一维 Fourier 能量论证产生返回假设；该分析作为下一独立模块处理。