第三单元（续）：投影增量与光滑零均值行

本篇讨论 D §§4.3–4.4，原文 pp.23–26，Corollary 4.5 与 Lemma 4.6。前篇已经证明抽象的变化函数行估计；这里逐项验证两类具体算子满足其条件。

投影增量的联合 Bessel 界将由正交性直接证明。光滑行的原始 Bessel 界则仍是本节的明确假设；本节证明怎样把它用于不同深度的函数。两者在 D §5 的投影构造和延迟替换中继续使用，最终服务于 Theorem 3.2 的局部绝对和估计。

1. 沿用的变化函数估计

设 $R$ 为正长度的有限二进根区间，根的空间深度记为 $s_R$ 。 $L^2(R)$ 使用通常 Lebesgue 测度，复 Hilbert 空间的内积对第一变量线性。

函数下标集合 $\mathcal S$ 是有限连续整数集，被分成 $W$ 个确定的非空连续块。强可测函数 $F_s:R\to\mathcal H$ 满足每块上的逐点界

\max_{s\in B}\|F_s(y)\|+ \sum_{s,s+1\in B}\|F_{s+1}(y)-F_s(y)\| \le W^{-1/2} \quad\text{几乎处处}. \tag{Variation}

前篇 D Lemma 4.4 适用于有限个按轮次排列的行算子 $A_\nu$ 。其条件为：每行支撑于该轮支撑分割的一个完整区间；其伴随在观察分割上是固定列函数的常系数组合；观察分割细化该轮支撑分割，下一轮支撑分割细化上一轮观察分割；全部行对任意固定函数满足联合 Bessel 界；每轮使用同一个 $F_{s_n}$ ，且 $s_n$ 非递减。若固定列函数满足前篇的私有坐标条件，常数为 $D\ge2$ ，且 Bessel 常数为 $B$ ，则

\left(\sum_n\sum_{\nu\in\mathcal R_n} \|A_\nu F_{s_n}\|^2\right)^{1/2} \le C_DB|R|^{1/2}, \quad C_D\le\frac{40}{3}\log_2(2D). \tag{Row-bound}

本篇在每次应用时检查这些条件，尤其不把只对当前构造函数成立的估计当作联合算子界。

2. 继承投影的定义与嵌套性

对应 D Corollary 4.5，p.23。

沿用前篇的固定指标集与列函数 $\Phi_v$ 。每个指标有起始区间，限制到后代区间时函数及其私有方向不变；每条空间路径上可用指标数至多 $D$ ，列范数至多 $D$ ，私有系数绝对值至少 $D^{-1}$ 。

固定一个满足 $h\ge s_R$ 的有限连续整数深度范围，在此范围内定义以下全部投影。令 $\mathcal P_h$ 是 $R$ 的完整深度 $h$ 分割。对每个 $Q\in\mathcal P_h$ ，选一个可用指标子集 $M_h(Q)$ ，定义 $P_{h,Q}$ 为 $L^2(Q;\mathcal H)$ 到

\left\{\sum_{v\in M_h(Q)}a_v\Phi_v|_Q: a_v\in\mathbb C\text{ 为常数}\right\}

的正交投影。该空间有限维，因而闭。令 $P_h$ 是这些局部投影在 $L^2(R;\mathcal H)$ 上的直和。

假设具有继承性：每个子区间 $Q'\in\mathcal P_{h+1}$ 、 $Q'\subseteq Q$ ，都满足

M_h(Q)\subseteq M_{h+1}(Q'). \tag{Inheritance}

若 $z$ 属于 $P_h$ 的值域，在每个 $Q$ 上它是上述常系数组合。将相同系数限制到每个子区间，式 (Inheritance) 保证所得函数属于下一层局部值域。因此

\operatorname{Ran}P_h\subseteq\operatorname{Ran}P_{h+1}.

对 $r\le t$ ，两个正交投影于是满足

P_rP_t=P_tP_r=P_r, \quad (P_t-P_r)^2=P_t-P_r.

差 $P_t-P_r$ 自伴随且幂等，故也是正交投影。

3. 有序的投影增量保持联合 Bessel 界

取有限个深度区间及函数下标，满足

r_1\le t_1\le r_2\le t_2\le\cdots\le r_J\le t_J, \quad s_1\le\cdots\le s_J, \quad s_j\in\mathcal S.

这些深度端点属于已定义投影的范围。函数下标与投影深度不要求相同。

记 $\Delta_j=P_{t_j}-P_{r_j}$ 。若 $j<l$ ，则 $t_j\le r_l$ ，利用嵌套投影关系可直接计算

\Delta_j\Delta_l =(P_{t_j}-P_{r_j})(P_{t_l}-P_{r_l})=0.

所以各增量值域两两正交， $\sum_j\Delta_j$ 也是一个正交投影，进而

\sum_j\|\Delta_jz\|_2^2\le\|z\|_2^2 \quad\text{对所有 }z\in L^2(R;\mathcal H). \tag{Bessel-increments}

3.1 按完整支撑区间分行

对每个 $Q\in\mathcal P_{r_j}$ ，定义

A_{j,Q}=\Delta_j\mathbf1_Q.

$P_{r_j}$ 和 $P_{t_j}$ 的局部分割都细化 $\mathcal P_{r_j}$ ，所以都与乘子 $\mathbf1_Q$ 交换。于是该行的函数和输出都支撑在 $Q$ ，且

\sum_{Q\in\mathcal P_{r_j}}\|A_{j,Q}z\|_2^2 =\|\Delta_jz\|_2^2.

对 $j$ 求和，式 (Bessel-increments) 正好说明拆分后的全部行仍具有 Bessel 常数 $B=1$ 。这里证明的是对任意 $z$ 的联合算子界。

3.2 伴随的观察分割

$A_{j,Q}^*=\mathbf1_Q\Delta_j$ 。在一个深度 $t_j$ 的区间上， $P_{t_j}$ 的输出是可用列函数的常系数组合； $P_{r_j}$ 的输出在其祖先区间为常系数组合，限制下来后由继承性仍使用该后代区间可用的列。

因此第 $j$ 轮可取支撑分割 $\mathcal P_{r_j}$ 、观察分割 $\mathcal P_{t_j}$ 。 $t_j\ge r_j$ 给出同轮细化， $r_{j+1}\ge t_j$ 给出相邻轮细化。每轮全部行使用 $F_{s_j}$ ，下标非递减。式 (Row-bound) 以 $B=1$ 适用，得到原文式 (4.11)：

\sum_{j=1}^{J}\|(P_{t_j}-P_{r_j})F_{s_j}\|_2^2 \le C_D^2|R|. \tag{Projection-sum}

3.3 有限重叠的深度区间

若这些区间可分为 $m$ 个满足上述次序、各自使用下标非递减的子族，对每族使用式 (Projection-sum) 再相加，右侧成为 $mC_D^2|R|$ 。

一个充分条件是：删去零增量 $r=t$ 后，每条整数边被至多 $m$ 个区间覆盖，并且按左端点增加的次序，使用下标非递减。按左端点贪心着色时，把区间放入末端不超过当前左端点的一种颜色。若所有 $m$ 种颜色都被未结束区间占据，它们与当前区间都会覆盖当前左端点后的第一条边，违背重叠数至多 $m$ 。故 $m$ 色足够；每色的有序区间和下标均满足条件。

4. 单步增量与延迟增量

对应 D 式 (4.12)–(4.13)，pp.23–24。

对每个 $s\in\mathcal S$ 、 $s\ge s_R$ ，令 $\mathcal U_s$ 为深度 $s$ 区间的任意子集。固定整数 $\ell$ ，只保留 $s+\ell,s+\ell+1$ 均在投影范围内的 $s$ 。区间

[s+\ell,s+\ell+1]

按 $s$ 增加而有序，使用下标也是 $s$ 。由式 (Projection-sum)，

\sum_s\|(P_{s+\ell+1}-P_{s+\ell})F_s\|_2^2 \le C_D^2|R|.

同一 $s$ 下的 $I\in\mathcal U_s$ 两两不交，且归一化范数满足 $|I|\|z\|_{2,I}^2=\|\mathbf1_Iz\|_2^2$ 。仅限制已得到的输出使平方和减小，因此

\sum_s\sum_{I\in\mathcal U_s} |I|\|(P_{s+\ell+1}-P_{s+\ell})F_s\|_{2,I}^2 \le C_D^2|R|. \tag{Unit-step}

这里先对完整行应用估计，再限制输出；没有把支撑行任意切碎后重新声称其满足原来的结构条件。

固定整数 $L\ge0$ ，只保留 $s,s+L$ 均在范围内的下标。 $L>0$ 时有精确的望远镜和

(P_{s+L}-P_s)F_s =\sum_{\ell=0}^{L-1}(P_{s+\ell+1}-P_{s+\ell})F_s.

在由 $(s,I)$ 索引的 Hilbert 直和中使用 Minkowski 不等式，并对每个 $\ell$ 使用式 (Unit-step)，得到

\left(\sum_s\sum_{I\in\mathcal U_s} |I|\|(P_{s+L}-P_s)F_s\|_{2,I}^2\right)^{1/2} \le LC_D|R|^{1/2}. \tag{Delay}

$L=0$ 时两侧均为零。投影尺度改变时，每一项始终使用同一个 $F_s$ ，并没有将其换成 $F_{s+L}$ 。

5. 固定乘子光滑行的完整陈述

对应 D Lemma 4.6，pp.24–26。

取有限指标集 $\mathcal N$ 。对每个 $\nu\in\mathcal N$ ，固定可测函数 $m_\nu:R\to\mathbb C$ ，满足 $\|m_\nu\|_\infty\le1$ 。所有使用同一个 $\nu$ 的区间必须使用同一个 $m_\nu$ 。它可以任意振荡，不假设连续性或频率分离。

选一个有限的二元组集合 $\mathcal E$ ，其元素为 $(I,\nu)$ ，其中 $I\subseteq R$ 为二进区间，深度为 $s(I)$ 。同一二元组最多选一次。给定 $\omega_{I,\nu}\in C^1(I)$ ，满足

\int_I\omega_{I,\nu}(y)\,\mathrm{d}y=0, \quad \|\omega_{I,\nu}\|_\infty +|I|\|\omega_{I,\nu}'\|_\infty\le A

其中 $A\ge0$ 。定义物理标量行

W_{I,\nu}f=|I|^{-1/2}\int_I m_\nu(y)\omega_{I,\nu}(y)f(y)\,\mathrm{d}y. \tag{Smooth-row}

假设存在 $B_H\ge0$ ，使这组被选中的行对每个 $f\in L^2(R)$ 满足

\sum_{(I,\nu)\in\mathcal E}|W_{I,\nu}f|^2 \le B_H^2\|f\|_2^2. \tag{Physical-Bessel}

这个假设只涉及 $\mathcal E$ ，不要求把所有区间和乘子组合成更大行族后仍成立。

设标量函数列 $f_s$ 满足式 (Variation)，并且每个 $s(I)\in\mathcal S$ 。置

d=2+\#\mathcal N, \quad h_0=\lceil10\log_2(2d)\rceil.

则原文式 (4.14) 为

\begin{aligned} \left(\sum_{(I,\nu)\in\mathcal E} |W_{I,\nu}f_{s(I)}|^2\right)^{1/2} &\le C_d\left[(h_0+1)(B_H+3A) +2A\sqrt d\,(h_0+3)2^{-h_0}\right]|R|^{1/2}\\ &\le760(B_H+A)\bigl(\log_2(2d)\bigr)^2|R|^{1/2}. \end{aligned} \tag{Smooth-estimate}

下面证明的重点是保持各轮伴随的固定列结构，并控制附加坐标所需的 Bessel 常数。

6. 光滑函数的鞅差展开与复共轭

若 $\mathcal E$ 为空，结论为零；以下假设非空。将每个 $\omega_{I,\nu}$ 在 $I$ 外作零延拓。令 $\mathbb E_h$ 为相对于完整深度 $h$ 分割的条件期望，即在每个小区间上取平均。

固定一行，写 $s=s(I)$ 。零均值给出 $\mathbb E_s\overline\omega_{I,\nu}=0$ 。由于内积对第一变量线性，定义

q_{I,\nu,h}=|I|^{-1/2} (\mathbb E_{s+h}-\mathbb E_{s+h-1})\overline\omega_{I,\nu} \quad(h\ge1),

以及

q_{I,\nu,0}=|I|^{-1/2}\mathbb E_{s+h_0}\overline\omega_{I,\nu} =\sum_{h=1}^{h_0}q_{I,\nu,h}.

这里必须对 $\omega$ 取共轭。因为式 (Smooth-row) 的积分没有共轭，其 Hilbert 空间表示为

W_{I,\nu}f =\langle m_\nu f,|I|^{-1/2}\overline\omega_{I,\nu}\rangle.

这些共轭可在原 PDF p.25 直接核对，文字提取会丢失横线。

每个 $q_{I,\nu,h}$ 支撑在 $I$ 内，且在深度 $s+h$ 的小区间上为常数。零延拓在此没有产生跨边界问题，因为这些小区间都包含于 $I$ 或与其不交。

6.1 导数界给出的范数衰减

深度 $s+h-1$ 的父区间长度为 $|I|2^{-(h-1)}$ 。子区间均值与父区间均值之差不超过该父区间上函数的振幅。因此

\|q_{I,\nu,h}\|_\infty \le |I|^{-1/2}\frac{A}{|I|}|I|2^{-(h-1)} =2A2^{-h}|I|^{-1/2},

故

\|q_{I,\nu,h}\|_2\le2A2^{-h}. \tag{Difference-size}

对每个固定 $\nu,h$ ，这些函数随 $I$ 变化时两两正交。若支撑深度不同，它们属于不同的正交鞅差空间；若支撑深度相同，不同二进区间互不相交；同一 $(I,\nu)$ 又最多出现一次。由 Bessel 不等式，固定 $\nu,h$ 的分析算子范数至多 $2A2^{-h}$ 。

6.2 固定乘子在何处被使用

第 $h$ 层物理行是 $f\mapsto\langle m_\nu f,q_{I,\nu,h}\rangle$ 。对于每个固定 $\nu$ ，所有行都先作用于同一个函数 $m_\nu f$ ，而乘法算子范数至多一。因此

\sum_{I:(I,\nu)\in\mathcal E} |\langle m_\nu f,q_{I,\nu,h}\rangle|^2 \le4A^2\,2^{-2h}\|f\|_2^2.

对 $\nu$ 求和，得到整层物理行算子范数

B_{\mathrm{phys},h}\le2A\sqrt{\#\mathcal N}\,2^{-h} \le2A\sqrt d\,2^{-h}. \tag{Physical-tail}

如果同一个指标在不同区间使用不同乘子，就不能把这组正交测试统一作用于同一个 $m_\nu f$ ；本证明的这一行计算将不再成立。

7. 初始部分的 Bessel 界从原选定行族继承

导数界使 $\mathbb E_{s+H}\overline\omega$ 在 $I$ 上一致趋于 $\overline\omega$ ，故

|I|^{-1/2}\overline\omega_{I,\nu} =q_{I,\nu,0}+\sum_{h>h_0}q_{I,\nu,h}.

式 (Physical-tail) 可求和，意味着对应的物理行算子级数也在算子范数中收敛。于是从原行算子中减去尾部，得到

\begin{aligned} B_{\mathrm{phys},0} &\le B_H+\sum_{h>h_0}2A\sqrt{\#\mathcal N}\,2^{-h}\\ &=B_H+2A\sqrt{\#\mathcal N}\,2^{-h_0} \le B_H+A. \end{aligned} \tag{Physical-initial}

最后一步用 $2^{-h_0}\le(2d)^{-10}$ 、 $d\ge2$ 。这里确实使用了原假设 (Physical-Bessel)，没有从光滑性本身推出原行族的联合 Bessel 界。

8. 为每个固定乘子加入一个私有方向

设

\mathcal H^{\mathrm{aug}}=\mathbb C\oplus\ell^2(\mathcal N), \quad \Phi_\nu(y)=(\overline{m_\nu(y)},e_\nu).

列函数在根 $R$ 上一开始就固定，之后只作限制。它们范数至多 $\sqrt2$ ，私有系数为一，每条路径上有 $\#\mathcal N\le d$ 个指标，所以满足前篇列函数条件，常数可取 $D=d$ 。

对 $h=0$ 或 $h>h_0$ ，定义附加坐标后的标量行

\widetilde W_{I,\nu,h}Z =\langle Z,q_{I,\nu,h}\Phi_\nu\rangle_{L^2(R;\mathcal H^{\mathrm{aug}})}.

其伴随将标量 $c$ 变为 $c\,q_{I,\nu,h}\Phi_\nu$ 。对于物理函数 $Z=(f,0)$ ，

\widetilde W_{I,\nu,h}(f,0) =\langle m_\nu f,q_{I,\nu,h}\rangle,

与第 $h$ 部分的原行一致。列的第一分量必须为 $\overline m_\nu$ ，才能与这里的内积约定相容。

8.1 尾部的附加算子界

对私有函数 $z=(z_\nu)$ ，第 $h$ 层输出为 $\langle z_\nu,q_{I,\nu,h}\rangle$ 。固定 $\nu$ 的正交性及不同私有坐标的正交直和使其算子范数至多 $2A2^{-h}$ 。

物理与私有函数属于正交的定义域分量。对任意 $(f,z)$ ，先用两个算子界再用二维 Cauchy–Schwarz，得到

\|\widetilde W_h(f,z)\| \le\left(B_{\mathrm{phys},h}^2+(2A2^{-h})^2\right)^{1/2} \left(\|f\|_2^2+\|z\|_2^2\right)^{1/2}.

因此

\|\widetilde W_h\| \le2A\sqrt{\#\mathcal N+1}\,2^{-h} \le2A\sqrt d\,2^{-h} \quad(h>h_0). \tag{Augmented-tail}

8.2 初始部分的附加算子界

初始私有部分是前 $h_0$ 个鞅差分析算子的和，范数至多

\sum_{h=1}^{h_0}2A2^{-h}\le2A.

物理部分由式 (Physical-initial) 控制为 $B_H+A$ 。用算子三角不等式即可得到

\|\widetilde W_0\|\le B_H+3A. \tag{Augmented-initial}

所有这些算子都以同一个原选定集合 $\mathcal E$ 为行指标，没有调用更大行族上的额外 Bessel 假设。

9. 按深度剩余类安排支撑与观察分割

对应 D p.26。

初始部分的观察深度为 $s+h_0$ ，尾部第 $h$ 部分为 $s+h$ 。统一写作 $s+\ell$ 。每行支撑于完整的 $I$ ，其伴随系数 $q$ 在深度 $s+\ell$ 的小区间上为常数。

把被选中的支撑深度按模 $\ell+1$ 的剩余类分组。在一个剩余类内，把同一深度 $s$ 的全部行放在同一轮；取完整深度 $s$ 分割为支撑分割，完整深度 $s+\ell$ 分割为观察分割。没有选中行的小区间保留在分割中，只是不放行。

相邻轮支撑深度之差至少为 $\ell+1$ ，故下一支撑分割细化上一观察分割。同一轮全部行使用 $F_s=(f_s,0)$ ，且下标随轮次增加。限制到一个剩余类只删去部分输出，保留式 (Augmented-tail) 或式 (Augmented-initial) 的联合算子界。因此式 (Row-bound) 的全部条件成立。

令 $V_0\in\ell^2(\mathcal E)$ 为初始部分对各自 $f_{s(I)}$ 的输出， $V_h$ 为尾部第 $h$ 部分的输出。每个剩余类的向量补零到共同的 $\ell^2(\mathcal E)$ ，使用三角不等式，得到

\|V_0\|\le(h_0+1)C_d(B_H+3A)|R|^{1/2},

以及

\|V_h\|\le(h+1)C_d\,2A\sqrt d\,2^{-h}|R|^{1/2} \quad(h>h_0).

这个估计使用至多 $\ell+1$ 个剩余类；原文采用的常数不需要进一步改进这一因子。

10. 汇总尾部与常数

逐行的一致展开说明原输出向量等于

(W_{I,\nu}f_{s(I)})_{(I,\nu)\in\mathcal E} =V_0+\sum_{h>h_0}V_h.

右侧范数界可求和，故在 $\ell^2(\mathcal E)$ 中收敛。几何级数求导或直接计算得到

\sum_{h>h_0}(h+1)2^{-h}=(h_0+3)2^{-h_0}.

Minkowski 不等式遂给出式 (Smooth-estimate) 的第一行。

令 $l=\log_2(2d)\ge2$ 。由 $h_0=\lceil10l\rceil$ ，有

h_0+1\le11l, \quad h_0+3\le12l, \quad\sqrt d\,2^{-h_0}\le1.

括号内的量因此至多为

11l(B_H+3A)+24Al \le57(B_H+A)l.

再乘 $C_d\le(40/3)l$ ，得到 $57\cdot40/3=760$ ，即式 (Smooth-estimate) 的第二行。常数与所选区间数、最大深度以及函数分块数 $W$ 无关。

原文范围与后续用途

D pp.23–24，Corollary 4.5、式 (4.11)–(4.13)：继承投影增量、按完整支撑格分行、有限重叠与延迟投影。
D pp.24–26，Lemma 4.6、式 (4.14)–(4.18)：固定乘子光滑零均值行、鞅差与附加坐标、剩余类和尾部求和。

下一段需要进入 D §§5.1–5.2，检查局部检测得到的投影构造怎样满足上述假设，以及超过次数上限时所切原始区间为何只占根长的四分之一。当前两项具体估计尚未完成 D Theorem 3.2；后者还依赖 §§5–7 的构造、频率计数和共同参数选择，以及 H 中逐项列出的解析结论。