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多重遍历平均 / 原文精读

第三单元（续）：局部检测、投影增益与停止区间

本篇讨论 D §§5.1–5.2 的前半部分，原文 pp.27–29，重点为 Lemma 5.1 及其第一次应用。每次局部相关过大时，检测结论给出一个新的有界函数；加入新私有坐标后，投影能量至少增加固定量。变化函数的行估计再限制同一空间路径上可以反复加入多少次。

这里使用 H Lemma 4.12 的局部检测结论，按其准确陈述作为前提。下面证明的是检测之后的投影增益、停止集合的长度界，以及有限次重启的求和；没有在此证明 H 的反定理和检测论证。

1. 局部形式与被检测的相关

固定原始根区间 JJ，原区间的空间深度始终为 s(I)=log⁡2(∣J∣/∣I∣)s(I)=\log_2(|J|/|I|)。后来选取的构造根 R⊆JR\subseteq J 只限制原函数列的空间定义域；重启不重置空间深度，也不改变原来的函数下标。

固定一个临时指数 q∈(2,3)q\in(2,3)。整个局部构造使用同一个 qq；D §7 稍后还须检查它可以与 H 的固定函数局部估计使用相同取值。

在区间 II 上，∥f∥p,I\|f\|_{p,I} 表示归一化的 LpL^p 范数。D Definition 3.1 的局部四线性形式为

HI(z0,z1,z2,z3)=∣I∣−2∫R2wI(x,t)∏j=03zj(x+jt) dx dt. \mathcal H_I(z_0,z_1,z_2,z_3) =|I|^{-2}\int_{\mathbb R^2}w_I(x,t) \prod_{j=0}^{3}z_j(x+jt)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

核具有固定的内部支撑、四方向零积分和光滑导数界；这些参数全篇固定。若某个变量有附加 Hilbert 坐标，形式只使用它的第一个物理标量分量。

对放在位置 jj 的物理残差 rr，定义

dj,I(r)=max⁡l≠jsup⁡∣HI(z0,z1,z2,z3)∣, d_{j,I}(r) =\max_{l\ne j}\sup |\mathcal H_I(z_0,z_1,z_2,z_3)|,

其中 zj=rz_j=r，∥zl∥q,I≤1\|z_l\|_{q,I}\le1，另两个位置的归一化 L2L^2 范数不超过一。上确界取全部这些可测标量函数。

这个量说明：残差能否与另外两个 L2L^2 函数和一个 LqL^q 函数产生可见的四线性相关。若残差通过精度 δ\delta 的测试，指 dj,I(r)≤δd_{j,I}(r)\le\delta。

2. 所用二次结构函数的定义

D p.27 引用 H Definition 4.1（p.15）。为明确检测结论的函数类别，写 e(v)=exp⁡(2πiv)\mathrm e(v)=\exp(2\pi\mathrm i v)。该类函数具有形式

ϕ(y)=e(λy2+βy)∑n∈Zdχ(θy−n)e((θy)TC(θy−n)).(Chart) \phi(y)=\mathrm e(\lambda y^2+\beta y) \sum_{n\in\mathbb Z^d} \chi(\theta y-n) \mathrm e\bigl((\theta y)^T C(\theta y-n)\bigr). \tag{Chart}

其中 θ∈Rd\theta\in\mathbb R^d，λ,β∈R\lambda,\beta\in\mathbb R，CC 为有理 d×dd\times d 矩阵，χ\chi 光滑且紧支撑。允许整体乘一个模为一的常数。d=0d=0 包括普通二次相位。

有理数的高度指最简分数的分子绝对值与正分母的最大值，矩阵高度取各元素高度的最大值。复杂度不超过 H≥e2H\ge\mathrm e^2，表示

d≤log⁡H,height⁡(C)≤H,supp⁡χ⊆[−H,H]d, d\le\log H, \quad\operatorname{height}(C)\le H, \quad\operatorname{supp}\chi\subseteq[-H,H]^d,

并对每个多重指标 α\alpha 满足

∥∂αχ∥∞≤Hcat(∣α∣+1)(∣α∣+1)cat(∣α∣+1). \|\partial^\alpha\chi\|_\infty \le H^{c_{\mathrm{at}}(|\alpha|+1)} (|\alpha|+1)^{c_{\mathrm{at}}(|\alpha|+1)}.

这里 catc_{\mathrm{at}} 是该函数类预先固定的光滑常数，H 原文记为 c0c_0；此处改记以免与 D 的核支撑常数混淆。实振荡参数 λ,β,θ\lambda,\beta,\theta 不受 HH 约束。

原文的 bounded atom 还要求 ∥ϕ∥∞≤1\|\phi\|_\infty\le1。非模一的标量要么写在外部系数中，要么吸收进 χ\chi，并遵守上述复杂度界。以下称这种归一化函数为有界二次结构函数。H Lemma 4.2 允许取共轭，复杂度只增加为原复杂度对数的某个固定幂再取指数。

当前投影增益只用 ∣ϕ∣≤1|\phi|\le1 和检测到的相关下界；具体二次结构将在后续两个固定函数的分离与频率计数中使用。

3. H 局部检测的准确前提

H Lemma 4.12（p.27）声称：固定 q>2q>2、C1≥1C_1\ge1，若

∥r∥2,I≤C1,dj,I(r)>δ,0<δ<1/2, \|r\|_{2,I}\le C_1, \quad d_{j,I}(r)>\delta, \quad0<\delta<1/2,

严格不等式 dj,I(r)>δd_{j,I}(r)>\delta 保证可以选到一组实际测试，使形式绝对值大于 δ\delta，不要求上确界达到。检测结论说明存在有界二次结构函数 ϕ\phi 和 0<ρ≤10<\rho\le1，满足

∣1∣I∣∫Ir(y)ϕ(y)‾ dy∣≥ρ, \left|\frac1{|I|}\int_Ir(y)\overline{\phi(y)}\,\mathrm{d}y\right| \ge\rho,

以及

log⁡(1/ρ),log⁡complexity⁡(ϕ)≤Cq(1+log⁡C1+log⁡(1/δ))ddet.(Detection) \log(1/\rho),\quad\log\operatorname{complexity}(\phi) \le C_q\bigl(1+\log C_1+\log(1/\delta)\bigr)^{d_{\mathrm{det}}}. \tag{Detection}

指数 ddetd_{\mathrm{det}} 是绝对常数，可先于 qq 固定；系数 CqC_q 可依赖 qq。若原检测采用双线性矩而没有共轭，可用该类函数对共轭的稳定性换成这里的内积约定。

以下 k≥1k\ge1 是精度参数，与空间深度 ss 不同，故 e−k<1/2\mathrm e^{-k}<1/2。当 C1=2C_1=2、δ=e−k\delta=\mathrm e^{-k} 时，可以先选一个对所有候选区间统一的 ρ\rho，满足

log⁡(1/ρ)≤Cq(1+k)ddet. \log(1/\rho)\le C_q(1+k)^{d_{\mathrm{det}}}.

之后每次检测都使用这一较小的共同下界，不随区间或当前残差重新改变全局参数。

4. 加入一个新私有方向为什么增加投影能量

对应 D p.29，式 (5.6)。

固定一个候选区间 II 和当前函数 F=(f,0)F=(f,0)。令 PP 为已有列函数的局部常系数张成上的正交投影，物理残差为

r=f−(PF)phys. r=f-(PF)_{\mathrm{phys}}.

若 ∥f∥2,I≤1\|f\|_{2,I}\le1，投影压缩性给出 ∥PF∥2,I≤1\|PF\|_{2,I}\le1，所以 ∥r∥2,I≤2\|r\|_{2,I}\le2。

检测到 ϕ\phi 后，取尚未使用过的正交私有方向 eve_v，加入列

Φ=(ϕ,ev). \Phi=(\phi,e_v).

新方向在 FF 及全部旧列中的分量均为零。因此

⟨F−PF,Φ⟩L2(I)=∫Irϕ‾,∥Φ∥L2(I)2≤2∣I∣. \langle F-PF,\Phi\rangle_{L^2(I)} =\int_Ir\overline\phi, \quad \|\Phi\|_{L^2(I)}^2\le2|I|.

令 v=Φ−PΦv=\Phi-P\Phi。它与旧值域正交，而且

⟨F−PF,v⟩=⟨F−PF,Φ⟩,∥v∥2≤∥Φ∥2. \langle F-PF,v\rangle=\langle F-PF,\Phi\rangle, \quad\|v\|_2\le\|\Phi\|_2.

检测矩非零保证 v≠0v\ne0。若 P+P^+ 是加入新列后的投影，则新值域为旧值域与 Cv\mathbb Cv 的正交直和，故

∥(P+−P)F∥L2(I)2=∣⟨F−PF,v⟩∣2∥v∥22≥ρ2∣I∣22∣I∣=12ρ2∣I∣.(Gain) \begin{aligned} \|(P^+-P)F\|_{L^2(I)}^2 &=\frac{|\langle F-PF,v\rangle|^2}{\|v\|_2^2}\\ &\ge\frac{\rho^2|I|^2}{2|I|} =\frac12\rho^2|I|. \end{aligned} \tag{Gain}

这里没有要求不同的物理函数 ϕ\phi 本身正交。新私有坐标确保加入的方向可与旧残差产生相同的非零矩，而正交投影负责精确的能量计算。

5. 一次构造中的请求、次数上限与长度界

对应 D Lemma 5.1，p.28。

5.1 完整条件

取根区间 RR 及其上的一份归一化函数列 (Fs)(F_s)，满足前篇的分块变差条件。候选请求区间来自 RR 下一个固定有限的原始请求树。按候选区间的深度非递减顺序处理，允许在同一区间多次请求。

固定 0<ρ≤10<\rho\le1、D0≥2D_0\ge2 和整数次数上限 T≥1T\ge1。若当前请求会使其空间路径上的成功请求数超过 TT，就在执行它之前停止，并把该区间及其候选后代移出本次构造。

对每个已经成功的请求 vv，设请求区间为 IvI_v，并指定一组负责该次增益的行指标 Rv\mathcal R_v，要求各 Rv\mathcal R_v 两两不交，且

∑ν∈Rv∥ΔνFs(ν)∥22≥cρ2∣Iv∣.(Charged-gain) \sum_{\nu\in\mathcal R_v}\|\Delta_\nu F_{s(\nu)}\|_2^2 \ge c\rho^2|I_v|. \tag{Charged-gain}

式中 c>0c>0 是固定绝对常数。所有这些行须是同一个实际构造出的有限嵌套完整分割投影序列的子族，联合 Bessel 常数为一，并满足 D Lemma 4.4 的全部支撑、观察与使用下标条件。还要求完成后的固定列函数族具有常数

DT≤CD0(T+1)C.(Completed-size) D_T\le C D_0(T+1)^C. \tag{Completed-size}

其中 D0D_0 已包括该次构造中预先规定的全部列，即使其中某些列只在之后才加入投影。

记首次超过次数上限的区间族为 CT\mathcal C_T。结论是

∑I∈CT∣I∣≤CT−1ρ−2(log⁡(2DT))2∣R∣.(Cut-length) \sum_{I\in\mathcal C_T}|I| \le C T^{-1}\rho^{-2}\bigl(\log(2D_T)\bigr)^2|R|. \tag{Cut-length}

5.2 先固定实际行族，再使用算子估计

全部请求处理结束后，固定已经得到的行和列函数。它们可以在构造时依赖 (Fs)(F_s)，但联合 Bessel 界必须对任意函数成立；嵌套投影增量的正交性正好保证这一点。

变化函数行估计以 Bessel 常数一应用，再使用每次增益行互不重复，得到

cρ2∑v∣Iv∣≤∑ν 已用于增益∥ΔνFs(ν)∥22≤C(log⁡(2DT))2∣R∣.(Total-gain) c\rho^2\sum_v|I_v| \le\sum_{\nu\text{ 已用于增益}}\|\Delta_\nu F_{s(\nu)}\|_2^2 \le C\bigl(\log(2D_T)\bigr)^2|R|. \tag{Total-gain}

并没有对每个当前函数分别套一个固定函数的 Bessel 不等式后相加。

5.3 成功次数函数与首次停止集合

定义

n(y)=#{v:y∈Iv}. n(y)=\#\{v:y\in I_v\}.

此前处理过的请求区间若与当前候选区间相交，由非递减深度和二进嵌套性，它必包含当前区间或与之相等。因此此前成功次数在当前候选区间上为常数。

每个首次超限区间包含在 {n≥T}\{n\ge T\} 中：在准备执行被拒的下一次请求前，已经有 TT 次成功。移去其全部候选后代后，不同首次超限区间两两不交。于是

T∑I∈CT∣I∣≤∫Rn(y) dy=∑v∣Iv∣. T\sum_{I\in\mathcal C_T}|I| \le\int_Rn(y)\,\mathrm{d}y =\sum_v|I_v|.

与式 (Total-gain) 合并，得到式 (Cut-length)。积分等式只是有限个指示函数求和，没有额外概率假设。

6. 怎样预先选择次数上限使停止区间只占四分之一

原文 Lemma 5.1 后半，p.28。

令

a=1+log⁡(2D0)+log⁡(1/ρ),T=⌈C∗ρ−4(1+a)8⌉. a=1+\log(2D_0)+\log(1/\rho), \quad T=\left\lceil C_*\rho^{-4}(1+a)^8\right\rceil.

式 (Completed-size) 给出

log⁡(2DT)≤C′(a+log⁡C∗). \log(2D_T)\le C'(a+\log C_*).

因此式 (Cut-length) 中根长前的系数至多为

CC∗−1ρ2(1+a)−8(a+log⁡C∗)2. C C_*^{-1}\rho^2(1+a)^{-8}(a+\log C_*)^2.

0<ρ≤10<\rho\le1、a≥1a\ge1。例如用

(a+log⁡C∗)2≤2a2+2(log⁡C∗)2 (a+\log C_*)^2 \le2a^2+2(\log C_*)^2

可知上式由固定常数乘 C∗−1(1+log⁡C∗)2C_*^{-1}(1+\log C_*)^2 控制。先取一个足够大的固定 C∗C_*，即可使它至多为 1/41/4，同时有

log⁡(2T)≤C(a+log⁡C∗). \log(2T)\le C(a+\log C_*).

次数上限在处理任何请求前已经确定。后续构造产生的 DTD_T 只需满足预先规定的多项式上界，不能在看到某个任意大的最终函数族后再反向选择 TT。

7. 第一次应用：在每个保留区间上通过精度测试

对应 D p.29，Lemma 5.1 之后的构造。

7.1 先完成整个分割，再加入新列

每次构造从根 RR 上的空投影族开始。在一个空间深度，先把整个根分割到该深度，并在所有小区间上重新取已保留列的局部投影；再加入该深度预先规定的列；最后进行同时的插入轮次。没有请求的区间保留原投影。

下一深度仍细化整个分割，包括本次构造以后不再测试的分支。所有细化、加入列和恒等过渡都保留在同一个有限嵌套投影序列中。这样才有供联合算子界使用的完整序列。

7.2 检测失败时的行条件

原始候选区间 II 的深度为 s=s(I)s=s(I)。测试

r=fj,s−(PFj,s)phys. r=f_{j,s}-(PF_{j,s})_{\mathrm{phys}}.

若 dj,I(r)>e−kd_{j,I}(r)>\mathrm e^{-k}，式 (Detection) 给出新的 ϕ\phi，以共同下界 ρ\rho 满足式 (Gain)。每个请求负责它在 II 上的一个投影增量行，因此负责的行指标不重复。

同一深度的支撑与观察分割均取完整深度 ss 分割；每一插入轮都使用 Fj,sF_{j,s}。同一深度可重复轮次，下一深度的分割细化上一分割，下标也非递减。按完整分割的各区间拆开增量后，前篇 Corollary 4.5 的正交计算保留 Bessel 常数一。

每条路径上最多增加 TT 个有界列，每个私有系数为一，因此可取满足式 (Completed-size) 的常数。Lemma 5.1 给出首次超限区间总长度至多 ∣R∣/4|R|/4。

7.3 在停止区间上重新开始

把每个首次超限区间作为新根，只移交原始请求树中属于它的原求和区间及后代。新根上原函数列的限制仍满足相同归一化分块变差条件；开始新的空投影构造，检测、增益与行估计重新成立，因此其停止区间也至多占新根长的四分之一。

新根不可能在本次构造中直接把自身切出，否则停止区间长度已等于根长，与四分之一界矛盾。因此每次新根都是原有限请求树中的严格后代，递归必在有限步后终止。

第 ll 代根的总长度至多为 4−l∣R∣4^{-l}|R|。故所有尝试根的总长度满足

∑R′ 为构造根∣R′∣≤∑l≥04−l∣R∣=43∣R∣.(Root-sum) \sum_{R'\text{ 为构造根}}|R'| \le\sum_{l\ge0}4^{-l}|R| =\frac43|R|. \tag{Root-sum}

每个原求和区间最终只归属于一次保留它的构造。为旧祖先求和项所需的投影仍按继承和局部重新投影延续；新构造可以使用另外的列函数族。辅助分割区间不因此变成新的求和项。

8. 已得到的局部逼近与规模控制

在最终保留的区间 II 上，设 gI=PIFj,s(I)g_I=P_IF_{j,s(I)}。其物理残差已经通过测试：

dj,I(fj,s(I)−(gI)phys)≤e−k,∥gI∥2,I≤1. d_{j,I}\bigl(f_{j,s(I)}-(g_I)_{\mathrm{phys}}\bigr) \le\mathrm e^{-k}, \quad\|g_I\|_{2,I}\le1.

在同一个保留部分内，列的使用集合向后代继承，形成真正的嵌套完整分割投影族。

当 qq 固定时，式 (Detection) 控制 log⁡(1/ρ)\log(1/\rho) 与每个原子复杂度的对数为 kk 的固定幂；第 6 节继而控制 log⁡T\log T 为 kk 的固定幂。因此路径上列数及结构函数复杂度均不超过 exp⁡(Cq(1+k)C)\exp(C_q(1+k)^C)。

私有系数为一时，若 gI=∑vcvΦvg_I=\sum_vc_v\Phi_v，则逐点的私有分量给出

∑v∣cv∣2≤∥gI∥2,I2≤1. \sum_v|c_v|^2\le\|g_I\|_{2,I}^2\le1.

各物理结构函数绝对值至多一，故

∥(gI)phys∥∞,I≤∑v∣cv∣≤#{v 可用}(∑v∣cv∣2)1/2≤exp⁡(Cq(1+k)C). \|(g_I)_{\mathrm{phys}}\|_{\infty,I} \le\sum_v|c_v| \le\sqrt{\#\{v\text{ 可用} \}}\left(\sum_v|c_v|^2\right)^{1/2} \le\exp(C_q(1+k)^C).

这些结论在每个新根上由新构造重新证明，不把父根某一函数族的总能量按长度比例分给任意子根。

原文范围与下一步

  • D p.27，式 (5.1)–(5.4)：原始函数列的局部大小与变化界，固定列表示，变化函数行估计。
  • D p.28，Lemma 5.1、式 (5.5)：次数上限、总增益、停止区间长度与参数选择。
  • D p.29，式 (5.6) 及其后段落：新私有方向的投影增益，完整分割构造，有限树重启与局部残差界。
  • H Definition 4.1、Lemma 4.12，pp.15、27：所用结构函数类别与作为前提的局部检测结论。

下一篇接 D Lemma 5.2（pp.29–30）：四个位置轮流提高精度；对每个固定原区间始终使用同一个实际函数；按最早两个增量展开四线性形式，并逐对证明余项及晚精度相关的衰减。这一有限代数与量化比较决定后续只需研究哪些局部项。