第三单元（续）：四个位置的循环逼近与最早两个增量

本篇展开 D Lemma 5.2，原文 pp.29–30，式 (5.7)–(5.9)。前篇已在 H 局部检测的前提下构造各精度的投影逼近。这里首先证明一个有限的四线性恒等式，再给出每对晚精度函数的相关估计，并检查终端余项确实趋于零。

每个原始区间 $I$ 上，所有精度始终作用于同一个实际函数 $F_{e,s(I)}$ 。精度变大并不改变被逼近函数的深度下标。以下并不把对一个区间成立的比较自动求和到所有尺度；这里的全区间极限只用于原始有限树。

1. 每个精度已经具有的结论

固定 $q\in(2,3)$ 。精度级别 $t=1,2,\ldots$ 依次更新位置

\iota(t)=(t-1)\bmod4\in\{0,1,2,3\}.

选择绝对常数 $A>1$ 、足够大的 $k_1$ ，并令

k_{t+1}=k_t^A.

在原求和区间 $I$ 上写 $s=s(I)$ 。记第 $t$ 级在位置 $\iota(t)$ 的逼近为

g_{t,I}=P_I^tF_{\iota(t),s}.

不同精度的投影不必彼此嵌套；每个精度内部的空间深度投影族才具有前篇所证的继承性。若 $t\le0$ ，相应的 $g_{t,I}$ 约定为零。

前篇的构造给出

\|g_{t,I}\|_{2,I}\le1, \quad d_{\iota(t),I}\bigl(f_{\iota(t),s}-(g_{t,I})_{\mathrm{phys}}\bigr) \le\mathrm e^{-k_t},

以及

\|(g_{t,I})_{\mathrm{phys}}\|_{\infty,I} \le M_t,\qquad M_t\le\exp(C_q k_t^{d_{\mathrm{det}}}). \tag{Fit-bounds}

必要时把检测估计中的绝对指数 $d_{\mathrm{det}}$ 增大一次，使它同时控制次数上限与投影的物理上界。这个指数不依赖 $q$ ，而 $C_q$ 可以依赖 $q$ 。

把不同精度、不同重启构造中的私有坐标作互不相交的标记，嵌入同一个物理标量坐标加私有坐标直和的 Hilbert 空间。每个旧投影在其余私有坐标上为零。这样 $g_t-g_{t-4}$ 及下面的附加空间范数都有共同空间意义；形式仍只取物理分量。

以下在一个固定 $I$ 中省略下标 $I$ 。所有形式都只使用物理分量。归一化实际函数满足 $\|f_{e,s}\|_{\infty,I}\le1$ 。

2. 两个指定位置的形式范数

对不同位置 $i,j$ 的函数 $a_i,a_j$ ，定义

\|[a_i,a_j]\|_{\mathcal H,I} =\sup_{\|z_l\|_{2,I},\,\|z_m\|_{2,I}\le1} |\mathcal H_I(z_0,z_1,z_2,z_3)|,

其中位置 $i,j$ 固定为 $a_i,a_j$ ， $\{l,m\}$ 为其余两个位置。比较两个这样的双线性测试时，范数取相应形式之差的上确界。

前篇的 $d_{j,I}$ 允许任意一个对手位置具有 $L^q$ 归一化。因此若位置 $j$ 的残差 $r$ 满足 $d_{j,I}(r)\le\varepsilon$ ，则任意另一位置的 $h\in L^q(I)$ 都满足

\|[r,h]\|_{\mathcal H,I} \le\varepsilon\|h\|_{q,I}. \tag{Residual-test}

零函数情形直接成立；其余情形将 $h$ 除以其归一化范数即可。

3. 两个不同精度的投影怎样换回实际函数

对应 D 式 (5.9)，p.30。

设 $v>w$ 且 $\iota(v)\ne\iota(w)$ ，分别记这两个位置为 $j,i$ 。由双线性恒等式，

[g_v,g_w]-[f_{j,s},f_{i,s}] =[g_v-f_{j,s},g_w]+[f_{j,s},g_w-f_{i,s}].

在第一项中使用晚精度残差，并把 $g_w$ 放在 $L^q$ 对手位置；在第二项中使用早精度残差，并把有界实际函数放在 $L^q$ 位置。式 (Residual-test) 给出

\bigl\|[g_v,g_w]-[f_{j,s},f_{i,s}]\bigr\|_{\mathcal H,I} \le \mathrm e^{-k_v}M_w+\mathrm e^{-k_w} \le C_q\bigl(\mathrm e^{-k_v}\exp(C_qk_w^{d_{\mathrm{det}}}) +\mathrm e^{-k_w}\bigr). \tag{Pair-replacement}

若其中一个函数已经是实际函数，只需一次残差测试，例如

\|[g_v-f_{j,s},f_{i,s}]\|_{\mathcal H,I} \le\mathrm e^{-k_v}.

这里实际函数的 $L^q$ 范数至多一，不产生新的复杂度因子。

取 $A>d_{\mathrm{det}}$ ，并预留固定余量。由于 $v\ge w+1$ ，

k_v\ge k_w^A, \quad -k_v+C_qk_w^{d_{\mathrm{det}}}\le-\frac12k_v

对足够大的起始 $k_1$ 成立，且以后所有 $v>w$ 同时成立。于是式 (Pair-replacement) 的右侧至多

C_q\exp(-c_q k_w)

，常数可以统一选取。这个比较解释了精度递推为何需要幂次增长，而不只要求 $k_t\to\infty$ 。

4. 有限终端级别的精确展开

固定终端级别 $n$ 。对位置 $e$ ，令 $g_{e,n}$ 为不晚于 $n$ 的最后一次该位置逼近；如果还未更新则为零。定义终端残差

r_{e,n}=F_{e,s}-g_{e,n}.

同一位置的增量为 $g_t-g_{t-4}$ ，所以精确地有

F_{e,s} =\sum_{\substack{1\le t\le n\\\iota(t)=e}}(g_t-g_{t-4}) +r_{e,n}. \tag{Finite-telescope}

将四个式子代入四线性形式。对一个包含至少两个增量的展开项，记被选出的最早两个级别为 $u<t$ 。它们必在不同位置，因为每个位置的线性展开只选择其中一项。令

i=\iota(u),\quad j=\iota(t),\quad \{a,b\}=\{0,1,2,3\}\setminus\{i,j\}.

定义四元组

X_i^{u,t}=g_u-g_{u-4},\qquad X_j^{u,t}=g_t-g_{t-4},

X_a^{u,t}=F_{a,s}-g_{a,\mathrm{prev}},\qquad X_b^{u,t}=F_{b,s}-g_{b,\mathrm{prev}}, \tag{Two-earliest}

其中 $g_{e,\mathrm{prev}}$ 是位置 $e$ 严格早于 $t$ 的最后一次逼近，尚无则为零。

在其余位置 $a,b$ ，允许出现的增量只能晚于 $t$ ，也可以是终端残差。把这些可能性求和，式 (Finite-telescope) 正好给出 $F_{e,s}-g_{e,\mathrm{prev}}$ 。因此，每个原展开项按最早两级恰好归入一组，得到

\mathcal H_I(F_{0,s},F_{1,s},F_{2,s},F_{3,s}) =\sum_{\substack{1\le u<t\le n\\\iota(u)\ne\iota(t)}} \mathcal H_I(X^{u,t})+\operatorname{Rem}_{n,I}. \tag{Expansion}

没有增量的项为四个 $r_{e,n}$ 的乘积形式。恰有一个位置出现增量时，将该位置所有级别的增量求和，得到 $g_{e,n}$ 。所以余项准确地是五项之和：

\operatorname{Rem}_{n,I} =\mathcal H_I(r_{0,n},r_{1,n},r_{2,n},r_{3,n}) +\sum_{e=0}^{3} \mathcal H_I(r_{0,n},\ldots,g_{e,n},\ldots,r_{3,n}).

这里省略号只表示第 $e$ 个位置换成 $g_{e,n}$ ，其余三个位置保持各自终端残差。

5. 终端余项为什么趋于零

当终端 $n\ge4$ 时，四个位置都已有更新。取两个不同位置的终端残差，其最后更新级别 $v,w$ 都在 $\{n-3,n-2,n-1,n\}$ 中，且不同；设 $v>w$ 。晚残差通过精度 $\mathrm e^{-k_v}$ 的检测，早残差的物理 $L^q$ 范数不超过 $1+M_w$ 。于是

\|[r_{\iota(v),n},r_{\iota(w),n}]\|_{\mathcal H,I} \le\mathrm e^{-k_v}(1+M_w)\longrightarrow0.

极限由上一节同样的 $A>d_{\mathrm{det}}$ 选择保证。

每个终端残差的归一化 $L^2$ 范数至多二，每个投影逼近的归一化 $L^2$ 范数至多一。余项的五项各含至少三个残差，因而总能选两个残差使用刚才的形式范数估计，再以另外两个函数的 $L^2$ 范数控制。故

\operatorname{Rem}_{n,I}\longrightarrow0

对每个固定原区间成立。

若 $\mathcal U$ 是固定有限的原求和区间族，则

\sum_{I\in\mathcal U}|I|\,|\operatorname{Rem}_{n,I}| \longrightarrow0.

这里只交换极限与一个有限和。此时没有据此声称对任意无限区间族都可直接求和；后续还需独立控制各 $(u,t)$ 项。

6. 晚精度的每对函数为何都具有小形式范数

D Lemma 5.2 还断言：可取绝对常数

0<\theta_0<A^{-7}<1,

使对 $t\ge12$ ，四元组 $X^{u,t}$ 中任意两个不同位置的函数都满足

\|[X_l^{u,t},X_m^{u,t}]\|_{\mathcal H,I} \le\exp(-2k_t^{\theta_0}). \tag{Small-pairs}

6.1 哪些因子在替换后抵消

把一个因子中出现的每个投影逼近换成对应的实际函数，原来已是实际函数的部分不变。

对于位置 $j$ ，

X_j=g_t-g_{t-4}

替换后为 $F_{j,s}-F_{j,s}=0$ 。由于 $t\ge12$ ，这两次更新都存在。

对于位置 $a,b$ ，其严格早于 $t$ 的最后更新在 $t-1,t-2,t-3$ 中，所以

X_e=F_{e,s}-g_{e,\mathrm{prev}}

替换后也为零。只有早位置 $i$ 在 $u\le4$ 时可能没有前一次更新，因而替换后未必抵消。

任意两个位置总含至少一个属于 $\{j,a,b\}$ 。因此，只要逐项替换的误差受到控制，二者全部替换后的实际函数项必为零。

6.2 很早的 $i$ 位置不能粗略使用最早精度误差

先设 $u<t-4$ ，并考虑一对包含 $X_i=g_u-g_{u-4}$ 的函数。另一函数记为 $V$ ，其已有投影级别均至少为 $t-4$ 。这些级别都严格晚于 $u$ 及存在的 $u-4$ 。

因为 $V$ 替换成实际函数后系数之和为零，可以把它准确改写为

V=\sum_v\varepsilon_v(g_v-F_{\iota(v),s}),

其中至多两个项、 $|\varepsilon_v|=1$ ，并且这些 $v$ 全属于 $V$ 的同一个位置。于是

[X_i,V] =\sum_{\substack{w\in\{u,u-4\}\\w\ge1}}\sum_v \epsilon_w\varepsilon_v[g_w,g_v-F_{\iota(v),s}].

每项直接用晚残差进行检测，不产生早残差的 $\mathrm e^{-k_w}$ 误差：

\|[g_w,g_v-F_{\iota(v),s}]\|_{\mathcal H,I} \le\mathrm e^{-k_v}M_w \le C_q\mathrm e^{-c_qk_v}.

所有 $v\ge t-4$ ，所以总误差至多 $C_q\mathrm e^{-c_qk_{t-4}}$ 。

这一步避免了将一个非常早的 $u$ 的固定小误差错误地当作随 $t$ 衰减的量。

6.3 其余成对比较只含最近七级

仍在 $u<t-4$ 时，若一对不含位置 $i$ ，它涉及的已有投影级别均至少为 $t-4$ 。展开为有限个“投影或实际函数”的二元组合，对投影—投影使用式 (Pair-replacement)，对投影—实际函数使用一次残差测试。全部实际函数项因第 6.1 节的抵消而消失，剩下的误差至多 $C_q\mathrm e^{-c_qk_{t-4}}$ 。

若 $u\ge t-4$ ，由于 $\iota(u)\ne\iota(t)$ ，不能有 $u=t-4$ ，所以 $u\ge t-3$ 。早位置的前次更新级别 $u-4$ 至少为 $t-7$ ，其余位置已有投影的级别不更早。相同的成对替换因此给出

\|[X_l,X_m]\|_{\mathcal H,I} \le C_q\exp(-c_qk_{t-7})

对全部不同位置成立。每个因子至多两项，误差项数有一个固定的绝对上界。

6.4 将级别差写成当前精度的固定幂

递推式意味着

k_{t-7}=k_t^{A^{-7}}.

选一个绝对的 $0<\theta_0<A^{-7}$ 。再把起始 $k_1$ 取得足够大，使

C_q\exp(-c_q k_t^{A^{-7}}) \le\exp(-2k_t^{\theta_0})

对以后所有 $t\ge12$ 成立，即得到式 (Small-pairs)。

$\theta_0$ 不依赖区间、深度或输入分块数。它也可在 $q$ 前由绝对次数和 $A$ 确定； $q$ 的依赖由起始精度吸收。

7. 各函数的大小与共同局部构造

每个 $X_i,X_j$ 是两个范数至多一的投影之差，每个 $X_a,X_b$ 是实际函数与一个投影之差。因此

\|X_e^{u,t}\|_{2,I}\le2 \quad(e=0,1,2,3).

这是附加 Hilbert 空间的范数界，当然也控制形式中所用物理分量。

一个固定四元组只涉及有界多个精度的空间分段构造。将这些分段取共同细分时，非空的二进根区间交等于其中最深的区间；所需共同根来自这些有限个既有根族。因而其总根长仍由原根长乘一个固定常数控制。这个处理不重置原始空间深度 $s(I)$ 。

原文范围与后续问题

D p.29，循环更新规则： $\iota(t)$ 、精度递推、各次投影始终作用于固定的 $F_{e,s(I)}$ 。
D p.30，式 (5.7)–(5.8)：最早两个增量的有限展开与五项终端余项。
D p.30，式 (5.9) 与 Lemma 5.2 后半：两精度比较、极早位置的单独处理、 $t-7$ 与 $\theta_0<A^{-7}$ 。

下一步是 D §§5.3–5.6：将两个残差位置换成延迟投影，保留这里得到的成对小相关。需要先由两个固定低位置结构函数确定有限预测函数族，再选择高位置投影。延迟的是投影深度，原操作数必须仍为同一个 $F_{e,s(I)}$ 。这部分尚未由本篇的逐区间比较自动推出。