第三单元（续）：分离后的尺度求和与固定预测函数族

本篇讨论 D §§5.3–5.4，原文 pp.30–34，Lemma 5.3 与 Corollary 5.4。上一节四线性展开留下两个投影差与两个残差位置。接下来先固定投影差中的两个标量结构函数，构造一族以后可以用于逼近残差的函数。该族必须先于另外两个位置的具体函数及其投影构造选定。

这里用到 H 的标量分离、统一截断、频率计数与固定函数 Bessel 估计。本篇逐项标出所用陈述，并完整解释 D 如何将其用于随深度变化的函数。H 的这些标量结论本身仍作为明确前提。

1. 固定两个位置以后要近似什么

取四个位置 $\{0,1,2,3\}$ 中的不同位置 $i,j$ ，令 $a,b$ 为另外两个位置。写 $y_e=x+et$ 。固定两个有界二次结构函数 $\phi_i,\phi_j$ ，它们在共同起始根 $J'$ 上定义。若来自两个已有列，共同根就是两起始区间中较深的一个；两起始区间不相交则没有共同使用区间。

定义双线性形式

\mathcal L_I^{\phi_i,\phi_j}(z_a,z_b) =|I|^{-2}\int_{\mathbb R^2}w_I(x,t) \phi_i(y_i)\phi_j(y_j)z_a(y_a)z_b(y_b) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

投影展开中的标量系数先留在这个形式之外，不把它们混入固定结构函数。

H Lemma 4.5（p.20）的 progression separation 将两个低位置结构函数的乘积写成绝对可控的分离项。每个分离项在去掉其标量系数后形如

\psi_a(y_a)\psi_b(y_b)Q(t), \quad \|\psi_a\|_\infty,\|\psi_b\|_\infty,\|Q\|_\infty\le1.

三个函数为固定的二次结构函数，其共同复杂度上界记为 $H$ 。以下先处理一个这样的固定项。

2. 允许的另外两个位置函数

对应 D p.31。

固定二进子根 $K\subseteq J'$ 和其中一个有限原使用区间族 $\mathcal U$ ，并固定 $D_h\ge2$ 、 $L\ge0$ 。位置 $e\in\{a,b\}$ 的函数列 $z_{e,I}$ 可为至多三项之和：

z_{e,I}=\sum_{\ell=1}^{m_e}c_{e,\ell}V^\ell_{e,I}, \quad0\le m_e\le3,\quad |c_{e,\ell}|\le1. \tag{Allowed}

系数 $c_{e,\ell}$ 固定，不随 $I$ 或 $s(I)$ 改变。每个组成部分只能属于以下三类：

原函数 $F_{e,s(I)}|_I$ ；
当前投影 $P_{e,I}F_{e,s(I)}$ ；
支撑于 $I$ 的函数 $Z_{e,I}$ ，满足

\sum_{I\in\mathcal U}|I|\|Z_{e,I}\|_{2,I}^2\le L^2|K|. \tag{Energy}

同一位置所有原函数和投影函数来自同一份完整归一化分块函数列；位置 $a,b$ 可以有不同的分块。每个投影组成部分使用一套固定实现的继承投影族，有限个这样的族共用常数 $D_h$ 。缺少求和区间的深度仍通过继承和局部重新投影补齐。

双线性展开把两个位置的组合化为至多九对组成部分；一个位置替换时至多需要处理三个对手。证明各类估计后，这些固定有限项数可吸收进常数。

3. Fourier 上确界与按大小分组

选择一个固定截断函数

\zeta\in C_c^\infty(\mathbb R),\quad 0\le\zeta\le1,\quad \zeta=1\text{ 于 }[-1/3,1/3],\quad \operatorname{supp}\zeta\subset(-1/2,1/2).

在核支撑上， $x,x+3t\in I$ ，所以 $|t|\le|I|/3$ ，使用这个截断不会改变形式。设 $r=|I|$ ，定义

A_r=\sup_{\xi\in\mathbb R} \left|\int_{\mathbb R}Q(ru)\zeta(u)\mathrm e(-\xi u)\,\mathrm{d}u\right|.

有 $0\le A_r\le\|\zeta\|_1\le1$ ，且 $\int\zeta\ge2/3$ 。

记

\mathcal H_I(\psi_a z_a,\psi_b z_b;Q) =|I|^{-2}\int w_I(x,t)Q(t) \psi_a(y_a)z_a(y_a)\psi_b(y_b)z_b(y_b) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

对整数 $m\ge0$ ，令 $\mathcal U_m$ 为任意选定的、满足

\mathrm e^{-m-1}<A_{|I|}\le\mathrm e^{-m}

的使用区间子族。D Lemma 5.3 断言

\sum_{I\in\mathcal U_m}|I| \left|\mathcal H_I(\psi_a z_{a,I},\psi_b z_{b,I};Q)\right| \le \mathrm e^{-m} \operatorname{poly}\bigl(1+m,\log(2H),\log(2D_h),1+L\bigr)|K|. \tag{Band-sum}

这里 $\operatorname{poly}$ 指一个固定有限次数的多项式上界，不表示其系数或次数可随区间数增长。重点是高位置投影大小仅以 $\log(2D_h)$ 出现。

4. 从 H 使用的标量结论

D 的证明沿用 H Lemma 5.1（pp.30–31）的标量部分。置

\mathcal K=1+m+\log(2H).

所用事实如下，均针对已经固定的 $\psi_a,\psi_b,Q$ ，与另外两个位置的函数选择无关。

首先，H Lemma 4.6 的单尺度分离界使原双线性形式的算子范数不超过 $C A_r$ ，两个函数都用归一化 $L^2(I)$ 范数。这允许在少数特殊尺度上直接估计原形式，而不先拆开全部结构系数。

其次，H Lemmas 4.3–4.4 给出按尺度使用的展开，主相位为

\mathrm e(\lambda_*t^2+\gamma t), \quad |\lambda_*|r^2\le D_1, \quad\log D_1\le\operatorname{poly}(\mathcal K).

未缩放的 $\lambda_*,\gamma$ 均来自同一个固定实参数向量的有界有理高度组合。随尺度改变的是允许使用的组合及标量系数，不是另选一个不相关的底层参数向量。

截断误差还有比单尺度小误差更强的形式：对每个固定相位对 $(\lambda_*,\gamma)$ ，有覆盖各尺度及允许分解的绝对系数上界；这些固定对的上界可求和，并可使总量小于

\mathrm e^{-2m}(1+D_1)^{-M}

，其中固定整数 $M\ge2$ 取得大于后面光滑核多项式代价的次数再加一。这表示进一步减小尾部，以吸收该代价。D p.32 使用的正是 H 的 pooled tail 结论，以下称为跨尺度的统一系数尾界。

最后，H Lemma 3.5 的高度分组结论控制中等大小的非零二次量 $|\lambda_*|r^2$ 及线性差 $r|\gamma-\gamma'|$ 所占的尺度数。其数量是 $\mathcal K$ 的多项式；在剩余尺度上，忽略很小二次量和把很近中心换成代表中心的总误差也可求和。H p.31 进一步给出对保留尺度、区间及中心代表的联合 Bessel 界。

这些是本篇条件证明的标量前提；下一节开始检查变化函数怎样进入这些估计。

5. 每个深度的 $L^2$ 大小足够控制哪些误差

固定深度 $s$ 。同一深度的使用区间两两不交。对原函数，由归一化条件，

\sum_{\substack{I\in\mathcal U\\s(I)=s}} \|F_{e,s}\|_{L^2(I)}^2\le|K|.

对投影函数，用每个区间上的正交投影压缩性得到相同上界。能量型组成部分由式 (Energy) 的全区间平方和得到该深度的上界 $L^2|K|$ 。

式 (Allowed) 至多三项，因此

\sum_{\substack{I\in\mathcal U\\s(I)=s}} \|z_{e,I}\|_{L^2(I)}^2\le C(1+L)^2|K|. \tag{One-depth}

两个位置再用 Cauchy–Schwarz，得到其普通 $L^2$ 范数乘积之和不超过 $C(1+L)^2|K|$ 。

在特殊尺度上，先用原来的单尺度界 $C A_r\le C\mathrm e^{-m}$ ，再用式 (One-depth)。特殊尺度只有多项式多个，所以这部分满足式 (Band-sum)。这一步避免乘上可能很大的绝对结构系数总量。

对固定的 $\lambda_*$ ，还可直接计算

\sum_{\substack{r\text{ 二进}\\|\lambda_*|r^2\le D_1}} |\lambda_*|r^2\le C D_1. \tag{Quadratic-sum}

若 $\lambda_*=0$ ，每项为零；否则相邻向下尺度的量按 $1/4$ 递减。这正好处理

\mathrm e(\lambda_*t^2)=1+\bigl(\mathrm e(\lambda_*t^2)-1\bigr)

的第二部分：其光滑核范数具有因子

|\lambda_*|r^2\operatorname{poly}(D_1).

结合式 (One-depth) 与统一系数尾界，这部分在所有尺度上的误差可求和。没有逐尺度另换 $\lambda_*$ 后再错误地使用几何级数。

6. 零均值张量展开为什么可以使用光滑行估计

对线性相位部分，先将 $\mathrm e(\gamma t)$ 放入两个固定乘子，再对未调制的核 $w_I$ 改用坐标 $(y_a,y_b)$ 。下述零边缘与双重原函数均指这个 $w_I$ ，不对 $w_I\mathrm e(\gamma t)$ 直接作相同断言。Jacobian 的绝对值为 $|b-a|$ ，固定且非零。四方向消去条件中特别包含方向 $a,b$ ，因此变换后的核对任一变量积分、另一变量固定时都为零。

在这两个变量上先取一次积分，得到双重原函数。零边缘积分保证它在一个位于 $I\times I$ 内部的矩形外为零。将此原函数在稍大的固定矩形中作光滑 Fourier 展开，乘上在其支撑上为一的内部截断，再分别对两个变量求导，得到原核的张量展开。

每个单变量函数是一个紧支撑函数的导数，故其积分精确为零。固定阶导数界随完整 Fourier 指标至多按多项式增长，而系数比任意固定多项式的倒数衰减更快。于是可先固定一个完整张量指标证明行估计，最后再绝对求和这些指标。

对一个固定位置 $e$ 及频率代表 $\nu$ ，完整乘子为

m_\nu(y)=\mathrm e(\nu y)\psi_e(y), \quad \|m_\nu\|_\infty\le1.

$\psi_e$ 是在共同起始根上预先固定的函数；同一 $\nu$ 在不同区间使用同一个 $m_\nu$ 。对应行是

W_{I,\nu}f=|I|^{-1/2}\int_I m_\nu(y)\omega_{I,\nu}(y)f(y)\,\mathrm{d}y,

其中 $\omega_{I,\nu}$ 为刚才得到的光滑零均值函数。

7. 原函数、投影函数和能量函数分别怎样估计

7.1 原函数列

固定一个张量指标及源证明选定的区间—频率代表集合。H p.31 对这个实际选定集合给出普通联合 Bessel 界，记其算子范数为 $B_H$ 。其平方是 $\mathcal K$ 的多项式，并以多项式依赖当前张量指标。光滑函数的值与缩放一阶导数上界记为 $A_{\mathrm{bump}}$ 。

固定乘子族 $\mathcal N$ 的大小满足

\log(2+\#\mathcal N)\le\operatorname{poly}(\mathcal K).

这来自固定参数向量的维数、有理高度及统一截断的计数；频率大小本身无需有界。

保留支撑于子根 $K$ 的那些行，任意 $L^2(K)$ 测试函数零延拓到共同起始根，原联合 Bessel 界保持。前篇 D Lemma 4.6 因而给出

\left(\sum_{(I,\nu)} |W_{I,\nu}f_{e,s(I)}|^2\right)^{1/2} \le C(B_H+A_{\mathrm{bump}}) \bigl(\log(2d_{\mathrm{car}})\bigr)^2|K|^{1/2}, \quad d_{\mathrm{car}}=2+\#\mathcal N. \tag{Raw-rows}

其右侧仍只有所需多项式损失。

对统一尾界中的一个固定线性相位对，先固定该对的频率与完整乘子，再估计它的行；此时只有一个乘子指标。最后才对该相位对的绝对系数上界求和。

7.2 当前投影函数列

这里不能把式 (Raw-rows) 的原函数直接换成每个区间的投影函数。需要先证明新的普通联合算子界。

H Lemma 3.4（p.9 起）的 Compression 结论用于一个继承投影族时声称：若支撑于决策区间 $I$ 的原行具有联合 Bessel 范数 $B_H$ ，则复合行

A_{I,\nu}=W_{I,\nu}P_{e,I}

具有普通联合算子范数

B_H\,\mathfrak C(1,D_h), \quad\mathfrak C(1,D_h)\le C\bigl(\log(2D_h)\bigr)^C. \tag{Compression-one}

这个陈述针对任意固定函数，是此处另一项明确使用的 H 结论。行与投影族先按实际构造固定，然后才能应用它。

把原行看成附加空间上的行，忽略其私有坐标，原 Bessel 范数不变。复合行的伴随为

A_{I,\nu}^*=P_{e,I}W_{I,\nu}^*.

其输出在整个 $I$ 上为固定可用列函数的常系数组合，输入也仅依赖 $I$ 。将支撑深度递增排列，同一深度全部行放一轮，支撑与观察分割都取该深度的完整分割，每轮使用 $F_{e,s}$ 。细化关系与非递减下标均满足 D Lemma 4.4。

因此先使用式 (Compression-one)，再使用变化函数行估计，得到原文式 (5.14)：

\left(\sum_{(I,\nu)} |W_{I,\nu}P_{e,I}F_{e,s(I)}|^2\right)^{1/2} \le C B_H\mathfrak C(1,D_h)\log(2D_h)|K|^{1/2}. \tag{Projected-rows}

没有支付随总深度增长的因子。

7.3 能量型函数

对 $Z_{e,I}$ ，使用 H 同一行构造在每个固定区间内关于分离频率中心的 Bessel 界，再对区间求和。式 (Energy) 给出

\sum_{I,\nu}|W_{I,\nu}Z_{e,I}|^2 \le \operatorname{poly}(\mathcal K)\,L^2|K|.

这里无需复合投影结论，也无需把不同的 $Z_{e,I}$ 视为同一函数。

8. 保留频率系数的小量与尺度求和

H 的 Fourier 上确界测试说明，每个线性中心簇合并后的标量系数为 $O(\mathrm e^{-m})$ 。其理由是在原 $Q(r\,\cdot)$ 上测试该簇代表频率；自身系数乘以固定非零的 $\int\zeta$ ，其他簇因分离而产生可控 Fourier 尾项，前面的二次、截断及近中心替换误差也已小于同阶量。

这里保留的是先把同一簇的系数合并后的界，不能对原大系数逐个取绝对值后仍声称每项都小。

在固定张量指标上， $|I|$ 倍双线性形式写成两个归一化行值的乘积，另乘固定 Jacobian 与该簇系数。对配对行的全部指标用 Cauchy–Schwarz，再用式 (Raw-rows)、(Projected-rows) 或能量界，得到

\mathrm e^{-m}\operatorname{poly} \bigl(\mathcal K,\log(2D_h),1+L\bigr)|K|.

快速衰减的张量系数吸收其导数及 Bessel 常数对张量指标的多项式依赖。再加第 5 节已控制的特殊尺度与尾部，证明式 (Band-sum)。

若 $A_r=0$ ，紧支撑 $L^1$ 函数 $u\mapsto Q(ru)\zeta(u)$ 的 Fourier 变换恒零，所以该函数几乎处处为零。核有关的 $|u|\le1/3$ 上 $\zeta=1$ ，故对应双线性形式为零。正的 $A_r$ 则全部落在某个所列大小区间内。

9. 固定预测函数族的完整陈述

对应 D Corollary 5.4，p.34，式 (5.15)–(5.17)。

固定低位置函数 $\phi_i,\phi_j$ ，复杂度不超过 $H_{\mathrm{low}}$ ，并固定精度参数 $B\ge1$ 。存在一个有限指标集 $\mathcal A$ 、常数 $D_{\mathrm{pred}}$ 、固定三元组

(\psi_{a,\alpha},\psi_{b,\alpha},\lambda_\alpha) \quad(\alpha\in\mathcal A),

以及仅可依赖二进尺度 $r$ 的标量系数 $c_{r,\alpha}$ ，满足

\|\psi_{e,\alpha}\|_\infty\le1, \quad \#\mathcal A,\ \operatorname{complexity}(\psi_{e,\alpha}),\ |c_{r,\alpha}|\le D_{\mathrm{pred}},

\log D_{\mathrm{pred}} \le\operatorname{poly}\bigl(1+B+\log(2H_{\mathrm{low}})\bigr).

若 $|\lambda_\alpha|r^2>D_{\mathrm{pred}}$ ，则 $c_{r,\alpha}=0$ 。

三元组及全部尺度系数只依赖低位置固定函数、它们的标量构造和 $B$ ，须在选择另外两个位置函数及其最终投影族之前固定。定义

\mathcal T_I^\alpha(z_a,z_b) =|I|^{-2}\int w_I(x,t)\mathrm e(\lambda_\alpha t^2) \psi_{a,\alpha}(y_a)z_a(y_a) \psi_{b,\alpha}(y_b)z_b(y_b) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

对每个二进 $K\subseteq J'$ 、每个有限使用区间族以及每对满足式 (Allowed) 的函数，定义实际误差 $e_I$ 为等式

\mathcal L_I^{\phi_i,\phi_j}(z_{a,I},z_{b,I}) =\sum_{\alpha\in\mathcal A}c_{|I|,\alpha} \mathcal T_I^\alpha(z_{a,I},z_{b,I})+e_I

两侧的差。则

\sum_{I\in\mathcal U}|I|\,|e_I| \le\mathrm e^{-B} \operatorname{poly}\bigl(\log(2D_h),1+L\bigr)|K|. \tag{Predictor-error}

$e_I$ 可以依赖当前两个位置的函数。固定不变的是三元组与系数，结论是每次实际误差的总和界。

10. 截断选择为何不依赖后来的投影大小

H Lemma 4.5 的分离展开有快速衰减的壳系数总量，且壳复杂度有规定的多项式增长。式 (Band-sum) 中的多项式可放大成两个非负多项式之积：

P_1(1+m,\log(2H))\,P_2(\log(2D_h),1+L).

因此可以先只根据 $B,H_{\mathrm{low}}$ 选择分离壳的截断，丢弃总误差足够小的高壳；对每个保留项，再丢弃足够小的 $A_r$ ，即足够大的 $m$ 。几何衰减 $\mathrm e^{-m}$ 吸收 $P_1$ 的固定多项式增长， $P_2$ 保留在最终误差右侧。

对剩余有限个壳与大小区间，按第 4 节统一系数尾界再次截断。这些阈值的对数由 $1+B+\log(2H_{\mathrm{low}})$ 的固定幂控制。未缩放的相位参数来自有限个有界有理高度选择，因此保留下来的三元组组成固定有限族。

线性相位利用

\mathrm e(\gamma t) =\mathrm e\!\left(-\frac{\gamma y_a}{b-a}\right) \mathrm e\!\left(\frac{\gamma y_b}{b-a}\right)

分配到两个固定乘子中。将标量大小移到系数，使两个乘子仍归一化为绝对值至多一。它们的实振荡参数可以很大，但不计入原结构函数定义的复杂度。这得到第 9 节的三元组、系数及复杂度界。

11. 为什么同一族可以在每个子根上使用

选好标量截断、相位与乘子后，换到任意 $K\subseteq J'$ 时不重新选择它们。只保留支撑在当前使用区间族内的源行。

普通 Bessel 界通过把任意 $L^2(K)$ 函数零延拓到 $J'$ 保留。原始函数列限制到 $K$ 后仍归一化；投影族按已保留列在 $K$ 上局部重新投影，前篇的列函数常数不增加。故第 5–7 节的各项估计可在 $K$ 上重新得到，每个位置的大小因子为 $|K|^{1/2}$ 。

把同一组被丢弃的标量壳、大小区间与统一尾界再求和，得到式 (Predictor-error)。这一证明是对子根重新应用算子估计，不是把父根任意误差按长度比例分配给子根。

原文范围与下一步

D pp.30–31：固定低位置结构函数、三类允许的对手、完整乘子与 Fourier 上确界。
D pp.32–34，Lemma 5.3：特殊尺度、统一系数尾界、光滑行与复合投影行的变化函数估计。
D p.34，Corollary 5.4：先于另外两个位置固定预测函数族，并控制任意子根上的实际误差。
H Lemmas 3.4–3.5、4.3–4.6，以及 Lemma 5.1 的证明：本篇明确使用的固定函数与标量前提；这些证明尚未全部独立核验。

下一篇 D Lemma 5.5 将把这些固定预测函数放入附加空间，用它们的私有坐标控制延迟投影残差的矩。所需替换是 $P_{s+K_0}F_s$ ，不是 $P_{s+K_0}F_{s+K_0}$ 。本篇的预测族估计本身没有完成这项替换。