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多重遍历平均 / 原文精读
替换与活跃模式 D Lemma 5.5 · (5.18)–(5.22)
第三单元（续）：在固定使用深度上延迟投影
本篇展开 D Lemma 5.5 ，原文 pp.35–37，式 (5.18)–(5.22)。固定前篇预测函数族中的一个三元组后，目标是把实际函数 F a , s F_{a,s} F a , s P a , s + K 0 F a , s P_{a,s+K_0}F_{a,s} P a , s + K 0 F a , s F a , s F_{a,s} F a , s
延迟误差分为两种：光滑测试函数在细分区间上的变化带来 2 − K 0 2^{-K_0} 2 − K 0 ϵ \sqrt\epsilon ϵ K 0 K_0 K 0 K 0 ϵ K_0\sqrt\epsilon K 0 ϵ
1. 完整条件与结论
固定两个互补位置 a , b a,b a , b α \alpha α
ψ a = ψ a , α , ψ b = ψ b , α , λ = λ α .
\psi_a=\psi_{a,\alpha},\quad
\psi_b=\psi_{b,\alpha},\quad
\lambda=\lambda_\alpha.
ψ a = ψ a , α , ψ b = ψ b , α , λ = λ α . 二者为固定函数，∥ ψ a ∥ ∞ , ∥ ψ b ∥ ∞ ≤ 1 \|\psi_a\|_\infty,\|\psi_b\|_\infty\le1 ∥ ψ a ∥ ∞ , ∥ ψ b ∥ ∞ ≤ 1 K ⊆ J ′ K\subseteq J' K ⊆ J ′ U \mathcal U U
∣ λ ∣ ∣ I ∣ 2 ≤ D p r e d .
|\lambda||I|^2\le D_{\mathrm{pred}}.
∣ λ ∣∣ I ∣ 2 ≤ D pred . 位置 a a a P a , h P_{a,h} P a , h D h D_h D h h h h D h D_h D h
固定整数 K 0 ≥ 0 K_0\ge0 K 0 ≥ 0 0 < ϵ ≤ 1 0<\epsilon\le1 0 < ϵ ≤ 1
Φ v = ( ψ a ‾ , ϵ e v ) . (Predictor-column)
\Phi_v=(\overline{\psi_a},\sqrt\epsilon\,e_v).
\tag{Predictor-column}
Φ v = ( ψ a , ϵ e v ) . ( Predictor-column ) 预测列本身也计入列函数常数，因此 ϵ ≥ D h − 1 \sqrt\epsilon\ge D_h^{-1} ϵ ≥ D h − 1 D h D_h D h v v v e v e_v e v
原始根为 J J J s ( I ) = log 2 ( ∣ J ∣ / ∣ I ∣ ) s(I)=\log_2(|J|/|I|) s ( I ) = log 2 ( ∣ J ∣/∣ I ∣ ) F a , s = ( f a , s , 0 ) F_{a,s}=(f_{a,s},0) F a , s = ( f a , s , 0 ) K K K b b b z b , I z_{b,I} z b , I D h , L D_h,L D h , L
结论为
∑ I ∈ U ∣ I ∣ ∣ T I α ( F a , s ( I ) , z b , I ) − T I α ( P a , s ( I ) + K 0 F a , s ( I ) , z b , I ) ∣ ≤ C ( 2 − K 0 + ( 1 + K 0 ) ϵ ) poly ( D p r e d , log ( 2 D h ) , 1 + L ) ∣ K ∣ . (Delayed-error)
\begin{aligned}
\sum_{I\in\mathcal U}|I|\,
\bigl|\mathcal T_I^\alpha(F_{a,s(I)},z_{b,I})
-\mathcal T_I^\alpha(P_{a,s(I)+K_0}F_{a,s(I)},z_{b,I})\bigr|
\\
\le C\bigl(2^{-K_0}+(1+K_0)\sqrt\epsilon\bigr)
\operatorname{poly}\bigl(D_{\mathrm{pred}},\log(2D_h),1+L\bigr)|K|.
\end{aligned}
\tag{Delayed-error}
I ∈ U ∑ ∣ I ∣ T I α ( F a , s ( I ) , z b , I ) − T I α ( P a , s ( I ) + K 0 F a , s ( I ) , z b , I ) ≤ C ( 2 − K 0 + ( 1 + K 0 ) ϵ ) poly ( D pred , log ( 2 D h ) , 1 + L ) ∣ K ∣. ( Delayed-error ) 其中形式只使用函数的物理标量分量。
2. 残差均值中的 ϵ \epsilon ϵ ϵ \sqrt\epsilon ϵ
固定一个使用深度 s s s h ≥ s h\ge s h ≥ s F a , s F_{a,s} F a , s
r h [ s ] = ( f a , s − ( P a , h F a , s ) p h y s ) ψ a , μ h [ s ] = E h r h [ s ] ,
r_h^{[s]}
=\bigl(f_{a,s}-(P_{a,h}F_{a,s})_{\mathrm{phys}}\bigr)\psi_a,
\qquad
\mu_h^{[s]}=\mathbb E_h r_h^{[s]},
r h [ s ] = ( f a , s − ( P a , h F a , s ) phys ) ψ a , μ h [ s ] = E h r h [ s ] , 其中 E h \mathbb E_h E h K K K h h h
取一个包含于使用区间内的深度 h h h Q Q Q P a , h F a , s P_{a,h}F_{a,s} P a , h F a , s b h , v [ s ] b_{h,v}^{[s]} b h , v [ s ] Q Q Q
0 = 1 ∣ Q ∣ ⟨ F a , s − P a , h F a , s , Φ v ⟩ L 2 ( Q ) = 1 ∣ Q ∣ ∫ Q r h [ s ] − ϵ b h , v [ s ] .
0=\frac1{|Q|}\langle F_{a,s}-P_{a,h}F_{a,s},\Phi_v\rangle_{L^2(Q)}
=\frac1{|Q|}\int_Qr_h^{[s]}-\epsilon b_{h,v}^{[s]}.
0 = ∣ Q ∣ 1 ⟨ F a , s − P a , h F a , s , Φ v ⟩ L 2 ( Q ) = ∣ Q ∣ 1 ∫ Q r h [ s ] − ϵ b h , v [ s ] . 于是
μ h [ s ] = ϵ b h , v [ s ] . (Mean-coefficient)
\mu_h^{[s]}=\epsilon b_{h,v}^{[s]}.
\tag{Mean-coefficient}
μ h [ s ] = ϵ b h , v [ s ] . ( Mean-coefficient ) 令 Δ h = P a , h + 1 − P a , h \Delta_h=P_{a,h+1}-P_{a,h} Δ h = P a , h + 1 − P a , h v v v ϵ b h , v [ s ] \sqrt\epsilon\,b_{h,v}^{[s]} ϵ b h , v [ s ]
μ h + 1 [ s ] − μ h [ s ] = ϵ ( Δ h F a , s ) v , (Mean-increment)
\mu_{h+1}^{[s]}-\mu_h^{[s]}
=\sqrt\epsilon\,(\Delta_hF_{a,s})_v,
\tag{Mean-increment}
μ h + 1 [ s ] − μ h [ s ] = ϵ ( Δ h F a , s ) v , ( Mean-increment ) 以及
r h [ s ] − r h + 1 [ s ] = ψ a ( Δ h F a , s ) p h y s . (Residual-increment)
r_h^{[s]}-r_{h+1}^{[s]}
=\psi_a(\Delta_hF_{a,s})_{\mathrm{phys}}.
\tag{Residual-increment}
r h [ s ] − r h + 1 [ s ] = ψ a ( Δ h F a , s ) phys . ( Residual-increment ) 这三式在后来加入其他列后仍然成立，因为同一个预测列及其私有方向始终保留。列的物理分量必须取 ψ a ‾ \overline{\psi_a} ψ a ψ a \psi_a ψ a
3. 有限的残差矩恒等式
取使用区间 I I I s s s h ∗ = s + K 0 h_*=s+K_0 h ∗ = s + K 0 ω I \omega_I ω I
∥ ω I ∥ ∞ + ∣ I ∣ ∥ ω I ′ ∥ ∞ ≤ A ω .
\|\omega_I\|_\infty+|I|\|\omega_I'\|_\infty\le A_\omega.
∥ ω I ∥ ∞ + ∣ I ∣∥ ω I ′ ∥ ∞ ≤ A ω . 本节暂不要求它的积分为零。对任意有限 n > h ∗ n>h_* n > h ∗
∫ I r h ∗ [ s ] ω I = ∫ I μ h ∗ [ s ] ω I + ∑ h = h ∗ n − 1 ∫ I ( r h [ s ] − r h + 1 [ s ] ) ( ω I − E h ω I ) + ∑ h = h ∗ n − 1 ∫ I ( μ h + 1 [ s ] − μ h [ s ] ) ( E h + 1 ω I − E h ω I ) + ∫ I r n [ s ] ( ω I − E n ω I ) . (Telescope)
\begin{aligned}
\int_Ir_{h_*}^{[s]}\omega_I
={}&\int_I\mu_{h_*}^{[s]}\omega_I\\
&+\sum_{h=h_*}^{n-1}\int_I
(r_h^{[s]}-r_{h+1}^{[s]})(\omega_I-\mathbb E_h\omega_I)\\
&+\sum_{h=h_*}^{n-1}\int_I
(\mu_{h+1}^{[s]}-\mu_h^{[s]})
(\mathbb E_{h+1}\omega_I-\mathbb E_h\omega_I)\\
&+\int_Ir_n^{[s]}(\omega_I-\mathbb E_n\omega_I).
\end{aligned}
\tag{Telescope}
∫ I r h ∗ [ s ] ω I = ∫ I μ h ∗ [ s ] ω I + h = h ∗ ∑ n − 1 ∫ I ( r h [ s ] − r h + 1 [ s ] ) ( ω I − E h ω I ) + h = h ∗ ∑ n − 1 ∫ I ( μ h + 1 [ s ] − μ h [ s ] ) ( E h + 1 ω I − E h ω I ) + ∫ I r n [ s ] ( ω I − E n ω I ) . ( Telescope ) 为核对该式，定义
T h = ∫ I r h [ s ] ( ω I − E h ω I ) .
T_h=\int_Ir_h^{[s]}(\omega_I-\mathbb E_h\omega_I).
T h = ∫ I r h [ s ] ( ω I − E h ω I ) . 直接相减，
T h − T h + 1 = ∫ I ( r h [ s ] − r h + 1 [ s ] ) ( ω I − E h ω I ) + ∫ I r h + 1 [ s ] ( E h + 1 ω I − E h ω I ) .
\begin{aligned}
T_h-T_{h+1}
={}&\int_I(r_h^{[s]}-r_{h+1}^{[s]})
(\omega_I-\mathbb E_h\omega_I)\\
&+\int_Ir_{h+1}^{[s]}
(\mathbb E_{h+1}\omega_I-\mathbb E_h\omega_I).
\end{aligned}
T h − T h + 1 = ∫ I ( r h [ s ] − r h + 1 [ s ] ) ( ω I − E h ω I ) + ∫ I r h + 1 [ s ] ( E h + 1 ω I − E h ω I ) . 第二项中的测试函数对深度 h + 1 h+1 h + 1 r h + 1 [ s ] r_{h+1}^{[s]} r h + 1 [ s ] μ h + 1 [ s ] \mu_{h+1}^{[s]} μ h + 1 [ s ] μ h [ s ] \mu_h^{[s]} μ h [ s ] h h h
∫ I μ h [ s ] ( E h + 1 ω I − E h ω I ) = 0.
\int_I\mu_h^{[s]}
(\mathbb E_{h+1}\omega_I-\mathbb E_h\omega_I)=0.
∫ I μ h [ s ] ( E h + 1 ω I − E h ω I ) = 0. 于是得到望远镜和中的两项。最后，
∫ I r h ∗ [ s ] ω I = ∫ I μ h ∗ [ s ] ω I + T h ∗ ,
\int_Ir_{h_*}^{[s]}\omega_I
=\int_I\mu_{h_*}^{[s]}\omega_I+T_{h_*},
∫ I r h ∗ [ s ] ω I = ∫ I μ h ∗ [ s ] ω I + T h ∗ , 对 T h − T h + 1 T_h-T_{h+1} T h − T h + 1
4. 终端项消失不要求投影趋于原函数
在 h ≥ s h\ge s h ≥ s I I I P a , h P_{a,h} P a , h 1 I \mathbf1_I 1 I ∣ ψ a ∣ ≤ 1 |\psi_a|\le1 ∣ ψ a ∣ ≤ 1
∥ r h [ s ] ∥ L 2 ( I ) ≤ 2 ∥ F a , s ∥ L 2 ( I ) .
\|r_h^{[s]}\|_{L^2(I)}
\le2\|F_{a,s}\|_{L^2(I)}.
∥ r h [ s ] ∥ L 2 ( I ) ≤ 2∥ F a , s ∥ L 2 ( I ) . 光滑性给出
∥ ω I − E n ω I ∥ L 2 ( I ) ≤ C A ω ∣ I ∣ 1 / 2 2 s − n .
\|\omega_I-\mathbb E_n\omega_I\|_{L^2(I)}
\le C A_\omega |I|^{1/2}2^{s-n}.
∥ ω I − E n ω I ∥ L 2 ( I ) ≤ C A ω ∣ I ∣ 1/2 2 s − n . Cauchy–Schwarz 使式 (Telescope) 的终端项趋于零。
若原投影只定义到某个有限深度，可继续保留所有既有列，在所需更细区间上局部重新投影；列函数常数不变。对每个有限 n n n n → ∞ n\to\infty n → ∞ P a , n F a , s → F a , s P_{a,n}F_{a,s}\to F_{a,s} P a , n F a , s → F a , s
5. 跨使用深度的两项投影能量界
对应 D 式 (5.21)，p.36，来自已经展开的 Corollary 4.5。
对每个固定整数偏移 ℓ \ell ℓ s s s
∑ s ∑ I ∈ U s ( I ) = s ∥ 1 I Δ s + ℓ F a , s ∥ 2 2 ≤ C ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣ . (Offset-energy)
\sum_s\sum_{\substack{I\in\mathcal U\\s(I)=s}}
\|\mathbf1_I\Delta_{s+\ell}F_{a,s}\|_2^2
\le C\bigl(\log(2D_h)\bigr)^2|K|.
\tag{Offset-energy}
s ∑ I ∈ U s ( I ) = s ∑ ∥ 1 I Δ s + ℓ F a , s ∥ 2 2 ≤ C ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣. ( Offset-energy ) 只取合法投影深度。同理，对整数 L p r o j ≥ 0 L_{\mathrm{proj}}\ge0 L proj ≥ 0
∑ s ∑ I ∈ U s ( I ) = s ∥ 1 I ( P a , s + L p r o j − P a , s ) F a , s ∥ 2 2 ≤ C ( 1 + L p r o j ) 2 ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣ . (Rolling-energy)
\sum_s\sum_{\substack{I\in\mathcal U\\s(I)=s}}
\|\mathbf1_I(P_{a,s+L_{\mathrm{proj}}}-P_{a,s})F_{a,s}\|_2^2
\le C(1+L_{\mathrm{proj}})^2
\bigl(\log(2D_h)\bigr)^2|K|.
\tag{Rolling-energy}
s ∑ I ∈ U s ( I ) = s ∑ ∥ 1 I ( P a , s + L proj − P a , s ) F a , s ∥ 2 2 ≤ C ( 1 + L proj ) 2 ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣. ( Rolling-energy ) 两式在子根 K K K F a , s F_{a,s} F a , s
6. 光滑零均值部分的误差行
先处理把 e ( λ t 2 ) \mathrm e(\lambda t^2) e ( λ t 2 ) a a a ω I \omega_I ω I
6.1 两个余和产生 2 − K 0 2^{-K_0} 2 − K 0
对 h = s + ℓ h=s+\ell h = s + ℓ
∥ ω I − E h ω I ∥ ∞ + ∥ E h + 1 ω I − E h ω I ∥ ∞ ≤ C A ω 2 − ℓ .
\|\omega_I-\mathbb E_h\omega_I\|_\infty
+\|\mathbb E_{h+1}\omega_I-\mathbb E_h\omega_I\|_\infty
\le C A_\omega2^{-\ell}.
∥ ω I − E h ω I ∥ ∞ + ∥ E h + 1 ω I − E h ω I ∥ ∞ ≤ C A ω 2 − ℓ . 第一余和的归一化测试满足
∣ I ∣ − 1 / 2 ∣ ∫ I ψ a ( Δ s + ℓ F a , s ) p h y s ( ω I − E s + ℓ ω I ) ∣ ≤ C A ω 2 − ℓ ∥ 1 I Δ s + ℓ F a , s ∥ 2 .
|I|^{-1/2}
\left|\int_I\psi_a(\Delta_{s+\ell}F_{a,s})_{\mathrm{phys}}
(\omega_I-\mathbb E_{s+\ell}\omega_I)\right|
\le C A_\omega2^{-\ell}
\|\mathbf1_I\Delta_{s+\ell}F_{a,s}\|_2.
∣ I ∣ − 1/2 ∫ I ψ a ( Δ s + ℓ F a , s ) phys ( ω I − E s + ℓ ω I ) ≤ C A ω 2 − ℓ ∥ 1 I Δ s + ℓ F a , s ∥ 2 . 第二余和由式 (Mean-increment) 多出 ϵ ≤ 1 \sqrt\epsilon\le1 ϵ ≤ 1
对固定 ℓ \ell ℓ ℓ ≥ K 0 \ell\ge K_0 ℓ ≥ K 0
∑ ℓ ≥ K 0 2 − ℓ = 2 1 − K 0 ,
\sum_{\ell\ge K_0}2^{-\ell}=2^{1-K_0},
ℓ ≥ K 0 ∑ 2 − ℓ = 2 1 − K 0 , 两个余和的输出范数合计至多
C A ω 2 − K 0 log ( 2 D h ) ∣ K ∣ 1 / 2 . (Smooth-remainders)
C A_\omega2^{-K_0}\log(2D_h)|K|^{1/2}.
\tag{Smooth-remainders}
C A ω 2 − K 0 log ( 2 D h ) ∣ K ∣ 1/2 . ( Smooth-remainders ) 6.2 初始均值产生 K 0 ϵ K_0\sqrt\epsilon K 0 ϵ
当前 ω I \omega_I ω I μ s [ s ] \mu_s^{[s]} μ s [ s ] I I I
∫ I μ h ∗ [ s ] ω I = ∫ I ( μ h ∗ [ s ] − μ s [ s ] ) ω I .
\int_I\mu_{h_*}^{[s]}\omega_I
=\int_I(\mu_{h_*}^{[s]}-\mu_s^{[s]})\omega_I.
∫ I μ h ∗ [ s ] ω I = ∫ I ( μ h ∗ [ s ] − μ s [ s ] ) ω I . 式 (Mean-increment) 望远镜相加得到
μ h ∗ [ s ] − μ s [ s ] = ϵ ( ( P a , s + K 0 − P a , s ) F a , s ) v .
\mu_{h_*}^{[s]}-\mu_s^{[s]}
=\sqrt\epsilon\,((P_{a,s+K_0}-P_{a,s})F_{a,s})_v.
μ h ∗ [ s ] − μ s [ s ] = ϵ (( P a , s + K 0 − P a , s ) F a , s ) v . 使用 Corollary 4.5 中精确的 K 0 K_0 K 0
C A ω K 0 ϵ log ( 2 D h ) ∣ K ∣ 1 / 2 . (Zero-mean-initial)
C A_\omega K_0\sqrt\epsilon\log(2D_h)|K|^{1/2}.
\tag{Zero-mean-initial}
C A ω K 0 ϵ log ( 2 D h ) ∣ K ∣ 1/2 . ( Zero-mean-initial ) 当 K 0 = 0 K_0=0 K 0 = 0
7. 与另一个位置的行配对
固定张量指标后，∣ I ∣ |I| ∣ I ∣ a a a b b b a a a b b b
若为原函数列，完整乘子为固定的 ψ b \psi_b ψ b h h h 2 A ω 2 − h 2A_\omega2^{-h} 2 A ω 2 − h h ≥ 1 h\ge1 h ≥ 1 2 A ω 2A_\omega 2 A ω
若为当前投影函数，先对这个固定单乘子行族使用前篇列明的 H Compression 算子结论，再用 D Lemma 4.4。支撑与观察分割均是当前使用深度的完整分割，下标为同一个 s s s log ( 2 D h ) \log(2D_h) log ( 2 D h )
若为能量型 Z b , I Z_{b,I} Z b , I
∣ I ∣ − 1 / 2 ∣ ∫ I ψ b ω I Z b , I ∣ ≤ A ω ∥ Z b , I ∥ L 2 ( I ) .
|I|^{-1/2}\left|\int_I\psi_b\omega_I Z_{b,I}\right|
\le A_\omega\|Z_{b,I}\|_{L^2(I)}.
∣ I ∣ − 1/2 ∫ I ψ b ω I Z b , I ≤ A ω ∥ Z b , I ∥ L 2 ( I ) . 给定的总平方能量界控制其输出范数为 A ω L ∣ K ∣ 1 / 2 A_\omega L|K|^{1/2} A ω L ∣ K ∣ 1/2
张量指标的导数界只按多项式增长，快速衰减的张量系数使上述估计可以绝对求和。零均值部分因此被
C ( 2 − K 0 + K 0 ϵ ) poly ( log ( 2 D h ) , 1 + L ) ∣ K ∣
C\bigl(2^{-K_0}+K_0\sqrt\epsilon\bigr)
\operatorname{poly}\bigl(\log(2D_h),1+L\bigr)|K|
C ( 2 − K 0 + K 0 ϵ ) poly ( log ( 2 D h ) , 1 + L ) ∣ K ∣ 控制。这里所用 H Compression 仍为明确的外部前提。
8. 二次相位差的部分不必具有零均值
还需处理核
w I ( x , t ) ( e ( λ t 2 ) − 1 ) .
w_I(x,t)\bigl(\mathrm e(\lambda t^2)-1\bigr).
w I ( x , t ) ( e ( λ t 2 ) − 1 ) . 固定使用深度 s s s
x s = ∣ λ ∣ ∣ I ∣ 2 ,
x_s=|\lambda||I|^2,
x s = ∣ λ ∣∣ I ∣ 2 , 它只依赖该深度，不依赖同层使用区间。当前只保留 x s ≤ D p r e d x_s\le D_{\mathrm{pred}} x s ≤ D pred
在缩放到单位区间后，这个差核的任意所需固定阶导数界有因子
x s poly ( D p r e d ) .
x_s\operatorname{poly}(D_{\mathrm{pred}}).
x s poly ( D pred ) . 普通光滑张量展开的单变量函数现在可以有非零均值，仍具有多项式导数成本和快速衰减的系数。
8.1 固定 s s s
整个细分过程中操作数固定为 F a , s F_{a,s} F a , s
∑ h ≥ s + K 0 ∥ Δ h F a , s ∥ 2 2 ≤ ∥ 1 K F a , s ∥ 2 2 .
\sum_{h\ge s+K_0}\|\Delta_hF_{a,s}\|_2^2
\le\|\mathbf1_KF_{a,s}\|_2^2.
h ≥ s + K 0 ∑ ∥ Δ h F a , s ∥ 2 2 ≤ ∥ 1 K F a , s ∥ 2 2 . 这是固定 s s s h h h
同层使用区间不交。对式 (Telescope) 的两个余和使用光滑衰减 2 s − h 2^{s-h} 2 s − h h h h
C A ω 2 − K 0 ∥ 1 K F a , s ∥ 2 .
C A_\omega2^{-K_0}\|\mathbf1_KF_{a,s}\|_2.
C A ω 2 − K 0 ∥ 1 K F a , s ∥ 2 . 8.2 非零均值的初始项
此时不能减去 μ s [ s ] \mu_s^{[s]} μ s [ s ]
μ h ∗ [ s ] = ϵ ( P a , h ∗ F a , s ) v .
\mu_{h_*}^{[s]}
=\sqrt\epsilon\,(P_{a,h_*}F_{a,s})_v.
μ h ∗ [ s ] = ϵ ( P a , h ∗ F a , s ) v . 同层不交性和投影压缩性使初始测试的输出范数至多
C A ω ϵ ∥ 1 K F a , s ∥ 2 .
C A_\omega\sqrt\epsilon\,\|\mathbf1_KF_{a,s}\|_2.
C A ω ϵ ∥ 1 K F a , s ∥ 2 . 另一个位置在固定深度上的测试输出范数，由原函数大小、局部投影压缩性或给定能量界控制为 C A ω ( 1 + L ) ∣ K ∣ 1 / 2 C A_\omega(1+L)|K|^{1/2} C A ω ( 1 + L ) ∣ K ∣ 1/2 ∥ 1 K F a , s ∥ 2 ≤ ∣ K ∣ 1 / 2 \|\mathbf1_KF_{a,s}\|_2\le|K|^{1/2} ∥ 1 K F a , s ∥ 2 ≤ ∣ K ∣ 1/2
x s poly ( D p r e d ) ( 2 − K 0 + ϵ ) ( 1 + L ) ∣ K ∣ .
x_s\operatorname{poly}(D_{\mathrm{pred}})
\bigl(2^{-K_0}+\sqrt\epsilon\bigr)(1+L)|K|.
x s poly ( D pred ) ( 2 − K 0 + ϵ ) ( 1 + L ) ∣ K ∣. 8.3 固定的未缩放 λ \lambda λ
当 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 x s x_s x s 1 / 4 1/4 1/4
∑ s : x s ≤ D p r e d x s ≤ C D p r e d .
\sum_{s:x_s\le D_{\mathrm{pred}}}x_s\le C D_{\mathrm{pred}}.
s : x s ≤ D pred ∑ x s ≤ C D pred . 对任何所选有限深度子集同样成立。将第 8.2 节的界求和，即控制全部二次相位差的部分。将它与第 7 节相加，得到式 (Delayed-error)。
这里必须使用同一个未缩放相位参数 λ \lambda λ λ s \lambda_s λ s
9. 依次替换两个位置为什么仍在允许类别内
对应 D p.37，Lemma 5.5 末段。
若位置 b b b I I I s = s ( I ) s=s(I) s = s ( I )
P b , s + K 0 F b , s = P b , s F b , s + ( P b , s + K 0 − P b , s ) F b , s .
P_{b,s+K_0}F_{b,s}
=P_{b,s}F_{b,s}
+(P_{b,s+K_0}-P_{b,s})F_{b,s}.
P b , s + K 0 F b , s = P b , s F b , s + ( P b , s + K 0 − P b , s ) F b , s . 第一项是当前投影组成部分。将第二项作为一个整体限制到 I I I
∑ I ∈ U ∥ 1 I ( P b , s ( I ) + K 0 − P b , s ( I ) ) F b , s ( I ) ∥ 2 2 ≤ C ( 1 + K 0 ) 2 ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣ .
\sum_{I\in\mathcal U}
\left\|\mathbf1_I(P_{b,s(I)+K_0}-P_{b,s(I)})F_{b,s(I)}\right\|_2^2
\le C(1+K_0)^2\bigl(\log(2D_h)\bigr)^2|K|.
I ∈ U ∑ 1 I ( P b , s ( I ) + K 0 − P b , s ( I ) ) F b , s ( I ) 2 2 ≤ C ( 1 + K 0 ) 2 ( log ( 2 D h ) ) 2 ∣ K ∣. 所以它是参数
L ′ = C ( 1 + K 0 ) log ( 2 D h )
L'=C(1+K_0)\log(2D_h)
L ′ = C ( 1 + K 0 ) log ( 2 D h ) 的一个允许能量型组成部分。若再减去一个旧的当前投影，正好有三个组成部分，系数为 1 , 1 , − 1 1,1,-1 1 , 1 , − 1
必须把整个延迟差视为一个能量组成部分，不能将其拆成 K 0 K_0 K 0
原文范围与后续用途
D p.35，式 (5.18)–(5.20)：完整误差陈述、共轭预测列、残差矩与有限望远镜恒等式。
D p.36，式 (5.21)–(5.22)：固定偏移的变化函数能量、零均值初始项、固定使用深度的二次差核估计。
D p.37：固定相位的几何求和与顺次替换的三组成部分分解。
下一段 D §5.6 还须实际选择 B , K 0 , ϵ B,K_0,\epsilon B , K 0 , ϵ