第三单元（续）：实际构造两个延迟投影

本篇讨论 D §5.6，原文 pp.37–40，式 (5.23)–(5.28)。前两篇分别确定了固定预测函数族和延迟替换估计；这里按依赖顺序选择参数，构造真正的高精度投影，并在重新开始的局部构造之间求和。

沿用 H 局部检测、固定预测族及已列明的算子结论作为前提。主要需要检查：预测族先于高位置构造固定；一次粗区间请求如何由细区间的投影增益支付；停止后旧投影怎样继续服务原求和项；两个高精度怎样依次选择而不循环依赖。

1. 已固定的四元组与低位置函数对

取第三单元循环展开中的一个四元组 $X^{u,t}$ ，置 $k=k_t$ 。位置 $i,j$ 为两个投影差，称为低位置；互补位置 $a,b$ 为

X_e=F_{e,s}-g_{e,\mathrm{prev}},\qquad e=a,b.

这里“低”和“高”只区分此次构造的角色，并不表示空间位置编号或函数大小。

先固定已有投影族的一个共同旧部分，根为 $R_{\mathrm{old}}$ 。已有列函数、路径上指标数、当前系数绝对值之和及结构复杂度都有上界

D_{\mathrm{old}}=\exp(k^{O(1)}).

记号表示存在事先固定的有限次数和常数；指数次数不随树深度增长。

仅在此次高位置替换中，把两个低位置投影差展开为原标量列。固定一对标量列，记指标为 $p$ ，共同起始根为 $J_p$ 。相交的二进起始区间中较深者是共同根；若这对列在当前根上已经继承，则在 $R_{\mathrm{old}}$ 上重新记其起点。各使用区间上的系数留在形式之外。

路径上可出现的低位置函数对数满足

n_{\mathrm{pair}}(y)=\#\{p:y\in J_p\}\le D_{\mathrm{old}}^C.

因此

\sum_p|J_p| =\int_{R_{\mathrm{old}}}n_{\mathrm{pair}}(y)\,\mathrm{d}y \le D_{\mathrm{old}}^C|R_{\mathrm{old}}|. \tag{Pair-roots}

这里不要求整棵树所有分支的总指标数都由同一个路径上界控制。

2. 先选预测族，再选延迟和私有权重

对每个 $p$ ，使用 Corollary 5.4，在共同精度参数 $B\ge1$ 下选它的固定预测族。由共同的低位置复杂度上界，可取同一个数 $D_{\mathrm{pred}}$ ，控制每一族的大小、系数、结构复杂度与二次相位截断，且

\log D_{\mathrm{pred}}\le k^{O(1)}.

每个预测族仍在自己的 $J_p$ 上定义。对高位置 $e$ ，在这对低位置列首次共同可用时，加入对应的共轭预测列

(\overline{\psi_{e,\alpha}},\sqrt\epsilon\,e_{p,\alpha}),

并以后继承。同一私有方向不被重新分配。当前根上已继承的函数对，其预测列从该根就可用。路径上预测列数至多为 $D_{\mathrm{old}}^C D_{\mathrm{pred}}$ 。

在固定这些预测族后，才选择整数延迟 $K_0$ 和 $\log(1/\epsilon)$ ，使它们都是 $k$ 的足够大固定幂。最后构造的高位置投影族，其数值常数暂记为 $D_h$ 。置

\Lambda=C(1+K_0)\log(2D_h).

对一个完整高位置投影族，前两篇给出的误差类型为

\begin{aligned} e_k(D_h)={}& \mathrm e^{-B}\operatorname{poly}\bigl(\log(2D_h),1+\Lambda\bigr)\\ &+\bigl(2^{-K_0}+(1+K_0)\sqrt\epsilon\bigr) \operatorname{poly}\bigl(D_{\mathrm{pred}},\log(2D_h),1+\Lambda\bigr). \end{aligned} \tag{Error-choice}

第二项中已经吸收一个固定预测族的有限指标与系数求和。

先取 $B$ 吸收低位置系数及函数对数的固定幂，这确定 $D_{\mathrm{pred}}$ 。再取 $K_0,\log(1/\epsilon)$ ，吸收 $D_{\mathrm{pred}}$ 的固定幂和相同低位置成本，并留下比最终 $\mathrm e^{-k}$ 更强的指数余量。例如可先留 $\mathrm e^{-3k}$ 的余量。

为什么这还没有使用未知的 $D_h$ ？因为其余出现的只是 $\log(2D_h)$ 的多项式。后面一旦证明 $\log D_h$ 是 $k$ 的某个固定幂，这些代价就是 $k$ 的固定多项式，最终可通过提高起始精度吸收到预留的指数余量中。这里没有先假设任意大的最终函数族都可被同一个参数选择控制。

3. 粗区间测试与细分割投影

固定一个高位置 $e$ 和一次构造根 $R_{\mathrm{fit}}$ 。原始深度 $s(I)$ 不重置。投影按细深度 $h$ 递增构造；这一层接受请求的原始粗区间深度为

s=h-K_0.

即使当前没有原请求区间，仍细化完整分割并按既定时间加入预测列。

在候选粗区间 $I$ 上，用同一个实际函数 $F_{e,s}$ ，测试

r_{e,I}=f_{e,s}-(P^{\mathrm{new}}_{e,h}F_{e,s})_{\mathrm{phys}}

是否满足

d_{e,I}(r_{e,I})\le\mathrm e^{-\chi_e}.

精度参数 $\chi_e$ 稍后按顺序选择。由于细投影在 $I$ 内各子区间上的直和仍是 $L^2(I)$ 压缩，残差的归一化 $L^2(I)$ 范数至多二。

选定 $\chi_e$ 后，先由统一的检测界选一个共同下界 $\rho'_e>0$ ，供该位置的全部请求和后来各次重启使用；下文简记为 $\rho'$ 。检测失败时，H 局部检测给出有界结构函数 $\phi$ ，粗区间归一化矩至少为这个 $\rho'$ ，其 $\log(1/\rho')$ 和复杂度对数受 $k,\chi_e$ 的固定多项式控制。

4. 一次粗请求怎样获得足够的细区间总增益

对应 D 式 (5.24)，p.38。

把同一个新列 $(\phi,e_v)$ 加入 $I$ 内所有深度 $h$ 子区间 $Q$ 的投影，并在后代继承。物理函数和私有方向相同，各细区间上的投影系数可以不同。记

m_Q=\frac1{|Q|}\int_Qr_{e,I}\overline\phi.

新私有方向未在旧投影中出现，前篇的单列投影增益计算给出 $Q$ 上的增益至少为 $c|Q||m_Q|^2$ 。

以 $|Q|/|I|$ 为权重使用 Cauchy–Schwarz，

\sum_{Q\subseteq I,\ s(Q)=h}|Q||m_Q|^2 \ge |I|\left|\sum_Q\frac{|Q|}{|I|}m_Q\right|^2 =|I|\left|\frac1{|I|}\int_Ir_{e,I}\overline\phi\right|^2.

所以该粗请求负责的全部细行总增益至少为

c(\rho')^2|I|. \tag{Coarse-gain}

该新列在 $I$ 的每个点只计一个指标，不因细区间数而重复计算路径指标数。

同一细深度 $h$ 的同时插入轮中，每个仍未通过测试的粗区间可请求一个新列。它负责的是本轮其各细子区间上的增量行；不同请求的负责行不重复。行的支撑与观察分割都是完整深度 $h$ 分割，每轮读取 $F_{e,h-K_0}$ 。重复轮次读取相同函数，随 $h$ 增加读取下标非递减。

未用于请求的细化与预定列加入也保留在全局嵌套序列中。因此这些负责行满足 Lemma 5.1 的实际联合 Bessel 条件。

5. 次数上限与停止后的两套投影族

预定数值上界 $D_0$ 包含全部预测列，包括当前根上未来才加入的预测列，也包括共同列函数常数所需的有限旧资料。它的对数是 $k$ 的固定多项式。

额外拟合列以私有权重一加入。若粗路径上的额外成功请求数最多为 $T$ ，完成后的常数满足

D_T\le C D_0(T+1)^C.

Lemma 5.1 选择一个上限，其 $\log T$ 是 $k,\chi_e$ 的固定多项式，并保证首次超限的原粗请求区间总长至多 $|R_{\mathrm{fit}}|/4$ 。被切出的只能是原请求树区间。

5.1 旧投影族继续服务旧求和项

设粗区间 $I$ 在深度 $s$ 、细深度 $h=s+K_0$ 时被切出。其严格祖先的延迟投影深度更小，所以那些祖先求和项所用的投影值已经确定。

在被切分支上，旧族保留当时深度 $h$ 的细区间投影集合，在该深度的后续轮次不再改动；以后只继承这些列并在更细区间重新取局部投影。已有预测列及其私有方向持续存在，故旧祖先使用的残差望远镜等式仍可延伸到任意所需细深度。

这些旧求和项不需要该分支后来再通过新的残差检测。

5.2 新构造只接手被移交的原求和项

把被切出的粗区间及其原候选后代送到新构造。它保留限制后的预定旧资料与预测列；根上已继承的预测列立即可用，后续函数对仍在原先规定的首次共同可用时加入。

新构造的额外拟合列从空集开始，不把旧额外拟合列计入自己的新请求历史。新的 $D_0$ 只覆盖它的预定资料，新的次数上限只计算它自己的额外请求。

归一化函数列限制到新根后仍满足条件。相同的粗增益、细行次序与次数上限论证可重新进行，停止区间仍至多占新根长的四分之一。有限树递归使总构造根长至多为初始根长的 $4/3$ 倍。

旧族和新族分别承担不同原求和项；这个区分保证既保留旧值，也能在新根上重新得到深度无关的估计。

6. 两个高精度按什么顺序选择

对应 D p.39。

令

S_{\mathrm{old}}=\exp(k^{O(1)})

支配既有投影的物理上界及预测构造成本。先选择第一高精度 $\chi_1$ ，使

\mathrm e^{-\chi_1}S_{\mathrm{old}}\le\mathrm e^{-2k},

例如可直接取

\chi_1=\lceil2k+\log S_{\mathrm{old}}+1\rceil.

它本身至多为 $k$ 的某个固定幂。随后完成第一高位置的全部有上限构造。

第一投影的物理上界必须在选择第二精度前确定。在粗使用区间 $I$ 的深度 $s+K_0$ 子区间 $Q$ 上，

\|F_{e,s}\|_{2,Q}\le2^{K_0/2}\|F_{e,s}\|_{2,I}.

私有系数下界控制投影系数的 $\ell^2$ 范数，再用路径指标数及列函数大小控制物理和。因此可用

2^{K_0}

乘已完成第一列函数族常数的某个固定幂，作为其物理上界 $S_1$ 。所需的是

\log S_1\le\operatorname{poly}(k,\chi_1),

不涉及第二高精度。

随后选择 $\chi_2\ge\chi_1$ ，使

\mathrm e^{-\chi_2}S_1\le\mathrm e^{-2k}.

例如取

\chi_2=\left\lceil\max\{\chi_1,2k+\log S_1+1\}\right\rceil,

也至多为 $k$ 的固定幂。它还满足 $\mathrm e^{-\chi_2}S_{\mathrm{old}}\le\mathrm e^{-2k}$ 。两个精度及完成后两个列函数族常数的对数均为 $k$ 的固定幂，所以可取共同数值上界

D_h=\exp(k^{O(1)}). \tag{High-size}

有限个旧族与两个高族的共同上界只需固定放大。

这些精度为当前四元组专门选择，不代回全局循环精度递推 $k_{t+1}=k_t^A$ 。因此不存在用后来复杂度反向改变全部旧精度的循环。

7. 交叠局部构造中的原区间如何归属

将两个高位置的构造树与有限个旧分段树取共同细分。只有经过某个原有构造根才改变所属投影族，因此所得根族 $\mathcal S(R_{\mathrm{old}})$ 满足

\sum_{S\in\mathcal S(R_{\mathrm{old}})}|S| \le C|R_{\mathrm{old}}|. \tag{Owner-roots}

这些根可以嵌套；每个原求和区间仍只被指定给一个局部部分。

在属于 $S$ 的使用区间 $I$ 上，令

Y_i=X_i,\quad Y_j=X_j,\quad Y_e=P^{\mathrm{new}}_{e,s(I)+K_0}F_{e,s(I)} -g_{e,\mathrm{prev},I}\quad(e=a,b). \tag{Y-tuple}

每个投影是该原区间所归属的投影族，连同这一族的完整后代延续。

8. 在函数对与归属根的交上重新使用误差估计

固定低位置函数对 $p$ 和一个归属根 $S$ 。若 $J_p\cap S\ne\varnothing$ ，记

K=J_p\cap S;

二进嵌套性保证它是其中一个完整区间。只选择属于 $S$ 、且这对低位置列确实可用的原粗求和区间。

预测族及其尺度系数保持最初在 $J_p$ 上的选择。两个高位置各使用在 $S$ 上已固定的一个投影族；限制到 $K$ 后保留原列、原私有方向，并作相同局部重新投影。每个实际使用区间上的投影因此不变。

在第一次高位置替换前，对手为原函数减一个旧当前投影，至多两项。一次延迟之后，对手为当前投影加一个完整延迟差的能量项，再减一个旧投影，至多三项；能量参数为 $\Lambda$ 。所以前两篇的精确允许类别均满足。

在每次替换前后使用有限预测族的实际误差等式，再对保留预测项使用延迟替换界。低位置系数在每个区间外取其统一上界。这一函数对与归属根的误差至多为

D_{\mathrm{old}}^C e_k(D_h)|J_p\cap S|.

对所有交求和时，不需要 $\mathcal S$ 的点态重叠数有常数上界。令

n_{\mathrm{seg}}(y)=\#\{S:y\in S\}.

由式 (Pair-roots)，

\begin{aligned} \sum_{p,S}|J_p\cap S| &=\int n_{\mathrm{pair}}(y)n_{\mathrm{seg}}(y)\,\mathrm{d}y\\ &\le D_{\mathrm{old}}^C\int n_{\mathrm{seg}}(y)\,\mathrm{d}y =D_{\mathrm{old}}^C\sum_S|S|. \end{aligned}

结合式 (High-size)，第 2 节留下的指数余量吸收所有固定多项式成本，得到 D 式 (5.26)：

\sum_S\sum_{I\text{ 属于 }S}|I|\, |\mathcal H_I(X_I)-\mathcal H_I(Y_I)| \le C\mathrm e^{-k}|R_{\mathrm{old}}|. \tag{Replacement-sum}

这是在每个交根上对实际局部投影重新证明的估计，再按原区间归属求和。没有把父根误差未经证明地按子根长度分配。

9. 高位置替换后仍保持成对小相关

记新高逼近为 $H_e=P^{\mathrm{new}}_{e,s+K_0}F_{e,s}$ 。其残差在粗使用区间上通过精度 $\mathrm e^{-\chi_e}$ 的检测，并具有已控制的物理上界。

对两个高逼近，先换第二个较精确者，再换第一个，沿第三单元的成对比较有

\|[H_2,H_1]-[F_2,F_1]\|_{\mathcal H,I} \le\mathrm e^{-\chi_2}S_1+\mathrm e^{-\chi_1} \le C\mathrm e^{-2k}.

这里的位置下标 $1,2$ 只表示两个高位置的构造顺序。

对新高逼近与旧逼近，先用新残差对旧物理上界 $S_{\mathrm{old}}$ 测试，误差不超过 $\mathrm e^{-2k}$ ；再处理旧逼近与对应实际函数的误差。若所有相关旧级别至少为 $t-7$ ，第三单元的比较使总误差至多

C_q\mathrm e^{-c_q k_{t-7}}+C\mathrm e^{-2k}.

若低位置 $i$ 很早，则不替换它的旧残差。另一个晚因子在换回实际函数后抵消，故直接把其晚残差对 $i$ 的已有投影测试，正如最早两个增量证明的极早分支。新高残差由 $\mathrm e^{-\chi_e}S_{\mathrm{old}}$ 控制，旧晚残差由精度错开控制。

对 $t\ge12$ ， $Y_j,Y_a,Y_b$ 在其已有逼近全部换成同一个实际函数后均抵消，因此任何一对都包含一个这样的晚因子。由 $k_{t-7}=k^{A^{-7}}$ ，可取绝对指数 $\theta_{\mathrm{av}}>0$ ，使全部 $Y$ 对的形式范数不超过

\exp(-k^{\theta_{\mathrm{av}}})

，起始精度取得足够大即可。

正交投影在粗使用区间的细分割上仍压缩，因此全部 $Y$ 的局部归一化 $L^2$ 范数有固定上界 $C_{\mathrm{size}}$ 。选择

0<\theta<\min\{1,\theta_{\mathrm{av}},\theta_0\}, \qquad \eta=\exp(-k^\theta),

再增大起始精度，便同时得到每对形式范数不超过 $\eta$ 及

|\mathcal H_I(Y_I)|\le\eta. \tag{Full-Y-small}

后一个结论来自一对的形式范数乘另外两个函数的 $L^2$ 范数。它目前只属于完整的 $Y$ 四元组。

10. 本段最终形成的资料

对原归一化根 $J_0$ 上的当前四元组，记最终局部部分根族为 $\mathcal R_{\mathrm{base}}$ ，每个根 $R$ 所拥有的原求和区间族为 $\mathcal I_R$ 。这些 $\mathcal I_R$ 分割原来的求和集合，而且每个 $I\in\mathcal I_R$ 都包含于 $R$ 。对所有旧根求和式 (Replacement-sum)，得到

\sum_{R\in\mathcal R_{\mathrm{base}}}|R|\le C|J_0|,

\sum_R\sum_{I\in\mathcal I_R}|I|\, |\mathcal H_I(X_I)-\mathcal H_I(Y_I)| \le C\mathrm e^{-k}|J_0|. \tag{Global-replacement}

这是 D 式 (5.28)。只有原始求和区间被分配给各根，额外投影分割区间没有加入原和。

原文范围与下一步

D p.37，式 (5.23)：低位置函数对的共同根及路径计数；先固定预测族再选择 $K_0,\epsilon$ 。
D p.38，式 (5.24)：粗矩分配到细行的总投影增益；旧延续与新构造的不同作用。
D p.39，式 (5.25)–(5.26)：顺次高精度、归属根交上的新估计及误差求和。
D p.40，式 (5.27)–(5.28)：完整 $Y$ 的小相关与全根替换结论。

下一篇 Proposition 5.6 把 $Y$ 分成当前投影部分 $B$ 和延迟增量 $U$ ，用两个 $U$ 的总平方能量处理双增量项。必须从完整 $Y$ 的小量推导截断和，不能把式 (Full-Y-small) 直接赋给单独的 $B/U$ 模式。