第三单元（续）：完整四元组的小量与三个主要模式

本篇展开 D Proposition 5.6，原文 pp.40–42，式 (5.29)–(5.31)。前篇已经构造完整四元组 $Y$ ，证明其每对函数的形式范数以及整个局部形式都很小。这里将 $Y$ 分成当前投影部分 $B$ 和延迟增量 $U$ ，处理含两个 $U$ 的项，并把其余三个模式的任务限制到一个活跃区间族上。

关于固定三个结构函数沿路径只有少数活跃尺度，本篇使用 H Lemma 5.7 的准确陈述作为前提。其频率与有理高度证明尚未在此展开。

1. 根、原区间归属与三类函数

固定一个循环展开四元组，其较晚精度为 $t$ ，记 $k=k_t$ 。前篇得到最终根族 $\mathcal R_{\mathrm{base}}$ ，及每个根 $R$ 所拥有的原求和区间族 $\mathcal I_R$ 。这些区间族分割原来的求和集合；根可以嵌套，但每个原区间只归属于一个根。

本篇固定其中一个 $R$ 。位置 $i,j$ 为低位置，互补位置为 $a,b$ 。对 $I\in\mathcal I_R$ ，始终令 $s=s(I)$ 为原始根 $J$ 下的深度。定义

Y_l=B_l+U_l, \quad B_i=X_i,\quad B_j=X_j,\quad U_i=U_j=0,

B_e=P^{\mathrm{new}}_{e,s}F_{e,s}-g_{e,\mathrm{prev},I}, \quad U_e=(P^{\mathrm{new}}_{e,s+K_0}-P^{\mathrm{new}}_{e,s})F_{e,s} \quad(e=a,b). \tag{BU}

这是前篇 $Y$ 定义的精确分解，并没有改动函数的使用深度。

每个 $B_l$ 是至多两个当前局部投影作用于同一实际函数的带符号和。不同基础投影族使用彼此区分的私有方向，空间上的使用集合按原构造继承。用正交投影压缩性和三角不等式，

\|B_{l,I}\|_{2,I},\quad \|U_{l,I}\|_{2,I},\quad \|Y_{l,I}\|_{2,I}\le C \tag{Local-sizes}

，其中 $C$ 是固定常数。

2. 延迟增量的全根平方能量

选择 $D_{\mathrm{base}}$ 支配这个四元组涉及的有限个基础列函数族的路径指标数、列大小、私有权重倒数、结构函数复杂度及当前系数绝对值之和。可以固定放大到

\mathrm e^k\le D_{\mathrm{base}}\le\exp(k^C).

令

\Lambda_k=C(1+K_0)\log(2D_{\mathrm{base}})\le k^C.

对该根上各投影族的完整后代延续，重新应用 Corollary 4.5 的延迟投影估计，再限制到属于 $R$ 的原使用区间，得到

\sum_{I\in\mathcal I_R}|I|\|U_{e,I}\|_{2,I}^2 \le\Lambda_k^2|R| \quad(e=a,b). \tag{U-energy}

完整行估计先在 $R$ 上成立，限制输出只使平方和减小。这个界不是从父根任意函数族的总能量按比例分摊而来。

3. 固定三列的活跃尺度前提

H Lemma 5.7（p.37）讨论三个不同位置上的固定有界标量结构列 $\boldsymbol\phi=(\phi_{e_1},\phi_{e_2},\phi_{e_3})$ 。在它们共同起始子树中的二进区间 $I$ 上，定义

\operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi) =\sup_{\|h\|_{2,I}\le1} \left|\mathcal H_I(\phi_{e_1},\phi_{e_2},\phi_{e_3},h)\right|, \tag{Activity}

四个函数按各自原位置放置。

源结论声称：对 $0<\delta\le1$ ，沿任意固定空间路径，

\#\{I:\operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi)>\delta\} \le\operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}}+\log(1/\delta)\bigr),

并且

\sum_{\substack{I\text{ 在该路径上}\\ \operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi)\le\delta}} \operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi) \le\delta\operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}},\log(1/\delta)\bigr). \tag{Small-activity-sum}

这些界对路径点的位置及不受限的实振荡参数一致。

第一条控制大的相关出现多少次；第二条控制全部小相关的总和。只在单一阈值 $\delta$ 使用计数界还不够。将正的小相关按

2^{-n-1}\delta<\operatorname{act}_I\le2^{-n}\delta \quad(n\ge0)

分组，并在阈值 $2^{-n-1}\delta$ 应用第一条，其总和至多

\sum_{n\ge0}2^{-n}\delta\, \operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}}+\log(1/\delta)+n+1\bigr) \le\delta\operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}},\log(1/\delta)\bigr).

零相关不贡献。这说明第二条可由对全部更小阈值成立的计数界求和得到，并非逻辑独立的额外前提。

4. 同一个活跃区间族服务三个模式

取一个足够大的固定常数 $C_{\mathrm{act}}$ ，置

\delta=D_{\mathrm{base}}^{-C_{\mathrm{act}}}.

定义

\mathcal A_R= \left\{I\in\mathcal I_R: \operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi)>\delta \text{ 对某个在 }I\text{ 上可用的三列组合成立}\right\}.

在任意路径上，可用三列组合数至多为 $D_{\mathrm{base}}^3$ ，再乘固定的位置选择数。对每个固定组合使用第 3 节的第一条界，得到

\sum_{I\in\mathcal A_R}\mathbf1_I(y) \le M,\qquad M\le D_{\mathrm{base}}^C. \tag{Active-multiplicity}

这里每个组合沿其自己的共同起始子树使用源结论；对原区间的任何子集求和只会减小左侧。

积分式 (Active-multiplicity)，有

\sum_{I\in\mathcal A_R}|I|\le M|R|.

这是后续局部化的原活跃集合；没有把新投影分割区间添加进来。

5. 四项展开中为什么只有三个模式留待处理

由于 $U_i=U_j=0$ ，式 (BU) 的四线性展开只有四项。定义三个单增量以内的模式：

z^\varnothing=(B_0,B_1,B_2,B_3),

z^a_a=U_a,\quad z^a_l=B_l\ (l\ne a), \qquad z^b_b=U_b,\quad z^b_l=B_l\ (l\ne b).

记

\mathcal P=\{z^\varnothing,z^a,z^b\}.

第四项记为 $z^{UU}$ ，在位置 $a,b$ 放 $U_a,U_b$ ，在位置 $i,j$ 放 $B_i,B_j$ 。

于是

\mathcal H_I(Y_I) =\sum_{z\in\mathcal P}\mathcal H_I(z_I) +\mathcal H_I(z_I^{UU}). \tag{Four-patterns}

6. 两个 $U$ 的项已有全尺度求和界

设 $t\ge12$ 。前篇给出完整 $Y$ 的每对形式范数不超过

\eta=\exp(-k^\theta).

在两个低位置， $B_i=Y_i$ 、 $B_j=Y_j$ ，所以这个小形式范数可以用于双增量项：

|\mathcal H_I(z_I^{UU})| \le\eta\|U_{a,I}\|_{2,I}\|U_{b,I}\|_{2,I}.

对 $I\in\mathcal I_R$ 作带权 Cauchy–Schwarz，再用式 (U-energy)，得到

\begin{aligned} \sum_{I\in\mathcal I_R}|I|\, |\mathcal H_I(z_I^{UU})| &\le\eta \left(\sum_I|I|\|U_{a,I}\|_{2,I}^2\right)^{1/2} \left(\sum_I|I|\|U_{b,I}\|_{2,I}^2\right)^{1/2}\\ &\le C\eta\Lambda_k^2|R|. \end{aligned} \tag{Two-U}

无需对两个 $U$ 各自证明新的逐区间小量。

7. 非活跃区间的三个模式为何总误差很小

固定一个模式 $z\in\mathcal P$ 。它至少有三个 $B$ 位置：对 $z^a,z^b$ 取恰好三个 $B$ ；对 $z^\varnothing$ 任取三个位置。

在一个非活跃区间上，把这三个 $B$ 展开为基础标量列。系数在该区间上为常数，其绝对值总和受 $D_{\mathrm{base}}$ 的固定幂控制。第四个函数不展开，只用式 (Local-sizes) 的归一化 $L^2$ 界。

若 $\boldsymbol\phi$ 是一个出现的固定三列组合，非活跃性保证

\operatorname{act}_I(\boldsymbol\phi)\le\delta.

固定路径点 $y$ ，沿该路径对这个固定组合的所有非活跃区间，式 (Small-activity-sum) 给出总量

\delta\operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}},C_{\mathrm{act}}\bigr).

先以统一上界控制区间间可能变化的系数，再对该路径上至多 $D_{\mathrm{base}}^3$ 个三列组合及三个模式求和，得到

\sum_{\substack{I\in\mathcal I_R\setminus\mathcal A_R\\y\in I}} \sum_{z\in\mathcal P}|\mathcal H_I(z_I)| \le D_{\mathrm{base}}^{C-C_{\mathrm{act}}} \operatorname{poly}\bigl(\log D_{\mathrm{base}},C_{\mathrm{act}}\bigr).

对 $y\in R$ 积分，有限和换序将左侧变成区间长度加权和。先取固定 $C_{\mathrm{act}}$ 大于全部幂次成本，再取足够大的起始精度，使对数多项式被剩余负幂吸收。由于 $D_{\mathrm{base}}\ge\mathrm e^k$ ，得到

\sum_{I\in\mathcal I_R\setminus\mathcal A_R}|I| \sum_{z\in\mathcal P}|\mathcal H_I(z_I)| \le\mathrm e^{-k}|R|. \tag{Inactive}

这项计算只展开三个 $B$ ，并把第四个函数留在 $L^2$ 中。没有把含 $U$ 的模式也全面展开成大量标量列。

8. 从完整 $Y$ 的小量得到截断模式和

前篇还给出完整四元组的逐区间界

|\mathcal H_I(Y_I)|\le\eta.

式 (Four-patterns) 同时给出三角不等式。两者合并：

\begin{aligned} |\mathcal H_I(Y_I)| &\le\min\left\{\eta,\, |\mathcal H_I(z_I^{UU})| +\sum_{z\in\mathcal P}|\mathcal H_I(z_I)|\right\}\\ &\le|\mathcal H_I(z_I^{UU})| +\min\left\{\eta,\sum_{z\in\mathcal P}|\mathcal H_I(z_I)|\right\}\\ &\le|\mathcal H_I(z_I^{UU})| +\sum_{z\in\mathcal P}\min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\}. \end{aligned} \tag{Truncation}

后两步只使用非负数的不等式

\min(\eta,A+B)\le B+\min(\eta,A), \qquad \min\left(\eta,\sum_j a_j\right)\le\sum_j\min(\eta,a_j).

当 $\sum_j a_j\le\eta$ 时第二式两边相等；当总和超过 $\eta$ 时，右侧至少为 $\eta$ ，所以仍成立。

定义每个模式的剩余目标

M_R(z)=\sum_{I\in\mathcal A_R}|I| \min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\}.

将式 (Truncation) 在原拥有区间上求和，双增量项用式 (Two-U)，非活跃项用式 (Inactive)，得到 D 式 (5.31)：

\sum_{I\in\mathcal I_R}|I|\,|\mathcal H_I(Y_I)| \le C\eta\Lambda_k^2|R| +\mathrm e^{-k}|R| +\sum_{z\in\mathcal P}M_R(z). \tag{Active-reduction}

这一推导没有给单个模式 $\mathcal H_I(z_I)$ 赋予 $\eta$ 上界，也没有给其任意成对函数赋予完整 $Y$ 的小形式范数。模式可以很大；后续分析需要控制的正是保留最小值的 $M_R(z)$ 。

9. 有限个最初精度不需要晚精度小量

对 $t<12$ 的有限个精度，不能使用晚精度的 $\eta$ 结论。局部绝对估计仍给出双增量项的总和界

C\Lambda_k^2|R|,

只是没有 $\eta$ 因子。

在这些固定精度下， $D_{\mathrm{base}},\Lambda_k,M$ 都是与空间总深度无关的常数。活跃区间上，各模式的局部 $L^2$ 大小固定，四个 $L^2$ 函数的局部绝对估计控制每个形式；再用

\sum_{I\in\mathcal A_R}|I|\le M|R|

即可求和。非活跃部分仍由第 7 节处理。因此有限个最初精度的总成本与空间深度无关。

10. 进入局部化时必须保留的资料

后续 D §6 接收的是完整的 $B,U$ 函数、同一个原活跃区间族，以及关联的完整 $Y$ 成对小量。两个低位置的标量展开只用于前篇高位置替换，三个基础列的展开只用于本篇非活跃项估计。不能在下一阶段无条件沿用一个已拆散模式的额外小相关。

在任意新归一化子根上，函数列限制仍归一化，基础列的私有坐标及继承关系保持。延迟增量的平方能量应在该子根重新由完整行估计证明，之后才能重复本篇论证。

前篇 $X\to Y$ 的替换误差是对全部根求和的独立全局结论。本篇式 (Active-reduction) 则是在固定根上重新证明的界；不把那项全局误差未经证明地改写为每个根各自的同比例误差。

原文范围与下一步

D p.40，式 (5.29)、Proposition 5.6： $B/U$ 分解、总平方能量、基础列函数常数与活跃集合。
D p.41：H 固定三列活跃尺度陈述的应用、非活跃项路径求和及双增量项。
D pp.41–42，式 (5.30)–(5.31)：从完整 $Y$ 推导最小值形式的三个模式目标，及最初精度。
H Lemma 5.7，p.37：仍作为前提的固定三列活跃尺度与小相关求和。

D §5 的构造由此把每个晚精度四元组的任务化为三个 $M_R(z)$ 。下一阶段是 D §6 的频率局部化：必须为跨深度的局部输出与冻结投影重新建立普通联合 Bessel 界，再转用本单元已经证明的变化函数行估计。