第三单元（补）：主投影的闭合与局部化

本篇补读 D §6.1，原文 pp.42–44，式 (6.1)–(6.5)。按原文顺序，它位于“局部化输出的变化”之前。后文使用的组、掩码与主投影在这里定义，随深度变化的函数也在这里首次进入 H 的局部化论证。

H 的图掩码构造、不同标签分离和同标签检测仍作为明确输入。本篇展开有限投影闭合、整个端点区间上的 Bessel 合成，以及二分搜索怎样把原格的四个函数送到同一当前组。

1. 标签、组与局部正交投影

1.1 图顶点与新函数列

基本函数列的一个实际出现对应一个图顶点。顶点带有 H 的完整归一化曲率标签，包括水平坐标资料。在位置 $l$ ，二次相位为该标签相位乘

\kappa_l,\qquad (\kappa_0,\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3)=(-1,3,-3,1).

线性调制不属于曲率标签。

顶点之间的图距离由标签及相对原始 $J$ 的绝对深度决定，沿深度增加不增。后面加入的主函数列或辅助函数列都附在已有顶点上，保留同一标签；加入函数列不增加图顶点。

1.2 组与掩码

一个组 $G$ 有固定颜色，以及一组实际中心使用。扩大量为 $h$ 的掩码

\mathcal M_{G,h}(I)

是区间 $I$ 上允许使用的顶点集合。它记录此前的中心使用，所以组在某分支上不再是当前组之后，掩码仍可能继续继承。

对秩 $r$ ，定义

P_{r,\mathcal M,I}

为 $L^2(I;\mathcal H)$ 中到下述子空间的正交投影：秩至多 $r$ 、标签位于 $\mathcal M$ 的已有函数列在整个 $I$ 上的常数系数组合。系数可以依赖 $I$ ，但不能在同一个 $I$ 内逐点任意改变。

固定 $I$ 时，扩大掩码或加入函数列使投影值域递增；单个掩码投影也沿完整深度分割继承。未实际使用的区间仍须给出所需延续。

一个正平均滤子是 $P$ 个扩张投影的平均，

Q=\frac1P\sum_{p=1}^P P_p.

$Q$ 是正压缩，但一般不是正交投影。历史算子是按指定顺序组成的这些滤子及其补算子 $1-Q$ 的乘积。选择各平均中的单独投影并展开补算子后，得到有限个有序正交投影积；不同位置的投影无需交换。

1.3 可用端点

端点区间 $U$ 对一个给定组掩码可用，指该掩码非空，并且 $U$ 本身或其后代有该组的实际使用。端点不必在当前时刻就是中心使用。

H Lemma 6.4 给出三项几何性质：

实际中心为 $v$ 时，距 $v$ 至多 $h$ 的已有顶点均在第 $h$ 层掩码中。
第 $h$ 层掩码中顶点的图邻点属于第 $h+1$ 层掩码。
同色不同组在重叠可用端点上的掩码顶点，在较细端点的深度处距离大于一。

这些是后面局部化与跨组合成所用的几何输入。本篇不重新构造证明它们所需的颜色、中心竞争及历史掩码。

2. 闭合测试固定的是当前区间上的函数

固定一个原格 $I$ ，其深度为 $s$ ，以及一个实际基本函数

b=z_{l,s},

其类型可以是 $B$ 或 $U$ 。在整个本格闭合过程中， $b$ 固定；它可以包含原来的 $F_{l,s}$ 。

对两个指定位置中的函数 $v,w$ ，令

\mathfrak d_I(v,w) = \sup_{\|g_a\|_{2,I},\,\|g_b\|_{2,I}\le1} |\mathcal H_I(\ldots,v,\ldots,w,\ldots,g_a,\ldots,g_b)|.

右侧另外两位置各放一个归一化 $L^2(I)$ 函数。

秩 $r$ 的闭合要求：对每个规定历史 $H$ 、每个规定的单独投影选择、每个标签在目标掩码中的低秩纯函数列 $v$ ，

\mathfrak d_I\big(v,(1-P_{r,\mathcal M,I})Hb\big) \le \frac{\tau_3}{D_{\rm base}\sqrt{n_{r-1}}} \|b\|_{2,I}, \qquad \tau_3=D_{\rm base}^{-C_\tau}. \tag{Closure}

$n_{r-1}$ 是低于当前秩的路径函数列数界。单独投影测试成立后，通过平均也得到正平均滤子的相应测试。

分母中只有 $n_{r-1}$ 开平方；这是 D PDF p.43 的式 (6.1)。它将与后面的源函数列系数界相消。

3. 一次失败如何产生正交增量

H Lemma 6.6 的同标签检测输入如下：若标签为 $v$ 的纯函数列在一个位置，与另一位置的物理剩余量及两个归一化 $L^2$ 函数形成大小大于 $t_0$ 的局部形式，则后者与同标签模板函数的归一化矩至少为

t_0/H_0,\qquad H_0\le \exp(C_qk^C).

模板允许任意线性调制，物理部分有统一上界；该常数不随插入秩或线性调制增长。原模板或后来加入的模板都可作为源函数列。

若式 (Closure) 失败，在目标秩加入一个检测到的模板副本，并给它一个此前没有使用、权重为一的私有正交坐标，即 $\Phi=(\phi,e_{\rm new})$ 。设目标投影插入前后为 $P_{\rm old}\le P_{\rm new}$ ，旧测试状态为 $X=Hb$ ，旧剩余量为

r=(1-P_{\rm old})X.

新列记为 $\Phi$ ，其归一化范数有绝对上界。新私有坐标在 $X$ 及旧投影中均为零，因此物理矩就是完整向量内积：

|\langle r,\Phi\rangle_I| \ge c\,\frac{\tau_3}{D_{\rm base}\sqrt{n_{r-1}}H_0} \|b\|_{2,I}.

令 $\psi=(1-P_{\rm old})\Phi$ 。因为 $r$ 正交于旧值域，

\langle r,\psi\rangle_I=\langle r,\Phi\rangle_I, \qquad \|\psi\|_{2,I}\le\|\Phi\|_{2,I}\le C.

新值域至少包含 $\psi$ 的方向，故

\|(P_{\rm new}-P_{\rm old})X\|_{2,I} \ge \frac{|\langle r,\psi\rangle_I|}{\|\psi\|_{2,I}} \ge c\,\frac{\tau_3}{D_{\rm base}\sqrt{n_{r-1}}H_0} \|b\|_{2,I}. \tag{Fresh-gain}

若 $\|b\|_{2,I}=0$ ，所有状态为零，没有失败测试。

4. 测试状态变化时，怎样控制全部插入

4.1 固定向量与变化历史

插入过程中其他投影也可能扩大，因此第 $i$ 次的

X_i=H_i b

一般会改变。不能直接把 $\sum_i\|(P_{i,\rm new}-P_{i,\rm old})X_i\|^2$ 当成同一个向量的正交分解。

固定一个命名历史与目标掩码。在至多 $T$ 次插入中，各个正投影族关于插入下标递增。目标增量

B_i=P_{i,\rm new}-P_{i,\rm old}

是互相正交的行，所以

\sum_i\|B_i x\|_{2,I}^2\le\|x\|_{2,I}^2

对任意固定 $x$ 成立。

展开历史中的补算子，并逐项应用已经证明的二进前缀行估计。历史有 $O(\log L)$ 个因子，得到

\sum_i\|B_iH_i b\|_{2,I}^2 \le (C\log(2T))^{O(\log L)}\|b\|_{2,I}^2. \tag{Changing-history}

每次右侧的原向量始终是 $b$ 。变化只在嵌套投影的前缀中，正是前缀行估计允许的形式。

4.2 失败数与源标签数的区别

每次失败给出式 (Fresh-gain) 的平方下界。与式 (Changing-history) 比较后，对于固定目标历史与掩码，失败次数至多为

C\,D_{\rm base}^2n_{r-1}H_0^2\tau_3^{-2} (C\log(2T))^{O(\log L)}.

可出现的目标掩码、命名历史、位置及辅助基本函数数量为 $\exp(k^{O(1)})$ 。把这些数量及前因子合并，秩 $r$ 在一个格上的插入数至多为

n_{r-1}\exp(k^{C_1}) (C\log(2T))^{O(\log L)}. \tag{Insertion-count}

这里没有再乘所有触发失败的源函数列数。不同源可能触发同一个目标剩余量的失败，但每次都由该目标的正交增量计入同一行序列；源的身份不另增加一次求和。

4.3 选择秩数界并排除达到上限

路径上的活跃格数界、秩与位置的固定成本也纳入 $\exp(k^{C_1})$ 。预先取

\frac{n_r}{n_{r-1}}=\exp(k^{C_2}),

其中 $C_2>C_1$ 足够大；总秩数为 $L+5=k^{O(1)}$ ，因此

\log n_{\max}=k^{O(1)}.

把每条路径上允许插入总数的试验上限设为 $T=n_{\max}$ ，并留固定余量。它也控制当前固定格上的插入序列；不表示整棵树所有互不相交分支的插入总数都受 $n_{\max}$ 控制。每条路径至多有规定数目的活跃格，其因子已在前面的 $\exp(k^{C_1})$ 中吸收。此时

\log\!\left((C\log(2T))^{O(\log L)}\right) =O((\log k)^2),

对大 $k$ 远小于 $k^{C_2}$ 。故式 (Insertion-count) 严格小于预设每秩的容许数，任何试验都不可能达到上限。

这证明有限闭合。辅助闭合在完整侧函数已经固定之后进行；其源只来自主函数列，其新私有方向与所有旧方向不同，同一证明仍然适用。

4.4 参数选择为何没有循环

上述计数使用命名上下文的数量、模板复杂性及历史长度，不使用图边的具体数值高度 $H_{\rm ed}$ 或后面的模式近似精度。因此可以先确定

\log n_{\max}\le C_qk^C,

再选足够小的不同标签误差 $\tau_2$ ，最后按 H 的不同标签分离定理选 $H_{\rm ed}$ 并实现兼容掩码。

“先确定数量，再选误差”是本步的必要次序。若数量本身依赖后来为它选择的边高度，这一论证就没有给出有限的预先界。

5. 整个端点区间上的跨组 Bessel 合成

这里展开 H Lemma 6.5 在 D (6.3) 中的用途。固定位置与颜色，设

h_G=\sum_{v,U}a_{v,G,U}\mathbf1_U\Phi_v,

其中 $U$ 是可用端点区间，系数在整个 $U$ 上为常数，且认证该项的掩码含标签 $v$ 。同一个标签可以在任意多端点重复。

5.1 先合并同标签的全部使用

定义

a_{v,G}(y)=\sum_Ua_{v,G,U}\mathbf1_U(y).

若函数列 $\Phi_v$ 的私有坐标为 $\sqrt{\epsilon_v}e_v$ ，且 $\epsilon_v^{-1/2}\le W_0$ ，那么

\sum_v|a_{v,G}(y)|^2\le W_0^2\|h_G(y)\|^2. \tag{Private-coefficients}

必须先作上述合并，才能保留同一标签重复使用之间的抵消。

5.2 最后分离深度与系数可测性

固定不同组中的标签 $v,w$ 。图距离沿深度不增，所以距离大于一的深度组成初始区间，令其最后深度为 $s_*$ ，必要时截到当前有限树的末端。

如果当前根内根本没有分离深度，则掩码分离性质说明两标签支撑不重叠，交项为零，无需定义 $s_*$ 。以下只讨论存在分离深度的情形。

若两个支撑端点 $U,V$ 重叠，交集是较细的一个。掩码分离保证交集深度不超过 $s_*$ 。因此

a_{v,G}\overline{a_{w,G'}} = \sum_{U,V}a_{v,G,U}\overline{a_{w,G',V}} \mathbf1_{U\cap V}

在深度 $s_*$ 的分割上可测。更细的端点若不满足这一条件，与另一个标签的端点没有重叠，故乘积为零。

在该分割的每个格上应用 H 的不同标签相关估计，再求和，得到

|\langle h_G,h_{G'}\rangle| \le \tau_2\sum_{v,w}\int|a_{v,G}a_{w,G'}|. \tag{Cross-group}

不同组在重叠处不可能使用同一私有标签，否则标签距离为零，与分离矛盾。

5.3 对所有组与标签求和

若每条路径上的组数与标签数总量至多为 $N_0$ ，逐点 Cauchy–Schwarz 与式 (Private-coefficients) 给出

\sum_{G\ne G'}\sum_{v,w} |a_{v,G}a_{w,G'}| \le C N_0^2W_0^2\sum_G\|h_G\|^2.

取 $\tau_2 C N_0^2W_0^2\le1$ ，则

\left\|\sum_Gh_G\right\|_2^2 \le2\sum_G\|h_G\|_2^2. \tag{Endpoint-Bessel}

常数中没有重复端点次数或未来使用证书的深度。其关键是系数乘积的可测性以及同标签先合并，而非逐次端点粗略求和。

5.4 为什么限制只能放在伴随的正确一边

若输出仅用于较细格之并 $E$ ，相应算子为 $\mathbf1_EP_U$ 。其伴随为

(\mathbf1_EP_U)^*=P_U\mathbf1_E.

伴随的值域仍是整个 $U$ 上的常系数函数列组合。先用式 (Endpoint-Bessel) 合成这些伴随范围，再取对偶，就得到

\sum_G\|\mathbf1_{E_G}L_{G,t}h\|_2^2\le C\|h\|_2^2

这一共享函数估计。

若直接把原值域任意剪成 $E$ ，就不再满足前面“整个端点区间”的假设。伴随次序说明了原文为什么能使用细格输出限制。

6. 二分颜色搜索

先列明原文所用的累计掩码与秩。定义

\mathcal U_{m,h}(I) = \{v:d_s(v,\{w:\operatorname{color}(w)\le m\})\le h\}.

这些掩码随深度继承，且扩大一层包含原掩码的图邻点。颜色切分 $m$ 的累计滤子采用

\text{秩}=L-m+1,\qquad \text{基准扩大量}=10P(L-m+1).

四次球滤子插入依次采用

\text{秩}=L+j,\qquad \text{基准扩大量}=20P(L+1)+10(j-1)P, \quad j=1,2,3,4.

每个正平均在相应基准量上再加 $p=1,\ldots,P$ 后取平均。这些量及所需的一邻点扩张均处于源构造允许的掩码范围内。

以下沿 H Proposition 6.8 的证明解释 D (6.5)。活跃模式至少有三个基本粗函数，可以选一个作为初始上方保护位置。

维护颜色范围 $[\ell,h]$ 、一个上方保护位置，以及当 $\ell>1$ 时的下方剩余量保护位置。起始范围为 $[1,L]$ ，没有下方保护位置。

若 $\ell<h$ ，取中点 $m=\lfloor(\ell+h)/2\rfloor$ ，选择一个不同于现有两个保护位置的第三位置，在其当前函数 $z$ 上作恒等分解

z=Q_mz+(1-Q_m)z.

四线性性把原项精确拆成两项。

正投影项中，新位置成为上方保护位置，旧上方位置释放，颜色范围缩为 $[\ell,m]$ 。
剩余量项中，新位置成为下方保护位置，旧下方位置释放，范围缩为 $[m+1,h]$ 。

一个保护位置在释放前不再被后乘其他算子。每一分支的位置选择预先确定，即使某格中某些颜色为空，也使用同一搜索规则。因此每条分支长度为 $O(\log L)$ ，叶数至多为 $L$ ，各叶的内层历史在整个树上固定。

7. 单色叶中如何只留下当前组

7.1 排除旧颜色的源

设叶颜色为 $c$ 。上方保护位置或者仍为最初的粗函数，或者其最外层为秩

L-c+1

的累计正投影。只展开这一最外层值域，内层历史保持整体。

若 $c>1$ ，下方保护位置有一个秩 $L-c+2$ 的剩余投影，其基准扩大量比上方多至少 $10P$ ；各自再选择 $1\le p\le P$ 后，仍留下原文所需的包含余量。因此凡是上方源标签接近颜色至多 $c-1$ 的顶点，都在下方的全部所需掩码中，且源秩更低。式 (Closure) 控制这些旧源项。 $c=1$ 时没有旧颜色。

7.2 唯一匹配当前组

剩余源标签接近某个当前颜色为 $c$ 的顶点，因而匹配它所在的当前组 $G$ 。掩码包含性质把该源放入组的第一层球投影所需掩码。

它不可能同时匹配两个同色组，否则与同色掩码分离矛盾。它也与其他当前组的球投影纯源分离。

选择不同于保护位置的第三位置，在那里插入当前组第一层球投影之和。对于唯一匹配组，投影与恒等之差用式 (Closure) 控制；对于其他组，展开新球投影的纯源，用不同标签分离控制。旧颜色项仍由未改变的下方保护剩余量控制。

7.3 依次把其他位置送入同一组

现在第三位置已经具有唯一组 $G$ 的第一球掩码支撑。保留它作为低秩源，依次在其他三个位置加入各自更高秩、更大扩张量的球投影。

每次新目标掩码包含该源掩码，源秩也更低，故插入所产生的剩余量仍由式 (Closure) 控制。第三位置不再改变。于是四个位置都有同一组的最外层球滤子；内层历史只由原搜索分支决定。

得到

\mathcal H_I(z_{\cdot,s}) = \sum_\lambda\sum_{G\text{ 在 }I\text{ 当前}} \mathcal H_I(Z^\lambda_{0,G,s},\ldots,Z^\lambda_{3,G,s}) +e_I,

Z^\lambda_{l,G,s} =L^\lambda_{l,G,s}B^\lambda_{l,s}z_{l,s}, \qquad \sum_{I\in\mathcal A_R^{\rm main}}|I|\,|e_I| \le Ce^{-k}|R|. \tag{Localization}

$L$ 是一个正平均球滤子； $B^\lambda_{l,s}$ 是长度 $O(\log L)$ 的累计滤子及补算子的有序历史，独立于 $G$ 。当前组必须有实际中心使用；若没有，内层组和为空。

8. 数值误差为何能相加

秩 $r$ 的测试只展开一个更低秩的最外层源，其系数绝对值和满足

\sum_v|a_v| \le D_{\rm base}\sqrt{n_{r-1}}\, \|\text{该源投影的原函数}\|_{2,I}. \tag{Source-coefficients}

这由私有坐标下界、系数 Cauchy–Schwarz 与投影压缩得到。与式 (Closure) 的分母相消后，剩下 $\tau_3$ 乘局部函数大小。

活跃使用、搜索叶、组与插入步骤的剩余数目是基本参数的固定幂。取 $C_\tau$ 足够大，相关误差的长度加权和为 $O(e^{-k}|R|)$ 。不同标签项可能涉及主函数列数量的额外固定幂，但 $\tau_2$ 是在该数量界确定后选择的，同样可以使它们达到所需小量。

因此式 (Localization) 的主项不保留一个完整函数列系数和的成本。系数展开只用于估计小误差。

9. 从逐格恒等式到深度变化问题

局部化证明在每个格 $I$ 中只使用当时固定的四个实际函数 $z_{l,s(I)}$ 。闭合时，所有投影更新都作用在同一个本格基本函数上；其数目不依赖这个函数来自哪个确定的深度块。

但式 (Localization) 本身没有给出跨深度能量。后面的 D Lemma 6.1 必须对

Z_{G,s}=L_{G,s}B_s z_s

分别处理外投影、共同内层历史以及 $z_s$ 本身的变化。只有这些跨深度估计完成，才能进入冻结模式行和侧向量求和。

对于最低值，先在原格保持组和，再按固定搜索叶使用

\min\!\left(\eta,\sum_\lambda a_\lambda\right) \le\sum_\lambda\min(\eta,a_\lambda), \qquad a_\lambda\ge0.

不能在这一局部化步骤就把每个当前组的最低值当成原目标的一部分；后面的匹配与计数仍需原格中的完整组和。

原文定位与条件范围

D pp.42–43：原始深度、实际使用、图标签与局部正交投影；式 (6.1) 的测试归一化。
D p.43：固定本格函数、变化历史的正交行计数，式 (6.2)。
H Lemma 6.6，pp.46–47：同标签模板检测；本篇用其准确陈述，未重证模板 Fourier 分解。
H Lemma 6.7，pp.48–49：命名上下文计数、有限闭合及先数量后误差的次序。
H Lemmas 6.1、6.4：不同标签相关与掩码几何；仍作为本篇输入。
H Lemma 6.5，pp.45–46，与 D p.44：整个端点上的系数合并和 Bessel 合成。
H Proposition 6.8，pp.49–50，与 D 式 (6.5)：二分保护位置、逐个球投影插入及误差求和。

在上述几何和检测前提下，本篇说明 D 的当前函数虽然随深度变化，仍允许在每个固定格完成同一局部化。它补上前后章节之间的这一具体承接，未将 H 的整体几何证明视为已经核验。