第三单元（续）：局部输出跨深度变化的三个来源

本篇展开 D Lemma 6.1 与 Corollary 6.2，原文 pp.44–47。局部输出同时包含外层组投影、内部有序投影积和随深度变化的原函数。跨两个深度比较时，这三处变化必须分开处理。

H 的频率组构造在这里通过一项指定端点空间的分离不等式使用，另用其 Compression 算子结论。本篇先写出这些前提，再核算 D 的变化函数推导。H 如何从完整曲率标记构造这些组和端点空间，仍未在此重新证明。

1. 当前局部化问题与参数大小

固定 D Proposition 5.6 的一个晚精度、一个根及一个 $B/U$ 模式。记

\eta=\exp(-k^\theta),\qquad0<\theta<1.

待控制的是原活跃区间上的

\sum_I|I|\min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\}.

完整 $Y$ 的成对小量仍在后面把互补 $B$ 恢复为 $Y$ 时使用，不自动属于当前模式。

固定一次局部化的根 $R$ 。所有深度保留原始根下的编号；这些局部化根与前面的投影逼近根属于不同阶段。后续若切出某个原区间，只将该区间及其原后代求和项送到新根，不改已经固定的祖先项和算子。

主列函数族的常数为 $D_{\mathrm m}$ ，组着色数为 $L$ 。原文使用

\log D_{\mathrm m}\le C_qk^C,\qquad L\le k^C, \qquad G_0=\exp\bigl(C_q(1+\log(2k))^C\bigr). \tag{Main-sizes}

本篇的所有有序投影积长度为 $O(\log L)$ 。常数 $G_0$ 可在所示形式内增大。

2. 需要从 H 取得的端点空间前提

固定一个位置及一个颜色，只对这个颜色的组 $G$ 求和。组的指标固定，即使在某个深度不再当前出现，其投影族仍按原列函数继承并继续局部重新投影。

每个单独的正投影族在完整深度分割上定义。其值域由主列函数的常系数组合构成，使用集合随深度继承。因此，对固定组和固定投影选择，外层投影 $L_{G,s}$ 是随 $s$ 嵌套的正交投影族。

一个端点区间 $U$ 被允许用于组 $G$ ，要求相应投影的使用集合非空，且 $U$ 或其后代有 $G$ 的实际使用。原文称为 usable endpoint。一个较细区间中的后代实际使用，也确认其祖先端点具有这个性质。

H 的端点空间分离结论，按 D 式 (6.3) 使用为：若每个 $h_G$ 是有限个主列函数的组合，每项系数在一个完整的允许端点区间上为常数，且该列确实属于相应组投影的使用集合，则

\left\|\sum_Gh_G\right\|_2^2 \le C_{\mathrm{sep}}\sum_G\|h_G\|_2^2. \tag{Endpoint-separation}

由 H 在计数之后选取的失配精度，可使 $C_{\mathrm{sep}}$ 有一个绝对常数上界，不随 $k$ 或 $P$ 增长。同一标签或区间可以在不同端点时刻重复出现。常数不计算这种重复次数，也不依赖确认该端点可用的后代深度。列数、组数和私有权重等须符合式 (Main-sizes) 及 H 所选的分离精度。

这是关于整区间上的列函数组合的算子结论。只知道当前几个输出函数分离，或者只知道它们在细区间上的截断分离，都不足以替代式 (Endpoint-separation)。

2.1 同一端点的投影平方和

固定右端深度 $t$ ，令 $E_G$ 为满足上述实际使用条件的深度 $t$ 区间之并。置

A_G=\mathbf1_{E_G}L_{G,t}.

其伴随为 $A_G^*=L_{G,t}\mathbf1_{E_G}$ ，值域属于允许的完整深度 $t$ 端点空间，且 $\|A_G^*c_G\|_2\le\|c_G\|_2$ 。

对 $\sum_GA_G^*c_G$ 使用式 (Endpoint-separation)，再用 Hilbert 空间对偶性，得到 D 式 (6.4)：

\sum_G\|\mathbf1_{E_G}L_{G,t}h\|_2^2 \le C_{\mathrm{sep}}\|h\|_2^2 \quad\text{对每个共同函数 }h. \tag{Endpoint-Bessel}

这里各组作用于同一个 $h$ ，后面使用时必须保留这一点。

3. 输出中的有序投影积

原来的基本 $B$ 函数是至多两个当前基础投影的带符号和。局部化又在它外面作用若干正投影平均及其补算子。先固定一个搜索分支，展开补算子、选一个基础组成部分，并在每个正平均中固定一个投影选择，便得到

\widehat Z_{G,s}=L_{G,s}\mathcal B_sF_s, \qquad \mathcal B_s=P_s^m\cdots P_s^1. \tag{One-term}

每个 $P_s^j$ 都是一套继承正交投影族，主列函数常数共同受 $D_{\mathrm m}$ 控制。次序固定，长度 $m=O(\log L)$ 。这些内部族与 $G$ 无关，不同 $j$ 的投影不要求交换。

对于组无关的共享输出，可以没有外层 $L_{G,s}$ ，也允许 $m=0$ ，此时有序积为恒等算子。原文还将恒等输出本身列在共享类型中。

所有需要的端点均使用完整延续族来计算，即使该组在这个端点没有当前实际使用。若所需的有限端点超出原函数下标范围，函数列采用最近端点的常值延拓；重复端点值不增加块内变差。若端点在本次局部化根之前，输出仍规定为零。

4. 完整变差陈述

设 $\mathcal J$ 为一个有限的整数深度区间族 $[r,t]$ ，其边重叠数至多为 $a$ 。对每个 $G,[r,t]$ ，令 $E_{G,r,t}$ 为具有该组后代实际使用的深度 $t$ 区间之并。Lemma 6.1 的结论为

\sum_{G,[r,t]\in\mathcal J} \|\mathbf1_{E_{G,r,t}}(Z_{G,t}-Z_{G,r})\|_2^2 \le aG_0|R|. \tag{Variation-local}

对一个指定的共享输出 $Z_s^{\mathrm{sh}}$ ，令 $E_{r,t}$ 为它全部使用所需右端区间的并，则

\sum_{[r,t]\in\mathcal J} \|\mathbf1_{E_{r,t}}(Z_t^{\mathrm{sh}}-Z_r^{\mathrm{sh}})\|_2^2 \le aG_0|R|. \tag{Variation-shared}

共享结论没有组求和；同一个共享输出不因被多个组使用而重复计数。

5. 三项精确差分

将深度区间分成至多 $a$ 个内部互不重叠的子族。先在一个子族中删去零区间，排序为

r_1<t_1\le r_2<t_2\le\cdots.

暂假定端点都在当前局部化根以内。

对式 (One-term)，有精确恒等式

\begin{aligned} \widehat Z_{G,t}-\widehat Z_{G,r} ={}&(L_{G,t}-L_{G,r})\mathcal B_rF_r\\ &+L_{G,t}(\mathcal B_t-\mathcal B_r)F_r\\ &+L_{G,t}\mathcal B_t(F_t-F_r). \end{aligned} \tag{Three-changes}

前两项只改变算子，先为固定任意函数证明普通联合 Bessel 界，再代入随 $r$ 改变的 $F_r$ 。最后一项只改变共同函数，可以直接使用原函数列的差分平方和。

6. 第一项：外层组投影改变

6.1 暂时不放入内部有序积

在每个左端深度 $r$ 区间 $U$ 上分出行

C_{G,r,t,U} =\mathbf1_{E_{G,r,t}\cap U} (L_{G,t}-L_{G,r})\mathbf1_U.

端点投影都与 $\mathbf1_U$ 交换。同一 $[r,t]$ 下这些分行输出空间不交，因此拆分保持精确的平方范数和。

固定 $G$ 后，内部互不重叠区间对应的嵌套投影增量具有两两正交值域。限制输出到 $E_{G,r,t}$ 只降低平方和，故

\sum_{[r,t],U}\|C_{G,r,t,U}h\|_2^2\le\|h\|_2^2. \tag{One-group}

6.2 跨组的普通联合界来自伴随

对任意有限行测试向量 $c_{G,r,t,U}$ ，置

h_G=\sum_{[r,t],U}C_{G,r,t,U}^*c_{G,r,t,U}.

由式 (One-group) 的对偶形式，

\|h_G\|_2^2\le\sum_{[r,t],U}\|c_{G,r,t,U}\|_2^2.

每个行伴随的值属于左端或右端的完整组投影范围。若某个深度 $t$ 小区间确有后代实际使用，其祖先 $U$ 也得到所需使用依据；空使用集合对应零投影。因此这些伴随和满足式 (Endpoint-separation) 的前提。得到

\left\|\sum_Gh_G\right\|_2^2 \le C_{\mathrm{sep}}\sum_{G,[r,t],U}\|c_{G,r,t,U}\|_2^2.

再取对偶，证明全部 $C_{G,r,t,U}$ 对任意共同函数的联合 Bessel 界。

这里即使输出限制在 $E_{G,r,t}\cap U$ 的细区间上，左端投影的伴随仍可能遍布整个 $U$ 。证明正是使用整个祖先区间的列函数空间，没有把伴随误认为仍支撑于原细输出集。

6.3 加回 $\mathcal B_r$ 后检查变化函数行条件

在决策区间 $U$ 上，使用 H Compression 结论，把共同内部积加入行右侧。它提供普通联合算子界，代价为

\mathfrak C(m,D_{\mathrm m}) \le \bigl[C(m+1)^C\log(2D_{\mathrm m})\bigr]^{C(m+1)}. \tag{Compression-cost}

若 $m\ge1$ ，复合行伴随的顺序为

P_U^1\cdots P_U^m (L_{G,t}-L_{G,r})\mathbf1_{E_{G,r,t}\cap U}.

最后作用的是 $P_U^1$ ，因此值域是整个 $U$ 上的主列函数常系数组合。支撑深度与观察深度均为 $r$ ，使用下标也是 $r$ 。

若内部积为空，两个端点范围仍可在深度 $t$ 格上表示为主列函数组合；较早范围由继承性限制到这些细格。此时支撑深度为 $r$ ，观察深度为 $t$ ，使用下标仍为 $r$ 。

在两种情形下，下一个左端满足 $r_{\mathrm{next}}\ge t$ ，所以所需细化关系都成立。D Lemma 4.4 现在可以作用于变化的 $F_r$ ，得到第一项的平方和不超过 $G_0|R|$ 。

7. 第二项：内部非交换投影积改变

首先，对共同右端的组投影应用式 (Endpoint-Bessel)。内部差

(\mathcal B_t-\mathcal B_r)F_r

对所有 $G$ 相同，因此可以消去组求和，只需控制这些内部差的平方和。

保持原次序，有非交换的望远镜公式

\mathcal B_t-\mathcal B_r =\sum_{j=1}^{m} P_t^m\cdots P_t^{j+1} (P_t^j-P_r^j) P_r^{j-1}\cdots P_r^1. \tag{Product-difference}

逐项左侧的 $t$ -投影积是压缩，不增加范数。

固定 $j$ 。中间增量 $P_t^j-P_r^j$ 在有序不交区间上的值域两两正交；按深度 $r$ 的完整区间拆分后，Corollary 4.5 的精确平方和恒等式保留普通 Bessel 常数一。右侧积由 H Compression 加入。

若右侧积非空，伴随最后作用于 $P_r^1$ ，观察深度为 $r$ ；若 $j=1$ ，右侧积为空，两个增量范围通过继承在深度 $t$ 格上表示，观察深度为 $t$ 。支撑与使用下标始终为 $r$ ，相邻细化仍由 $t\le r_{\mathrm{next}}$ 保证。

因此每个 $j$ 的普通算子界先成立，再应用 D Lemma 4.4 到变化的 $F_r$ 。最后在有限行直和中对 $j$ 求和，成本由 $m$ 的固定幂与式 (Compression-cost) 控制，仍属于 $G_0$ 。这就控制第二项。

对于没有外层组投影的共享输出，相同论证直接使用内部差的完整 $L^2(R)$ 界。共享恒等输出的算子差为零。

8. 第三项：只改变原函数

内部积对各组相同，且各投影均压缩，所以

\begin{aligned} \sum_G \|\mathbf1_{E_{G,r,t}}L_{G,t}\mathcal B_t(F_t-F_r)\|_2^2 &\le C_{\mathrm{sep}}\|\mathcal B_t(F_t-F_r)\|_2^2\\ &\le C_{\mathrm{sep}}\|\mathbf1_R(F_t-F_r)\|_2^2. \end{aligned}

原函数列的分块变差引理对边重叠数 $a$ 给出

\sum_{[r,t]\in\mathcal J} \|\mathbf1_R(F_t-F_r)\|_2^2\le5a|R|.

共享输出同样先控制完整范数，再限制一次到 $E_{r,t}$ 。共享恒等输出正好就是这项原函数差分估计。

若内部积随组 $G$ 任意改变，式 (Endpoint-Bessel) 便不能在这里直接使用。这是原文要求内部有序积与 $G$ 无关的实质原因。

9. 根之前的零约定与恢复原平均

若两个端点都在当前根之前，差为零。至多 $a$ 个深度区间跨越开始深度。对这些区间，较早输出为零；右端组投影平方和、内部压缩性及

\|\mathbf1_RF_t\|_2^2\le|R|

共同控制其成本为 $Ca|R|$ 。

现在恢复原正投影平均。比较两个深度时，在每个平均中使用同一个投影选择，使该选择所对应的投影族保持嵌套。内部共有平均的投影选择还须在全部组之间共用，从而其有序积仍与 $G$ 无关；外层各组投影沿比较深度保持耦合。将所有选择看作一个归一化的有限概率平均，对有限行直和中的平方范数用 Jensen 不等式即可恢复平均，不损失平均项数。

若在两个深度独立选择不同投影，第一项便不再是同一嵌套族的增量，以上正交性理由不能直接适用。

补算子先按原次序展开为有序投影积，项数至多 $2^{O(\log L)}$ ；基本 $B$ 的固定带符号组成部分至多两项。用行直和中的三角不等式恢复这些有限项，再对至多 $a$ 个区间颜色求和，得到式 (Variation-local) 与式 (Variation-shared)。

10. 为什么全部损失仍装得进 $G_0$

由式 (Main-sizes)，

m\le C\log(2k),\qquad \log\log(2D_{\mathrm m})\le C_q+C\log(2k).

对式 (Compression-cost) 取对数，至多得到

C(m+1) \bigl(\log(C(m+1)^C)+\log\log(2D_{\mathrm m})\bigr),

它由 $(1+\log(2k))$ 的固定幂控制。行估计额外的 $\log(2D_{\mathrm m})$ 、有限项展开和平方成本也具有相同性质。因此可以统一写成

G_0=\exp\bigl(C_q(1+\log(2k))^C\bigr).

没有出现正平均的项数因子，也没有在本节使用后面更大的模式函数族常数 $D_*$ 。若后续令 $P=\lceil\eta^{-\alpha}\rceil$ ，固定 $\alpha>0$ ，则 $\log P$ 按 $k^\theta$ 增长，而 $\log G_0$ 只有对数的固定幂，所以 $G_0=P^{o(1)}$ 。这正是后面保留 $P$ 的负幂收益所需的量级。

11. 对后续相邻投影差的应用

对应 D Corollary 6.2，pp.46–47。

在 H 指定的一步输出滤子转移中，删去最外正滤子后剩下的内部有序积仍按源顺序排列，长度为 $O(\log L)$ ，并且与组无关。其端点函数属于刚才的共享类型。若外面还保留一个合法组投影，则属于组端点类型。

设该步的单独投影为 $Q_{p,s}$ ， $1\le p\le P$ ，并令

Q_{0,s}=0,\qquad Q_{P+1,s}=1.

这里须区分原文的两种转移。在球投影转移中， $Q_{p,s}x_s$ （ $1\le p\le P$ ）是合法的组端点，而 $x_s$ 为共享端点。在累积滤子转移中，外层球投影已经移除， $x_s$ 及全部 $Q_{p,s}x_s$ 都属于共享端点。

另一个互补位置的完整剩余端点 $x_{d,s}$ ，也只有两种允许形式：仍保留最外一层正球投影平均、内部积与组无关；或者该外层已移除而成为共享输出。两者分别使用式 (Variation-local) 与式 (Variation-shared)。

对于非终端差分

(Q_{p,s}-Q_{p-1,s})x_s,

两项按上述转移类型分别为组端点或共享端点，跨深度差由相应的两份已证变差界控制，只增加固定因子。

终端差分为

x_s-Q_{P,s}x_s.

在球投影转移中，前一项 $x_s$ 按共享输出的全部所需右端格的并计一次，后一项按允许组端点计。在累积滤子转移中，两项都是共享端点，均按相应的使用并集计数。不能把同一个共享项在每个组上重复相加后仍引用式 (Variation-shared)。

对 $P+1$ 个差分的总成本允许有 $P$ 的固定多项式增长。后续具体求和仍须保留原文规定的匹配组合，不能仅凭此处的单端点变差界任意拆散全部组与差分项。

原文范围与未完成部分

D pp.43–44，式 (6.3)–(6.4)：从 H 使用的完整可用端点空间分离及其投影平方和后果。
D pp.44–46，Lemma 6.1、式 (6.6)–(6.8)：三项精确差分、先证明普通算子界再读取变化函数、零约定及耦合投影平均。
D pp.46–47，Corollary 6.2：源滤子转移中组端点与共享端点的分类。

本篇没有证明 H 的曲率图、组掩码构造或 D 式 (6.5) 的完整局部化分解。它证明的是：这些源资料满足所列端点分离与有序投影条件时，D 所需的跨深度变差界成立。下一段的冻结模式行还必须控制复合伴随最后落在哪个函数族中，以免把 $D_{\mathrm m}$ 的损失换成更大的 $D_*$ 。