第三单元（续）：共同参数与局部估计的完成

本篇展开 D §7，原文 pp.58–61。此前的核心与侧函数估计仍有若干参数，也出现依赖原始深度数的固定函数常数 $C_N(q)$ 。本篇说明这些量如何按顺序选择，以及怎样回到 Theorem 3.2。

这一完成论证以此前列出的 H 局部化、计数、短块比较与固定函数证明为条件。特别是这里需要 H 的证明能在指定的同一个 $q$ 上运行，仅引用“存在某个 $q>2$ ”的定理陈述还不够。

1. 最终要得到的局部命题

1.1 核与函数的完整条件

取任意二进格中的根区间 $J$ ，有限有根树 $\mathcal T$ ，最大原始深度为 $d$ ，求和区间族 $\mathcal I\subseteq\mathcal T$ 。深度始终定义为

s(I)=\log_2(|J|/|I|).

每个 $I$ 的长度为 $r=|I|$ ，核 $w_I\in C_c^\infty(\mathbb R^2;\mathbb C)$ 满足固定参数 $c_0>0,C_0\ge1$ 对应的条件：

在支撑上，对 $j=0,1,2,3$ ， $x+jt\in I$ ，且到 $\partial I$ 的距离至少为 $c_0r$ 。
对所有 $v\in\mathbb R$ 与每个 $j$ ，

\int_{\mathbb R}w_I(v-jt,t)\,\mathrm dt=0.

对所有非负整数 $a,b$ ，令 $n=a+b$ ，有

\|\partial_x^a\partial_t^bw_I\|_\infty \le r^{-n}\big(C_0(n+2)\big)^{C_0(n+2)}.

定义

\mathcal H_I(z_0,z_1,z_2,z_3) =r^{-2}\int_{\mathbb R^2} w_I(x,t)\prod_{j=0}^3z_j(x+jt)\,\mathrm dx\,\mathrm dt.

位置 $j$ 上给定全部深度的可测函数 $f_{j,s}:J\to\mathbb C$ ，即使某个深度没有求和区间，也必须给定该深度的函数。深度集合 $\{0,\ldots,d\}$ 在位置 $j$ 分成 $W_j\ge1$ 个确定的非空连续整数块。对每块 $B=\{a,\ldots,b\}$ ，几乎处处满足

\max_{s\in B}|f_{j,s}(y)| +\sum_{s=a}^{b-1}|f_{j,s+1}(y)-f_{j,s}(y)| \le W_j^{-1/2}. \tag{Block-condition}

不同位置的块划分可以不同。所有函数在 $J$ 外作零延拓。

D Theorem 3.2 要得到

\sum_{I\in\mathcal I}|I|\, \left|\mathcal H_I (f_{0,s(I)},f_{1,s(I)},f_{2,s(I)},f_{3,s(I)}) \right| \le C_{\rm loc}(c_0,C_0)|J|. \tag{Local-target}

常数与树、深度范围、四个块划分及 $W_j$ 无关。

1.2 精度展开留下的目标

此前的有限精度展开把非初始项化成基本区段 $R_0$ 上的目标

\sum_{I\in\mathcal A_{R_0}} |I|\min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\}, \qquad \eta=e^{-k^\theta},\quad 0<\theta<1. \tag{Segment-target}

$k=k_t$ 是较晚的精度参数。原格中的 $z_I$ 是一整组四个函数，最低值来自完整 $Y$ 平均的小量，再分成规定的 $B/U$ 模式；不是给每个模式另行假定一个逐格小量。

2. 同一批原区间如何分配给不同尝试

2.1 一次尝试固定的对象

一次局部构造从 $R\subseteq R_0$ 开始。先确定主投影、颜色历史、球状掩码与实际使用；再根据这些已经存在的使用选择偏移；完整侧函数确定后，再进行辅助闭合以及依赖它们的大小和计数切分。

一旦某次尝试中的函数和算子确定，后面的切分只改变原求和区间归哪次尝试。父尝试的函数、投影或已经定义的整个向量函数不随切分重新截断。

初始标记失败根先由 H 标记构造的独立测度估计控制为一个足够小的固定比例。这类根并非由下面的非负累计量调阈值得到；其原求和项同样要交给新尝试。

其余停止量是沿路径累积的非负计数、平方大小或祖先区间上确界。它们的积分界允许把阈值乘上固定常数，使这些首次超限根连同初始标记失败根，在去掉相互包含后取最先出现的一层，其长度总和满足

\sum_{R'\text{ 为 }R\text{ 的首次停止根}}|R'| \le\frac14|R|. \tag{Quarter}

联合向量的指标 $(G,b,\chi)$ 已在总能量中一起求和，不能在这里再乘全部组与块的个数。强估计中剩余辅助选择的成本放入 $G_0$ ；允许为 $P,k$ 多项式的配置数量出现在取幂估计中。

祖先最大函数仍在完整的保留祖先区间上定义，包括后来位于切分根下方的部分。冻结互补函数过大时先把相应使用计入取幂误差；只有累计误差首次超限，才产生新的尝试根。

2.2 停止处保留哪些原项

在首次停止格 $R'$ 处，把 $R'$ 本身及其后代的原求和项交给新尝试。其严格祖先在旧尝试中仍保留为完整的原项。于是每个原求和格最终恰好属于一个尝试。

深度仍是相对原始 $J$ 的 $s(I)$ ，函数下标和确定的块划分也不重置。一个辅助输出若早于新尝试根，按规定取零；所需的函数下标超出原范围时使用此前规定的最近端点常值延拓。

2.3 为什么新根必须重新证明能量界

在 $R'$ 上，原函数限制仍满足式 (Block-condition)，因此

\|F_{j,s}\|_{L^2(R')}\le |R'|^{1/2},

且基本变化行的测试界以 $|R'|$ 为右侧长度。继承基本列时保留其私有坐标常数，并在新根作真实的局部拟合；父尝试所需的旧延续保持原样。

滚动平方能量、主投影变化、模式行及线性侧函数能量都在新根重新应用各自证明，得到同样的常数乘 $|R'|$ 。不能仅从父根有

\sum_\alpha\|u_\alpha\|_2^2\le C|R|

就推断任意子根上的能量按 $|R'|/|R|$ 比例缩小；一般函数族不具有这种性质。

2.4 尝试根的几何求和

按递归代数分代。第零代只有 $R_0$ ，第 $n+1$ 代根长总和由式 (Quarter) 至多为第 $n$ 代的四分之一。因此

\sum_{R\text{ 为尝试根}}|R| \le |R_0|\sum_{n=0}^\infty4^{-n} =\frac43|R_0|. \tag{Root-packing}

原树有限，每次新根严格位于更深的待分配部分，递归实际有限。无穷几何级数只给出一个与深度无关的统一上界。

3. 三类位置组合如何合并

在一个保留原格中，局部化恒等式先写成固定搜索叶与当前组的和。搜索叶数至多是 $k$ 的固定幂。最低值先作用于原格的完整贡献，再按允许的次可加性分开固定搜索叶。各叶中的组和先保持在原格内。

展开每个位置的核心部分与侧部分。四个位置只有三种情况：

至少三个核心位置：使用前篇的

C_q\eta^\varepsilon P^{C_4}|R|+O(e^{-k}|R|).

至少三个侧位置：使用三侧函数的 $p$ 次幂估计，指数 $p=1-\varepsilon>2/3$ 必须采用核心计算所给的同一个值。
恰好两个侧位置：使用滤子转移后的主项、冻结误差、过大互补函数的误差及完整 $Y$ 的恢复。近差分项保持区间内的完整匹配和，并使用前篇的强估计。

对需要取幂的非负贡献 $x$ ，使用

\min(\eta,x)\le\eta^{1-p}x^p=\eta^\varepsilon x^p.

近差分项及所有物理、数值误差直接按一次幂估计。把有限搜索选择和其余较小成本纳入常数后，D (7.1) 为

\begin{aligned} \sum_{I\in\mathcal A_R^{\rm ret}} |I|\min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\} \le{}& C_q\eta^\varepsilon P^{C_4}|R|\\ &+(1+C_N(q))C_qP^{-1/2}G_0 (K+2)^{C_{19}(q-2)}|R|\\ &+C_qe^{-k}|R|. \end{aligned} \tag{One-accuracy}

这里 $N=d+1$ 是原始深度数， $C_N(q)$ 是前篇定义的固定紧支撑标量 $L^q$ 函数常数。还没有把它视为与 $N$ 无关。

先用式 (Root-packing) 对全部尝试求和，同一右侧成立，只把 $|R|$ 换成固定倍数的 $|R_0|$ 。

4. 参数增长的不同级别

原文式 (6.9) 给出

\log D_{\rm base},\ \log D_m\le C_qk^C, \qquad \log D_*\le C_q(1+k+P)^C,

K\le C_q(1+k+P)^{C_5}, \qquad G_0=\exp\!\big(C_q(1+\log(2k))^C\big). \tag{Growth}

各固定幂次可在选择 $q$ 之前确定。

这一差别有实质作用。主投影行只付出 $\log D_m$ 及有限历史乘积的成本，仍可放进 $G_0$ 。较大的 $D_*$ 留在模式构造、Bessel 与取幂计数中。若把强行估计中本应出现的 $D_m$ 换成 $D_*$ ，式 (Growth) 不能保证它被 $G_0$ 吸收。

此后选择

P=\left\lceil e^{\alpha k^\theta}\right\rceil, \qquad \alpha>0,\quad 0<\theta<1. \tag{Power-parameter}

固定 $\alpha$ 后，

\frac{\log G_0}{\log P} \le \frac{C_q(1+\log(2k))^C}{\alpha k^\theta} \longrightarrow0.

故

G_0=P^{o(1)}.

这只表示对任意固定 $\delta>0$ ，当 $k$ 足够大时 $G_0\le P^\delta$ 。起始阈值可以依赖已经固定的 $q,\alpha$ 。

5. H 与 D 为什么要使用同一个 $q$

5.1 单独的存在陈述不足以完成这一步

D 的短块成本为

(K+2)^{C_{19}(q-2)}.

为了由式 (Power-parameter) 得到一个小于 $P^{1/8}$ 的成本，需要 $q$ 足够接近二。与此同时，必须在这个 $q$ 上有

C_H(q):=\sup_{N\ge1}C_N(q)<\infty. \tag{Fixed-uniform}

H 的统一局部定理若只说“存在一个 $q\in(2,3)$ ”，逻辑上不能保证那个 $q$ 满足 D 的额外小量条件。D p.60 因而引用 H 证明内部的参数选择顺序。

5.2 所需的 H 证明条件

原文列出：

H 的局部检测对每个 $q>2$ 成立，对数幂次为绝对值， $q$ 只影响系数。
H 的短块比较对每个 $2<q<3$ 成立，块长幂中显式出现 $11(q-2)/(q-1)$ 。
H 的其他次数、错开尺度与质量指数先于 $q$ 固定；其幂参数与起始精度可以在 $q$ 之后选择。

设 H 中对应的绝对幂次为 $C_{19}^{H},C_5^{H}$ 。选一个 $q\in(2,3)$ ，使

\max\{C_{19}^{H}C_5^{H},\,C_{19}C_5\}(q-2)<\frac18. \tag{Common-q}

这是可能的，因为括号中的量在 $q$ 之前固定且有限。

然后在这个已经选定的 $q$ 上运行 H 的固定函数参数选择、归一化吸收与外部归约，得到式 (Fixed-uniform)。H 可另选自己的幂参数和起始精度；它们无需等于 D 后面选择的参数。

这段是 D 对 H 证明可调参数范围的依赖。本篇核对了 D 所需的量词，没有重新完成 H 全部固定函数吸收证明。

6. 两个主成本如何变成质量的正幂

在式 (Common-q) 之后，选定

\alpha>0,\qquad \alpha C_4<\frac{\varepsilon}{2}. \tag{Alpha}

先前的 $C_4$ 已包含所有取幂侧项成本。

6.1 核心与取幂侧项

对大 $k$ ，由于

e^{\alpha k^\theta}\le P\le2e^{\alpha k^\theta},

有

\eta^\varepsilon P^{C_4} \le 2^{C_4} e^{-(\varepsilon-\alpha C_4)k^\theta} \le C\eta^{\varepsilon/2}. \tag{Powered-decay}

6.2 近差分的强估计

由式 (Growth)，固定 $q$ 后

(K+2)^{C_{19}(q-2)} \le C_q(1+k+P)^{C_5C_{19}(q-2)}.

因为 $P$ 最终大于任意固定的 $k$ 幂，且式 (Common-q) 严格小于 $1/8$ ，增加起始 $k$ 后可得

(K+2)^{C_{19}(q-2)}\le C_qP^{1/8}.

再由 $G_0=P^{o(1)}$ ，使 $G_0\le P^{1/8}$ 。于是

P^{-1/2}G_0(K+2)^{C_{19}(q-2)} \le C_qP^{-1/4} \le C_qe^{-\alpha k^\theta/4} =C_q\eta^{\alpha/4}. \tag{Strong-decay}

此时 $1+C_N(q)\le1+C_H(q)$ 已是固定常数，可纳入 $C_q$ 。

6.3 数值误差

任取固定 $c>0$ ，由于 $\theta<1$ ，当 $k$ 足够大，

k\ge ck^\theta,\qquad e^{-k}\le e^{-ck^\theta}=\eta^c.

例如取

c_*=\min\{\varepsilon/2,\alpha/4\}>0

并增加起始精度，式 (One-accuracy) 与根长求和便得到

\sum_{I\in\mathcal A_{R_0}} |I|\min\{\eta,|\mathcal H_I(z_I)|\} \le C_q\eta^{c_*}|R_0|. \tag{Quality-bound}

这就是 D (7.4)。此处常数已经与原树深度 $N$ 无关。

7. 所有精度的求和

精度序列满足

k_{t+1}=k_t^A,\qquad A>1,

起始 $k_1>1$ 固定。较晚精度为 $t$ 时，较早精度只有 $O(t)$ 种，位置模式数有固定上界。

固定一个精度元组，其有限个基本区段族的交根长度总和至多为固定倍数的 $|J|$ 。对各交根作局部尝试后，式 (Root-packing) 只增加固定倍数。因此非初始项总成本由

C_q|J|\sum_{t\ge12}t\,e^{-c_*k_t^\theta} \tag{Accuracy-series}

控制。

这个级数收敛可以直接看出。由递推，

\log k_t=A^{t-1}\log k_1, \qquad k_t^\theta=\exp(\theta A^{t-1}\log k_1).

所以 $k_t^\theta/t\to\infty$ ，对所有充分大的 $t$ ，

c_*k_t^\theta\ge2t.

于是尾项至多为 $t e^{-2t}$ ，其和有限。高精度替换误差与两个 $U$ 的误差具有同样至多 $O(t)$ 的重数和相同类型的衰减。

初始的有限多个精度层使用基本活跃尺度归约所给的深度无关界。不能对这些层简单按全部深度数求和，否则会把待消除的 $N$ 再引入。

8. 最后只在有限原格上取精度极限

先固定原树和有限原求和族，在一个有限精度截止处使用“两次最早增量”的精确恒等式。对每个原格 $I$ ，所有精度更新都作用于同一个实际函数

F_{j,s(I)}.

此前逐格的成对比较使截止余项在精度趋于无穷时趋于零。

由于原格只有有限多个，

\lim_{T\to\infty} \sum_{I\in\mathcal I}|I|\,|\operatorname{Rem}_{I,T}| = \sum_{I\in\mathcal I}|I| \lim_{T\to\infty}|\operatorname{Rem}_{I,T}| =0.

这里没有对无限树交换极限与求和。精度展开中的其他项由式 (Accuracy-series) 一致求和控制，再用三角不等式得到式 (Local-target)。

最终统一性来自基本跨深度估计：D (5.2)、(5.4)、(5.21)、(5.12)，连同单层大小 (5.1)，其常数都与四个块划分及 $W_j$ 无关。局部化没有重新定义深度或块划分，因此这个统一性一直保留到最后。

9. 完成论证的确切范围

本篇把以下条件下的最后推导闭合：

D §5 的基本展开、跨深度能量及固定全函数比较。
D §6 中已经列明的局部化、侧函数、核心计数及原格最低值处理。
H 的几何局部化与分离、标量核计算、有限稀疏计数、短块比较。
H 固定函数证明允许按式 (Common-q) 选择同一个 $q$ ，并在该值上给出 $\sup_NC_N(q)<\infty$ 。

在这些前提下，重新分配原项、每次新根的重新估计、参数选择与精度求和给出 D Theorem 3.2。此前 C 的局部估计到振荡、再到逐点结论的章节说明了这类估计如何用于遍历平均。

这些条件推导不等于 H 或四篇主定理已经获得整体正确性认证。D §6.1 的固定函数闭合与局部化承接已在补篇“主投影的闭合与局部化”展开。H 尚未逐步核对的几何、检测及解析前提仍保留各自条件；它们不能由本篇的参数计算代替。