第四单元（上）：逐点失败如何形成一个选取分布

本单元转入 B 的 §3，先讨论 Proposition 3.1 和 Proposition 3.2 的第一部分，原文 pp.7–10。目标是把可能的四重逐点失败编码成一个可数可加的概率测度，同时保留正相关、单坐标边缘和不同速度作用下的不变性。

全参数条件分布的确定还要用到 distal 与相对弱混合结构，留在本单元下篇。这里没有把四重主定理当作已获独立验证的结论。

1. 本段所用的两个收敛结果

1.1 标准空间化简

固定四个函数后，可用它们全部整数平移的读数构造标准 Borel 因子。这一步见 B §2.1，pp.3–4；完整构造见本专题的标准因子补充。原空间上的收敛由 Borel 满测收敛集拉回，因而最终结论不要求原空间标准。

此后设 $(X,\mu,T)$ 是标准 Borel 概率系统， $T$ 可逆、双可测、保概率且混合。令 $I=\{1,2,3,4\}$ 。

1.2 至多三重的逐点输入

B Lemma 2.1（p.4）主张：对任意标准可逆保概率系统 $(Y,m,R)$ 、任意非空真子集 $J\subsetneq I$ 和固定有界函数 $g_i$ ，

\frac1N\sum_{n=1}^{N}\prod_{i\in J}g_i(R^{in}y)

几乎处处收敛。它不要求 $R$ 遍历或混合，也不把一般极限断言为积分乘积。原稿的证明在 Appendix A，包含所需非连续三元系数的解析改造；本单元把这个准确范围作为假设。

在原始混合系统 $T$ 上，第一单元已证明不同非零整数斜率平均的 $L^2$ 极限为积分乘积。将此范数结论与上述几乎处处收敛比较，就知道每个真子集平均在 $X$ 上的逐点极限也是积分乘积。

这里不使用 R 配套稿的高阶 mixing 结论。B 后续维护辅助组独立性时才需要那项更强的结果。

2. 从四重失败得到实值中心化见证

对应 B Proposition 3.1，p.8，证明第一段。

假设 B Theorem 1.1 对某个固定四元组失败。先写

f_i=\int f_i\,\mathrm{d}\mu+ \left(f_i-\int f_i\,\mathrm{d}\mu\right).

多线性展开中，全常数项是预期极限；每个包含少于四个中心化函数的项都是真子集平均，已经逐点趋于零。因此，四个中心化函数的乘积平均必须仍在一个正测集上不能趋于零。

再将每个中心化复函数拆成实部与虚部。展开只有有限项，每项是四个实值中心化函数的乘积，乘上一个固定复常数。如果这些实乘积平均都几乎处处趋于零，在有限个满测集的交上，原乘积平均也趋于零。因此至少一个实元组仍然失败。

缩放后可取实函数 $f_i$ ，使

\|f_i\|_\infty\le1, \quad \int_Xf_i\,\mathrm{d}\mu=0, \quad A_N(x)=\frac1N\sum_{n=1}^{N}\prod_{i=1}^{4}f_i(T^{in}x)

不能在某个正测集上趋于零。第一单元的范数定理仍给出 $A_N\to0$ 于 $L^2$ 。

因为 $A_N$ 是有界实数列，未趋于零的点必有正的上极限或负的下极限。按可数个正阈值分层，再在必要时将一个 $f_i$ 换成相反数，可选 $\delta>0$ 及可测集 $E$ ，使

\mu(E)>0, \quad A_N(x)>2\delta\text{ 对任意晚的某些 }N\text{ 成立}, \quad x\in E. \tag{F}

这里 $E$ 和 $\delta$ 已固定；达到该不等式的长度可随 $x$ 改变。

3. 只从一个可数长度集合中选择

对应 B p.8，Proposition 3.1 证明第二段。

3.1 有限比例网格足够保留正偏差

对绝对值不超过 $1$ 的求和项，第一单元已证明

|A_N(x)-A_M(x)|\le\frac{2|N-M|}{\max(N,M)}.

取一个网格宽度不超过 $\eta$ 的有限集合 $F\subseteq[1,2]$ ，包含 $1,2$ ，其中 $\eta$ 先选得足够小。例如可取 $\eta<\delta/8$ 。

若 $2^k\le N<2^{k+1}$ ，可选 $c\in F$ ，使 $|N/2^k-c|\le\eta$ 。令 $M=\lfloor c2^k\rfloor$ ，便有

|N-M|\le\eta2^k+1, \quad |A_N-A_M|\le2\eta+2^{1-k}.

当 $k$ 足够大时，右边小于 $\delta$ 。因此式 (F) 中任意晚的偏差，可被网格长度 $M=\lfloor c2^k\rfloor$ 上的 $A_M(x)>\delta$ 代替。

3.2 可测选择不需要一般选择定理

固定 $F\times\mathbb Z_{\ge0}$ 的一个枚举。对每个整数 $a\ge1$ 和 $x\in E$ ，选择枚举中第一个满足

k\ge a, \quad A_{\lfloor c2^k\rfloor}(x)>\delta

的候选对，令 $N_a(x)=c2^k$ 。这样的候选由上一节保证存在；必要时选择的 $k$ 还可超过固定的舍入阈值。

每个候选的合格集合可测，“它是第一个合格者”的集合只需再减去前面有限个合格集合，所以 $N_a$ 可测。对 $x\notin E$ ，定义 $N_a(x)=2^a$ 。于是处处有

N_a(x)\in\{c2^k:c\in F,\ k\ge a\}, \quad N_a(x)\ge2^a,

且在 $E$ 上， $A_{\lfloor N_a(x)\rfloor}(x)>\delta$ 。在补集采用确定长度，是后面控制补集积分的关键。

4. 悬挂流与相位函数

对应 B §3.1，p.7 的式 (3.1)，以及 p.8 的相位构造与式 (3.3)。

4.1 把整数时间嵌入连续时间

令

C=X\times[0,1), \quad m_C=\mu\otimes\mathrm{d}u, \quad S_C^t(x,u)=\bigl(T^{\lfloor u+t\rfloor}x,\{u+t\}\bigr).

花括号表示小数部分。整数部分的加法恒等式保证 $S_C^{s+t}=S_C^sS_C^t$ 。对固定 $t$ ，先利用 $T$ 的整数幂保测，再利用圆周旋转 $u\mapsto\{u+t\}$ 保持 Lebesgue 测度，即得 $S_C^t$ 保持 $m_C$ 。可逆性解释了负的整数部分。

记空间坐标为 $\xi(x,u)=x$ ，相位为 $\upsilon(x,u)=u\pmod1$ 。将上一节的选择扩充为 $N_a(x,u)=N_a(x)$ ，它不依赖初始相位。

4.2 用相位函数保证没有额外进位

取非负、非零的连续圆周函数 $\alpha,\beta$ ，支撑分别包含于

(1/4,1/2), \quad (0,1/16).

定义 $\mathbb T^4$ 上的连续实函数

\Psi(v_1,v_2,v_3,v_4) =\alpha(2v_1-v_2)\beta(v_2-v_1), \quad \mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z.

若 $v_i=\upsilon(S_C^{it}(x,u))=u+it\pmod1$ ，则

2v_1-v_2=u\pmod1, \quad v_2-v_1=t\pmod1.

写 $t=n+s$ 、 $0\le s<1$ ，便有 $\Psi=\alpha(u)\beta(s)$ 。它不为零时， $u\in(1/4,1/2)$ 、 $s\in(0,1/16)$ ，所以对 $i=1,2,3,4$ ，

0<u+is<1.

于是 $\lfloor u+i(n+s)\rfloor=in$ ，从而空间坐标恰为

\xi(S_C^{it}(x,u))=T^{in}x.

相位函数没有改变原平均的空间读数，而是把可能造成进位误差的相位部分排除。

4.3 连续平均与离散平均的统一误差

令 $b_\beta=\int_0^1\beta(s)\,\mathrm{d}s>0$ 。对任意实数 $L\ge2$ ，在前 $\lfloor L\rfloor$ 个完整单位区间上积分，得到

\begin{aligned} &\frac1L\int_0^L \Psi\bigl((\upsilon(S_C^{it}(x,u)))_{i\in I}\bigr) \prod_{i=1}^{4}f_i(\xi(S_C^{it}(x,u)))\,\mathrm{d}t\\ &\quad=\alpha(u)b_\beta A_{\lfloor L\rfloor}(x)+O(L^{-1}). \end{aligned} \tag{Phase}

误差对 $x,u,L$ 一致。它来自三个有限边界变化：末尾不足一个单位区间； $1/L$ 与 $1/\lfloor L\rfloor$ 的归一化差；求和指标从 $0,\ldots,\lfloor L\rfloor-1$ 改成 $1,\ldots,\lfloor L\rfloor$ 。所有求和项有界，三项都为 $O(L^{-1})$ ，常数只依赖固定的 $\alpha,\beta$ 。

5. 选取平均仍保留统一正相关

在式 (Phase) 中令 $L=N_a(x,u)$ 。由于 $N_a\ge2^a$ ，统一误差积分后为 $O(2^{-a})$ 。在 $E\times[0,1)$ 上，主项积分至少为

\delta\mu(E)b_\beta\int_0^1\alpha(u)\,\mathrm{d}u>0.

在 $E^c\times[0,1)$ 上，选择长度为确定的 $2^a$ ，所以主项积分的绝对值至多为

b_\beta\left(\int_0^1\alpha\right) \|\mathbf1_{E^c}\|_2\,\|A_{2^a}\|_2\longrightarrow0.

这里正好用到中心化四重平均的 $L^2$ 极限为零。因而存在 $\varepsilon_0>0$ ，对全部足够大的 $a$ ，

\begin{aligned} \int_C\frac1{N_a(z)}\int_0^{N_a(z)} \Psi\bigl((\upsilon(S_C^{it}z))_{i\in I}\bigr) \prod_{i=1}^{4}f_i(\xi(S_C^{it}z)) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_C(z) \ge\varepsilon_0. \end{aligned} \tag{Positive}

这就是 B Proposition 3.1 的式 (3.2)。它没有把任意依点选取的长度交给普通 $L^2$ 收敛处理；正测集上专门保留坏长度，补集上则使用确定长度。

6. 从有限选取分布到可数可加的极限测度

对应 B §3.2、Proposition 3.2 的定义与第一部分证明，p.9。

6.1 扩张与有限阶段分布

设 $(Y,m_Y,S_Y^t)$ 是标准 Borel 保概率流， $\pi_Y:Y\to C$ 是流因子，即保持测度且与每个固定时间作用交换，按模零意义理解。流作用联合可测。选取长度拉回为 $N_a(\pi_Yy)$ 。

对 $Y\times\mathbb R$ 上的有界可测函数 $H$ ，定义概率积分

\int H\,\mathrm{d}Q_a =\int_Y\frac1{N_a(\pi_Yy)} \int_0^{N_a(\pi_Yy)}H(y,t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y).

可测长度和联合可测流保证积分有意义，内层归一化使总质量为 $1$ 。把 $Q_a$ 由

(y,t)\longmapsto(S_Y^{it}y)_{i\in I}

推到 $Y^4$ ，得到可数可加的概率测度 $\lambda_{Y,a}$ 。对乘积测试函数，

\int_{Y^4}\prod_{i=1}^{4}G_i(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_{Y,a} =\int_Y\frac1{N_a(\pi_Yy)} \int_0^{N_a(\pi_Yy)}\prod_{i=1}^{4}G_i(S_Y^{it}y) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y).

这些有限阶段的单坐标边缘一般不必已经等于 $m_Y$ 。需要先证明其极限为 $m_Y$ 。

6.2 单坐标边缘在全部长度上收敛

固定一个有界可测 $G$ 和一个 $i\in I$ 。普通单函数逐点遍历定理用于这个流，说明

\frac1L\int_0^L G(S_Y^{it}y)\,\mathrm{d}t

几乎处处沿全部实数 $L\to\infty$ 收敛。所需事实也可从离散 Birkhoff 直接得到：令

\widetilde G_i(y)=\int_0^1G(S_Y^{is}y)\,\mathrm{d}s.

当 $L=N$ 是整数时，上面的平均恰为

\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde G_i((S_Y^i)^ny).

Birkhoff 给出一个几乎处处极限 $L_i(y)$ ，且 $\int L_i\,\mathrm{d}m_Y=\int\widetilde G_i\,\mathrm{d}m_Y=\int G\,\mathrm{d}m_Y$ 。非整数长度与整数部分之间的误差为 $O(\|G\|_\infty/L)$ ，所以全实数长度也收敛。

因为 $N_a(\pi_Yy)\ge2^a$ ，沿这些依点选择的长度仍收敛到同一个 $L_i(y)$ 。平均始终被 $\|G\|_\infty$ 控制，故有界收敛给出

\int_{Y^4}G(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_{Y,a} \longrightarrow\int_YG\,\mathrm{d}m_Y. \tag{Marginal}

这里没有假设 $Y$ 遍历，也没有要求选择函数在流下不变。每个固定 $G$ 单独取得满测收敛集已足够；不需要对所有有界函数取共同零测集。

6.3 固定一个超滤子，而非逐个系统选择子序列

B 在 p.8 末固定同一个自由超滤子 $\mathcal U$ ，后面所有扩张均使用它。对有界复数列 $(z_a)$ ，超滤极限 $z=\lim_{a\to\mathcal U}z_a$ 的含义是：对每个 $\varepsilon>0$ ，集合 $\{a:|z_a-z|<\varepsilon\}$ 属于 $\mathcal U$ 。

自由超滤子不含有限集，包含所有余有限集；对有界数列，紧致性保证超滤极限存在且唯一。它与有限线性组合及连续运算相容，并且延续普通收敛的极限。这里仅用这些性质，不需要把它理解成一条实际选出的公共子序列。

逐个系统任意抽取收敛子序列，可能破坏系统间的投影兼容性。共同的 $\mathcal U$ 保证后面拉回测试函数后仍使用同一个取极限操作。

6.4 为何不是只有有限可加分布

将标准 Borel 空间 $Y$ 实现为某个紧度量空间 $K$ 的 Borel 子集。把 $\lambda_{Y,a}$ 看成 $K^4$ 上的概率测度。对 $F\in C(K^4)$ ，定义

\Lambda(F)=\lim_{a\to\mathcal U}\int F\,\mathrm{d}\lambda_{Y,a}.

$\Lambda$ 是正线性泛函， $\Lambda(1)=1$ ，并且 $|\Lambda(F)|\le\|F\|_\infty$ 。Riesz 表示定理因此给出一个可数可加的 Borel 概率测度 $\lambda$ 于 $K^4$ 。可数可加性来自这个表示步骤，不是对任意集合逐一取超滤极限自动得到的。

式 (Marginal) 对所有单坐标连续函数成立，所以 $\lambda$ 的每个单坐标边缘都是 $m_Y$ ，这里 $m_Y$ 视为 $K$ 上支撑于 $Y$ 的测度。因而

\lambda(K^4\setminus Y^4) \le\sum_{i=1}^{4}\lambda\{y_i\notin Y\}=0.

限制到 Borel 子集 $Y^4$ ，得到所需概率测度 $\lambda_Y$ ，其各边缘均为 $m_Y$ 。

6.5 把公式延伸到所有有界可测乘积测试

原文位置：B p.9，紧空间正泛函构造后的 $L^1$ 近似段。

先设 $|G_i|\le1$ 。在紧度量空间上，连续函数在 $L^1(m_Y)$ 中稠密；可取 $g_i\in C(K)$ ，使 $|g_i|\le1$ 且 $\|G_i-g_i|_Y\|_1<\varepsilon$ 。保持统一界可以通过截断到复单位圆盘做到。

望远镜展开给出

\left|\prod_iG_i(y_i)-\prod_ig_i(y_i)\right| \le\sum_i|G_i(y_i)-g_i(y_i)|.

在 $\lambda_Y$ 下，右边积分不超过 $4\varepsilon$ ，因为边缘恰为 $m_Y$ 。在 $\lambda_{Y,a}$ 下，由式 (Marginal) 应用于各个固定有界函数 $|G_i-g_i|$ ，右边积分的超滤极限也不超过 $4\varepsilon$ 。

连续乘积的积分已经由 $\Lambda$ 决定。让 $\varepsilon\downarrow0$ ，便得到 B 式 (3.4) 对所有有界可测 $G_i$ 成立：

\begin{aligned} \int_{Y^4}\prod_iG_i(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y =\lim_{a\to\mathcal U}\int_Y\frac1{N_a(\pi_Yy)} \int_0^{N_a(\pi_Yy)}\prod_iG_i(S_Y^{it}y) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y). \end{aligned} \tag{Selected}

一般有界函数通过缩放处理。这个延伸同时说明所得测度与选择紧模型无关，因为可测矩形的指示函数是这种乘积测试，足以唯一确定 $Y^4$ 上的概率测度。

7. 不变性并不要求选择函数不变

对应 B p.9，Proposition 3.2 证明最后一段。

固定实数 $s$ 。在式 (Selected) 中，把第 $i$ 个函数换成 $G_i\circ S_Y^{is}$ 。有限阶段的内层积分就变成

\frac1{N_a(\pi_Yy)}\int_0^{N_a(\pi_Yy)} \prod_iG_i(S_Y^{i(t+s)}y)\,\mathrm{d}t.

代换 $r=t+s$ ，它与原积分的区别只在积分区间从 $[0,N_a]$ 移到了 $[s,N_a+s]$ 。若 $|G_i|\le1$ ，两个区间的对称差长度不超过 $2|s|$ ，所以逐点误差至多

\frac{2|s|}{N_a(\pi_Yy)}\le2|s|2^{-a}.

该界在 $y$ 上一致，且对固定 $s$ 趋于零。取超滤极限后，得到

\int\prod_iG_i(S_Y^{is}y_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y =\int\prod_iG_i(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y.

乘积测试足以决定测度，因此 $\lambda_Y$ 在不同速度的乘积作用

(y_i)_{i\in I}\longmapsto(S_Y^{is}y_i)_{i\in I}

下不变。

整个比较过程始终在同一个初始点 $y$ 计算同一个长度 $N_a(\pi_Yy)$ 。没有把 $y$ 换成 $S_Y^sy$ ，也没有用到 $N_a$ 在流下不变。这是依点选择与不变性仍可相容的原因。

8. 扩张与逆极限的兼容性

对应 B p.10，Proposition 3.2 证明第一段。

8.1 因子投影后的分布不变

设 $\theta:Y'\to Y$ 是 $C$ 之上的保测流因子，即

\pi_{Y'}=\pi_Y\circ\theta, \quad \theta\circ S_{Y'}^t=S_Y^t\circ\theta

，按相应测度的模零意义成立。在 $Y'$ 上用 $G_i\circ\theta$ 测试式 (Selected)。选择长度是同一个 $N_a\circ\pi_{Y'}$ ，由因子关系等于 $N_a\circ\pi_Y\circ\theta$ 。

把函数及积分推到 $Y$ ，每个有限阶段的乘积测试积分就与 $Y$ 上的对应积分相同。若流因子关系最初只对每个固定时间模零成立，联合可测性与 Fubini 允许在时间积分中使用它；不必事先选择一个对所有实数时间同时逐点成立的集合。

各系统使用同一个超滤子，因而

(\theta^4)_*\lambda_{Y'}=\lambda_Y. \tag{Factor}

这里 $\theta^4$ 是逐坐标应用 $\theta$ 。式 (Factor) 是原稿所说构造具有投影兼容性的具体含义。

8.2 在全可数乘积上实现逆极限

B p.10 将可数逆极限写得很简略。这里采用 A Proposition 3.2（p.8）的完整乘积实现，以处理因子关系只对每个固定时间模零成立的情形。

设 $Y_1\leftarrow Y_2\leftarrow\cdots$ 是 $C$ 之上的可数扩张链，连接映射为 $\theta_n:Y_{n+1}\to Y_n$ 。取完整的标准 Borel 乘积

\Omega=\prod_{n=1}^{\infty}Y_n.

对前 $r$ 个坐标，使用 $m_{Y_r}$ 及有限个连接映射定义联合分布。这些有限维分布相容，故标准 Borel 空间上的一致圆柱测度延拓定理给出概率测度 $m_\infty$ 。其每个坐标边缘为 $m_{Y_n}$ ，且它集中在满足全部相容关系

y_n=\theta_n(y_{n+1})\quad(n\ge1)

的序列上。相容关系可数，每条关系的概率为一，所以这个相容集合可测且满测。

在整个 $\Omega$ 上定义逐坐标流

S_\infty^t((y_n)_n)=(S_{Y_n}^ty_n)_n.

它是联合 Borel 作用。固定 $t$ 后，一个只涉及前 $r$ 个坐标的圆柱集，其概率可在 $Y_r$ 上计算。连接映射对这个固定时间模零等变，且 $S_{Y_r}^t$ 保测，因此该圆柱集的概率在作用后不变。圆柱集决定概率测度，所以每个固定 $t$ 都保持 $m_\infty$ 。

重要的是保留整个乘积作为底空间：没有要求那个满测相容集合对所有实时间同时逐点不变。坐标投影 $\theta_m^\infty:\Omega\to Y_m$ 是保测流因子，相容关系按模零成立；通过第一个坐标得到到 $C$ 的因子。这样便在所用范畴中实现了逆极限。

对 $\Omega$ 构造选取分布后，上篇已经证明的因子兼容性给出

((\theta_m^\infty)^4)_*\lambda_\Omega=\lambda_{Y_m}.

每个状态坐标在 $\lambda_\Omega$ 下的边缘都是 $m_\infty$ ，所以相容关系在每个状态坐标中仍几乎处处成立。因此，阶段拉回的 $\sigma$ -代数在 $\lambda_\Omega$ 下模零递增。所有阶段坐标又生成完整乘积的 $\sigma$ -代数，故这些阶段空间的拉回并集在 $L^2(\lambda_\Omega)$ 中稠密。

具体地，一个涉及有限多个坐标的函数，可借相容关系提升到所涉及的最大阶段；再由生成代数的简单函数逼近得到一般 $L^2$ 函数。这项稠密性不要求四个状态坐标独立。

8.3 新分布下的流连续性

原稿还说明不同速度的乘积流在新 $L^2$ 空间中保持强连续。这里使用标准事实：可分 Hilbert 空间上的可测酉表示自动强连续。标准概率空间的 $L^2$ 可分，而原始联合可测保概率流产生这样的酉表示，所以原流具有所需强连续性。对归一化乘积函数 $F((y_i))=\prod_iG_i(y_i)$ ，望远镜展开及固定边缘分布给出

\|F\circ(S_Y^{it})_i-F\|_{L^2(\lambda_Y)} \le\sum_i\|G_i\circ S_Y^{it}-G_i\|_{L^2(m_Y)}.

右边随 $t\to0$ 趋于零。有限乘积的线性张成在新空间中稠密，而作用在不变测度下为等距算子，故强连续性延伸到全部 $L^2(\lambda_Y)$ 。

9. 正相关保留到极限分布，并可继续迭代

9.1 含有相位权重的函数为何也可测试

式 (Selected) 先对乘积函数给出。式 (Positive) 中的 $\Psi$ 是四个相位的联合函数，不一定本身为单个乘积。

但 $\Psi\in C(\mathbb T^4)$ ，有限三角多项式可一致逼近它，而每个三角单项式都分解为四个一坐标相位函数的乘积。因此可先对有限和使用式 (Selected)，再用统一误差和 $|f_i|\le1$ 取极限。得到 B 式 (3.8)：

\int_{C^4}\Psi\bigl((\upsilon(z_i))_i\bigr) \prod_{i=1}^{4}f_i(\xi(z_i))\,\mathrm{d}\lambda_C \ge\varepsilon_0. \tag{Retained}

有限阶段的不等式对全部足够大 $a$ 成立，余有限集属于自由超滤子，因此同一正下界保留在极限中。

9.2 为什么把一个坐标的速度归一化

对任意 $b\in I$ ，定义新流

M_b(Y)=\left(Y^4,\lambda_Y, (y_i)_i\mapsto(S_Y^{it/b}y_i)_i\right).

它保概率，因为前面的不同速度不变性允许使用任意实时间 $t/b$ 。投影到第 $b$ 个坐标后，该坐标的速度变为 $1$ ，所以此投影是到原流 $Y$ 的等变因子，进而仍是 $C$ 之上的扩张。

因此可对 $M_b(Y)$ 再使用同一组选取长度和同一个超滤子。原稿随后的方阵构造就是通过这样的重复操作形成的。重复之前还须确定保留了哪些条件分布，这正是本单元下篇要处理的问题。

本段的范围

在 B Lemma 2.1 的至多三重逐点结果作为假设、并使用第一单元的普通 mixing 下 $L^2$ 定理后，Proposition 3.1 的正相关选择得到完整推导。

对任意标准保概率流扩张，Proposition 3.2 的概率测度存在、固定单坐标边缘、不同速度不变性、因子与可数逆极限兼容性，也按原文逐步展开。超滤极限没有被直接当作可数可加测度；这一点由紧空间上的正泛函表示与边缘集中性保证。

尚未在这里证明 Proposition 3.2 的全 distal 参数分布及给定全部参数后的真子集条件独立性。也没有据此断言四坐标独立；式 (Retained) 恰保留了一个非零四重相关。

原文对照

B pp.3–4，§2.1：固定函数的标准模型化简。
B p.4，Lemma 2.1：一般系统上真子集逐点收敛的准确范围。
B p.7，式 (3.1)：单位屋顶悬挂流。
B p.8，Proposition 3.1，式 (3.2)–(3.3)：中心化失败、网格选择与相位权重。
B p.9，式 (3.4) 及 Proposition 3.2 证明前半：可数可加选取分布。
B p.9 末至 p.10 首段：不变性、投影和逆极限兼容性。
B p.10，式 (3.7)–(3.8)：归一化流与保留的正相关。
A p.8，Proposition 3.2 证明末段：全可数乘积上的逆极限及选取分布的阶段稠密性。