第四单元（下）：给定全部 distal 参数后的条件分布

上篇构造了选取分布 $\lambda_Y$ ，并证明其单坐标边缘和不变性。本篇讨论 B Proposition 3.2 的第 (2)、(3) 项及 Lemma 3.3，原文 pp.9–10：为什么全参数分布不受选长度影响，为什么每个真子集的状态在给定全部参数后仍具有乘积条件分布。

本篇使用 B Proposition 2.2 所列结构结果和 Lemma 2.1 的至多三重逐点收敛作为明确假设。条件分布的推导在这些假设下展开；这里不把 Furstenberg–Zimmer 结构理论、非遍历 distal 逐点版本及其全部文献证明重新证明一遍。

1. 结构概念与所用结果

1.1 相对弱混合

对应 B §2.2，p.4，式 (2.2)。

设 $(Y,m,R)$ 是标准可逆保概率系统， $\mathcal B$ 是在 $R$ 与 $R^{-1}$ 下保持不变的因子 $\sigma$ -代数。扩张 $Y\to\mathcal B$ 相对弱混合，指对有界函数 $f,g$ ，只要 $\mathbb E(f\mid\mathcal B)=0$ ，就有

\frac1H\sum_{h=1}^{H} \left\|\mathbb E\bigl[f(g\circ R^h)\mid\mathcal B\bigr]\right\|_2^2 \longrightarrow0. \tag{RWM}

它控制的是去除因子上可预测部分后的平均条件相关。这里仍保留时间平均，不是逐个时间的相关衰减断言。

1.2 相对紧与 measure-distal

对应 B p.4，式 (2.2) 之后的定义。

对有限个 $F_1,\ldots,F_r\in L^2(m)$ ，考虑有限生成的 $L^\infty(\mathcal B)$ -模块

\mathcal M=\left\{\sum_{j=1}^{r}a_jF_j:a_j\in L^\infty(\mathcal B)\right\}.

若与 $R$ 、 $R^{-1}$ 复合都保持这个空间，称其不变。扩张相对紧，指所有这类不变有限生成模块的线性张成在 $L^2(m)$ 中稠密。各个模块本身不要求在 $L^2$ 中闭；闭包在最后取。

相对 distal 扩张由相对紧扩张和逆极限逐层构成。未指定基底时，distal 指相对于平凡因子。这里是测度论定义，没有给 $Y$ 另选距离，也不以某个点对距离的性质代替它。定义允许非遍历系统；例如恒等变换保持每个一维子空间，因而是紧系统。

1.3 B Proposition 2.2 的准确使用范围

原文位置：B pp.4–6，Proposition 2.2 的五项及其后的流版本。

本篇引用以下结构结果，均不附加遍历性假设。

每个标准系统有最大 measure-distal 因子 $W_Y$ ，包含不变因子； $Y\to W_Y$ 相对弱混合。扩张上的最大 distal 因子包含旧 distal 因子的拉回。与变换交换的保测自同构保持 $W_Y$ 。
distal 系统的因子及连接仍为 distal；一个 distal 系统在其任意因子上相对 distal。对每个非零整数 $q$ ，变换 $R$ 为 distal 当且仅当 $R^q$ 为 distal。
相对弱混合传到非零整数幂；在任意不变基底连接之上，给各扩张的纤维取条件乘积，所得扩张仍相对弱混合。
同一基底上的相对弱混合扩张和相对 distal 扩张相对不交：任何保持基底坐标相同的不变连接，只能是给定基底后相互独立的连接。
对 distal 变换 $R$ 、任意固定 $d\ge1$ 和有界函数 $g_1,\ldots,g_d$ ，

\frac1N\sum_{n=1}^{N}\prod_{j=1}^{d}g_j(R^{jn}y)

几乎处处收敛；没有断言一般极限是积分乘积。

对于保概率流 $S_Y^t$ ，时间一映射的最大 distal 因子 $W_Y$ 被整个流保持，而且其任意非零有理时间作用都是 distal。这里关于因子作用的断言按固定时间、模零意义理解；时间积分始终在原始联合 Borel 流 $Y$ 上计算。

B 将存在性和相对结构归于 Furstenberg–Zimmer 理论及所引文献，并在 pp.5–6 讨论这些稳定性性质。第 (5) 项的遍历情形来自 Huang–Shao–Ye Theorem C；B p.6 另作非遍历分解说明。因此，单独引用 HSY 的遍历定理，还不能自动代替本篇所需的完整非遍历版本。

2. 相对弱混合为何允许 $L^2$ 替换

对应 B Lemma 2.3，pp.6–7，式 (2.4)。这段范数证明可以在式 (RWM) 及其幂稳定性下独立展开。

2.1 完整陈述

若 $Y\to\mathcal B$ 相对弱混合， $a_1,\ldots,a_d$ 是两两不同的非零整数， $g_i$ 有界，则

\left\|\frac1N\sum_{n=1}^{N} \left[ \prod_{i=1}^{d}g_i\circ R^{a_in} -\prod_{i=1}^{d}\mathbb E(g_i\mid\mathcal B)\circ R^{a_in} \right]\right\|_2\longrightarrow0. \tag{Replace}

望远镜展开将两个乘积之差写成有限和，每一项至少有一个函数的 $\mathcal B$ -条件均值为零。缩放这些有限项后，只需证明：当 $|g_i|\le1$ ，且某个 $g_s$ 满足 $\mathbb E(g_s\mid\mathcal B)=0$ 时，原乘积平均在 $L^2$ 中趋于零。

2.2 固定相关间隔后，把因子数减少一

采用对第一变量线性的复内积。令

v_n=\prod_{i=1}^{d}g_i\circ R^{a_in}, \quad q_{i,h}=(g_i\circ R^{a_ih})\overline{g_i}.

固定 $h\ge1$ ，用保测性同时平移 $-a_sn$ ，得到

\langle v_{n+h},v_n\rangle =\int_Yq_{s,h}\prod_{i\ne s} q_{i,h}\circ R^{(a_i-a_s)n}\,\mathrm{d}m.

对因子数归纳。差斜率 $a_i-a_s$ 两两不同且非零，所以归纳假设把平均中的其余函数替换为其 $\mathcal B$ -条件期望，误差在 $L^2$ 中趋于零。与固定有界 $q_{s,h}$ 配对后，该误差的积分也趋于零。

替换后的其余乘积是 $\mathcal B$ -可测且绝对值不超过 $1$ ，因此

\limsup_{N\to\infty} \left|\frac1N\sum_{n=1}^{N-h}\langle v_{n+h},v_n\rangle\right| \le\|\mathbb E(q_{s,h}\mid\mathcal B)\|_1. \tag{Corr}

固定 $h$ 时删去末尾 $h$ 项只造成 $O(h/N)$ 误差。若 $d=1$ ，没有其余乘积，式 (Corr) 直接成立。这给出归纳起点。

这里没有要求相关的 Cesàro 极限存在；一个上极限界已经足够。

2.3 有限 Hilbert 空间不等式如何使用上极限

第一单元的有限估计，在固定 $H$ 后令 $N\to\infty$ ，再用式 (Corr)，给出

\limsup_{N\to\infty}\left\|\frac1N\sum_{n=1}^{N}v_n\right\|_2^2 \le\frac1H+ \frac2H\sum_{h=1}^{H-1}\|\mathbb E(q_{s,h}\mid\mathcal B)\|_1.

因为 $\mathbb E(\overline{g_s}\mid\mathcal B)=0$ ，相对弱混合用于 $R^{a_s}$ 给出

\frac1H\sum_{h=1}^{H} \|\mathbb E(q_{s,h}\mid\mathcal B)\|_2^2\longrightarrow0.

由概率空间上的 $\|u\|_1\le\|u\|_2$ ，再对 $h$ 使用 Cauchy–Schwarz，便有

\frac1H\sum_{h=1}^{H} \|\mathbb E(q_{s,h}\mid\mathcal B)\|_1 \le \left[\frac1H\sum_{h=1}^{H} \|\mathbb E(q_{s,h}\mid\mathcal B)\|_2^2\right]^{1/2} \longrightarrow0.

最后 $H\to\infty$ ，证明中心化乘积的平均趋于零，进而由有限望远镜展开得到式 (Replace)。

2.4 条件期望与流时间平移交换

设因子 $\mathcal B$ 被每个 $S_Y^t$ 保持。对固定 $t$ ，有

\mathbb E(G\circ S_Y^t\mid\mathcal B) =\mathbb E(G\mid\mathcal B)\circ S_Y^t.

证明只需对任意有界 $\mathcal B$ -可测函数 $H$ 测试：把左边的积分写为 $\int G(H\circ S_Y^{-t})\,\mathrm{d}m_Y$ ，再用 $H\circ S_Y^{-t}$ 仍然 $\mathcal B$ -可测及保测换元，即得到右边的积分。

因此，式 (Replace) 可传到确定长度的连续平均。写 $t=n+s$ 、 $0\le s<1$ ，对每个固定 $s$ 应用于函数 $G_i\circ S_Y^{a_is}$ 。每个 $s$ 的 $L^2$ 误差趋于零，误差又有统一的有界函数范数控制。Minkowski 不等式及 $s$ 上的支配收敛使积分后的 $L^2$ 误差趋于零；末尾不足一个单位区间造成 $O(L^{-1})$ 误差。

此结论针对确定的长度 $L$ 。不能直接把它套到依点选择的 $N_a(y)$ 上；下一节先用逐点收敛消去选择，再使用这个范数替换。

3. 离散逐点收敛如何传到全部连续长度

对应 B p.10，Proposition 3.2 证明中讨论参数分布和真子集分布的两个段落。

3.1 时间分解中的 Fubini 次序

设某个系统 $(Z,\nu,R)$ 上已知固定斜率乘积平均的逐点收敛。现在 $R=S_Z^1$ 来自流，固定有界 $G_i$ 。对每个固定 $s\in[0,1)$ ，将逐点定理用于移位函数 $G_i\circ S_Z^{is}$ ，得到

\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\prod_iG_i(S_Z^{i(n+s)}z)

对几乎每个 $z$ 收敛。

由于流联合可测，Cauchy 失败集合可由这些可测有限和的可数并交写出，故在 $Z\times[0,1)$ 中可测。对每个固定 $s$ ，该集合的 $z$ -截面测度为零；Fubini 因而说明，对几乎每个 $z$ ，平均对几乎每个 $s$ 收敛。

求和项有统一上界，故对这样的 $z$ 可在 $s$ 上用支配收敛。注意

\frac1N\int_0^N\prod_iG_i(S_Z^{it}z)\,\mathrm{d}t =\int_0^1\frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \prod_iG_i(S_Z^{i(n+s)}z)\,\mathrm{d}s.

所以连续平均先沿整数长度收敛。长度 $L$ 与 $\lfloor L\rfloor$ 之间的归一化和末段误差为 $O(L^{-1})$ ，从而得到全部实数长度收敛。

3.2 为什么任意趋于无穷的选取长度给出同一个极限

上述结论是在每个良好起点上，对全部实数 $L\to\infty$ 成立。因此无论 $N_a(z)$ 怎样依赖该起点，只要 $N_a(z)\to\infty$ ，它都趋于同一个逐点极限。

有界收敛再说明：先按确定长度取极限的积分，与沿选择长度取极限的积分相同。这里先建立逐点结论再允许选取长度，不能仅由一个无速率的 $L^2$ 结论作同样推断。

4. 全参数分布由确定长度平均决定

4.1 参数与条件测度

令 $\omega_Y:Y\to W_Y$ 是时间一映射的最大 distal 因子， $\nu_Y=(\omega_Y)_*m_Y$ 。在标准空间上选取正则条件概率，使

m_Y=\int_{W_Y}m_{Y,w}\,\mathrm{d}\nu_Y(w).

给定 $\lambda_Y$ 上的状态 $(y_i)_{i\in I}$ ，定义

P_i=\omega_Y(y_i), \quad P=(P_i)_{i\in I}, \quad \Lambda_Y=\operatorname{Law}_{\lambda_Y}(P).

条件概率在 $\nu_Y$ -零测集外确定即可；因为每个 $P_i$ 的边缘为 $\nu_Y$ ，任意版本差异在有限个坐标上的影响仍为 $\Lambda_Y$ -零测。

4.2 Proposition 3.2(2) 的完整表述与推导

对每个固定有界 $H_i:W_Y\to\mathbb C$ ，原稿式 (3.5) 为

\int_{W_Y^4}\prod_{i=1}^{4}H_i(w_i)\,\mathrm{d}\Lambda_Y =\lim_{L\to\infty}\int_Y\frac1L\int_0^L \prod_{i=1}^{4}H_i(\omega_Y(S_Y^{it}y)) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y). \tag{Parameter}

右边是确定长度的极限，不是超滤极限。

理由是 $W_Y$ 为 distal。为避免预设一个对全部实时间同时严格等变的因子模型，直接在原流上定义

G_{i,s}(y)=H_i(\omega_Y(S_Y^{is}y)), \quad s\in[0,1).

对每个固定 $s$ ，因子在这个时间下保持不变，所以 $G_{i,s}$ 是一个 $W_Y$ -可测函数类。选择它在 $W_Y$ 上的有界代表元，对时间一因子变换应用 distal 离散逐点定理，再拉回到 $Y$ ，便得到

\frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \prod_{i=1}^{4}H_i(\omega_Y(S_Y^{i(n+s)}y))

对几乎每个 $y$ 收敛。此处只有可数个整数 $n$ ，固定 $s$ 后可删除相应的可数并零测集。

这些有限和本身在 $(s,y)$ 上联合可测，来自原始流 $S_Y$ 及 Borel 版本的 $\omega_Y$ 。因此 Fubini 在 $Y\times[0,1)$ 上应用，第三节的时间分解给出全部连续长度的逐点收敛。不需要让所选的因子代表元随 $s$ 联合可测，也不需要另造全实时间的点态因子作用。

沿 $N_a(\pi_Yy)$ 取值，仍具有同一个逐点极限。对积分使用有界收敛，再对照上篇的式 (Selected)，即得到式 (Parameter)。

因此，虽然选择可能改变四个完整状态的联合分布，它不能改变这里全部 distal 参数的确定长度分布。

5. 先给定真子集自己的参数

5.1 真子集分布先消去选择长度

固定非空真子集 $J\subsetneq I$ 。B Lemma 2.1 保证 $Y$ 上斜率 $i\in J$ 的逐点收敛，不要求 $Y$ 混合。第三节时间分解于是说明，该真子集的选取分布等于确定长度的联合分布。

此时才在确定长度平均上使用式 (Replace)，把每个状态函数 $G_i$ 换成

\overline G_i(w)=\int_YG_i(y)\,\mathrm{d}m_{Y,w}(y) =\mathbb E(G_i\mid W_Y)(w).

这里的横线表示因子上的条件平均，不表示复共轭。

5.2 带参数权重的等式

对每个 $i\in J$ ，再取有界参数函数 $h_i$ 。对状态函数

G_i(y)h_i(\omega_Y(y))

重复上一段，其条件期望为 $\overline G_i(w)h_i(w)$ 。因而

\int\prod_{i\in J}G_i(y_i)h_i(P_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y = \int\prod_{i\in J}\overline G_i(P_i)h_i(P_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y.

有限线性组合的参数乘积生成 $P_J=(P_i)_{i\in J}$ 的 $\sigma$ -代数。由有界单调类论证，参数权重可换成任意有界 $H(P_J)$ 。因此

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[\prod_{i\in J}G_i(y_i)\mid P_J\right] =\prod_{i\in J}\overline G_i(P_i). \tag{Subarray}

由于空间标准，可先对生成 Borel $\sigma$ -代数的可数代数中的指示函数建立这些等式，在一个共同满测参数集上确定条件概率，再延伸到所有有界可测函数。于是式 (Subarray) 等价于

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((y_i)_{i\in J}\mid P_J) =\bigotimes_{i\in J}m_{Y,P_i}.

5.3 这一结论还不是原文式 (3.6)

式 (Subarray) 只给定了真子集自己的参数 $P_J$ 。原文要求给定全部参数 $P$ ，包含 $J$ 外的参数。一般而言，增加条件信息可以破坏独立性，所以不能直接把条件栏中的 $P_J$ 改成 $P$ 。下一节使用相对不交性完成这一步。

6. 相对不交性把条件从真子集参数扩充到全部参数

对应 B p.10，Proposition 3.2 证明最后一段，结论为式 (3.6)。

6.1 真子集状态是其参数上的相对弱混合扩张

记 $\Lambda_J$ 为 $P_J$ 的分布。第五节已经确定真子集状态的测度为

\lambda_J =\int_{W_Y^J}\bigotimes_{i\in J}m_{Y,w_i}\,\mathrm{d}\Lambda_J((w_i)_{i\in J}).

它在不同速度的时间一作用 $(S_Y^i)_{i\in J}$ 下不变。每个 $Y\to W_Y$ 对 $S_Y^i$ 相对弱混合，因而由结构结果 §1.3(3)， $(Y^J,\lambda_J)\to(W_Y^J,\Lambda_J)$ 相对弱混合。

这个特定条件乘积结论可以直接从条件相关计算看出。令

F=a(w)\prod_{i\in J}f_i(y_i), \quad G=c(w)\prod_{i\in J}g_i(y_i),

其中所有函数有界，至少一个 $f_s$ 满足 $\mathbb E(f_s\mid W_Y)=0$ 。给定全部基底参数 $w=(w_i)_{i\in J}$ ，纤维本来就是乘积，故条件相关为

\mathbb E[F(G\circ R_J^h)\mid w] =a(w)c(R_W^hw) \prod_{i\in J} \mathbb E[f_i(g_i\circ S_Y^{ih})\mid W_Y](w_i),

其中 $R_J=(S_Y^i)_{i\in J}$ 、 $R_W=(S_{W_Y}^i)_{i\in J}$ 。

把其他有界因子估成常数，其平方 $L^2(\Lambda_J)$ 范数由第 $s$ 个因子的平方 $L^2(\nu_Y)$ 范数控制。这里只用 $\Lambda_J$ 的第 $s$ 个边缘为 $\nu_Y$ ，不要求参数彼此独立。对 $h$ 取 Cesàro 平均后，该项由相对弱混合趋于零。

一般的有界、条件均值为零函数，可用有限张量和减去其基底条件期望来作 $L^2$ 逼近。每个张量减去条件均值后，望远镜展开成至少一个因子条件中心化的项。逼近误差在时间上有统一控制，例如

\|\mathbb E[(F-F_0)(G\circ R_J^h)\mid w]\|_2 \le\|G\|_\infty\|F-F_0\|_2.

逼近的次序可以明确固定：先选中心化有限张量和 $F_0$ ，使 $\|F-F_0\|_2$ 小；随后固定这个有界的 $F_0$ ，按 $\|F_0\|_\infty$ 选取有界有限张量和 $G_0$ ，使 $\|G-G_0\|_2$ 足够小。恒等式

F(G\circ R_J^h)-F_0(G_0\circ R_J^h) =(F-F_0)(G\circ R_J^h)+F_0((G-G_0)\circ R_J^h)

结合 $R_J$ 保测和条件期望的 $L^2$ 压缩性，给出与 $h$ 无关的误差上界

\|G\|_\infty\|F-F_0\|_2 +\|F_0\|_\infty\|G-G_0\|_2.

先对有限张量和取时间平均极限，再使这两个误差趋于零，即得到式 (RWM)。这不要求所有近似张量有一个未加说明的共同 $L^\infty$ 上界。

6.2 全参数系统是同一基底上的相对 distal 扩张

全参数系统为 $(W_Y^I,\Lambda_Y)$ ，时间一作用是 $(S_{W_Y}^i)_{i\in I}$ 。每个坐标系统都是 distal； $\Lambda_Y$ 的单坐标边缘为 $\nu_Y$ ，并在该乘积作用下不变，所以它是这些 distal 系统的一个连接。

由结构结果 §1.3(2)，这个全参数系统仍为 distal，并且在它的因子 $(W_Y^J,\Lambda_J)$ 上相对 distal。

至此得到同一基底上的两条扩张：一条是 $J$ 个完整状态组成的相对弱混合扩张；另一条是全部参数组成的相对 distal 扩张。

6.3 原选取分布给出了这两条扩张的一个连接

把 $\lambda_Y$ 推到

\bigl((y_i)_{i\in J},(P_i)_{i\in I}\bigr)

的联合分布。这两个部分在 $J$ 个参数上恰好相同；联合分布在对应的时间一作用下不变。

结构结果 §1.3(4) 的相对不交性因此适用：这个连接只能在给定 $P_J$ 后相互独立。

若记 $\Lambda_Y(\mathrm{d}P\mid P_J)$ 为全参数在给定子数组后的条件分布，则联合分布必须为

\int \left[\bigotimes_{i\in J}m_{Y,w_i}(\mathrm{d}y_i)\right] \Lambda_Y(\mathrm{d}P\mid P_J=w_J) \,\mathrm{d}\Lambda_J(w_J). \tag{Join}

这一步所用的相对不交性是明确引用的结构定理；前两小节负责逐项核实它在这里的假设。

6.4 再给定全部参数后的条件概率

式 (Join) 中， $J$ 个状态的条件分布只依赖 $P_J$ ，不依赖其余参数。因此，对任意有界 $H(P)$ 和有界状态函数 $G_i$ ，

\begin{aligned} &\int H(P)\prod_{i\in J}G_i(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y\\ &\quad= \int H(P)\prod_{i\in J} \left[\int_YG_i(y)\,\mathrm{d}m_{Y,P_i}(y)\right] \,\mathrm{d}\Lambda_Y(P). \end{aligned}

按条件期望的定义，这等价于

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[\prod_{i\in J}G_i(y_i)\mid P\right] =\prod_{i\in J}\overline G_i(P_i).

再由标准空间上的可数生成代数确定条件概率，得到原文式 (3.6)：

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((y_i)_{i\in J}\mid P) =\bigotimes_{i\in J}m_{Y,P_i}. \tag{Full}

空的 $J$ 只给出空乘积为 $1$ 的平凡陈述。结论没有包括 $J=I$ ；完整四状态的相关可以仍然非零。

7. 归一化后的参数为何仍在最大 distal 因子中

对应 B Lemma 3.3，p.10，紧接式 (3.7)。

回到上篇的归一化流

M_b(Y)=\left(Y^4,\lambda_Y, (y_i)_i\mapsto(S_Y^{it/b}y_i)_i\right), \quad b\in I.

第 $i$ 个参数的时间一作用是 $S_{W_Y}^{i/b}$ 。这个有理时间作用为 distal：若 $r=p/q\ne0$ ，则

(S_{W_Y}^{p/q})^q=S_{W_Y}^p.

右边是 distal 时间一作用的整数幂，因此 distal；再用“一个变换 distal 当且仅当其非零整数幂 distal”，推出左边的底层变换 $S_{W_Y}^{p/q}$ 也 distal。

全参数数组是这些有理速度 distal 系统的一个不变连接，所以它自身为 distal 因子。最大性于是说明，它属于 $M_b(Y)$ 时间一映射的最大 distal 因子。

继续迭代时，旧的 distal 因子拉回到扩张上，仍包含在新的最大 distal 因子中。逐次应用这一性质，便得到 Lemma 3.3 对每次有限迭代中原参数数组的结论。

相位参数也在这类因子中。例如单位屋顶悬挂的时间一映射保留相位 $u$ ，所以相位因子是恒等作用，属于紧系统。上篇保留正相关所用的相位权重，因而可以作为完整 distal 参数的一个函数使用。

8. 推导顺序与剩余依赖

本段的顺序不能交换。

用至多三重逐点收敛，先证明真子集的选择长度分布等于确定长度分布。
对确定长度平均使用相对 $L^2$ 替换，得到给定该子集自身参数的条件乘积。
证明这一状态系统对参数子数组相对弱混合，而完整参数系统对同一子数组相对 distal。
用相对不交性把条件信息从子数组扩充到整个参数数组。

仅有第二步的条件乘积，并不能直接推出第四步。也不能把相对 $L^2$ 替换直接放进随起点变化的长度中。

尚需另外核验的结构部分是 B Proposition 2.2 的完整适用范围，特别是非遍历 distal 逐点版本和相对不交性，以及 B Lemma 2.1 所用的解析证明。本篇没有使用“普通 mixing 推出所有有限阶 mixing”；那项配套结论将在后面保持辅助组结构时单独出现。

原文与前置文献

B p.4，式 (2.2) 及其后定义：相对弱混合、有限生成模块、相对紧与相对 distal。
B pp.4–6，Proposition 2.2：本篇逐项引用的结构结果。
B pp.6–7，Lemma 2.3，式 (2.4)：相对 $L^2$ 替换及连续时间版本。
B pp.9–10，Proposition 3.2(2)(3)，式 (3.5)–(3.6)：全参数分布与完整条件信息。
B p.10，Lemma 3.3：归一化后参数的 distal 性及有限迭代。

Huang–Shao–Ye 的 Pointwise convergence of multiple ergodic averages and strictly ergodic models，arXiv:1406.5930v2，Theorem C，p.2，假设为 Lebesgue 概率空间上的可逆、遍历、measure-distal 系统。其结论是任意固定有限阶平均几乎处处收敛，不要求乘积极限；非遍历推广是 B 中另需说明的部分。

Jamneshan 的 An uncountable Furstenberg–Zimmer structure theory，arXiv:2103.17167v4，Theorem 4.1(ii)'，p.24，给出用不变有限生成 $L^\infty$ -模块描述相对紧扩张的形式。其陈述对这些模块取并后再作 $L^2$ 闭包，不要求单个模块已经闭。这里核对了这一表述，不把该文及 B 的全部结构推论视为已在本专题独立证明。