第四单元（续）：三组辅助变量为何能保留指定的独立性

本篇讨论 B §5，Definition 5.1、Lemma 5.2、Proposition 5.3 及 Corollary 5.4，原文 pp.14–18。前三篇分别确定了选取分布、条件参数分布和有限张量投影估计；这里把它们用于同一个问题：平均长度取决于初始点时，哪些独立性仍然成立？

本篇额外假设 B 式 (2.1) 的所有有限阶 mixing 结论。原稿从 R《Rokhlin’s multiple-mixing problem for one transformation》引入这一命题。其主证明的逐式展开见多重混合依赖精读。它仍是本篇的输入，不能由普通 mixing 的定义直接代替。

1. 精确结构：三组彼此独立，原变量只与任意两组独立

1.1 带速度的辅助因子

保留单位屋顶悬挂 $C=X\times[0,1)$。设 $Y\to C$ 是保概率流扩张，原始因子记为 $\pi_Y$。另外有有限个保测映射

其中 $q_\alpha>0$ 为有理数，等变关系对每个固定时间按模零理解。把这些辅助因子分成三组 $\mathcal D_1,\mathcal D_2,\mathcal D_3$，允许空组。

记 $x_0$ 为 $\pi_Y$ 的空间坐标，$x_\alpha$ 为 $D_\alpha$ 的空间坐标；$u_0,u_\alpha$ 为相位。令 $V$ 收集全部相位。

1.2 Definition 5.1 的两条条件分布

原文称这样的系统为 channel。本篇直接使用其定义中的两条条件。

全部辅助空间变量在给定 $V$ 后服从乘积分布：

对任意真子集 $J\subsetneq\{1,2,3\}$，原变量与这些组的联合在给定 $V$ 后也服从乘积分布：

右边不依赖相位值。$J=\varnothing$ 包括 $x_0$ 与全部相位独立的要求。定义没有要求 $x_0$ 与三组辅助变量整体独立。

没有辅助变量的悬挂 $C$ 满足这些条件，可作为构造起点。

2. 给定最大 distal 因子后仍有相同乘积律

对应 B Lemma 5.2，pp.14–15。

2.1 把相位在一个整数时间固定下来

相位因子 $V$ 是带实际相位联合分布的有限维环面平移系统，因此是紧因子，包含在 $W_Y$ 中。相位的联合分布不必是 Haar 乘积测度；字符仍在平移作用下成为特征函数，其有限线性组合在该实际分布的 $L^2$ 中稠密，从而得到所需紧结构。

取正整数 $h$，使每个 $hq_\alpha$ 都是整数。在时间 $h$ 下，相位保持不变，原空间变量按 $T^h$ 演化，辅助变量按 $T^{hq_\alpha}$ 演化。

式 (G1) 或 (G2) 中的任一个空间元组，在给定相位后的测度为固定的乘积测度。其变换是有限个正整数幂 $T^{e_j}$ 的乘积。

2.2 此处只用普通 mixing

若 $T$ 混合，任意非零整数幂都混合。有限个混合系统的乘积在乘积测度下也混合：先对两份张量函数的相关积分逐坐标分解，再用有界函数逼近得到一般情形。

记空间元组的固定乘积测度为 $\kappa$，时间 $h$ 的乘积变换为 $R$。空间元组与相位的联合分布为 $\nu_V\otimes\kappa$，作用为 $(v,z)\mapsto(v,Rz)$。若有界函数 $F,G$ 满足

则对每个这样的 $v$，乘积系统的 mixing 蕴含

相关的绝对值不超过 $\|F\|_\infty\|G\|_\infty$。在 $v$ 上用支配收敛，以上条件相关的 $L^2(\nu_V)$ 范数趋于零。因此也满足 Cesàro 平均形式的相对弱混合条件；没有要求对相位一致的 mixing 速率。

于是，上述空间元组连同相位因子，是固定相位系统上的相对弱混合扩张。$W_Y$ 对时间 $h$ 仍然 distal，并在 $V$ 上相对 distal。由第四单元下篇所列的相对不交性，空间元组与 $W_Y$ 的联合只能在给定 $V$ 后相互独立。

于是式 (G1)、(G2) 在把条件 $V$ 改成 $W_Y$ 后仍成立。这不是“增加条件信息不改变独立性”的一般规律，而是相对不交性在此的应用。

若再取流扩张 $Y'\to Y$，原变量、辅助变量和相位的联合分布在拉回后不变，所以仍满足式 (G1)、(G2)。对可能更大的 $W_{Y'}$ 重复上述论证，得到扩张上的相同结论。

3. Proposition 5.3 要证明什么

固定 $b\in I=\{1,2,3,4\}$，在

上，取 $\pi_Y(y_b)$ 为原始因子。新第 $j$ 组由

组成。它们的新速度为 $iq_\alpha/b$，仍为正有理数。

单坐标边缘已经保证各因子保测；不同速度的等变性也由定义直接得到。因此剩下的全部工作是验证：这些新变量在给定新相位后仍满足式 (G1)、(G2)。

3.1 只需处理中心化的空间函数

用有界空间乘积函数及新相位的连续函数测试所需条件律。相位空间是有限维环面，其连续函数可由有限个一坐标函数乘积一致逼近，从而适用选取分布的乘积测试公式。

将每个空间函数拆成均值与中心化部分，再取实部、虚部并缩放。只需讨论每个空间函数为常数 $1$ 或绝对值不超过 $1$ 的实值中心化函数，并证明只要至少一个中心化因子出现，带相位权重的积分就为零。

最后由线性组合及有界近似恢复任意有界测试。相位权重的绝对值可以归一化为不超过 $1$。

4. 清除速度分母后只有有限种整数偏移

对应 B p.15，式 (5.3)–(5.4)。

选一个正整数 $h$，使 $e_\alpha=hq_\alpha\in\mathbb N$。在选取平均中写

固定初始相位 $V$ 和 $s$ 后，辅助变量 $\alpha$ 在第 $i$ 个坐标上的空间读数为

原变量位于第 $b$ 个坐标，其读数为

所有相位权重均不依赖 $n$，且这些整数偏移在 $V$ 与 $s$ 变化时只取有限多个值。有限性来自相位处于 $[0,1)$、$s\in[0,h)$，以及速度和指标有限且已固定。

因子等变关系若仅对固定时间模零成立，由联合可测性和 Fubini 可在时间积分中使用。再对可数个 $n$ 取共同例外集即可，无需所有实时间同时逐点等变。

4.1 完整长度块与归一化误差

若选中长度 $N=c2^k$，令 $m=\lfloor N/h\rfloor$。对绝对值不超过 $1$ 的测试，把 $[0,N]$ 换成前 $m$ 个完整长度 $h$ 区间，并把归一化从 $1/N$ 换成 $1/(mh)$，误差至多 $2h/N$。对于充分大的 $a$，所有选中长度均满足 $N\ge2^a$，所以 $m\ge1$，误差一致趋于零。

完整部分写成

以下固定 $V,s$，只需估计这类 $m$ 项离散平均。

5. 原变量与任意真子集组：直接控制选长度

对应 B pp.15–16，Proposition 5.3 证明中的 proper collections of groups。

5.1 有中心化辅助函数时

固定一组真子集 $J\subsetneq\{1,2,3\}$。由式 (G2)，给定 $V$ 后，这些辅助变量彼此独立，也与 $x_0$ 独立。长度 $N_a$ 是 $(x_0,u_0)$ 的函数；给定 $V$ 后，它只依赖 $x_0$。

设至少一个辅助空间函数中心化。先对辅助变量积分，其期望记为 $R_n(V,s)$。它按原始辅助变量 $x_\alpha$ 分解为若干积分；同一个 $x_\alpha$ 上的不同坐标使用不同整数速度 $e_\alpha i$。

此处使用本篇开头列出的所有有限阶 mixing 假设：固定有界函数 $g_1,\ldots,g_r$ 时，若整数时间两两间距趋于无穷，则

同一辅助变量中的时间差随 $n$ 增大而发散，其中一个因子均值为零，所以 $R_n(V,s)\to0$。偏移只有有限种，因此对给定 $\delta>0$，可以选一个共同的 $n_0$，使

对所有偏移模式成立。

给定 $x_0,V,s$ 后，原变量测试的绝对值不超过 $1$。即使长度 $m=m(x_0,V)$ 随 $x_0$ 改变，测试平均的绝对值仍不超过

积分后先让 $a\to\infty$，再令 $\delta\downarrow0$，得到所需零极限。这里对选择长度及其归一化同时作了估计。

5.2 只有原变量函数中心化时

若所有辅助函数都为 $1$，只剩原变量上的中心化函数 $f_0$。变换 $T^{hb}$ 混合因而遍历，Birkhoff 定理给出

几乎处处，且可以对有限种偏移 $a_0$ 同时成立。

选择的 $m(x_0,V)$ 在每个点趋于无穷，因此仍沿同一逐点极限收敛。式 (G2) 的空组情形说明 $x_0$ 给定 $V$ 后服从 $\mu$，再用有界收敛即可积分。这一分支只需普通 mixing 和 Birkhoff。

由此证明新系统中涉及原变量的全部真子集组规则。

6. 三组同时出现时，选择事件可以破坏共同独立性

对应 B p.16，all three groups 的起始部分及式 (5.5)。

在验证式 (G1) 时没有原变量测试。若某组不含中心化因子，实际上只涉及其他真子集组，已经由上一节处理。因此只需考虑三组各有一个中心化因子。

固定 $V,s$，令 $\Omega_j$ 是第 $j$ 组原始辅助空间变量的乘积概率空间，三个组的空间测试分别写成

它们都是实函数，绝对值不超过 $1$。在没有再限制长度事件之前，三组的条件联合分布由式 (G1) 给出，为 $\Omega_1\times\Omega_2\times\Omega_3$ 的乘积测度。

6.1 长度事件保留每两组的边缘

对固定 $a$，把事件 $\{N_a=c2^k\}$ 记为 $E_{k,c}^{(a)}$，$k\ge a$、$c\in F$。重复表示同一个长度时，固定选一个允许的指标，使这些事件构成分割。记给定 $V$ 后的概率为 $p_{k,c}$。这些概率依赖 $a,V$，但对固定 $a$ 总和为 $1$。

事件在给定 $V$ 后由 $x_0$ 决定。式 (G2) 说明 $x_0$ 与任意两组条件独立。因此，对任意两组函数 $K$，

单组边缘也具有相同性质，但三组整体未必保持乘积律。

6.2 用子概率密度表示选择的影响

令 $p=p_{k,c}$。把事件与三组变量的联合分布推到原三组乘积空间，得到质量为 $p$ 的子概率测度 $\nu_E$。对任意可测集合 $A$，

右边是原三组乘积测度。因此 $\nu_E$ 有密度 $r_E$，满足

最后一项来自 $r_E^2\le r_E$。当 $p>0$ 时，这就是原文的 $r_E=p\rho$；当 $p=0$ 时，子概率测度为零，无需定义零概率事件上的条件分布。

7. 两组函数列为何满足近正交条件

对应 B p.16，中间关于例外图的段落。

固定一个精度 $\eta>0$。把 $\langle x_n,x_{n'}\rangle$ 按第 1 组原始辅助变量分解。同一原始变量 $x_\alpha$ 上出现的时间来自

这一组中至少有一个中心化函数。若所有实际出现的时间两两相距足够远，式 (HM) 使相应积分趋于各均值之积，因而趋于零；其他变量的积分绝对值不超过 $1$。

同一个指标 $n$ 内，不同坐标的速度不同，时间间距随 $n$ 增大。因此删去有限个初始指标后，剩下的障碍只可能是跨越两个指标的近碰撞：

其中 $i,i',a$ 只取有限种值，$R$ 对给定 $\eta$ 及固定函数可选为一个常数。

对每个固定 $n$，因为 $e_\alpha i'>0$，式 (Near) 将 $n'$ 限制在一个固定长度的实区间内，所以只允许有界多个整数 $n'$。把所有有限种障碍及其反向配对并起来，得到最大度数为某个有限 $L$ 的无向例外图。在图之外，$|\langle x_n,x_{n'}\rangle|\le\eta$。

对 $y_n$ 作相同论证。两个图可以不同，取它们度数上界的最大值即可。有限种偏移模式允许共同选择初始截断 $n_0$、间距阈值和度数 $L$，所以这些数不依赖 $V,s$。它们可以依赖给定测试函数、速度列表和 $\eta$，不要求一个通用于所有辅助系统的混合速率。

8. 按协方差的前 $d_m$ 个方向分解

对应 B p.17，式 (5.6)–(5.7)。本节固定一个长度事件，记 $m=\lfloor c2^k/h\rfloor$，并省略该事件的指标。

令

在这些 $m$ 个向量的有限维张成中，考虑正算子

这里单个 $z_n\otimes z_n$ 表示秩一算子 $u\mapsto\langle u,z_n\rangle z_n$。令 $P_m$ 投影到 $K_m$ 最大的 $d_m$ 个特征值所对应的正交方向；若正特征值的个数不足 $d_m$，就投影到整个值域。

8.1 前 $d_m$ 个方向：事件概率为 $p$ 的贡献

先固定 $0<\varepsilon\le1$，再选 $0<\eta\le\varepsilon^2/10^4$。上一节给出相应的近正交条件。第四单元张量估计的平均形式因此给出

其中可取

这里先固定测试与 $\varepsilon,\eta,L,n_0$。删去前 $n_0$ 项后，仍用维数界 $d_m$，对剩下的 $m-n_0$ 个向量应用计数定理；投影范数大于 $\varepsilon$ 的指标数由指数项控制，其余项的平均至多为 $\varepsilon$。被删去项的平均代价至多 $n_0/m$。因为 $\sqrt{d_m}\log(2+d_m)=o(\log m)$，有 $\Delta_\varepsilon(m)\to0$。相关范数均在原两组乘积测度下计算。

在事件子概率测度 $\nu_E$ 下，前两组的边缘是 $p$ 倍原乘积测度，第三组的边缘是 $p$ 倍原测度。Cauchy–Schwarz 给出

不需要三组在事件下共同独立；正确的两组边缘和单组边缘已经足够。因此，这部分平均贡献至多为 $p$ 乘式 (Lead) 的右边。

8.2 其余方向：由迹控制剩余最大特征值

记 $z_n^\perp=(1-P_m)z_n$。因为 $\|z_n\|\le1$，协方差算子满足 $\operatorname{tr}K_m\le m$。若还有剩余方向，其最大特征值至多

令 $A=(\langle z_n^\perp,z_{n'}^\perp\rangle)_{n,n'}$。这是一个正半定 Gram 矩阵。映射 $(a_n)\mapsto\sum_na_nz_n^\perp$ 的两个乘积算子，是这个 Gram 矩阵和剩余协方差算子；它们有相同的非零特征值。因此

再令 $B=(\langle w_n,w_{n'}\rangle)_{n,n'}$，它正半定且 $\operatorname{tr}B\le m$。在原三组乘积测度下，

这里使用实 Hilbert 空间，所以两个 Gram 矩阵对称，迹乘积等于上述双重和。正半定性保证迹估计成立，不要求两个矩阵交换。

8.3 密度的平方根概率只用于剩余部分

式 (Density) 与式 (Residual) 给出

两部分的概率因子不同：主要投影部分是 $p$，其余部分是 $\sqrt p$。若都粗略估成 $\sqrt p$，对无穷多个长度事件求和就未必有控制。

9. 对所有可能的长度同时求和

对应 B p.17，式 (5.8) 及随后完成证明的段落。

对固定 $h$ 及有限 $F\subseteq[1,2]$，当 $k$ 足够大时，

而且对 $c\in F$ 一致。故

因为这是收敛级数的尾部。

对全部剩余部分，用 Cauchy–Schwarz：

概率 $p_{k,c}$ 可以依赖 $a,V$，但总和始终为 $1$，所以这个估计仍成立。

主要投影部分按 $p_{k,c}$ 加权求和。有限种偏移模式可共用最大截断 $n_0$ 和最大度数 $L$。定义长度尾部的上确界

由 $\Delta_\varepsilon(m)\to0$，有 $\overline\Delta_\varepsilon(M)\to0$，无需 $\Delta_\varepsilon$ 单调。全部长度满足 $m\ge\lfloor2^a/h\rfloor$，所以主要投影贡献之和不超过

这也与剩余部分的可求和估计一起，保证分解后各长度事件贡献绝对可求和；不必把长度事件的数目限制为有限。

先固定 $\varepsilon$ 及由此选择的 $\eta,L,n_0$，令 $a\to\infty$，再令 $\varepsilon\downarrow0$。三组同时出现时的中心化测试积分趋于零。

维数 $d_m$ 同时满足两个要求：$\sqrt{d_m}\log(2+d_m)=o(\log m)$ 保证投影计数为 $o(m)$；在几何长度类上，$\sum_kd_{m(k,c)}^{-1}<\infty$ 保证剩余部分可求和。指数 $3/2$ 的选择是为同时满足这两项。

10. 可测性、条件参数与有限迭代

10.1 投影的选择无需参数化谱定理

每个 $m$ 和每种整数偏移模式，都只涉及有限维的协方差算子。对重特征值空间任取一次固定的正交选择即可。偏移模式有限，$m$ 可数，因此这些投影及其函数代表元可预先选定，再按可测的偏移模式和长度使用。

记三组原变量为 $U=(U_1,U_2,U_3)$，相应乘积测度为 $\kappa=\kappa_1\otimes\kappa_2\otimes\kappa_3$。式 (G1) 说明 $(V,U)$ 的分布是 $\nu_V\otimes\kappa$。对每个长度事件取 Borel 条件期望版本

于是对几乎每个 $v$，事件的子概率测度为 $r_{a,k,c}(v,\cdot)\kappa$，且

共同满测集还须包括所用的两组边缘等式。对三个两组空间各取一个可数 Borel 生成代数，先在这些集合上使用式 (G2)。再对可数个 $a,k,c$ 和生成代数集合取共同满测集，在该集上各两组边缘均等于 $p_{a,k,c}(v)$ 倍相应的乘积测度。测度唯一性将等式延伸到所有 Borel 集。$p=0$ 时子概率测度为零，以上式子仍成立。

因此密度范数、事件概率及全部所需边缘等式可以同时使用。这里只固定了当前系统和测试，无须对所有辅助系统或不可数个 Borel 集取零集的并。由联合可测性与 Fubini，可以继续对相位及时间余数 $s$ 积分，并恢复有界相位权重。

此前放弃的末端长度误差一致趋于零，不改变选取分布的极限。因此两条新条件律 (G1)、(G2) 均已得到，Proposition 5.3 的结论在本篇所列假设下成立。

10.2 从新最大 distal 因子退回旧参数数组

令 $P=(\omega_Y(y_i))_{i\in I}$ 是旧参数数组。第四单元下篇的 Lemma 3.3 说明，它包含在新流 $M_b(Y)$ 的最大 distal 因子中。

Proposition 5.3 使新流继续具有三组结构；Lemma 5.2 再给出全部新辅助变量在给定新最大 distal 因子后的乘积律。对较小的旧参数 $P$ 取条件期望，右边的乘积常数不变，因此这些变量在给定 $P$ 后仍具有乘积律。这就是 B Corollary 5.4。

有限次迭代重复同一论证。每次系统与测试函数先固定，再取选取分布的极限；没有要求一个同时控制所有辅助系统或所有迭代深度的混合速率。

原文对照与依赖

• B p.14，Definition 5.1，式 (5.1)–(5.2)：三组结构的精确条件律。
• B pp.14–15，Lemma 5.2：把相位条件扩充到最大 distal 因子。
• B p.15，Proposition 5.3，式 (5.3)–(5.4)：速度分母、有限偏移与测试函数化简。
• B pp.15–16：真子集组的直接平均估计。
• B p.16，式 (5.5)：长度事件下的子概率密度。
• B p.17，式 (5.6)–(5.8)：投影分解、Gram 矩阵及长度类求和。
• B pp.17–18，Corollary 5.4：旧参数数组及有限迭代。

本篇的独立性保持结论以式 (HM) 的高阶 mixing、所列相对结构结果、选取分布构造以及张量估计为前提。式 (HM) 的来源 R 在配套精读中另行展开；本篇仍保留这些输入，不单独证明四重主定理的全部依赖。