第四单元（续）：最大辅助位置数与稳定条件期望

本篇讨论 B §6.1–6.3，原文 pp.18–21。此前从逐点失败得到了固定的选择函数、同一个超滤子以及一个非零相关；三组辅助变量的保持仍以第四单元前面列出的高阶 mixing 和相对结构结果为前提。

下面的目标是选取一个辅助变量位置最多的非零相关，再扩张系统，使后续所需的条件期望不再因进一步扩张而改变。本篇结束时构造一个重新分组的系统；下一篇在其上计算行列的条件分布。

1. 哪些位置使用辅助变量

对应 B p.18，式 (6.1)。

对一个具有三组辅助变量的系统 $Y$ ，记 $x_Y(y)$ 为原空间坐标， $d_Y(y)$ 为全部辅助空间坐标组成的有限列表。若辅助列表长度为 $m$ ，它的空间分布为 $\mu^{\otimes m}$ ； $m=0$ 时用单点空间解释。

令 $I=\{1,2,3,4\}$ 、 $A\subseteq I$ 。考虑相关

\int_{Y^4}\Phi(P) \prod_{i\in A}h_i(d_Y(y_i)) \prod_{i\notin A}h_i(x_Y(y_i)) \,\mathrm{d}\lambda_Y, \quad P=(\omega_Y(y_i))_{i\in I}. \tag{Corr}

所有函数实值且有界， $\Phi$ 可为全部旧参数的任意有界函数。每个 $h_i$ 相对于它所使用的空间分布中心化：若 $i\in A$ ，则 $\int h_i\,\mathrm{d}\mu^{\otimes m}=0$ ；否则 $\int h_i\,\mathrm{d}\mu=0$ 。辅助位置的函数允许同时依赖整个辅助列表。

原文把 $i\in A$ 称为 output role。本篇称其为辅助位置：该位置上的函数使用 $d_Y(y_i)$ ，而非 $x_Y(y_i)$ 。

由 B Lemma 5.2，每个位置的函数在给定自身参数 $P_i$ 后也中心化。最初悬挂系统没有辅助变量，第四单元上篇的正相关则给出 $A=\varnothing$ 的一个非零例子；相位权重是 distal 参数的函数。

在所有这类系统和有界测试中，令 $r$ 为非零相关所能具有的最大辅助位置数。它存在，因为可能数值只有 $0,1,2,3,4$ ，且 $0$ 已经出现。这里不需要对一族实数相关值取到最大值。

2. 为什么四个辅助位置不可能

对应 B Proposition 6.1，p.18，证明第一段。

若 $A=I$ ，三组保持结果及 Corollary 5.4 说明：四个坐标上的全部辅助空间变量，在给定完整旧参数数组 $P$ 后具有乘积律。因此

\mathbb E_{\lambda_Y}\left[ \prod_{i=1}^{4}h_i(d_Y(y_i))\mid P\right] =\prod_{i=1}^{4}\int h_i\,\mathrm{d}\mu^{\otimes m}=0.

再乘任意 $\Phi(P)$ 积分仍为零，与式 (Corr) 非零矛盾。

3. 三个辅助位置会产生过多正交函数

对应 B Proposition 6.1 证明后半，pp.18–19。

3.1 反复保留一个速度为一的坐标

假设 $|A|=3$ ，令 $b$ 为唯一非辅助位置。置

Y_0=Y, \quad Y_{n+1}=M_b(Y_n).

每次使用三组保持命题给出的全部辅助副本。在新系统中投影到第 $b$ 个坐标，速度为 $b/b=1$ ，所以是到前一系统的流因子。

$Y_n$ 的一个状态可看成由 $I^n$ 索引的原 $Y$ -状态数组。考虑通过角点 $(b,\ldots,b)$ 的 $n$ 条坐标线。

3.2 每条线为何都有同一选取分布

每条坐标线的四个状态组成的有序数组都服从 $\lambda_Y$ 。这不是行列对称性的假设，可按构造归纳证明。

若变化的是新增加的坐标，其余坐标固定为 $b$ ，沿旧坐标的连续投影给出一个速度为一的因子。选取分布的投影兼容性便把这条新线推到 $\lambda_Y$ 。

若变化的是原有坐标，而新坐标固定为 $b$ ，新分布的第 $b$ 个单坐标边缘就是前一数组的测度；再用归纳假设得到该线分布。

因此所有线都具有所需分布，不需要交换坐标轴。

3.3 不同线的非角点列表彼此分离

记第 $a$ 条线的状态为 $(y_i^{(a)})_{i\in I}$ ，其参数数组为 $P^{(a)}$ 。定义

H_a=\Phi(P^{(a)})\prod_{i\ne b}h_i(d_Y(y_i^{(a)})), \quad H=h_b(x_Y(\text{角点})).

两条不同线只在角点相交，而 $H_a$ 的乘积没有使用角点的辅助列表。有限迭代的 Corollary 5.4 说明，整个数组中的辅助列表在给定全部旧参数后具有乘积律。

因此，当 $a\ne a'$ 时， $H_a$ 和 $H_{a'}$ 所使用的辅助变量不重叠；参数权重在条件下固定，各空间函数中心化，所以

\mathbb E[H_aH_{a'}]=0.

又有 $\|H_a\|_2\le K$ ，其中 $K$ 只依赖已经固定的 $\Phi,h_i$ ，不随数组维数 $n$ 改变。

3.4 Bessel 不等式给出矛盾

记原始非零相关为 $c\ne0$ 。由每条线的分布相同，

\langle H,H_a\rangle=c \quad(1\le a\le n).

若某个 $H_a$ 范数为零，这已经与 $c\ne0$ 矛盾；否则归一化这些两两正交向量，Bessel 不等式给出

\sum_{a=1}^{n}\frac{|c|^2}{\|H_a\|_2^2}\le\|H\|_2^2, \quad n|c|^2\le K^2\|H\|_2^2.

角点的单坐标边缘始终为原测度，所以 $\|H\|_2$ 也不随 $n$ 改变。令 $n$ 任意大，得到矛盾。

这个论证对每个有限 $n$ 分别进行；不必先把所有数组放入同一个无限维数组空间。由此证明非零相关至多有两个辅助位置，即 $r\le2$ 。

4. 扩张时要保持哪些条件信息

对应 B §6.2，pp.19–20，式 (6.2)–(6.3)。

在 $(Y^4,\lambda_Y)$ 上定义五个 $\sigma$ -代数：

\mathcal D_0(Y)=\sigma(P), \quad \mathcal D_l(Y)=\sigma(P,(y_i)_{i\ne l}), \quad l\in I.

$\mathcal D_0$ 只给定参数； $\mathcal D_l$ 给定全部参数及除第 $l$ 个状态以外的其他三个完整状态。

若 $\rho:Y'\to Y$ 是 $C$ 之上的流扩张，逐坐标映射 $\rho^4$ 把 $\lambda_{Y'}$ 推到 $\lambda_Y$ 。旧 distal 因子的拉回包含在新 distal 因子中，旧状态的拉回也由相应新状态决定，所以

(\rho^4)^{-1}\mathcal D_l(Y)\subseteq\mathcal D_l(Y') \quad(l=0,1,2,3,4)

，按模零包含理解。

4.1 Proposition 6.2 的完整结论

对每个标准流扩张 $Y_0\to C$ ，存在进一步的标准流扩张 $Y\to Y_0$ ，使任意进一步扩张 $\rho:Y'\to Y$ 、任意 $f\in L^2(\lambda_Y)$ 和任意 $l\in\{0\}\cup I$ 都满足

\mathbb E_{\lambda_{Y'}}[f\circ\rho^4\mid\mathcal D_l(Y')] = \mathbb E_{\lambda_Y}[f\mid\mathcal D_l(Y)]\circ\rho^4. \tag{Stable}

式 (Stable) 是把旧函数拉回到 $L^2(\lambda_{Y'})$ 后的函数类等式。对每个固定扩张与测试成立即可；不要求所有扩张和所有 $L^2$ 函数共用一个逐点满测集。

如果起始系统已有三组辅助变量，扩张可以保留其拉回，并仍满足原来的三组条件律。

原稿称满足式 (Stable) 的系统 saturated。其含义仅是这五类指定条件期望在允许的扩张下稳定，不是所有条件分布都已固定。

5. 能量递增构造的每一步

5.1 为什么能量只增不减

固定一个选取分布上的函数 $f$ 和一个类型 $l$ ，定义

\mathcal E_Y(f,l) =\|\mathbb E_{\lambda_Y}(f\mid\mathcal D_l(Y))\|_2^2.

因子拉回是 $L^2$ 等距嵌入，且条件信息在扩张下增大。正交投影的范数因此只增不减，而始终有

0\le\mathcal E_Y(f,l)\le\|f\|_2^2.

5.2 为什么只安排可数个函数就够了

从 $Y_0$ 开始，构造扩张链 $Y_0\leftarrow Y_1\leftarrow\cdots$ 。每个 $L^2(\lambda_{Y_n})$ 可分，因此在新阶段选一个可数稠密函数集；此前各阶段选定的函数全部通过拉回保留。

用可数交错安排，使每个已经引入的函数、每个类型 $l$ 都被处理无穷多次，其允许误差沿这些处理次数趋于零。例如可枚举“引入阶段、函数编号、类型、精度”四元组，并只在相应阶段已经存在后处理。

在处理 $(f,l)$ 的某一步，取一个标准扩张，使能量距离所有标准扩张上可达到的上确界小于规定误差 $\varepsilon_n$ 。上确界有限，恒等扩张又保证可选集合非空；按上确界定义，可以选到这样的近似最优扩张。

这里是在构造存在性论证，不假定这个上确界本身已经在某个扩张上取到。

5.3 逆极限不会丢掉已安排的函数

取这条链的可数逆极限 $Y$ 。具体实现采用第四单元上篇的完整可数乘积模型，处理固定时间模零的因子关系，不要求一个相容集合对所有实时间同时逐点不变。

选取分布在各阶段间投影兼容；阶段的 $L^2$ 拉回并集在 $L^2(\lambda_Y)$ 中稠密。因此所有保留的稠密测试也在极限空间中稠密。

这里不需要声称 $W_Y$ 等于阶段最大 distal 因子的逆极限，只用旧因子包含在新因子中这一事实。

5.4 与任意进一步扩张比较

固定一个保留函数 $f$ 、一个类型 $l$ 以及任意扩张 $Y'\to Y$ 。若第 $n+1$ 阶段以误差 $\varepsilon_n$ 优化了这对数据，那么 $Y'$ 也可视为 $Y_n$ 的扩张，所以

\begin{aligned} \mathcal E_{Y'}(f,l) &\le\sup_{R\to Y_n}\mathcal E_R(f,l)\\ &\le\mathcal E_{Y_{n+1}}(f,l)+\varepsilon_n \le\mathcal E_Y(f,l)+\varepsilon_n. \end{aligned}

沿重复处理该对数据的子序列， $\varepsilon_n\to0$ 。能量单调性给出反向不等式，于是能量相等。

设旧条件投影为 $P_0f$ ，新条件投影为 $P_1f$ 。因为旧子空间包含在新子空间中，

\|P_1f\|_2^2 =\|P_0f\|_2^2+\|P_1f-P_0f\|_2^2.

能量相等迫使两投影相同，这就是式 (Stable) 对保留函数的结论。条件期望是 $L^2$ 压缩，拉回也是等距的，再由稠密性得到任意 $f\in L^2(\lambda_Y)$ 的结论。

三组辅助变量在扩张和极限中按因子拉回保留，其联合分布不变；B Lemma 5.2 还给出所需的扩大参数条件律。因此这种稳定扩张仍属于原来的三组系统。

6. 稳定扩张保留最大非零相关

选择达到最大辅助位置数 $r$ 的一个非零相关，再按 Proposition 6.2 取稳定扩张 $Y$ 。旧函数全部拉回，旧参数权重仍然是新参数的可测函数，所以相关积分与非零性保持。

由 $r\le2$ ，可以选择 $b\in I\setminus A$ 。令

Z=M_b(Y), \quad \theta:Z\to Y, \quad \theta((y_j)_j)=y_b.

$Z$ 的单状态测度是 $m_Z=\lambda_Y$ 。下面给它一个适合当前相关的三组辅助结构，而不直接使用上一轮的全部副本分组。

7. 重新分组三个非角点列表

对应 B §6.3、Lemma 6.3，pp.20–21，式 (6.4)。

保留第 $b$ 个坐标中的全部旧辅助变量 $d_Y(y_b)$ 。对每个 $j\ne b$ ，增加列表

Q_j= \begin{cases} d_Y(y_j),&j\in A,\\ x_Y(y_j),&j\notin A. \end{cases}

第二种情形实际增加的是该坐标上的悬挂因子；空间变量只是它的第一坐标。三个新组以 $j\in I\setminus\{b\}$ 编号，把 $Q_j$ 放入新第 $j$ 组，再把第 $b$ 个坐标的旧三组任意一一分配到这三个新组。所有因子速度仍为正有理数。

7.1 为什么全部新辅助变量独立

先给定旧完整参数数组 $P$ 。全部新辅助变量可以看成四个位置的列表：第 $b$ 个位置为 $d_Y(y_b)$ ，其余位置为 $Q_j$ 。

任何真子集位置的列表都具有固定的空间乘积律：第四单元下篇的式 (Full) 给出状态之间的条件独立，B Lemma 5.2 给出每个位置内部列表相对于自身参数的固定乘积律。

对四个列表分别取有界实测试函数，将它们都拆成均值与中心化部分。除四个函数全部中心化的项以外，其他项都由真子集分布确定。

若四个全部中心化函数的条件乘积期望并非零，可取其符号作为一个有界参数权重，得到非零积分。它恰是原系统 $Y$ 上式 (Corr) 的一种相关，其辅助位置为 $A\cup\{b\}$ ，比 $r$ 多一个，矛盾。

所以四个列表的联合也具有空间乘积律，条件仍是完整 $P$ 。

7.2 原变量与任意两个新组为何也独立

现在保留新原变量 $x_Y(y_b)$ 及任意真子集的新组。至少有一个 $j\ne b$ 的位置被遗漏。第 $b$ 个位置只保留了旧三组的一个真子集，因为旧组与新组三个编号之间是一一对应。

因此所涉及的完整状态位置是 $I$ 的真子集，先用式 (Full) 条件于 $P$ 分开各位置；再在第 $b$ 个位置用 Lemma 5.2 已经提升到 $W_Y$ 的旧三组规则，将原变量与所保留的旧组分开。确切地，对旧组的每个真子集 $J\subsetneq\{1,2,3\}$ ，

\operatorname{Law}_{m_{Y,w}} \left(x_0,(x_\alpha)_{\alpha\in\cup_{j\in J}\mathcal D_j}\right) =\mu\otimes \bigotimes_{\alpha\in\cup_{j\in J}\mathcal D_j}\mu

对几乎每个 $w$ 成立。这里已经给定 $P_b=w$ ，仅有给定相位的旧定义不够；所用的正是 Lemma 5.2 的加强结论。由此得到全部所需的空间乘积律。

所有新相位都是 $P$ 的函数。把上述两个条件乘积律从 $P$ 再条件到新相位，右边固定的乘积测度保持不变。因此新系统 $Z$ 确实满足 Definition 5.1 的两条规则。

8. 下一步需要比较的两个条件期望

对应 B p.21，式 (6.5)–(6.6)。

定义非第 $b$ 个位置的三个因子之积

q((y_j)_j)= \prod_{j\in A}h_j(d_Y(y_j)) \prod_{j\notin A\cup\{b\}}h_j(x_Y(y_j)).

它也是单个 $Z$ -状态中新增加的三个列表 $Q_j$ 的函数。令 $y=y_b$ 、 $e=\omega_Z$ ，并选条件期望的 Borel 版本

g(P,y)=\mathbb E_{\lambda_Y}[q\mid P,y_b], \quad u(e,y)=\mathbb E_{m_Z}[q\mid\omega_Z,y_b].

标准 Borel 因子实现和可测分解允许取全域有界 Borel 代表元，并令

|g|,|u|\le\|q\|_\infty.

不承载实际分布的部分可设为零。两式的状态测度都是 $m_Z=\lambda_Y$ ，差别在于新参数 $e$ 含有旧参数数组 $P$ ，并可能含有更多信息。记相应的因子映射为 $R$ ，即 $P=R(e)$ 模零成立。条件期望的塔式性质说明

g(P,y)=\mathbb E[u(e,y)\mid P,y] \tag{Tower}

在 $(P,y)$ 的实际分布下成立。这并不意味着 $u(e,y)=g(P,y)$ ；进一步条件通常会改变条件期望。式 (Stable) 的使用必须依照后文方阵中的指定条件信息。

原始非零相关等于

\mathbb E[\Phi(P)h_b(x_Y(y_b))g(P,y_b)],

所以函数 $z\mapsto g(P(z),y_b(z))$ 在 $L^2(\lambda_Y)$ 中非零。下一篇将通过稳定性计算方阵中的行列条件分布，并证明 $g$ 的非零性使一个新的辅助位置出现。

原文对照与范围

B pp.18–19，式 (6.1)、Proposition 6.1：辅助位置数、迭代数组与 Bessel 矛盾。
B pp.19–20，式 (6.2)、Proposition 6.2、式 (6.3)：五类条件信息与稳定扩张。
B pp.20–21，式 (6.4)、Lemma 6.3：根据最大相关重新分组三个列表。
B p.21，式 (6.5)–(6.6)：函数 $q,g,u$ 及 $g$ 非零。

本篇的结论使用此前已明确列出的选取分布、三组保持和 distal 条件分布结果，不解除它们对高阶 mixing 及其他结构结果的依赖。尚未完成的方阵条件计算与最终非零性论证见下一篇。