第四单元（下篇续）：方阵的条件分布与非零相关

本篇讨论 B §6.4–6.5，原文 pp.21–24，核心是 Lemmas 6.4–6.6 和 Proposition 6.7。沿用前篇构造： $Y$ 的五类条件期望已稳定，非零相关具有最大辅助位置数 $r$ ， $b\notin A$ ，而 $Z=M_b(Y)$ 已重新分组为三组系统。

前面的选择分布、三组保持和相对结构结果仍为假设。本篇证明：这些结果一旦成立，方阵论证如何产生多一个辅助位置，并与最大性矛盾。

1. 行、列、参数和公共角点

$Z$ 的一个状态是 $Y$ 的四元组，测度为 $m_Z=\lambda_Y$ 。再取选取分布 $\lambda_Z$ ，其状态可写成一个 $4\times4$ 方阵：

z_i=(y_{ij})_{j\in I}, \quad i\in I=\{1,2,3,4\}.

定义旧参数和新参数

P_{ij}=\omega_Y(y_{ij}), \quad E_i=\omega_Z(z_i), \quad E=(E_i)_{i\in I}.

每个 $E_i$ 包含该行的全部旧参数 $(P_{ij})_j$ ，这是 B Lemma 3.3 的结论。

在第 $b$ 列中记

y_i=y_{ib}, \quad p=(P_{ib})_{i\in I}, \quad w=P_{bb}.

第 $b$ 列经因子 $Z\to Y$ 、 $(y_j)_j\mapsto y_b$ 推回，具有分布 $\lambda_Y$ 。第 $b$ 行也有分布 $\lambda_Y$ ，因为任何单个 $Z$ -状态的边缘都是 $m_Z=\lambda_Y$ 。这只说明两个边缘相同，不假设整个方阵在交换行列后分布不变。

一行，一列，一个公共角点

以固定位置 $b=2$ 为例。点击下方标签，只改变图中的强调位置。

	$j=1$	$j=2$	$j=3$	$j=4$
$z_1$	$y_{11}$	$y_{12}$	$y_{13}$	$y_{14}$
$z_2$	$y_{21}$	$y_{22}$	$y_{23}$	$y_{24}$
$z_3$	$y_{31}$	$y_{32}$	$y_{33}$	$y_{34}$
$z_4$	$y_{41}$	$y_{42}$	$y_{43}$	$y_{44}$

行:

(y_{2j})_{j=1}^4=z_2

列:

(y_{i2})_{i=1}^4

公共角点:

y_{22}

每行是一个 $Z$ -状态 $z_i$ 。第2行和第2列各有边缘分布 $\lambda_Y$ ，它们共享 $y_{22}$ 。这不表示整个方阵的联合分布在转置后不变。

图中取 $b=2$ 的一种情形来显示下标；正文仍使用已固定的 $b\in I\setminus A$ ，并令 $Z=M_b(Y)$ 。

对应原文 B §6.4–6.5，pp.21–24。

前篇的函数为

q((y_j)_j)= \prod_{j\in A}h_j(d_Y(y_j)) \prod_{j\notin A\cup\{b\}}h_j(x_Y(y_j)),

以及

g(P,y)=\mathbb E_{\lambda_Y}[q\mid P,y_b], \quad u(e,y)=\mathbb E_{m_Z}[q\mid\omega_Z,y_b].

已知 $g(P,y_b)$ 在 $L^2(\lambda_Y)$ 中非零。要证明的关键是

\mathbb E_{\lambda_Z}[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E]\not\equiv0. \tag{Target}

第一个 $q$ 沿第 $b$ 列取值，第二个沿第 $b$ 行取值，两者都不含公共角点对应的单独函数 $h_b$ 。

2. 稳定性确定整列的条件分布

对应 B Lemma 6.4，pp.21–22，证明第一段。

把稳定性式 (6.3) 用于扩张 $\theta:Z\to Y$ ， $\theta(z)=y_b$ 。在选取分布上， $\theta^4$ 恰是第 $b$ 列。旧参数数组拉回为 $p$ ，新类型 $\mathcal D_0(Z)$ 是 $\sigma(E)$ 。

因此，对每个有界可测 $f:Y^4\to\mathbb R$ ，

\mathbb E_{\lambda_Z}[f((y_i)_i)\mid E] =\mathbb E_{\lambda_Y}[f\mid P](p). \tag{Column}

在标准空间上，先对一个可数生成代数的测试函数使用该式，再确定条件概率，得到

\operatorname{Law}_{\lambda_Z}((y_i)_i\mid E) =\lambda_Y(\,\cdot\mid P=p).

完整的四状态列不由此前至多三状态的条件独立性直接决定；这里确实用了稳定扩张。

取该条件分布的第 $b$ 个边缘，再用 B Proposition 3.2 的单位置情形，得到

\operatorname{Law}_{\lambda_Z}(y_b\mid E) =m_{Y,w}. \tag{Corner}

因为 $w$ 是 $E_b$ 的函数，向较小信息 $E_b$ 再取条件期望，结论仍然成立。取第 $b$ 行的边缘后得到：在单个 $Z$ -状态中，给定 $e=\omega_Z$ 时，其旧第 $b$ 个状态的条件分布为 $m_{Y,\kappa(e)}$ ，其中 $\kappa(e)$ 是该状态的旧参数。

3. 行上的函数在给定整列后怎样取条件期望

对应 B p.22，式 (6.7)、(6.9)–(6.10)。

3.1 暂时遗漏一行

固定 $l\ne b$ 。给定 $E$ 后，除第 $l$ 行之外的三行 $z_i$ 条件独立，条件测度分别为 $m_{Z,E_i}$ ；这是 Proposition 3.2 应用于 $Z$ 的真子集结论。

在这个乘积条件分布下， $q(z_b)$ 只使用第 $b$ 行。再给定各行的列坐标 $y_i=\theta(z_i)$ ， $i\ne l$ ，其他两行的观测不会改变第 $b$ 行的条件平均。因此

\mathbb E[q(z_b)\mid E,(y_i)_{i\ne l}] =u(E_b,y_b). \tag{ThreeRows}

这可以直接用乘积测试核对：对 $\prod_{i\ne l}H_i(\theta z_i)$ 积分，先在第 $b$ 行用 $u(e,y)$ 的定义替换 $q$ ，其他行的积分分别相乘，再由单调类延伸。

3.2 为何可以把遗漏的列状态加回条件信息

记

\mathcal B=\sigma(E,(y_i)_{i\ne l}), \quad \mathcal C=\sigma(E,(z_i)_{i\ne l}).

有 $\mathcal B\subseteq\mathcal C$ 。稳定性对类型 $l$ 给出，对每个有界状态函数 $F$ ，

\mathbb E[F(y_l)\mid\mathcal C] =\mathbb E_{\lambda_Y}[F(y_l)\mid P,(y_i)_{i\ne l}]

，右边沿第 $b$ 列拉回，因此是 $\mathcal B$ -可测函数。

由此可严格推出：给定 $\mathcal B$ 后， $y_l$ 与 $\mathcal C$ 中的额外信息相互独立。事实上，若 $G$ 有界且 $\mathcal C$ -可测，则

\begin{aligned} \mathbb E[F(y_l)G\mid\mathcal B] &=\mathbb E[\mathbb E(F(y_l)\mid\mathcal C)G\mid\mathcal B]\\ &=\mathbb E[F(y_l)\mid\mathcal B]\, \mathbb E[G\mid\mathcal B]. \end{aligned}

取 $G=q(z_b)$ ，它属于 $\mathcal C$ ，因为 $b\ne l$ 。对乘积测试再用单调类，可得把 $y_l$ 加入条件不会改变其条件平均。因此式 (ThreeRows) 升级为

\mathbb E[q(z_b)\mid E,(y_i)_{i\in I}] =u(E_b,y_b). \tag{Row}

这里没有断言四个完整行共同独立。真子集独立性只用于三行，遗漏的一个列状态由稳定性处理。

4. 两条线的相关成为纤维内积

对应 B 式 (6.11)，p.22。

先对整列和 $E$ 条件化，使用式 (Row)，得到

\mathbb E[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E] =\mathbb E[q((y_i)_i)u(E_b,y_b)\mid E].

由式 (Column)，给定 $E$ 后整列有旧测度 $\lambda_Y$ 在参数 $p$ 上的条件分布。再在该旧分布内给定角点状态，由 $g$ 的定义及式 (Corner)，得到

\mathbb E[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E] =\int_Yg(p,y)u(E_b,y)\,\mathrm{d}m_{Y,w}(y). \tag{Pair}

这里使用的是条件概率核的等式。取 $\lambda^p=\lambda_Y(\cdot\mid P=p)$ 的正则条件概率版本。对 $Y$ 的一套可数 Borel 生成代数中的集合 $B$ ，由 $g$ 的定义和单位置条件律，

\int q(\mathbf y)\mathbf1_B(y_b)\,\mathrm{d}\lambda^p(\mathbf y) =\int_Bg(p,y)\,\mathrm{d}m_{Y,p_b}(y)

对几乎每个 $p$ 同时成立。两侧定义有界有限符号测度，测度唯一性使等式对每个有界 Borel 的 $y$ -测试函数成立。因此可取测试函数 $y\mapsto u(E_b,y)$ ，不必为每个参数临时挑选一个零集。式 (Column) 同样是核等式，允许被积函数依赖已经给定的 $E$ 。列参数 $p$ 的边缘正是旧参数分布，故其异常零集在方阵中仍为零测集。

这个积分没有显然的符号。单靠行列边缘相同，不能说它是一个平方；下一节还要确定 $p$ 与 $E_b$ 在给定公共参数 $w$ 后的关系。

5. 参数独立性来自重新选择时间原点

对应 B Lemma 6.5，p.23。以下在原流 $Z$ 上进行时间换元，不预设对所有实时间严格等变的因子模型。

5.1 旧角点参数是新参数的函数

因子 $\theta:Z\to Y$ 的速度为一。记其在 distal 参数上的因子为 $\kappa:W_Z\to W_Y$ ，按模零意义有

\kappa\circ\omega_Z=\omega_Y\circ\theta, \quad P_{ib}=\kappa(E_i), \quad w=\kappa(E_b).

取有界 $F:W_Z\to\mathbb R$ 和 $H_i:W_Y\to\mathbb R$ 。Proposition 3.2(2) 把全新参数数组的分布确定为普通连续平均的极限，因此

\mathbb E\left[F(E_b)\prod_iH_i(P_{ib})\right]

等于下列固定时间积分的 Cesàro 极限：

\int_Z F(\omega_Z(S_Z^{bt}z)) \prod_iH_i(\kappa(\omega_Z(S_Z^{it}z)))\,\mathrm{d}m_Z(z). \tag{Time}

5.2 在原始状态空间中换元

固定 $t$ ，作保测换元 $z'=S_Z^{bt}z$ 。式 (Time) 变为

\int_Z F(\omega_Z(z')) \prod_iH_i(\kappa(\omega_Z(S_Z^{(i-b)t}z'))) \,\mathrm{d}m_Z(z').

除 $F$ 之外，每个因子都对 $\kappa\circ\omega_Z$ 可测： $\theta$ 与原流交换，且 $W_Y$ 被每个固定时间保持。这些是固定时间、模零的函数类陈述，足以用于积分。

因此可把 $F(\omega_Z(z'))$ 替换为其对 $\kappa\circ\omega_Z$ 的条件期望，写成 $\overline F(\kappa(\omega_Z(z')))$ 。逆转换元后，对每个固定 $t$ 的空间积分，替换前后已经相等。因子关系只需对该固定时间模零成立；原流及 Borel 函数组成的被积函数联合可测且有界，因而可以对 $t\in[0,L]$ 积分。于是对每个确定的 $L>0$ ，两边的平均就完全相等，不产生末段误差。

这里没有改变时间变量或积分区间，使用的是 Proposition 3.2(2) 的确定长度参数律；依点选择的 $N_a(z)$ 已不在该式中。 $i<b$ 时的负时间由给定的可逆流作用定义。再取确定长度平均的极限，得到

\mathbb E\left[F(E_b)\prod_iH_i(P_{ib})\right] = \mathbb E\left[\overline F(w)\prod_iH_i(P_{ib})\right].

$E_b$ 的单坐标边缘是 $\nu_Z$ ，而 $w=\kappa(E_b)$ ，所以 $\overline F(w)=\mathbb E[F(E_b)\mid w]$ 。参数矩形测试生成 $p$ 的 $\sigma$ -代数，故

\mathbb E[F(E_b)\mid p]=\mathbb E[F(E_b)\mid w].

由于 $w$ 是 $p$ 的一个坐标，这等价于

p\text{ 与 }E_b\text{ 在给定 }w\text{ 后条件独立。} \tag{PI}

该结论来自换元和确定长度参数律，不来自方阵的交换对称性。

6. 单个状态中的两个条件平均如何相容

对应 B Proposition 6.7 证明的开始及式 (6.12)，pp.23–24。

6.1 两份参数分布与同一纤维 Hilbert 空间

在一个 $Z$ -状态中，令 $R(e)$ 表示它的整个旧 $W_Y$ -参数数组。它是 $e=\omega_Z$ 的函数。给定其第 $b$ 个旧参数 $w$ ，记

\alpha_w=\operatorname{Law}(\text{旧参数数组}\mid w), \quad \beta_w=\operatorname{Law}(e\mid w).

因为单个 $Z$ -状态的测度为 $\lambda_Y$ ，有 $R_*\beta_w=\alpha_w$ 。列参数 $p$ 与行参数 $R(E_b)$ 在给定公共角点 $w$ 后都有分布 $\alpha_w$ 。式 (PI) 给出

\operatorname{Law}(p,E_b\mid w)=\alpha_w\otimes\beta_w.

对几乎每个固定 $w$ ，在实 Hilbert 空间

\mathcal H_w=L^2(m_{Y,w};\mathbb R)

中，把 $g(p,\cdot)$ 和 $u(e,\cdot)$ 视为随机向量。

6.2 为什么这些确实是可测 Hilbert 空间向量

标准 Borel 空间 $Y$ 有一个可数生成代数。其有理简单函数张成在每个 $L^2(m_{Y,w})$ 中稠密，所以每个 $\mathcal H_w$ 可分。

固定有界 Borel 版本的 $g,u$ 。对生成代数产生的递增有限分割，分别对 $g(p,\cdot)$ 及 $u(e,\cdot)$ 作条件平均，可得有限维的函数近似；其系数由对固定纤维测度积分得到，关于 $p$ 或 $e$ 可测；零测原子上的系数约定为零。代表元及其条件平均均可保持绝对值不超过 $\|q\|_\infty$ 。随着分割生成整个 Borel $\sigma$ -代数，这些近似在 $L^2(m_{Y,w})$ 中趋于原函数。

因此两个映射都是强可测的 Hilbert 空间值函数。它们的范数又由 $q$ 的统一有界性控制，所以平方可积。所需标量条件等式可先在可数生成测试上成立，再用 Fubini 选择共同的 $w$ -满测集。

6.3 不能忽略角点状态的条件分布

式 (Corner) 的单状态结论说明，给定 $e$ 时，角点状态 $y$ 的条件分布恰是 $m_{Y,w}$ 。所以给定 $w$ 后， $(e,y)$ 的联合分布为

\beta_w(\mathrm{d}e)\,m_{Y,w}(\mathrm{d}y).

因此再给定 $R(e)$ 时， $e$ 的分布不会因 $y$ 而额外改变。另一方面，条件期望的塔性质给出

\mathbb E[u(e,y)\mid R(e),y]=g(R(e),y).

为使这一步在同一个 $w$ -满测集上成立，令 $s_j$ 遍历 $Y$ 的可数生成代数所产生的有理简单函数，令 $B$ 遍历旧参数空间的一套可数生成代数。标量塔性质与上述乘积律给出

\int_{R(e)\in B} \langle u(e,\cdot),s_j\rangle_{\mathcal H_w} \,\mathrm{d}\beta_w(e) = \int_B\langle g(p',\cdot),s_j\rangle_{\mathcal H_w} \,\mathrm{d}\alpha_w(p'). \tag{T}

先对可数个 $(B,j)$ 取共同的 $w$ -满测集。固定其中一个 $w$ 后，测度唯一性或单调类论证把 $B$ 扩至所有 Borel 集； $s_j$ 的稠密性再确定 Hilbert 空间中的向量。由于 $R_*\beta_w=\alpha_w$ ，式 (T) 正是下列 Hilbert 空间值条件期望的所有测试等式：

\mathbb E_{\beta_w}[u(e,\cdot)\mid R(e)] =g(R(e),\cdot) \quad\text{于 }\mathcal H_w. \tag{Tower}

这就是原文式 (6.12)。若没有先确定 $y$ 给定 $e$ 的精确纤维律，就不能直接把标量塔性质写成此式。

7. 非零随机向量不能与独立副本几乎处处正交

对应 B Lemma 6.6，p.23。

设 $V$ 是可分实 Hilbert 空间中的平方可积随机向量， $V'$ 为独立同分布副本。若 $\langle V,V'\rangle=0$ 几乎处处，则 $V=0$ 几乎处处。

若不然，存在 $\varepsilon>0$ ，使 $\mathbb P(\|V\|\ge\varepsilon)>0$ 。可分性给出半径 $\varepsilon/4$ 球的一个可数覆盖，所以其中一个球与该事件的交具有正概率。

独立性使两个副本同时落在此交集的概率为正。此时二者范数都至少 $\varepsilon$ ，而距离至多 $\varepsilon/2$ ，故

\langle V,V'\rangle =\frac12\bigl(\|V\|^2+\|V'\|^2-\|V-V'\|^2\bigr)>0,

矛盾。

8. 纤维内积不能处处为零

假设式 (Pair) 右边几乎处处为零。利用式 (PI)，对几乎每个 $w$ ，便有

\langle g(p,\cdot),u(e,\cdot)\rangle_{\mathcal H_w}=0 \quad\text{对 }\alpha_w\otimes\beta_w\text{ 几乎处处的 }(p,e).

给定 $R(e)=p'$ ，在 $e$ 上取条件平均。式 (Tower) 把第二个向量换成 $g(p',\cdot)$ ，而 $R_*\beta_w=\alpha_w$ ，所以

\langle g(p,\cdot),g(p',\cdot)\rangle_{\mathcal H_w}=0 \quad\text{对 }\alpha_w\otimes\alpha_w\text{ 几乎处处的 }(p,p').

上一节的随机向量引理迫使 $g(p,\cdot)=0$ 对 $\alpha_w$ 几乎处处成立，且对几乎每个 $w$ 成立。

旧选取分布中，给定完整参数 $P$ 后角点状态具有 $m_{Y,P_b}$ 分布。因此

\|g(P,y_b)\|_{L^2(\lambda_Y)}^2 =\int\!\int\|g(p,\cdot)\|_{\mathcal H_w}^2 \,\mathrm{d}\alpha_w(p)\,\mathrm{d}\nu_Y(w)=0.

这与前篇从原始非零相关得到的 $g\ne0$ 矛盾。故式 (Target) 成立。

9. 多出的一个辅助位置

对应 B Proposition 6.7 证明末段，p.24，式 (6.13)。

令

K(E)=\mathbb E[q((y_i)_i)q(z_b)\mid E].

取 $\Psi(E)=\operatorname{sgn}K(E)$ ，便有

\mathbb E[\Psi(E)q((y_i)_i)q(z_b)] =\mathbb E|K(E)|>0. \tag{New}

逐个检查这个相关在新系统 $Z$ 中的四个位置。

当 $i\ne b$ 、 $i\in A$ 时，列上的函数使用 $d_Y(y_{ib})$ 。这是 $Z$ 中保留的旧第 $b$ 个位置的辅助列表，因此仍为辅助位置。
当 $i\ne b$ 、 $i\notin A$ 时，函数使用 $x_Y(y_{ib})$ ，恰是 $Z$ 的原空间变量，因此仍为原变量位置。
在第 $b$ 个位置， $q(z_b)$ 使用新增加的三个列表 $Q_j$ ，所以成为一个新的辅助位置。它对全部新辅助变量的乘积空间测度中心化，因为三个列表相互独立，且各因子分别中心化。

旧位置函数的均值也保持为零， $\Psi$ 是完整新参数数组 $E$ 的有界函数。因此式 (New) 完全符合相关式 (6.1) 的形式，却有 $r+1$ 个辅助位置，与 $r$ 的最大性矛盾。

10. 原稿四重论证在此怎样闭合

在此前列出的各项结果成立的条件下，逐点失败会产生一个初始非零相关；最大辅助位置数存在；稳定扩张保留它；重新分组和方阵计算又产生多一个辅助位置，从而排除失败。

最后用已知的 $L^2$ 极限识别为四个积分之积，并从固定函数的标准模型拉回原概率空间，得到 B Theorem 1.1 的原稿结论。

这说明了 B §§3–6 的推导关系，不构成对所有前提的整体认证。仍需独立核验的重大前提包括 R 的高阶 mixing 命题、H/D 及 Appendix A 的局部解析证明，以及此前明列的非遍历结构结果。

原文对照

B p.21，方阵定义及 Lemma 6.4 的陈述。
B p.22，式 (6.7)–(6.10)：稳定性与遗漏一行后的条件独立。
B p.22，式 (6.11)：行列相关的纤维积分。
B p.23，Lemma 6.5：参数在公共角点参数下条件独立。
B p.23，Lemma 6.6：可分 Hilbert 空间中的独立副本引理。
B pp.23–24，Proposition 6.7，式 (6.12)–(6.13)：Hilbert 空间值塔性质、非零性和新辅助位置。