第五单元（上）：任意有限阶中的三坐标条件分布

本篇讨论 A §§2–3，原文 pp.3–10。固定正整数 $n\ge2$ ，令 $I=\{1,\ldots,n\}$ 。A 的主张涉及全部 $n$ 个位置，但一般辅助系统上所用的逐点结论始终只有至多三个位置。这里展开这项较短平均的结论，以及它怎样决定选取分布的三坐标条件边缘。

固定有限元组及其全部整数平移的读数只涉及可数个坐标，因此仍可用标准 Borel 因子化简；完成化边界及 Borel 收敛集的拉回见本专题标准因子补充。

所用外部结论有两个：A Proposition 2.2 的一般系统光滑三重逐点收敛，以及 Proposition 2.3 的相对结构与非遍历 distal 逐点结论。它们分别与 C 的光滑振荡估计和第四单元所列结构定理相接。以下证明条件于这两个准确陈述；本篇不使用 A Theorem 2.1 声称的所有有限阶 mixing。

1. 一般系统上先确定共同的 $L^2$ 极限

对应 A Lemma 2.4 及其后段落，p.5。

设 $(Y,m,R)$ 是标准可逆保概率系统， $W$ 是其最大 measure-distal 因子。A Proposition 2.3 断言 $Y\to W$ 相对弱混合。给定两两不同的正整数 $a_1,\ldots,a_d$ 和有界函数 $G_1,\ldots,G_d$ ，令

A_N=\frac1N\sum_{l=1}^{N}\prod_{j=1}^{d}G_j\circ R^{a_jl}, \quad B_N=\frac1N\sum_{l=1}^{N}\prod_{j=1}^{d}\mathbb E[G_j\mid W]\circ R^{a_jl}.

第四单元已逐步证明的相对范数替换公式正是 A Lemma 2.4：

\|A_N-B_N\|_2\longrightarrow0. \tag{A-L2}

其证明允许两两不同的非零整数斜率，不限于正斜率；这里使用正斜率，是为了接上 A Proposition 2.3(5) 的 distal 逐点定理。

设 $a=\max_j a_j$ 。在位置 $a_j$ 放置 $\mathbb E[G_j\mid W]$ ，其余位置放置常数 $1$ ，便把 $B_N$ 写成 distal 系统上斜率为 $1,\ldots,a$ 的平均。因此 $B_N$ 几乎处处收敛。所有 $B_N$ 具有共同的有限上界，支配收敛给出 $B_N\to L$ 于 $L^2$ 。由式 (A-L2)，

A_N\longrightarrow L\quad\text{于 }L^2(m). \tag{Common-limit}

此处 $d$ 可以是任意固定有限数，但结论只是范数收敛。一般系统上的 $L$ 不必为常数，也不必等于积分乘积。在原始混合系统中，平凡因子已经满足相对弱混合条件，才有

L=\prod_{j=1}^{d}\int G_j\,\mathrm{d}m.

2. 光滑三重结论的准确使用范围

对应 A Proposition 2.2，pp.3–4；原始来源为 C Proposition 3.5、Lemma 3.6 和 Lemma 3.9。

取三个两两不同且非零的整数 $b_1,b_2,b_3$ ，满足 $\gcd(|b_1|,|b_2|,|b_3|)=1$ 。对任意标准可逆保概率系统 $(Y,m,S)$ 和三个有界函数 $g_j$ ，命题断言下列平均几乎处处收敛：

V_k^\varphi(y)=2^{-k}\sum_{l\in\mathbb Z} \varphi(l/2^k)\prod_{j=1}^{3}g_j(S^{b_jl}y).

这里 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R;\mathbb R)$ 满足

\int_{\mathbb R}\varphi(t)\,\mathrm{d}t=1, \quad\int_{\mathbb R}t^j\varphi(t)\,\mathrm{d}t=0 \quad(j=1,2,3),

并且存在一个可依赖 $\varphi$ 的常数 $G\ge1$ ，使

\|\varphi^{(r)}\|_\infty \le\bigl(G(r+2)\bigr)^{G(r+2)} \quad(r=0,1,2,\ldots).

对每个 $c\in[1,2]$ 、每个 $\varepsilon>0$ ，还存在一个这样的 $\varphi$ ，使

\|\varphi-h_c\|_{L^1(\mathbb R)}<\varepsilon, \quad h_c(t)=c^{-1}\mathbf1_{(0,c]}(t).

这些函数必然有正有负；近似时其支撑可以依赖 $\varepsilon$ 。第一单元已经展开矩校正及支撑变化的计算。当前只使用光滑平均的收敛性，不给出它在一般系统上的极限公式。

3. A Lemma 2.5：至多三项沿所有整数长度收敛

原文陈述位于 p.5，证明续于 p.6。

设 $(Y,m,R)$ 为标准可逆保概率系统， $1\le d\le3$ ， $a_1,\ldots,a_d$ 为两两不同的正整数。对固定有界函数 $G_j$ ，结论为

\frac1N\sum_{l=1}^{N}\prod_{j=1}^{d}G_j(R^{a_jl}y) \quad\text{几乎处处收敛}.

不假设遍历或混合。

3.1 补齐三个斜率与归一化

若 $d<3$ ，选取尚未出现的正整数斜率，并把对应函数设为 $1$ 。乘积不变，且有三个两两不同的正斜率。设这三个斜率的最大公因数为 $g$ ，写作 $gb_1,gb_2,gb_3$ ，令 $S=R^g$ 。将非零函数分别除以其无穷范数后，只须处理

F_l(y)=\prod_{j=1}^{3}G_j(S^{b_jl}y), \quad |F_l(y)|\le1, \quad A_N(y)=\frac1N\sum_{l=1}^{N}F_l(y).

零函数的情形本身已经收敛。

3.2 一次选择可数个光滑平均

对每个有理数 $c\in[1,2]$ 和每个整数 $r\ge1$ ，预选一个允许的 $\varphi_{c,r}$ ，使

\|\varphi_{c,r}-h_c\|_1<2^{-r}.

这些选择只有可数个。把相应光滑平均的满测收敛集取交，得到一个固定满测集 $E_0$ 。此后改变 $c,r$ 时均在同一 $E_0$ 上工作。

令 $M_k(c)=\lfloor c2^k\rfloor$ 。区间函数的离散和恰为

2^{-k}\sum_{l\in\mathbb Z}h_c(l/2^k)F_l =\frac1{c2^k}\sum_{l=1}^{M_k(c)}F_l.

它与 $A_{M_k(c)}$ 只有归一化差异，故

\left|A_{M_k(c)}-V_k^{\varphi_{c,r}}\right| \le\frac1{c2^k} +2^{-k}\sum_{l\in\mathbb Z} |h_c(l/2^k)-\varphi_{c,r}(l/2^k)|. \tag{Smooth-compare}

第二项是固定紧支撑、只有有限处跳跃的函数的 Riemann 和，趋于 $\|h_c-\varphi_{c,r}\|_1$ 。

3.3 此处得到的是 Cauchy 性，不是光滑极限的预定公式

固定 $y\in E_0$ 、有理 $c$ 和 $r$ 。由光滑平均收敛与式 (Smooth-compare)，

\lim_{K\to\infty}\sup_{k,l\ge K} |A_{M_k(c)}(y)-A_{M_l(c)}(y)| \le2\|h_c-\varphi_{c,r}\|_1<2^{1-r}.

再令 $r\to\infty$ ，尾部直径为零，所以 $A_{M_k(c)}(y)$ 收敛。

这一证明只用每个固定光滑平均收敛，并未假设不同 $\varphi$ 的极限相同。一般非混合系统中，不能直接套用第一单元的积分乘积极限识别。

3.4 用共同的范数极限识别所有有理比例

第 1 节给出 $A_N\to L$ 于 $L^2(m)$ 。固定有理 $c$ ，设刚刚得到的几乎处处极限为 $L_c$ 。由 $|A_N|\le1$ 和支配收敛， $A_{M_k(c)}\to L_c$ 于 $L^2$ 。同一子列又趋于 $L$ ，故 $L_c=L$ 几乎处处。

对可数个有理 $c$ 再取一次满测集交，得到 $E\subseteq E_0$ ，使所有这些子列都在 $E$ 上趋于同一个选定的 $L$ 的代表元。

3.5 有限有理网格补齐所有长度

对任何满足 $|F_l|\le1$ 的数列，若 $M\ge N$ ，则

\begin{aligned} |A_M-A_N| &\le\left|\left(\frac1M-\frac1N\right) \sum_{l=1}^{N}F_l\right| +\frac1M\left|\sum_{l=N+1}^{M}F_l\right|\\ &\le\frac{2(M-N)}M. \end{aligned}

交换 $M,N$ 得到 A 式 (2.3)。

固定 $\eta>0$ ，取包含端点 $1,2$ 的有限有理网格 $F_\eta$ ，使每个 $[1,2]$ 中的数距某个网格点不超过 $\eta$ 。若 $2^k\le N<2^{k+1}$ ，选 $c\in F_\eta$ 满足 $|N/2^k-c|\le\eta$ 。于是

|N-M_k(c)|\le\eta2^k+1, \quad |A_N-A_{M_k(c)}|\le2\eta+2^{1-k}.

在固定 $y\in E$ 上，有限个网格子列同时趋于 $L(y)$ ，所以

\limsup_{N\to\infty}|A_N(y)-L(y)|\le2\eta.

令 $\eta\downarrow0$ ，全长度收敛成立。所有网格都来自预先处理的有理数，未取不可数个满测集的交。

4. 任意阶失败只留下某个非空中心化支撑

对应 A §3.1，p.6。

假设原始混合系统上的 $n$ 重平均未逐点趋于积分乘积。将每个函数写成均值与零均值部分，展开为有限个子集项。常数项给出预期极限；若每个非空中心化子集项均几乎处处趋于零，有限交便使原平均收敛。因此至少有一个非空集合 $J_0\subseteq I$ 的平均仍然失败。

再拆实部与虚部并缩放，可取实值零均值函数 $f_i$ 、 $\|f_i\|_\infty\le1$ ，使

B_L(x)=\frac1L\sum_{l=1}^{L}\prod_{i\in J_0}f_i(T^{il}x)

在正测集上不趋于零。普通 mixing 已保证 $B_L\to0$ 于 $L^2$ 。从未趋于零的实有界数列中选取正或负偏差，再将一个函数换号，可得 $\delta>0$ 与 $\mu(E_*)>0$ ，使每个 $x\in E_*$ 都有任意大的 $L$ 满足 $B_L(x)>2\delta$ 。

第 3 节与混合系统中的范数极限已排除 $|J_0|\le3$ ，所以实际必有 $|J_0|\ge4$ 。但与四重情形不同，这里不能先断言 $J_0=I$ ：当前没有使用所有较短长度的逐点归纳假设。这个未知的支撑大小正是下一篇最小支撑选择的起点。

5. 相位选择不依赖支撑是否包含前两个位置

对应 A Lemma 3.1，p.7，式 (3.3)–(3.6)。

利用式 (2.3)，取足够细的有限比例网格 $F\subseteq[1,2]$ ，包含 $1$ 。对每个 $a$ 和 $x\in E_*$ ，从可数个 $(c,k)\in F\times\{a,a+1,\ldots\}$ 中选首个使 $B_{\lfloor c2^k\rfloor}(x)>\delta$ 的配对，令 $N_a(x,u)=c2^k$ 。在 $E_*$ 外令 $N_a=2^a$ 。这是可测选择，且不依赖相位 $u$ 。

在屋顶高度为一的悬挂流

C=X\times[0,1), \quad S_C^t(x,u)=(T^{\lfloor u+t\rfloor}x,\{u+t\})

中，记空间坐标为 $\xi$ ，相位为 $\upsilon$ 。取非零连续非负圆周函数 $\alpha,\beta$ ，分别支撑于 $(1/4,1/2)$ 和 $(0,1/(4n))$ ，定义

\Psi(v)=\alpha(2v_1-v_2)\beta(v_2-v_1), \quad v=(v_i)_{i\in I}.

当 $t=l+s$ 、 $0\le s<1$ 时，两个圆周差分别为 $u,s$ 。若相位权重不为零，就有

0<u+is<\frac12+\frac{n}{4n}<1 \quad(i\in I).

因此 $\xi(S_C^{it}(x,u))=T^{il}x$ 。权重定义在完整的相位数组上，而公式只使用第 $1,2$ 个相位坐标。即使 $1,2\notin J_0$ ，它们仍然存在，权重仍有定义。

对任意实 $L\ge2$ ，完整单位时间段贡献为固定的 $\int\beta$ ，末段及端点与归一化差异均为 $O(L^{-1})$ 。具体地，令 $M=\lfloor L\rfloor$ ，先得到

\frac{\alpha(u)}L\left(\int_0^1\beta(s)\,\mathrm{d}s\right) \sum_{l=0}^{M-1}\prod_{i\in J_0}f_i(T^{il}x)+O(L^{-1}).

把 $0,\ldots,M-1$ 改成 $1,\ldots,M$ 的和，差的绝对值至多 $2$ ；再把 $M/L$ 改成 $1$ ，误差至多 $1/L$ 。于是原时间平均为

\alpha(u)\left(\int_0^1\beta(s)\,\mathrm{d}s\right)B_M(x) +O(L^{-1}),

误差对 $x,u,L$ 一致。

在 $E_*$ 上取 $L=N_a$ ，主项积分至少为

\delta\mu(E_*)\left(\int\alpha\right)\left(\int\beta\right)>0.

在补集上 $N_a=2^a$ ，而 $B_{2^a}\to0$ 于 $L^2$ ，故补集积分趋零。误差由 $N_a\ge2^a$ 控制为 $O(2^{-a})$ 。这就证明了原文式 (3.4) 的严格正下极限。

6. $n$ 个状态的选取分布

对应 A Proposition 3.2，p.8。

固定上述全部 $N_a$ 和一个自由超滤子 $\mathcal U$ 。对每个标准流扩张 $\pi_Y:Y\to C$ ，第四单元的概率构造对任意固定有限个位置原样适用，得到唯一概率测度 $\lambda_Y$ 于 $Y^I$ ，满足

\int_{Y^I}\prod_{i\in I}G_i(y_i)\,\mathrm{d}\lambda_Y =\lim_{a\to\mathcal U}\int_Y \frac1{N_a(\pi_Yy)}\int_0^{N_a(\pi_Yy)} \prod_{i\in I}G_i(S_Y^{it}y)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y) \tag{Selected-n}

对所有固定有界可测 $G_i$ 成立。

此处与四坐标证明没有新的紧致性要求：乘积误差仍由 $\sum_{i=1}^n$ 个单边缘 $L^1$ 误差控制，且 $n$ 固定。由相同计算可得：单边缘为 $m_Y$ ；测度在 $(y_i)\mapsto(S_Y^{it}y_i)$ 下不变；扩张 $\rho:Y'\to Y$ 满足 $(\rho^I)_*\lambda_{Y'}=\lambda_Y$ ；可数逆极限的阶段函数在极限选取分布的 $L^2$ 中稠密。完整概率构造、连续函数逼近和逆极限实现见第四单元上篇相应各节。

流因子关系按每个固定实时间模零理解。可数逆极限取完整乘积空间和坐标作用，测度集中在相容序列上，但不要求这个相容集合对所有实时间同时逐点不变。

7. 全部参数的联合分布不受选择长度影响

对应 A Proposition 3.3，p.9，式 (3.8)–(3.9)。

设 $\omega_Y:Y\to W_Y$ 为时间一的最大 distal 因子， $m_{Y,w}$ 为条件测度。记

P_i=\omega_Y(y_i), \quad P=(P_i)_{i\in I}.

原流的每个时间作用保留该因子。所有时间积分均在原始的联合 Borel 流 $Y$ 上计算。

对参数函数 $H_i$ ，写 $t=l+s$ 。每个固定 $s$ 时，函数

y\longmapsto H_i(\omega_Y(S_Y^{is}y))

是 $W_Y$ -可测函数类。它们在时间一作用下的平均由 distal 的全有限阶逐点定理收敛。Fubini 使几乎每个 $y$ 对几乎每个 $s$ 同时成立；再在 $s\in[0,1)$ 上支配收敛，就得到连续时间平均沿所有实长度收敛。首尾单位段误差趋零。

选择长度至少为 $2^a$ ，因此沿这些长度具有同一逐点极限。再次有界收敛并使用式 (Selected-n)，得到

\mathbb E_{\lambda_Y}\prod_{i\in I}H_i(P_i) =\lim_{L\to\infty}\int_Y\frac1L\int_0^L \prod_{i\in I}H_i(\omega_Y(S_Y^{it}y)) \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}m_Y(y). \tag{Parameter-n}

这是确定长度的参数联合分布；并未断言这些参数相互独立。

8. 至多三个状态在给定全部参数后条件独立

对应 A Proposition 3.3，pp.9–10，式 (3.10)–(3.12)。其完整结论为：每个非空 $J\subseteq I$ 、 $|J|\le3$ 都满足

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((y_i)_{i\in J}\mid P) =\bigotimes_{i\in J}m_{Y,P_i}. \tag{Three-slots}

8.1 先只给定这些位置自己的参数

第 3 节的逐点定理和上一节的连续时间论证说明：至多三个状态的选择长度联合分布等于确定长度极限分布。在确定长度下使用相对范数替换式 (A-L2)，并对时间余数 $s$ 积分，得到

\mathbb E_{\lambda_Y}\prod_{i\in J}G_i(y_i) =\mathbb E_{\lambda_Y}\prod_{i\in J} \mathbb E_{m_Y}[G_i\mid W_Y](y_i).

条件期望与固定时间平移可交换，因为 $W_Y$ 被该平移保留。相对范数误差对每个固定 $s$ 趋零，且具有共同有界上界，所以其 $s$ -积分也趋零。

把每个 $G_i$ 再乘一个任意有界参数函数 $H_i(P_i)$ ，由乘积测试确定测度，得到

\operatorname{Law}_{\lambda_Y}((y_i)_{i\in J}\mid(P_i)_{i\in J}) =\bigotimes_{i\in J}m_{Y,P_i}. \tag{Own-parameters}

8.2 再将条件扩大到全部参数

式 (Own-parameters) 不能仅凭条件期望的塔式性质升级为式 (Three-slots)。这里要使用相对不交性。

令 $B_J=(P_i)_{i\in J}$ 的分布为共同基底。在速度 $i$ 的乘积变换下，式 (Own-parameters) 描述的状态系统是相对弱混合扩张的条件乘积，因此在 $B_J$ 上相对弱混合。另一方面，完整参数系统 $P$ 是各个 distal 系统 $W_Y$ 在整数速度下的 joining，因此 distal，且在其因子 $B_J$ 上相对 distal。

两者在 $\lambda_Y$ 下的联合分布是识别同一基底的一个不变 joining。A Proposition 2.3(4) 迫使它们在 $B_J$ 上相对独立。因此增加其余参数不再改变该状态条件分布，式 (Three-slots) 成立。

上述条件律可选为共同的核等式。固定有限 $n$ 后，满足 $|J|\le3$ 的集合 $J$ 只有有限多个。对每个状态及参数空间取可数 Borel 生成代数，先对全部这些生成测试取共同的满测参数集，再由测度唯一性延伸至所有 Borel 集。这样得到的是同一参数满测集上的条件概率测度等式，不只是逐个测试各自的模零等式。

若 $n>4$ ，一个真子集可以含四个或更多位置；上述论证没有给出这类完整状态的条件乘积律。下一篇的最小支撑论证仅对特定空间列表恢复更高阶的条件乘积，不能把它误写成任意完整状态的独立性。

9. 归一化流与保留的正相关

对应 A Lemmas 3.4–3.5，p.10。

对 $b\in I$ ，令

M_b(Y)=\bigl(Y^I,\lambda_Y, S^t(y_i)_{i\in I}=(S_Y^{it/b}y_i)_{i\in I}\bigr).

选取分布的不变性经时间缩放仍成立。第 $b$ 个位置速度为一、边缘为 $m_Y$ ，故投影到该位置是流扩张映射。旧参数数组 $P$ 是有理速度 $i/b$ 下各 distal 因子的 joining，因而属于新流时间一的最大 distal 因子。

对 $Y=C$ ，把相位权重 $\Psi$ 一致逼近为有限个单坐标连续函数乘积，再使用式 (Selected-n) 和第 5 节严格正的下极限，可得

\int_{C^I}\Psi((\upsilon(z_i))_{i\in I}) \prod_{i\in J_0}f_i(\xi(z_i))\,\mathrm{d}\lambda_C>0.

悬挂的时间一保留相位，故 $\Psi$ 是完整 distal 参数数组的函数。这正好是下一篇选择最小支撑非零相关所需的起始例子。

原文范围

A pp.3–5，Propositions 2.2–2.3、Lemma 2.4：本篇所用光滑结论、相对结构及共同范数极限。
A pp.5–6，Lemma 2.5：一般系统上至多三项的全长度逐点证明。
A pp.6–8，Lemma 3.1、Proposition 3.2：非空中心化支撑、相位正相关及 $n$ 状态选取分布。
A pp.9–10，Proposition 3.3、Lemmas 3.4–3.5：全部参数律、至多三状态条件律及归一化流。

尚未讨论 A §§4–6 的辅助组保持、最小支撑和最大辅助位置数。尤其没有将三状态条件律扩大为所有真子集状态的条件律。