历史球掩膜与整个端点空间的 Bessel 界

本章精读 H 的 Lemmas 6.4–6.5，见 An $L^3$ bound for the trilinear Hilbert transform，固定 October 5 稿第 43–46 页。我们从已经成功选定的颜色数据出发，证明掩膜的几何性质，再说明为何允许重复使用同一端点和同一列标签。

这一部分有两个明确输入：第 42–43 页的成功标记数据，以及 Lemma 6.1 的整格小内积估计。颜色存在性和曲率检测不在本章冒充为已证结论。

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1. 图距离、出生标签与固定随机数组

每个原始列出现都对应一个顶点。即使两个顶点的曲率标签相同，它们仍可能有不同的私有坐标标签。当前区间 $I$ 的顶点列表 $\mathcal V(I)$ 沿向下路径只增不减，按出生次序排列，长度不超过 $D$ 。

深度 $s$ 的图距离记为 $d_s(v,w)$ ，允许取 $+\infty$ 。图实际上先定义在所有满足基本复杂度条件的假想曲率标签上。等标签的距离是零；每条边由式 (2) 的有理分裂定义。我们使用以下性质：

d_{s+1}(v,w)\le d_s(v,w). \tag{深度单调}

距离只由曲率标签和绝对深度决定，不依赖空间位置、出生格或当前是否可用。

以下固定一次全局实现的主轮延迟和高轮延迟。某个出生标签在某一轮的延迟沿继承列表始终相同；高轮数组在所有冻结上下文间共用。不能在每个中心、每个组或每个深度重新抽取延迟。所有需要的标记都假定成功；失败路径在 Lemma 6.3 中另送到例外根。

2. 颜色固定了哪些量

采用源文的常数

d_0=\lceil1000\log(2D)\rceil,\quad L=d_0^{30},\quad H_{\max}=100P(L+1),

b_2=100(H_{\max}+1),\quad b_1=d_0^{10}b_2(H_{\max}+1).

其中 $P$ 是 H 第 39 页的尺度参数。主轮在当前中心 $v$ 的分数为

D_z-\left\lfloor d_s(z,v)/b_1\right\rfloor.

获胜者 $z$ 唯一，最高分为 $g$ ，而且比分其余竞争者至少高 $5$ 。故其真实分数和竞争者真实分数分别满足

b_1D_z-d_s(z,v)>(g-1)b_1,

b_1D_w-d_s(w,v)\le(g-5)b_1,\quad w\ne z. \tag{主轮间隔}

延迟都在 $[0,d_0]$ 内。

若赢家的出生次序为 $i$ ，当前列表长度为 $j\ge i$ ，则 $j=i$ 使用等号分段及截至 $i$ 的前缀。否则取唯一最小二进指标块，使 $i$ 位于其下半部、 $j$ 位于其上半部；在这一上半部分段内，把截至下半部末端的前缀固定为 $W$ 。它包含 $z$ 。

颜色数据包括主轮和分数 $g$ 、等号情形或分段长度层、下面的 $l,n$ 、高轮和分数 $g_2$ ，以及变化计数器。一个成功组 $G$ 还固定 $z,a,W$ 与精确分段块。它不记录不断变化的列表长度，也不记录每一次实际使用时的中心身份。

3. 全历史剖面与冻结伪距离

在一个固定主轮、赢家和前缀上下文中，对每个假想标签 $b$ 及每个绝对深度 $s'$ ，定义

f_b(s')=\max_{w\in W\setminus\{z\}}\bigl(b_1D_w-d_{s'}(w,b)\bigr).

空最大值取 $-\infty$ 。这一定义包括标签出生以前的深度。剖面沿深度非减。

对 $1\le l\le d_0$ ，定义

T_l=(g-3)b_1+\frac{lb_1}{2d_0},\quad U=(g-2)b_1,\quad C_l(x)=\min(U,\max(T_l,x)).

特别规定 $C_l(-\infty)=T_l$ 。再定义

d^{(l)}(a,b)=\sup_{s'\in\mathbb Z} |C_l(f_a(s'))-C_l(f_b(s'))|. \tag{冻结距离}

有限截断后的值使该式总有意义。这是伪距离，并且

d^{(l+1)}(a,b)\le d^{(l)}(a,b).

整个绝对深度轴上的上确界非常重要：这些距离在冻结上下文内不再随当前格变化。

如果某深度 $s$ 有 $d_s(a,b)\le h$ ，那么在所有 $s'\ge s$ ，由图的三角不等式与深度单调性，

|f_a(s')-f_b(s')|\le h

只要这两个剖面值有限。有限图距离也保证：若其中一个剖面值为 $-\infty$ ，另一个同样为 $-\infty$ ，此时各层截断值相同。特别地，竞争者集合 $W\setminus\{z\}$ 为空时所有剖面都为 $-\infty$ 。要得到冻结距离界，还必须另外处理 $s'<s$ ，不能从当前图邻接直接删去历史部分。

4. 两个球的计数与高轮赢家

置

R_l=10l(d_0+1)b_2.

在每个成功中心 $v$ ，选一个 $l<d_0$ ，使当前顶点上低球

B_{d^{(l)}}(v,R_l)

和高球

B_{d^{(l+1)}}(v,R_{l+1})

的大小具有相同的 $\lfloor\log_{3/2}\rfloor$ ，记此整数为 $n$ 。因这些球随 $l$ 递增、非空且大小不超过 $D$ ，所列 $d_0$ 足以保证某个相邻层满足这个条件。

高轮使用距离 $d^{(l+1)}/b_2$ ，同样要求唯一赢家及间隔 $5$ 。固定组的高轮赢家为 $a$ ，最高分为 $g_2$ 。因中心自己是竞争者、延迟非负，所以 $g_2\ge0$ 。获胜者的延迟不超过 $d_0$ ，从而在同组任意实际中心 $v$ 都有

d^{(l+1)}(a,v)<(d_0+1)b_2. \tag{中心靠近赢家}

5. 掩膜保留的是历史中心

对整数 $1\le h\le H_{\max}$ ，一个当前可用顶点 $b$ 属于 $M_{G,h}$ ，当且仅当存在同一路径上的历史中心 $v_0$ ，它在当前格或某个祖先格被赋予同色同组，并且

b_1D_z-d_s(z,b)\ge(g-1)b_1-h,

d^{(l+1)}(b,v_0)\le h,\quad d^{(l)}(b,v_0)\le10R_lh. \tag{掩膜}

第一次中心赋值以前掩膜为空。同一分段内，分数条件随深度改善，伪距离固定，历史见证保留，所以掩膜沿路径增加。

分段结束后，如需嵌套算子，可以继承已有的合格集合。但该分段已经不会在此路径上再实际使用。别的分支出生的中心不能成为本分支的历史见证。

一个可用端点是：该格掩膜非空，并且该格或某个后代格存在该组的实际中心使用。这个“实际使用见证”未必位于端点本身。可用端点仍处于自己的分段内；分段结束后的纯继承集合没有未来实际使用见证。

6. 中心的图球包含于掩膜

设 $v$ 是当前中心， $b$ 是当前已经存在的顶点，且 $d_s(b,v)\le h$ 。主轮间隔说明当前 $f_v(s)\le(g-5)b_1<T_l$ ；单调性把这一界传给全部更早深度。

当前 $f_b(s)\le(g-5)b_1+h<T_l$ ，其中使用了 $h\le H_{\max}\ll b_1$ 。所以两个剖面在全部过去深度都位于截断下界以下。在未来深度，图距离至多为 $h$ ，剖面和截断剖面的差也至多为 $h$ 。因此

d^{(l)}(b,v)\le h,\quad d^{(l+1)}(b,v)\le h.

赢家分数由三角不等式至多损失 $h$ 。取历史见证 $v_0=v$ ，三个掩膜条件都成立。

7. 旧中心和新中心的低距离

设 $v_0,v$ 是同组的历史中心和当前中心。第 4 节给出

d^{(l+1)}(v_0,v)<2(d_0+1)b_2.

在 $v_0$ 当时已有的顶点上取旧低球。由于

d^{(l+1)}\le d^{(l)},\quad R_l+2(d_0+1)b_2<R_{l+1},

旧低球包含在当前 $v$ 的高球内。当前低球也包含在该高球内。两个低球各至少有 $(3/2)^n$ 个顶点，而当前高球少于 $(3/2)^{n+1}$ 个。因 $2>3/2$ ，两个低球必有公共顶点。故

d^{(l)}(v_0,v)\le2R_l. \tag{历史中心距离}

这里旧球必须在旧顶点列表上计数；不能偷偷把后生顶点加入旧计数。

若 $b\in M_{G,h}$ 的见证是 $v_0$ ，则

d^{(l)}(b,v)\le A_h,\quad A_h=10R_lh+2R_l.

我们的常数满足

A_h+10<T_{l+1}-T_l=\frac{b_1}{2d_0},\quad h\le H_{\max}. \tag{层间余量}

例如 $A_h\le10d_0(d_0+1)b_2(10H_{\max}+2)$ ，而右端为 $\frac12d_0^9b_2(H_{\max}+1)$ 。

当前中心的低截断值是 $T_l$ 。所以 $C_l(f_b(s))\le T_l+A_h<U$ 。正因为它严格低于上截断高度 $U$ ，可以解除上截断，得到真实竞争分数界

f_b(s)\le T_l+A_h<T_{l+1}-10. \tag{真实竞争界}

单凭截断值有界而不核它低于 $U$ ，不能推出这个结论。

8. 图邻接只增加一层 pad

在实际使用处，设 $b\in M_{G,h}$ ， $b'$ 是当前已经存在的顶点且 $d_s(b,b')\le1$ ，并且 $h<H_{\max}$ 。赢家分数在 $b'$ 至多损失 $1$ 。

真实竞争界使 $f_b(s)<T_{l+1}-10$ 、 $f_{b'}(s)<T_{l+1}-9$ 。过去所有剖面更小，故它们在高层截断后完全相同；未来剖面相差至多 $1$ 。因此

d^{(l+1)}(b,b')\le1,\quad d^{(l+1)}(b',v_0)\le h+1.

低层距离需要另算。未来深度由三角不等式至多损失 $1$ ，即不超过 $10R_lh+1$ 。过去深度，当前中心的截断值恒为 $T_l$ ；历史中心距离说明 $v_0$ 的截断值在 $[T_l,T_l+2R_l]$ 内，而 $b'$ 的值在 $[T_l,T_l+A_h+1]$ 内。因此两者之差不超过

A_h+1\le10R_l(h+1).

三个条件合起来即 $b'\in M_{G,h+1}$ 。

另外，一个顶点刚进入掩膜时，第一条条件已经保证

d_s(z,b)\le(d_0+1)b_1+H_{\max}. \tag{入场路径}

右端是 $P,k$ 的固定多项式，所以入场时已有一条定量短路径，而非只在无限未来才出现路径。

9. 重叠端点只向较细的一方要未来见证

取同色不同组 $G,G'$ 的两个重叠可用端点 $I,J$ ，其中 $J$ 较细。取各自掩膜顶点 $b,b'$ 。要证

d_{\operatorname{depth}(J)}(b,b')>1. \tag{端点分离}

反设距离至多 $1$ 。只选 $G'$ 在 $J$ 或其后代格的实际使用见证 $u$ 。图距离界延续到 $u$ ，且 $b'$ 仍在自己的掩膜中。不要求 $G$ 在通往 $u$ 的同一条分支上继续使用。

先设主赢家 $z\ne z'$ 。同色固定主轮、最高分、等号情形或分段长度层。沿增加的顶点列表，同层上半块要么相同，要么是先后不相交的二进块；所以早赢家 $z$ 属于晚冻结前缀 $W'$ 。等号情形也满足这一点。它在晚组中是一个竞争者。早端点处的赢家分数单调延续，再沿 $b,b'$ 的邻接损失 $1$ ，得到

f'_{b'}(u)\ge(g-1)b_1-h-1.

但晚组的真实竞争界要求

f'_{b'}(u)<T_{l+1}-10\le(g-5/2)b_1-10.

因 $b_1$ 远大于 $H_{\max}$ ，两式矛盾。此处的 $f'$ 用晚前缀定义。

10. 主赢家相同时，高赢家必须分开

若 $z=z'$ ，固定的出生指标和同色分段长度层确定相同的精确分段块。因此两个组的前缀及全部剖面伪距离相同。组不同只能表现为高赢家 $a\ne a'$ 。

两个历史中心 $v_0,v_0'$ 都在 $J$ 的同一祖先路径上，可按时间排序。在较晚中心，早高赢家仍可用；高轮数组、伪距离和最高分 $g_2$ 相同。早赢家在自己中心的真实分数大于 $(g_2-1)b_2$ ，而在晚中心作为竞争者，其真实分数至多为 $(g_2-5)b_2$ 。同一延迟相消后，三角不等式说明

d^{(l+1)}(v_0,v_0')>4b_2>2H_{\max}+1. \tag{高赢家分离}

若允许重新抽取高轮延迟，这一步就没有依据。

另一方面，在晚使用见证 $u$ ，真实竞争界与假定邻接使 $b,b'$ 的剖面都低于高层截断的下阈值；在全部过去深度也如此。在未来深度它们的差至多为 $1$ 。所以

d^{(l+1)}(b,b')\le1.

两个历史掩膜条件遂给出

d^{(l+1)}(v_0,v_0')\le h+1+h'\le2H_{\max}+1,

与上式矛盾。端点分离得证，包括两个端点将来的实际使用见证分属不同分支的情形。

11. 整格列与私有坐标的假设

下面固定一个槽位和一种颜色。每个纯列 $\Phi_v(y)$ 包括物理函数 $\phi_v(y)$ 和标签 $v$ 独有的私有坐标。其私有坐标系数为 $\epsilon_v^{1/2}>0$ 。令

W_0\ge\sup_v\epsilon_v^{-1/2}.

给定整格小内积输入：如果 $d_s(v,w)>1$ ，则任一深度 $s$ 的整个格 $Q$ 满足

\left|\frac1{|Q|}\int_Q\phi_v(y)\overline{\phi_w(y)}\,\mathrm{d}y\right| \le\tau_2. \tag{整格检测}

这是 Lemma 6.1 的同槽位结论。它的阈值对绝对深度、任意线性调制及原有列复杂度均统一。

对每个有限组 $G$ ，考虑有限和

Z_G(y)=\sum_v\sum_{I\in\mathcal E_{v,G}}a_{v,G,I}\mathbf1_I(y)\Phi_v(y),

其中 $I$ 是整个可用端点格，掩膜含有 $v$ ，系数在整个 $I$ 上为常数。端点时间可以不同，标签可以重复。我们只假设一条空间路径上出现的组数、列标签数及 $W_0$ 受 $\exp(k^{O(1)})$ 控制。

12. 重复使用必须先合并

对每个固定 $v,G$ ，先定义

a_{v,G}(y)=\sum_{I\in\mathcal E_{v,G}}a_{v,G,I}\mathbf1_I(y).

则 $Z_G$ 的第 $v$ 个私有坐标恰好是 $\epsilon_v^{1/2}a_{v,G}(y)$ 。私有坐标正交，因此

\sum_v|a_{v,G}(y)|^2 \le W_0^2\|Z_G(y)\|_{\mathcal H}^2. \tag{合并系数}

其中 $\mathcal H$ 是物理分量和私有坐标构成的 Hilbert 空间。

若相同标签在两个端点项中的系数互相抵消，左端保留这个抵消。若先对每次出现取绝对值再求和，重复次数会无端进入估计，甚至在 $Z_G=0$ 时仍留下正量。Bessel 界控制的是实际合成后的函数，不是未合并的表达式。

13. 最后分离深度使整个系数乘积可测

固定不同组的标签 $v,w$ 。按深度单调性，满足 $d_s(v,w)>1$ 的深度构成初始区间；在当前有限计算中将其截到最大出现深度，记最后分离深度为 $s_*$ 。

任意支持格 $I,J$ 若相交，其交集就是较细格。端点分离说明其深度不超过 $s_*$ 。于是

a_{v,G}(y)\overline{a_{w,G'}(y)} =\sum_{I,J}a_{v,G,I}\overline{a_{w,G',J}}\mathbf1_{I\cap J}(y)

在深度 $s_*$ 的网格上为常数。更细的项若出现，与对方任何支持项都不相交，贡献为零。如果根以下不存在分离深度，那么两边根本没有重叠。

在每个深度 $s_*$ 的整个格上应用整格检测，并逐格乘以常数系数，得到

\left|\int a_{v,G}\overline{a_{w,G'}}\phi_v\overline{\phi_w}\right| \le\tau_2\int|a_{v,G}a_{w,G'}|. \tag{系数加权}

该步骤依赖标签与绝对深度的空间无关性。几何证明使用了图的深度单调性；最后这个合成步骤本身还可直接选所有实际重叠端点中较细深度的最大值，故不把单调性声称为这个最后估计的最小必要条件。

14. 求和成本不含端点次数

重叠处不同组的私有标签不能相同，因为同标签曲率距离为零，与端点分离矛盾。因此组间内积的私有部分为零，只剩物理部分。由上节，

|\langle Z_G,Z_{G'}\rangle| \le\tau_2\sum_{v,w}\int|a_{v,G}(y)a_{w,G'}(y)|\,\mathrm{d}y.

设在每个点，活跃组数至多为 $M_G$ ，每组活跃标签数至多为 $M_{\mathrm{lab}}$ 。点态 Cauchy–Schwarz 与合并系数界给出

\begin{aligned} \sum_{G\ne G'}\sum_{v,w}|a_{v,G}a_{w,G'}| &\le\left(\sum_{G,v}|a_{v,G}|\right)^2\\ &\le M_GM_{\mathrm{lab}}\sum_{G,v}|a_{v,G}|^2\\ &\le M_GM_{\mathrm{lab}}W_0^2\sum_G\|Z_G(y)\|_{\mathcal H}^2. \end{aligned}

先固定路径计数和私有权重预算，再选

\tau_2M_GM_{\mathrm{lab}}W_0^2\le\frac12.

展开平方范数并积分，遂得

\left\|\sum_G Z_G\right\|_2^2 \le\frac32\sum_G\|Z_G\|_2^2. \tag{端点 Bessel}

这里没有端点时间、相同标签重复次数或未来见证深度的因子。常数只是明确预算的一种选择，原稿只需要一个绝对常数。

15. 伴随算子怎样保住整个端点格

设 $P_{\mathcal U_I}$ 是整个端点格 $I$ 上有限列空间的正交投影， $E\subset I$ 是更细实际使用格的并。若前向算子在投影以后限制输出，

T=\mathbf1_EP_{\mathcal U_I},

则

T^*=P_{\mathcal U_I}\mathbf1_E.

所以空间限制落在投影输入端。随后投影的输出仍是整个 $I$ 上的常系数列组合，恰好满足本章假设。不能把 $\mathbf1_E\mathcal U_I$ 随意视为仍享有同一 Bessel 界的范围空间。

相应的对偶估计也保留整体端点空间：如果 $\mathcal Z_G$ 表示每组允许的有限合成空间，合成算子

\mathcal S:\bigoplus_G\mathcal Z_G\longrightarrow L^2,\quad \mathcal S((Z_G)_G)=\sum_G Z_G

的范数平方不超过 $3/2$ ，则其伴随满足

\sum_G\|P_{\mathcal Z_G}F\|_2^2\le\frac32\|F\|_2^2.

这是 D 第 44 页采用这些整个端点空间时的窄接口。它并不允许任意改变系数的空间依赖或裁剪投影的输出范围。

16. 已证明的范围

在成功固定的标记数据下，历史掩膜具有中心球包含、邻接闭合、入场短路径和重叠可用端点分离。再加上整格小内积输入及路径计数、私有权重预算，就得到整个端点空间的 Bessel 界。

仍需其他章节分别证明成功标记的例外集预算、Lemma 6.1 的曲率检测、列目录的有限闭合，以及后续两侧估计。本章的计算没有把这些条件自动移除。