快空间怎样沿一条有限路径传到端点

本章精读 H 的 Lemma 6.2，见 An $L^3$ bound for the trilinear Hilbert transform，固定 October 5 稿第 41 页。要用的分裂条件是第 16 页的式 (2)。

这里假定路径的每条边已经具有式 (2) 的分裂。我们证明这些边分裂怎样合成端点分裂，并逐项说明高度界。这不代替 Lemma 6.1 中由相关性检测一条边的论证。

1. 所有数据先放在同一尺度

路径写成 $v_0,\ldots,v_L$ ，第 $j$ 个标签有水平维数 $d_j$ 、实向量 $\theta_j$ 、有理矩阵 $C_j^{\mathrm{tag}}$ 和实数 $\lambda_j$ 。固定物理尺度 $r>0$ ，定义

V_j=r\theta_j,\quad n=\sum_{j=0}^L d_j,\quad V=(V_0,\ldots,V_L)\in\mathbb R^n.

不对 $V_j$ 或 $\lambda_j$ 的大小作任何限制。矩阵的对称与反对称部分记为

C_{\mathrm{sy}}=\frac{C+C^T}{2},\quad C_{\mathrm{sk}}=\frac{C-C^T}{2},\quad A=C-C^T.

有理数 $p/q$ 总取既约式、 $q>0$ ，其高度为 $\max(|p|,q)$ 。矩阵高度为各条目高度的最大值；零空间的投影高度按 $1$ 计。

边 $e=1,\ldots,L$ 取坐标限制

R_e:\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R^{d_{e-1}+d_e}, \quad V_e=R_eV,\quad C_e=\operatorname{diag}(C_{e-1}^{\mathrm{tag}},-C_e^{\mathrm{tag}}), \quad \Lambda_e=r^2(\lambda_{e-1}-\lambda_e).

上标 $\mathrm{tag}$ 始终表示单标签矩阵；无此上标的 $C_e$ 表示边的差矩阵。

2. 每条边给出的确切假设

边 $e$ 给出有理子空间 $U_e$ 和正交投影 $P_{f,e},P_{s,e}=I-P_{f,e}$ 。令

F_e=P_{f,e}V_e,\quad S_e=P_{s,e}V_e.

假定存在 $B\ge2$ ，控制所有标签矩阵、边投影的高度，并且

A_e|_{U_e\times U_e}=0,\quad \|S_e\|_2\le B,\quad \left|\Lambda_e+\frac12V_e^TC_{\mathrm{sy},e}V_e+ F_e^TC_{\mathrm{sk},e}S_e\right|\le B. \tag{边分裂}

把 $L+1$ 和 $n+1$ 也吸收进 $B$ 只会增大预算。H 中可取

B=\max(2,L+1,n+1,H_{\mathrm{ed}},H_{\mathrm{basic}}).

我们的结论是端点坐标中的同类分裂，预算可取

H'=\exp\!\left(C(n+1)^{12}\log(2B)\right) \tag{预算}

，其中 $C$ 为绝对常数。指数没有涉及任意大的实参数 $\theta_j,\lambda_j$ 。

3. 一次有理线性代数的成本

先核一个反复使用的计算。设有理矩阵 $T$ 至多有 $2N$ 行、 $N$ 列，各条目高度不超过 $B\ge2$ 。全部分母的乘积 $q$ 满足

1\le q\le B^{2N^2},\quad M=qT\in\mathbb Z^{m\times N}, \quad |M_{ab}|\le B^{2N^2+1}.

从 $M$ 选取最大独立行组，组成 $A$ ，行数为 $s$ 。若 $s=0$ ，核空间是全空间，下面结论直接成立。若 $s>0$ ，

G=AA^T

是正定整数矩阵，故 $\det G\ge1$ 。记 $X=B^{2N^2+1}$ 。各条目满足

|G_{ab}|\le NX^2,\quad \det G\le s!(NX^2)^s,\quad |\operatorname{cof}_{ab}G|\le(s-1)!(NX^2)^{s-1}.

伴随矩阵公式因而逐项控制

A^\dagger=A^T(AA^T)^{-1},\quad P_{\ker T}=I-A^\dagger A.

二者的条目分子、分母和算子范数都不超过

Q_N=\exp\!\left(C(N+1)^3\log(2B)\right). \tag{一次消元}

这里右逆针对独立行系统 $A$ 的像；并未声称一个有冗余行的系统具有满空间右逆。

另一个后面要用的版本是：若 $W$ 是至多 $2N$ 行、 $N$ 列的有理矩阵，各条目高度不超过 $B$ ，则 $\operatorname{im}W$ 的正交投影具有同类预算。证明完全相同：清分母，选独立列，使用 $W_0(W_0^TW_0)^{-1}W_0^T$ 。无需假定所选列接近正交。

4. 联合快空间与真正受控的慢向量

在联合坐标中定义

U=\{u\in\mathbb R^n:R_eu\in U_e\text{ 对每条边 }e\}.

它是下列有理方程的公共核：

P_{s,e}R_eu=0,\quad e=1,\ldots,L.

将这些方程叠成矩阵 $T$ 。行数为

\sum_{e=1}^L(d_{e-1}+d_e)\le2n.

各条目高度不超过 $B$ 。上节给出 $P_U$ 的有理高度预算 $Q_n$ 。

设

F=P_UV,\quad S=V-F.

问题不是估计 $\|V\|$ ，而是利用各方程在 $V$ 上的误差。事实上

TV=(S_1,\ldots,S_L),\quad \|TV\|_2\le\sqrt L\,B.

沿用上节的清分母和独立行矩阵 $A$ ，有 $\|AV\|_2\le q\sqrt L\,B$ ，而

S=A^\dagger AV.

因此

\|S\|_2\le Q_nq\sqrt L\,B \le\exp\!\left(C(n+1)^3\log(2B)\right). \tag{联合慢量}

最后一次不等式吸收了 $L\le B$ 。定义 $\widetilde F_e=R_eF$ 、 $\widetilde S_e=R_eS$ 。则 $\widetilde F_e\in U_e$ ，且所有 $\widetilde S_e$ 都受同一预算控制。

5. 换快向量时，为什么大实参数不会回来

固定一条边，暂省略下标。对固定 $V$ ，写

\mathcal E(F)=\Lambda+\frac12V^TC_{\mathrm{sy}}V+ F^TC_{\mathrm{sk}}(V-F).

若 $F,\widetilde F\in U_e$ ，令 $\Delta=\widetilde F-F\in U_e$ 。反对称性给出 $x^TC_{\mathrm{sk}}x=0$ ，因此

\mathcal E(\widetilde F)-\mathcal E(F) =\Delta^TC_{\mathrm{sk}}V.

再写 $V=F+S_e$ 。由于 $U_e$ 对 $A_e=2C_{\mathrm{sk},e}$ 各向同性，

\Delta^TC_{\mathrm{sk}}F=0,\quad \mathcal E(\widetilde F)-\mathcal E(F) =\Delta^TC_{\mathrm{sk}}S_e. \tag{替换}

这是第二个等号的实质：右端只含原边慢量。又

\Delta=S_e-\widetilde S_e,

故 $\|\Delta\|_2$ 有界。矩阵范数可用维数乘条目上界估计，于是换成联合快向量以后，每条边的有效曲率仍不超过 $\exp(C(n+1)^3\log(2B))$ 。

6. 中间坐标逐块相消

将联合向量按标签分块写为 $F=(F_0,\ldots,F_L)$ 、 $S=(S_0,\ldots,S_L)$ 。换过快向量的第 $e$ 条边的有效曲率等于

\begin{aligned} &r^2(\lambda_{e-1}-\lambda_e) +\frac12V_{e-1}^TC_{\mathrm{sy},e-1}^{\mathrm{tag}}V_{e-1} -\frac12V_e^TC_{\mathrm{sy},e}^{\mathrm{tag}}V_e\\ &\quad+F_{e-1}^TC_{\mathrm{sk},e-1}^{\mathrm{tag}}S_{e-1} -F_e^TC_{\mathrm{sk},e}^{\mathrm{tag}}S_e. \end{aligned}

这里出现的 $V_e,F_e,S_e$ 是第 $e$ 个标签块，而不是前面暂用过的边向量。求和后，每个中间块一正一负，完全相消。记端点限制为 $R_\partial$ ，并设

V_\partial=(V_0,V_L),\quad C_\partial=\operatorname{diag}(C_0^{\mathrm{tag}},-C_L^{\mathrm{tag}}),\quad \Lambda_\partial=r^2(\lambda_0-\lambda_L).

得到

\Lambda_\partial+\frac12V_\partial^TC_{\mathrm{sy},\partial}V_\partial+ (R_\partial F)^TC_{\mathrm{sk},\partial}(R_\partial S)

的绝对值不超过 $L$ 乘单边预算，仍可吸收在所列预算中。独立边快向量本身不会相消；相消依赖第 4 节统一选择的每个标签块。

7. 端点快空间必须取像

定义

U'=R_\partial U.

这是像空间，并非要求中间坐标为零的交空间。若 $u',v'\in U'$ ，分别取提升 $u,v\in U$ 。对每条边，

(R_eu)^TA_e(R_ev)=0.

相加后中间块相消，留下

u'^TA_\partial v'=0.

所以 $U'$ 对端点反对称形式各向同性；提升是否唯一不影响这个结论。

有理性和高度也要核算。矩阵 $R_\partial P_U$ 的像就是 $U'$ ，其条目高度受

Q=\exp\!\left(C(n+1)^3\log(2B)\right)

控制。端点维数不超过 $n$ （当 $L\ge1$ ）。再用第 3 节的列空间版本，得到端点正交投影 $P_f'$ 的高度预算

\exp\!\left(C(n+1)^3\log(2Q)\right) \le\exp\!\left(C(n+1)^6\log(2B)\right). \tag{第二次消元}

这正是两次消元的成本；不能只写“像空间显然高度有界”。

8. 端点正交化只花慢量

令

F'=P_f'V_\partial,\quad S'=(I-P_f')V_\partial,\quad F_0'=R_\partial F,\quad S_0'=R_\partial S.

因为 $F_0'\in U'$ ，正交投影的最佳逼近性质说明

\|S'\|_2\le\|S_0'\|_2,\quad \Delta'=F'-F_0'\in U',\quad \|\Delta'\|_2\le2\|S_0'\|_2.

对端点形式再使用一次第 5 节的计算：

(F')^TC_{\mathrm{sk},\partial}S' -(F_0')^TC_{\mathrm{sk},\partial}S_0' =(\Delta')^TC_{\mathrm{sk},\partial}S_0'.

其中把 $V_\partial$ 换成 $S_0'$ 正是利用 $F_0',\Delta'\in U'$ 的各向同性。故端点的

\Lambda_\partial^*= \Lambda_\partial+\frac12V_\partial^TC_{\mathrm{sy},\partial}V_\partial+ (F')^TC_{\mathrm{sk},\partial}S'

也受同一类预算控制。投影高度的六次维数成本和有限个乘积、求和都可放进第 2 节的十二次预算。

9. 退化情况和 H 中的参数

若某些 $d_j=0$ ，对应块为空，以上公式原样适用。若 $n=0$ ，只需把边的标量曲率界相加。若 $L=0$ ，两个端点是同一标签的两份坐标；取对角空间

U'=\{(x,x):x\in\mathbb R^{d_0}\}.

其正交投影由 $I/2$ 组成， $V_\partial=(V_0,V_0)$ 完全在快空间，差曲率为零。这单独处理了前面端点维数可能是 $2n$ 的情况。

在 H 的应用中，单标签维数、 $\log H_{\mathrm{ed}}$ 和 $\log H_{\mathrm{basic}}$ 都由 $k$ 的固定多项式控制，且 $L\le\operatorname{poly}(P,k)$ 。所以 $n\le\operatorname{poly}(P,k)$ ，从而

\log H'\le\operatorname{poly}(P,k),

正是 Lemma 6.2 的结论。这里的 $P$ 是第 39 页的尺度参数，不是后面返回计算中清分母的整数。

10. 这一页在整体证明中的位置

证明已经说明：给定每条边的有理快分裂，端点分裂可以在明确的有限高度预算内构造。它用到两次有理消元、两次各向同性替换，以及联合坐标中的精确相消。

尚需另一段分析证明的是：若两个标签的相关性不小，为什么它们首先具有一条满足式 (2) 的边。不同槽位的分析先得到所有足够小返回的频率增量界；随后还要用极体与逐次极小值把这些返回组织成快空间。那是 Lemma 6.1 的另一部分。