第一章　从失败布局到零熵见证与有序数组

本章对应 R Proposition 2.1（pp.4–6）和 §3.1（pp.6–7）。原稿从任意概率空间上的最小失败阶取得有限字母零熵因子，再构造有序数组。下面展开过去尾的顺序替换、有限熵计算、标准因子编码和各层概率律的相容性。

1. 先保留真实时间，而非只保留一个联结

若并非所有有限阶混合性都成立，取最小失败阶 $k\ge 3$ 。二阶由已知普通混合提供。按 $k$ 阶混合性的否定，可固定集合 $A_{1},\ldots ,A_k$ 、 $\varepsilon >0$ 和布局

0=d_1(b)<\cdots<d_k(b),\quad g(b)=\min_{1\le i<k}\bigl(d_{i+1}(b)-d_i(b)\bigr)\longrightarrow\infty.

使其集合相关与均值乘积之差的绝对值至少 $\varepsilon$ 。令 $g_i=\mathbf1_{A_i}$ 。差值是实数，可取子列，使它的符号 $\sigma\in\{-1,1\}$ 固定，即

\sigma\left[\int\prod_{i=1}^k g_i(T^{d_i(b)}\omega)\,\mathrm{d}\mu-\prod_{i=1}^k\int g_i\,\mathrm{d}\mu\right]\ge\varepsilon.

集合和函数始终固定，只有时间布局变化。每个 $s<k$ 的混合性已成立；有限简单函数展开和 $L^{1}$ 乘积误差界使它对固定有界函数也成立。

这里的联结（joining）指保持各坐标边缘、并在共同时间作用下不变的联合概率律。不能先取任意真子坐标族都独立的联结，再声称所有非零相关必须进入某个零熵因子。一个具体边界例子是： $U$ 、 $V$ 为两个独立的双边公平 $\pm1$ Bernoulli 过程，令 $W_n=U_nV_n$ 。三对过程 $U,V$ ； $U,W$ ； $V,W$ 都相互独立，但 $U_{0}V_{0}W_{0}=1$ 恒成立，所以三元联结不是产品。

每个单独 Bernoulli 过程的过去尾是平凡的：尾事件与每个有限坐标柱集独立，再由单调类推广到整个过程 $\sigma$ 域，因而与自身独立，概率只能为0或1。故三个过程在第0个坐标的符号对尾的条件期望为0。如果只凭这三元联结的真子坐标边缘独立就作尾替换，会把相关1错误地变成0。

该例不是 R 的反例。它说明归约必须额外使用真正的同一个系统内的时间分离。R 的下一步正是在取联结或数组极限以前，直接估计原始时间布局。

2. 原空间不标准，哪些东西仍可直接做

令 $\alpha$ 为 $A_{1},\ldots ,A_k$ 生成的有限分区， $\alpha _i=T^{-i}\alpha$ 。只需考虑

\Gamma_0=\sigma(\alpha_i:i\in\mathbb Z).

及其概率完成化 $\Gamma$ 。 $\Gamma _{0}$ 可数生成；不声称完成化 $\Gamma$ 在字面集合意义上仍可数生成。它们在模零集的测度代数意义下描述同一个可数因子。

如果需要具体观察这个因子，可将 $\omega$ 编成它的完整 $\alpha$ 名字序列： $\pi _\alpha (\omega)_i$ 是 $T^i\omega$ 所属的 $\alpha$ 原子。该映射到有限字母的双边序列空间可测，且与可逆左移变换交换。这里不要求原空间同构于一个标准空间，也不在原空间上调用正则条件分布。

尾替换和熵计算仍可直接在 $(\Omega ,\Gamma ,\mu )$ 中做。所需条件期望、正向和反向鞅收敛在任意概率空间上成立，不要求原空间标准。

设所有下面的 $\sigma$ 域都先完成化，定义

\mathcal F_{-m}=\sigma(\alpha_i:i\le-m),\quad \mathcal C=\bigcap_{m\ge1}\mathcal F_{-m}.

$\mathcal C$ 是一个完成的子 $\sigma$ 域；不需要把“完成化与无限交可交换”作为额外结论。我们按这一定义直接使用递减鞅。

由 $\alpha _i=T^{-i}\alpha$ ， $T$ 的拉回把这些过去 $\sigma$ 域的截止位置平移1。可逆性使拉回与交相容；删去或添加有限个开头截止项不改变尾交。因此 $\mathcal C$ 在 $T$ 、 $T^{-1}$ 下均不变，亦即任意整数平移的 $\mathcal C$ -可测函数仍 $\mathcal C$ -可测。

3. 按最晚时间往前替换：关键 $L^{1}$ 估计

令 $\bar g_i=\mathbb E[g_i|\mathcal C]$ ， $0\le \bar g_i\le 1$ 。按 $i=k,k-1,\ldots ,1$ 的顺序，将 $g_i\circ T^{d_i(b)}$ 替成 $\bar g_i\circ T^{d_i(b)}$ 。

在替换第 $i$ 项时，早于 $i$ 的函数尚是原 $g_j$ ，晚于 $i$ 的函数已经是尾函数 $\bar g_j$ 。用 $T$ 保测且可逆，将当前时间 $d_i(b)$ 平移到0。该步差值变成

\int(g_i-\bar g_i)(\omega)H_{i,b}(\omega)\,\mathrm{d}\mu,

其中

H_{i,b}=\prod_{j<i}g_j\circ T^{d_j(b)-d_i(b)}\cdot\prod_{j>i}\bar g_j\circ T^{d_j(b)-d_i(b)}.

对 $j<i$ ， $d_j-d_i\le -g(b)$ ，而 $g_j$ 是 $\alpha _{0}$ -可测，所以这一因子 $\mathcal F_{-g(b)}$ -可测。对 $j>i$ ，尾 $\mathcal C$ 的双向不变性使该因子仍 $\mathcal C$ -可测，也就 $\mathcal F_{-g(b)}$ -可测。因此 $H_{i,b}$ 是 $\mathcal F_{-g(b)}$ -可测，且 $|H_{i,b}|\le 1$ 。

条件期望遂给出

\begin{aligned}\left|\int(g_i-\bar g_i)H_{i,b}\,\mathrm{d}\mu\right|&=\left|\int\left[\mathbb E(g_i\mid\mathcal F_{-g(b)})-\mathbb E(g_i\mid\mathcal C)\right]H_{i,b}\,\mathrm{d}\mu\right|\\&\le\left\|\mathbb E(g_i\mid\mathcal F_{-g(b)})-\mathbb E(g_i\mid\mathcal C)\right\|_1\longrightarrow0.\end{aligned}

最后一步是反向鞅收敛，因为 $\mathcal F_{-m}\downarrow \mathcal C$ 且 $g_i$ 可积。

$H_{i,b}$ 可以随 $b$ 变化；此估计对全部范数不超过 $1$ 、 $\mathcal F_{-g(b)}$ -可测的测试统一，所以不需要对 $H_{i,b}$ 作额外收敛假设，也不需要一个对变化函数统一的混合速率。这正是保留真实布局的作用。

替换 $i=1$ 时，其余因子已经全在 $\mathcal C$ 内，实际上其误差直接为零；同一上界也足够。有限 $k$ 步相加，总误差趋零。条件期望保均值，因此尾函数的乘积相关与均值乘积之间仍保留固定符号的非零差值。

反向替换顺序有实质作用。如果先替较早项、同时保留未来原函数，那么其余乘积通常不在远过去 $\sigma$ 域中，上述条件期望等式没有依据。

4. 为什么每个有限尾分区的熵率为零

这里不先援引 Pinsker 定理，也不需要证明 $\mathcal C$ 等于整个 Pinsker $\sigma$ 域。R 自行证明的准确结论是：对任意有限 $\mathcal C$ -可测分区 $\beta$ ，字母熵率 $h(\beta )=0$ 。

4.1 有限分区的过去条件熵公式

对任意有限分区 $\gamma$ ， $\gamma _i=T^{-i}\gamma$ 。平稳性及熵链式法则给出

H(\gamma_1,\ldots,\gamma_n)=\sum_{j=0}^{n-1}H(\gamma_0\mid\gamma_{-j},\ldots,\gamma_{-1}).

右边条件熵的序列递减。对有限个 $\gamma$ 原子的条件概率应用递增鞅收敛，再用有限概率单纯形上 Shannon 熵函数的有界连续性，得其极限

H\bigl(\gamma_0\mid\sigma(\gamma_i:i<0)\bigr).

对右边作 Cesàro 平均，就得到熵率存在及原文式(2)：

h(\gamma)=\lim_{n\to\infty}\frac1n H(\gamma_1,\ldots,\gamma_n)=H\bigl(\gamma_0\mid\sigma(\gamma_i:i<0)\bigr).\tag{2}

所用熵均为有限分区的 Shannon 熵，约定 $0\log0=0$ ，最大值至多 $\log|\gamma|$ 。不存在无穷熵相减。

4.2 $\beta$ 不增加 $\alpha$ 的总熵率

$\beta$ 是有限 $\Gamma$ -可测分区。有限双边 $\alpha$ 字母窗口的 $\sigma$ 域递增生成 $\Gamma _{0}$ ，完成化只改变零集，故各 $\beta$ 原子的条件概率趋于其指标函数。因此对任意 $\varepsilon' >0$ ，可以固定 $M$ ，使

H(\beta_0\mid\alpha_{-M},\ldots,\alpha_M)<\varepsilon'.

平稳性使同一不等式在每个平移 $i$ 都成立。于是

\begin{aligned}H\bigl((\alpha\vee\beta)_1,\ldots,(\alpha\vee\beta)_n\bigr)&\le H(\alpha_{1-M},\ldots,\alpha_{n+M},\beta_1,\ldots,\beta_n)\\&\le H(\alpha_{1-M},\ldots,\alpha_{n+M})+\sum_{i=1}^n H(\beta_i\mid\alpha_{i-M},\ldots,\alpha_{i+M})\\&\le H(\alpha_{1-M},\ldots,\alpha_{n+M})+n\varepsilon'.\end{aligned}

$M$ 在 $n\to \infty$ 以前固定。除以 $n$ ，首项的极限仍 $h(\alpha )$ ，所以 $h(\alpha \vee \beta )\le h(\alpha )+\varepsilon'$ 。反向不等式来自分区细化。令 $\varepsilon' \downarrow 0$ 得

h(\alpha\vee\beta)=h(\alpha).

4.3 $\beta$ 自身的熵又必须算在同一总熵率里

$\beta$ 的每个整数平移都属于不变尾 $\mathcal C$ 。对任意时刻 $i$ ， $\mathcal C$ 包含于 $\alpha$ 的完整过去 $\sigma (\alpha _j:j<i)$ 。因此

\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},\beta_1,\ldots,\beta_n)\subseteq\sigma(\alpha_j:j<i).

虽然 $\beta _{1},\ldots ,\beta _n$ 中含有表面上的“未来时间”，作为尾可测分区，它们仍属于每个固定 $i$ 以前的完整 $\alpha$ 过去。这是下面不等式方向的理由。

条件化的信息越多，条件熵越小，所以

\begin{aligned}H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\mid\beta_1,\ldots,\beta_n)&=\sum_{i=1}^n H(\alpha_i\mid\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},\beta_1,\ldots,\beta_n)\\&\ge\sum_{i=1}^n H\bigl(\alpha_i\mid\sigma(\alpha_j:j<i)\bigr)=n h(\alpha).\end{aligned}

结合联合熵链式分解，

\begin{aligned}H\bigl((\alpha\vee\beta)_1,\ldots,(\alpha\vee\beta)_n\bigr)&=H(\beta_1,\ldots,\beta_n)+H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\mid\beta_1,\ldots,\beta_n)\\&\ge H(\beta_1,\ldots,\beta_n)+n h(\alpha).\end{aligned}

取熵率， $h(\alpha \vee \beta )\ge h(\beta )+h(\alpha )$ 。前一节已有等号 $h(\alpha \vee \beta )=h(\alpha )$ ，故 $h(\beta )=0$ 。

这只使用有限分区、过去尾包含和熵链式法则；没有从某个联结的真子坐标边缘独立推导此结论。

5. 只选保住见证的有限分区，不编码整个尾因子

固定各 $\bar g_i$ 的有限值、 $\mathcal C$ -可测逼近 $h_i$ ，值域在 $[0,1]$ 中；例如取细网格向下量化。它们在选择以后不随布局 $b$ 变化。

对两套模长不超过 $1$ 的函数 $a_i,b_i$ ，乘积望远镜展开给出

\left|\int\prod_i a_i\circ T^{d_i}\,\mathrm{d}\mu-\int\prod_i b_i\circ T^{d_i}\,\mathrm{d}\mu\right|\le\sum_i\|a_i-b_i\|_1.

这个界对全部整数布局统一。均值乘积的差也有同样的上界。因此替换 $\bar g_i$ 为 $h_i$ 对相关差值的影响至多 $2\sum _i\|h_i-\bar g_i\|_{1}$ 。

可明确依次选参数：先丢掉有限布局，使尾函数的有符号差值至少 $\varepsilon /2$ ；再固定 $\sum _i\|h_i-\bar g_i\|_{1}\le \varepsilon /8$ ，则 $h_i$ 的有符号差值至少 $\varepsilon /4$ 。这个逼近选择不依赖 $b$ 。

令 $\beta$ 为所有 $h_i$ 的共同有限分区。由第4节， $h(\beta )=0$ 。我们没有要求 $\beta$ 生成整个 $\mathcal C$ ；只需 $\beta$ 足够分辨这有限个见证函数。因而不需要调用 Krieger 有限生成元定理，也不需要其额外假设。

完成化下的 $\beta$ 原子可以选择在 $\Gamma _{0}$ 中的代表，修正成真正互不相交、并为全空间的有限分区；每个原子只变零集。这里仅使用与原 $\mathcal C$ -可测原子的几乎处处相等，不声称修改后的代表属于某个未完成的尾 $\sigma$ 域。取这些零集的全部整数平移之并，仍为零集。因此原相关、熵、均值及后续名字读取都不受影响。这样 $\beta$ 名字序列可以用原始可测代表来定义，不需向非标准原空间要求正则条件核。

将 $\beta$ 的原子作为有限字母表 $\mathcal A$ 。定义名字映射，令 $\pi _\beta (\omega)_n$ 表示 $T^{n}\omega$ 所属的 $\beta$ 原子， $n\in \mathbb Z$ 。

这是到 $X=\mathcal A^{\mathbb Z}$ 的可测映射，与左移变换 $T_X$ 交换；推前 $\mu _X$ 使左移变换保概率。 $X$ 是紧可度量的标准 Borel 空间，其概率完成化给出标准概率系统。左移变换本身可逆且双可测。

每个 $h_i$ 变成 $X$ 上只读第0个字母的有限值函数。在零测字母上可任取仍在 $[0,1]$ 中的值。字母块分布与 $\beta$ 名字块分布一致，所以

H_{\mu_X}(x_1,\ldots,x_n)=H_\mu(\beta_1,\ldots,\beta_n).

其归一化极限为0。对任意 Borel 集合及其时间平移，通过 $\pi _\beta$ 拉回原系统即可证明：所有已知 $s<k$ 阶的混合均传到 $X$ 。完成化后再由零集代表延拓。这里不需要先证明原空间标准。

6. 中心化为什么只留下完整 $k$ 点差值

令 $m_i=\int h_i \,\mathrm{d}\mu _X$ ， $f_i=h_i-m_i$ 。它们为实、中心化、有限值单坐标函数，并满足 $\|f_i\|_{\infty }\le 1$ 。

令 $I=\{1,\ldots,k\}$ 。展开中心化乘积，

\begin{aligned}\int\prod_{i\in I}\bigl(h_i\circ T_X^{d_i}-m_i\bigr)\,\mathrm{d}\mu_X=\sum_{S\subseteq I}(-1)^{k-|S|}\left(\prod_{j\notin S}m_j\right)\int\prod_{i\in S}h_i\circ T_X^{d_i}\,\mathrm{d}\mu_X.\end{aligned}

若 $S\subsetneq I$ ，其大小小于 $k$ ，所继承子布局的相邻间隔至少原来的最小间隔。因此其积分趋于 $\prod _{i\in S}m_i$ ；空集项按1处理。把全部真子集 $S$ 的常数项相加，利用 $(1-1)^k=0$ ，得到

\int\prod_{i=1}^k f_i\circ T_X^{d_i(b)}\,\mathrm{d}\mu_X=\left[\int\prod_{i=1}^k h_i\circ T_X^{d_i(b)}\,\mathrm{d}\mu_X-\prod_{i=1}^k m_i\right]+o(1).

函数及子集数有限，故这里的 $o(1)$ 可同时处理。再丢掉有限布局，使其有符号值至少 $\varepsilon /8$ ；把 $f_{1}$ 乘原固定符号 $\sigma$ ，令 $\delta =\varepsilon /8$ ，重新编号布局，就得到对每个 $b$ 都成立的

\int_X\prod_{i=1}^k f_i(T_X^{d_i(b)}x)\,\mathrm{d}\mu_X\ge\delta>0.\tag{1}

至此 Proposition 2.1 的全部明示输出均已逐项得到：标准有限字母双边过程、字母熵率零、每个小于 $k$ 阶混合、固定中心化的有限值单坐标函数，以及每个布局上的统一正相关。

7. §3.1 的有序数组怎样确实定义出概率

固定上述 $X$ 、布局和函数， $I=\{1,\ldots,k\}$ 。将 $I^{0}$ 视为单点，并设 $\rho _{0}=\mu _X$ 。

选择一个自由超滤子 $\mathcal U$ ，作用于同一个布局指标集合 $\mathbb N$ 。对每个固定 $n\ge 1$ 、 $b_{1},\ldots ,b_n$ ，先取 $X^{I^n}$ 上的实际概率律

\operatorname{Law}\left(\left(T_X^{\sum_{\ell=1}^n d_{j_\ell}(b_\ell)}x\right)_{(j_1,\ldots,j_n)\in I^n}\right),\quad x\sim\mu_X.

按照 $b_n$ 最先、 $b_{n-1}$ 其次、一直到 $b_{1}$ 的顺序取逐次超极限。所有层使用同一个 $\mathcal U$ 和同一布局资料。

这里不能对任意可测集合的概率直接取超极限，就未经证明地宣称极限可数可加。R 正确地只先在字母柱集概率上定义。

对任意有限个字母坐标和赋值，其概率在 $[0,1]$ 内，逐次超极限存在。非负、有限归一化以及删去坐标的相容关系，都由有限和的连续性保留。这给出可数个有限字母坐标上的相容有限维分布，因此由概率扩张定理产生唯一的概率 $\rho _n$ 。

这里也可直接看可数可加性为何安全： $X^{I^n}$ 是有限字母可数积，紧可度量；柱集代数中的集合均为既开又闭的紧集。若柱集代数中一列递减集合的交为空，紧性使某一项已经为空。因此上述有限可加极限在该代数上具有“从上到空集连续性”，是预测度；Carathéodory 扩张给出 Borel 概率。这个论证避免把超极限一般地误当作与可数求和交换。

有界标量超极限与有限加法、有限乘法相容；自由性还保证它同普通收敛的极限一致。这些是下文真正使用的超滤子性质，不涉及交换两层极限。

8. 每一条数组性质分别怎么保留

8.1 共同时间不变性

每个有限布局律在全部格子同时作用 $T_X$ 下不变，因为所有时间都是同一个 $T_X$ 的整数次幂，而 $\mu _X$ 保 $T_X$ 。对柱集取极限后仍相等，再由柱集确定概率， $\rho _n$ 保共同时间不变。

这只是一条时间变换的对角作用。数组指标不是额外的时间生成元，也没有得到各格子可以独立平移的结论。

8.2 任意一条轴固定以后为什么都是 $\rho _{n-1}$

固定第 $\ell$ 条轴的位置 $j_\ell =a$ 。所有剩余格子的时间中都多出同一个 $d_a(b_\ell )$ 。在取任何极限前，用 $\mu _X$ 不变性将该共同平移删除。所得有限布局律不再依赖 $b_\ell$ ，只留下其它 $n-1$ 条轴的同一公式。

现在按原次序取逐次超极限。一个已经不出现的 $b_\ell$ 极限可以直接删除；其余指标保持原来的相对先后次序，恰好是 $\rho _{n-1}$ 的定义。没有把两层极限交换。

因此固定任意轴、任意位置都得到同一个下层边缘。全部层数可数，且这些恒等式由同一有限布局公式取得，不是在各层任意挑选不相容的极限。

8.3 真子族末轴平面的联合独立

固定 $J\subsetneq I$ ， $s=|J|\le k-1$ 。对每个末轴平面 $j\in J$ ，取一个只依赖有限字母坐标的有界测试函数 $\Phi_j$ ；它可以观察该整张 $(n-1)$ 维平面中有限多个字母读数。

先固定 $b_{1},\ldots ,b_{n-1}$ 。定义

H_j^{b_1,\ldots,b_{n-1}}(x)=\Phi_j\left(\left(T_X^{\sum_{\ell<n}d_{v_\ell}(b_\ell)}x\right)_{v\in I^{n-1}}\right).

对即将趋于无穷的 $b_n$ ，这些都是固定有界函数。第 $j$ 个末轴平面只再加时间 $d_j(b_n)$ ，因此整个乘积积分为

\int\prod_{j\in J}H_j^{b_1,\ldots,b_{n-1}}(T_X^{d_j(b_n)}x)\,\mathrm{d}\mu_X.

由已知 $s$ 阶混合，先让 $b_n\to \infty$ ，它趋于

\prod_{j\in J}\int H_j^{b_1,\ldots,b_{n-1}}\,\mathrm{d}\mu_X.

$s=1$ 时仅是保测恒等式，无需混合。所取子布局的所有间隔仍趋于无穷。注意阈值可以依赖已经固定的 $b_{1},\ldots ,b_{n-1}$ ；这里没有需要统一的界。

随后按指定次序取其余超极限。超极限的有限乘法性使上面的乘积仍分解；每个因子恰是 $\rho _{n-1}$ 下的 $\Phi _j$ 积分。所以

\int\prod_{j\in J}\Phi_j\bigl((x_v)_{v_n=j}\bigr)\,\mathrm{d}\rho_n=\prod_{j\in J}\int\Phi_j\,\mathrm{d}\rho_{n-1}.

平面上的字母柱集生成其完整 Borel $\sigma$ 域，有限乘积测试再用单调类延拓，得到这些完整平面的联合分布为产品。结论是任意至多 $k-1$ 个末轴平面共同独立，不只是两两独立。

8.4 见证相关仍在第1层

第1层的测试 $\prod_i f_i(x_i)$ 只读有限个字母，因为 $f_i$ 是只读第0个字母的有限值函数。故其 $\rho _{1}$ 积分就是原始相关的超极限。每个原始相关都 $\ge \delta$ ，因此

\int\prod_{i=1}^k f_i(x_i)\,\mathrm{d}\rho_1\ge\delta.\tag{3}

没有在这里把“对柱集/连续函数的弱极限”错误升级成对任意有界可测测试的极限交换。

9. 有序极限不提供轴置换对称

有限布局公式在同时重标记轴与 $b$ 指标时有形式上的对称，但逐次极限的顺序并不因此可交换。最简单的标量例子是 $\mathbf1_{\{b_1<b_2\}}$ ：先让 $b_{2}$ 趋于无穷，结果为1；先让 $b_{1}$ 趋于无穷，结果为0。这一差异对任何自由超滤子都成立，因为有关序列最终为常数。

因此任意轴的面相容性，不意味着完整 $\rho _n$ 在轴置换下不变。第8.3节的混合必须作用于最内层、最先取极限的 $b_n$ ；此时其它参数已固定。不能把该推导未经改写地搬到任意其它轴。

这就是下游 §3.2–§3.5 仍需做饱和扩张和条件局部性的原因。初始数组只先保证末轴方向的真子族产品律。

10. 初始对象与所用经典工具的范围

现在取 $Y=X$ 、局部 $X$ 因子为恒等映射、参数 $U$ 为单点，并令 $m_n=\rho _n$ 。共同时间不变性、任意轴面相容性与真子族末轴联合独立均已核出。参数恒定时，完整参数条件产品律就是无条件产品律；局部 $X$ 与参数独立也自动成立。因此它确实满足 Definition 3.1，给后续饱和构造提供了一个合法起点。

本段使用的经典输入及条件如下：

条件期望与反向鞅收敛：在同一个概率空间上， $g_i\in L^{1}$ ， $\mathcal F_{-m}$ 递减至已定义的完成尾 $\mathcal C$ ，结论为 $L^{1}$ 收敛。无需原空间标准。
递增鞅收敛：有限原子的条件概率，以及有限双边 $\alpha$ 字母窗口生成的 $\sigma$ 域，用于过去条件熵公式和 $\beta$ 的条件熵逼近。
有限分区的熵链式法则与条件熵单调性：所有熵有限，极限使用有限单纯形上熵函数的有界连续性。零熵归约的两道熵率不等式由 R 自身写出，本文逐项展开。
简单函数/有限量化逼近、产品望远镜界及因子拉回：用于对固定有界函数的混合结论、固定有限值近似与混合传递；不需要新动力学结构定理。
自由超滤子的存在及有界标量极限的有限代数规则；可数有限字母坐标上的概率扩张（或上文给出的紧柱集预测度论证）。仅用于非构造地固定相容数组律。

R 文末在这里提及 Ryzhikov、Thouvenot 与 de la Rue，作为 Pinsker 归约的历史先例；本篇证明不以未展开的这些文献定理作缺失桥梁。尤其不需要证明 $\mathcal C$ 是最大零熵因子，也未调用有限生成元定理。历史归属的具体原文与本文所需的数学输入应分开判断。

第一章 从失败布局到零熵见证与有序数组