第二章　有序数组的饱和扩张与条件局部性

本章对应 R Definition 3.1、Proposition 3.2、Lemmas 3.3–3.4 和 Proposition 3.5（pp.7–13）。起点是上一章的全部有序数组。原稿要在扩大局部状态时保留条件产品律，再由饱和性取得行方向的联合独立和单格、分组的精确条件核。

固定原文，第7页起

本章把少数位置的完整状态加入参数，称它们为“附加参数位置”（原文 parent slots）；在方阵中，这些位置对应“附加参数行”。这与每格原有的局部参数 $u(y)$ 不同。位置（slot）只是有限指标集 $I$ 中的一个索引。

先认清这里要补什么

假定 $k\ge 3$ 是最小失败阶。低于 $k$ 阶的混合性使原文能构造一族有序数组分布 $\rho _{n}$，数组的指标集为 $I^{n}$，$I=\{1,\ldots,k\}$。同一末轴坐标固定后得到一个“平面”。在 $\rho _{n}$ 下，任意至多 $k-1$ 个末轴平面作为完整随机向量相互独立。这里的“相互独立”是联合分布为乘积，不只是两两独立。

有序取极限优先保证末轴方向。$n=2$ 时这就是整列的真子族独立，尚没有整行的同一结论。也不能说“行列可交换，所以另一个方向自动成立”。原文明确不作轴交换对称假设。

R 第 3 节要补上的是：扩大局部状态，同时扩大每格的参数，仍把对象留在规定的数组类；随后借饱和性把扩张里新增的观测压回旧对象。新增行独立性是这样推出来的。危险点在于，独立变量在增加条件后一般不再独立。下面会把原文用于避开这一问题的条件核的局部依赖式写全。

1. 可容许数组对象及三种观测

对应 Definition 3.1，pp.7–8。一个对象包含标准 Borel 概率系统 $(Y,m_{0},T_Y)$、$(U,\nu ,T_U)$，两个保时间因子 $\kappa :Y\to X$、$u:Y\to U$，以及每个 $n\ge 0$ 的数组分布 $m_{n}$，作用于 $Y^{I^n}$。$I^{0}$ 视作单点，因此第 0 层正是局部状态分布 $m_{0}$。

必须同时满足：

1. $m_{n}$ 在各坐标同时作用 $T_Y$ 下不变，逐坐标投影 $\kappa$ 后等于固定的 $\rho _{n}$。当 $n\ge1$ 时，对任意轴、任意位置，固定该轴后得到 $m_{n-1}$。每个真子族的末轴平面在 $m_{n}$ 下独立。
2. 对 $n\ge1$，记 $\mathcal P_n=\sigma (u(y_v):v\in I^{n})$。对每个真子族 $J\subsetneq I$，条件于完整参数数组 $\mathcal P_n$ 后，各平面仍独立；第 $j$ 个平面的条件分布只读它自己的参数子数组，且等于 $m_{n-1}$ 关于该子数组的条件分布。
3. 在 $m_{0}$ 下 $\kappa (y)$ 与 $u(y)$ 独立。若 $m_0=\int_U\eta_u\,\mathrm d\nu(u)$，这等价于 $\kappa _*\eta _u=\mu _X$ 对 $\nu$-几乎所有 $u$ 成立。

第 2 条可以不含歧义地写成测试函数恒等式。对每个真子族 $J$ 和有界平面测试 $F_j$，

其中 $\mathcal P_{n-1,j}$ 只含第 $j$ 平面的参数。特别取单个 $j$，右侧仍只依赖该平面的参数；这部分要求不能从“条件独立”四个字中省略。

若 $\theta :Y'\to Y$ 是扩张，则 $\theta$ 要保全部 $m_{n}$ 和 $\kappa$，且旧参数 $u\circ \theta$ 是新参数 $u'$ 的因子。于是下列旧 $\sigma$ 域都拉回包含于对应的新 $\sigma$ 域：

其中 $\mathcal O_{n,j}$ 记录缺失平面之外的全部完整状态，不是只观察参数。

2. 饱和性不是直接赋予新的独立性

Proposition 3.2（pp.8–9）的精确断言是：任一对象有一个扩张 $M$，使对 $M$ 的任一后续可容许扩张 $\theta$，任一固定 $n\ge 1$、$F\in L^{2}(m_{n})$，以及 $\mathcal D$ 为 $\mathcal P_n$ 或某个 $\mathcal O_{n,j}$、$\mathcal G_{n,j}$，都应满足下式。记 $\theta_n$ 为扩张在第 $n$ 层逐坐标作用的因子映射，即 $\theta_n((y_v')_{v\in I^n})=(\theta(y_v'))_{v\in I^n}$；它不是 $\theta$ 的 $n$ 次复合。

这里只准比较已经验证属于同一数组类的扩张。不能先假定待证扩张属于该类，再用 (4) 证明它属于该类。Lemma 3.4 将以附加参数位置集大小归纳避开这个循环。

逆极限为何还在同一个类中

取一个可数扩张塔。局部状态和参数分别取相容路径空间，时间逐坐标作用。可数标准 Borel 空间的乘积及其相容 Borel 子集仍是标准 Borel 空间。各层一致的有限阶段分布决定极限概率分布。因子图交换、所有轴的面一致性和时间不变性先在有限阶段测试上成立，单调类逼近后在极限成立。

无条件独立性也这样处理：有限多个平面上的测试先全部拉回同一个有限阶段，在该阶段分解乘积期望，再对极限任意有界测试作逼近。局部 $X$ 坐标 $\kappa (y)$ 与参数的独立性同理。

真正需要写出的，是完整参数条件下的乘积式。固定 $J\subsetneq I$，先取 $F_j$ 全部来自一个有限阶段 $r$。对每个 $s\ge r$，在第 $s$ 阶段有

两侧的参数 $\sigma$ 域随 $s$ 增加。由正向鞅收敛，左边在 $L^{2}$ 中趋于关于完整极限参数的条件期望，右边每个因子也在 $L^{2}$ 中收敛。若 $|F_j|\le 1$，乘积误差满足

因此右边的极限就是各极限条件期望之积。对来自极限而非有限阶段的有界 $F_j$，令 $F_j^{(s)}$ 为它对“第 $j$ 平面的第 $s$ 阶段完整状态 $\sigma$ 域”的条件期望。这样逼近仍是同一个平面的测试，不会混入别的平面；它们在 $L^{2}$ 收敛且保持统一的无穷范数界。条件期望的压缩性及同一乘积界允许传递恒等式。第 2 条完整保留，不只是保留平面间的某一种相关为零。

有限能量安排怎样同时覆盖所需观测

每个阶段、每个 $n$ 的 $L^{2}(m_{n})$ 都可分。取可数稠密的有界测试族。数据种类在固定 $n$ 上只有 $1+2k$ 种。把所有“引入阶段、层数、测试、数据种类”的配对排成可数日程，让每个已引入配对在以后被处理无穷多次。

对固定测试 $F$，能量可用 $\|\mathbb E[F|\mathcal D]\|_{2}$，随可容许扩张不减，且不超过 $\|F\|_{2}$。在一次处理时，取一个可容许扩张，使它的能量距离当前所有可容许扩张上的上确界小于 $\varepsilon _q$，$\varepsilon _q\downarrow 0$。不要求上确界达到。原对象的恒等扩张至少保证候选非空。

令 $M_\infty$ 为可数塔的逆极限，$Z$ 为它的任意后续可容许扩张。由于复合扩张仍是扩张，$Z$ 也是每个有限阶段的候选扩张。在处理旧测试的任一足够晚步骤，

这个测试在 $Z$ 中的投影范数不超过当前上确界；上确界至多是所选下一阶段的投影范数加 $\varepsilon _q$，而下一阶段的投影范数又不超过 $M_\infty$ 中的投影范数。因此，$Z$ 中的投影范数至多比 $M_\infty$ 中的大 $\varepsilon _q$。这里每个测试均已拉回所比较的层。

让该测试的处理序号 $q\to \infty$，就得到 $Z$ 不能进一步增加能量。有限阶段测试在逆极限 $L^{2}$ 中稠密；对任何 $F$，用压缩估计

把“不再增加”延伸到所有 $F$。最后用旧 $\mathcal D$ 拉回包含于 $\mathcal D'$，有正交投影勾股式

左侧为零，得到 (4)。这一步只承诺对任一给定后续扩张的等价类恒等式；并未取“所有可能扩张共同的点态满测集”。后者既无需要，也不能由可数交论证取得。

3. 一条真正可用的条件独立引理

对应 Lemma 3.3（pp.9–10）。设 $E$、$O_{1},\ldots ,O_s$、$B$ 为标准随机元；$E_j=e_j(E)$，$A_j=a_j(E_j,O_j)$。假设

第二式是额外假设，不能从第一式推出来。它说 $B$ 读取 $O_j$ 的方式完全经过各自的 $A_j$。

令 $Q_j$ 为 $O_j$ 给定 $(E_j,A_j)$ 的条件分布。则

完整验证如下。$K_j(E_j,\cdot )$ 也是 $O_j$ 给定 $E_j$ 的核，因为 $E_j$ 是 $E$ 的函数且该条件核只依赖 $E_j$。用 $x$ 表示 $E_j$ 的一个取值，令 $M_j(x,\cdot )$ 为 $K_j(x,\cdot )$ 在 $o\mapsto a_j(x,o)$ 下的像。按 $(E_j,A_j)$ 分解得

该恒等式对 $\operatorname{Law}(E_j)$-几乎所有 $x$ 成立，因此代入 $x=e_j(E)$ 仍在 $\operatorname{Law}(E)$-满测集上成立。记 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$，原联合分布因而写为

前三部分正是 $(E,A,B)$ 的分布，最后一部分就是条件核结论(5)。增加 $B$ 不改变各 $O_j$ 的条件核，依赖的是第二项假设的局部依赖条件；没有该条件时，结论一般错误。

4. 主接口：将第一轴卷入一个局部状态

Lemma 3.4，pp.10–11。从现在起旧对象已经饱和。固定任意 $R\subseteq I$，$|R|\le k-2$，以及 $a\in I\setminus R$。令

这里 $R$ 是附加参数位置的指标集合，$a$ 是保留旧 $X$ 因子的投影位置。$u'$ 的分布和逐坐标时间作用定义新参数系统；它保留所有旧参数，并额外保留 $R$ 中的完整状态；不会把所有位置的完整状态都加入参数。

在第 $n$ 层，取旧 $m_{n+1}$，把第一个轴 $c\in I$ 作为新局部状态内部轴，其余 $w\in I^{n}$ 是新数组指标。记旧状态为 $y_{c,w}$。要证明这是可容许扩张，需要对每个 $n$ 同时检查全部条件。

不涉及归纳的检查

• $\theta _a$ 逐点保留 $y_{a,w}$。旧数组的任意轴面一致性给出其分布 $m_{n}$，故保全部层的旧分布；$X$ 因子取 $\kappa (y_a)$。
• 新参数包含 $u(y_a)$，故旧参数可由它读出。所有图与逐坐标时间作用交换。
• 新层的末轴就是旧层的末轴。无条件真子族平面独立，时间不变性及其余轴面一致性直接继承。
• 新局部 $X$ 与新参数独立：在旧 $m_{1}$ 下，条件于完整旧参数 $p=(u(y_c))_c$，集合 $R\cup\{a\}$ 至多 $k-1$ 个坐标，其联合核为 $\bigotimes _{c\in R\cup\{a\}}\eta _{p_c}$。再条件于新增到参数的状态 $(y_c)_{c\in R}$，$y_a$ 的核仍为 $\eta _{p_a}$。$\kappa _*\eta _{p_a}=\mu _X$，所以 $\kappa (y_a)$ 给定整个新参数的分布恒等于 $\mu _X$。

只剩“给定新参数后的末轴条件乘积式”。当 $R=\varnothing$ 时，新完整参数恰好就是旧完整参数，该条件直接等于旧第 $n+1$ 层的条件乘积式。这完成归纳起点，无须动用饱和性。

非空 $R$：先证明条件核的局部依赖式，不能直接声称独立仍成立

归纳假设：所有附加参数位置集大小小于 $|R|$、所有合法投影位置、所有层数的上述扩张已经成立。固定 $n\ge 1$ 及一个缺失末轴位置 $j_{0}$。

定义：

$E=(u(y_{c,w}))_{c,w}$ 是旧完整参数； $O_j=(y_{c,w}:w_n=j)$，$j\ne j_0$，是整个已观察末轴平面； $O=(O_j)_{j\ne j_0}$； $E_j$ 是 $O_j$ 自身的参数数组； $A_j=(y_{c,w}:c\in R,w_n=j)$ 是 $O_j$ 中新增到参数的状态； $B=(y_{c,w}:c\in R,w_n=j_0)$ 是缺失平面中新增到参数的全部状态。

旧对象保证，给定 $E$，各 $O_j$ 独立，而且每个核只依赖 $E_j$。要调用上一节的条件核结论(5)，必须证明

把 $R$ 写成 $c_{1},\ldots ,c_r$，顺次揭示缺失片 $B_{c_t}=(y_{c_t,w}:w_n=j_{0})$。在第 $t$ 步，令 $R'=\{c_1,\ldots,c_{t-1}\}$。由于 $|R'|<|R|$ 且 $c_t\notin R'$，归纳假设已供应一个合法的较小附加参数扩张，投影位置选 $c_t$。

给出这一扩张各观测域的逐项识别：

• 旧 $\mathcal G_{n,j_0}$ 的拉回，是 $\sigma ((u(y_{c_t,w}))_w,(y_{c_t,w}:w_n\ne j_{0}))$；
• 新 $\mathcal P_n'$，是 $\sigma (E,(y_{l,w})_{l\in R',w\in I^{n}})$；
• 新 $\mathcal O_{n,j_0}'$，是 $\sigma (O)$，因为新局部状态包含整个内部轴；
• 新 $\mathcal G_{n,j_0}'$，因此等于 $\sigma (E,O,B_{R'})$。$R'$ 在已观察平面内的部分已经包含于 $O$。

取缺失片 $B_{c_t}$ 的任一有界测试 $F$，将它视作投影旧第 $n$ 层的测试。对这个已合法扩张用饱和式 (4)，正好得到原文式(8)：

右边是旧 $m_{n}$ 的确定条件核，只读 $E$ 和第 $c_t$ 个内部行在 $O$ 中的部分；因为 $c_t\in R$，这部分包含于各 $A_j$。更重要的是，它不再读先前揭示的缺失平面内新增到参数的状态片 $B_{R'}$。

记 $A=(A_j)_{j\ne j_0}$，以 $H_{c_t}(E,A;\cdot)$ 记该核。条件链式分解及上式逐次给出

例如对测试 $\prod _{t\le r}b_t(B_{c_t})$，先条件于 $E,O,B_{c_1},\ldots ,B_{c_{r-1}}$，将最后因子替换成 $H_{c_r}b_r$；此项只依赖 $E,A$，移出下一次条件期望。反复执行，得到各 $H_{c_t}b_t$ 的乘积。乘积测试决定联合核，故式(7) 成立。

这里调用饱和性时只使用了附加参数位置较少的扩张；证明当前位置集合 $R$ 对应的扩张合法后，才允许以后把它用于附加参数位置更多的情形。逻辑上不存在以待证扩张自证合法的步骤。

回到条件乘积式

把 $E$、$O_j$、$A_j$、$B$ 代入 Lemma 3.3。给定 $E$、全部 $A_j$ 和 $B$ 后，各 $O_j$ 仍独立，且第 $j$ 个条件核是旧 $m_{n}$ 给定 $(E_j,A_j)$ 的核。

但 $\sigma (E,(A_j)_{j\ne j_{0}},B)$ 正是新第 $n$ 层的完整参数域；$(E_j,A_j)$ 正是第 $j$ 个新平面自己的参数。该平面状态由旧第 $n$ 层 $m_{n}$ 分布，这又是新第 $n-1$ 层分布。因此得到的核恰好是 Definition 3.1 要求的核，没有换成别的分布。

我们先验证了缺一个位置的 $k-1$ 个平面。任意更小真子族可包含于这样的集合，对乘积核取边缘即可。$n$ 任意，所有层数的条件式均成立，归纳完成。

5. 新增行独立性从哪里真正出现

Proposition 3.5，pp.11–13。方阵记为 $y_{a,j}$，$a$ 是行，$j$ 是列。固定完整参数 $E=(u_{a,j})$，行参数 $p_a=(u_{a,j})_j$，列参数 $q_j=(u_{a,j})_a$。旧 $m_{1}$ 在参数元组 $p$ 下的条件分布记 $\lambda _p$。

原定义已经给出：条件于 $E$，任意真子族整列独立，列 $j$ 的核为 $\lambda _{q_j}$。下面是新增的行结论。

固定 $R\subseteq I$、$|R|\le k-2$、$a\notin R$，使用刚证明合法的滚轴扩张。在它的第 1 层，对整行 $Y_{a,I}$ 的有界测试 $F$ 应用 $\mathcal P_1$ 数据的饱和式：

取任意 $r\le k-1$ 个不同的行 $a_{1},\ldots ,a_r$，按次序揭示。揭示第 $t$ 行前只有 $t-1\le k-2$ 条附加参数行，因此式(14) 可用。逐次条件期望给出

这才证明任意真子族整行的条件联合分布为产品。并未证明全部 $k$ 行独立，也无需如此。

同一扩张的条件乘积定义给出 Proposition 3.5(2)：给定 $E$ 及附加参数行 $Y_{R,I}$ 后，任意真子族列独立，各列只在自己的新增到参数的条目 $Y_{R,j}$ 上进一步条件化。

最后，对 $\mathcal G_{1,j_0}$ 使用饱和式，得到原文式(12)：

左边读到别的行，但右边只读这一行自己的剩余条目与其参数；这是后续算子矩形恒等式所需的单元格局部核。

6. 分组以后，式(12)为什么足以给式(13)

这是 pp.12–13 的最后一道接口。将行分成三个非空组 $P,A,B$，列分成三个非空组 $r,s,t$。固定 $E$，写 $\Lambda _A=\bigotimes _{a\in A}\lambda _{p_a}$。原文要的是

先固定单个缺失列 $j_{0}$。给定 $E$、$P$ 整行和其余所有列，逐个揭示 $a\in A$ 在列 $j_{0}$ 的条目。揭示第 $a$ 个时，附加参数行包括 $P$ 及 $A$ 中已揭示的行；这些行的其他条目已由已知列供应。附加参数行数最多

因此每次都可用式(12)，且右端不读先前揭示的缺失条目。逐次相乘得到原文式(15)：

现在取 $j_{0}\in t$，置 $J=t\setminus\{j_0\}$、$C=r\cup s$，保留 $W=Y_{A,J}$。$C\cup J$ 恰好为 $k-1$ 个列。按 Proposition 3.5(2)，给定 $E$ 与 $P$ 整行后，这些列独立。单个 $J$ 列内，$P\cup A$ 是真子族行，因为 $B$ 非空，所以给定其 $P$ 条目，$A$ 条目的边缘仍为 $\bigotimes _{a\in A}\eta _{u_{a,j}}$。从而

对式(15)把 $J$ 列的其他状态积分掉，只保留 $W$。右端对 $J$ 列只通过 $W$ 取值，所以积分后未改变该核。故 $(W,Y_{A,j_{0}})$ 的联合条件核，正是式(16) 的产品边缘后接式(15)的各行核。

在 $\Lambda _A$ 下，各行独立，而且每行的 $C\cup J$ 是真子坐标集，其边缘也是相同产品。因此这两段核的拼接，恰好是 $\Lambda _A$ 给定 $Y_{A,C}$ 的条件分布，得到式(13)。$J=\varnothing$ 时第一段为空产品，计算仍成立。

其余分组断言也有明确来源：一组行本身是真子族整行，故其分布为各行 $\lambda$ 的乘积；一行内任何两个列组的并仍是列真子集，于是该分组后的行中的三个矩形格两两独立。列方向同理。给定 $P$ 整行时，任意两个列组的并是真子列集，故所需分组后的列条件独立由第(2)项给出。这些是先有联合真子族产品律，再取适当分组；没有从三组两两独立推三组联合独立。

7. 满测集与量词，不能怎样省略

所有状态空间标准 Borel，故可取正则条件分布，并以可数生成代数作为概率核的确定类。每条核等式先对这个类的测试验证，再在一个满测集上将其升级成概率测度相等。这比对每个有界函数分别写“几乎处处”，却无说明地一起使用，更强也更准确。

本节需要的层数 $n$ 可数，附加参数位置子集、投影位置、缺失位置及方阵分组在固定 $k$ 下均有限，整数时间平移可数。因此这些已明确要求的核恒等式可以同时选在相应层的共同满测集上；需要时间协变时，再对全部整数平移取交。

不同层的随机变量生活在不同空间，“共同满测集”应逐层解释。$n=2$ 再对完整参数 $E$ 的分布分解，得到参数空间中的满测集：对每个这样的 $E$，断言在其条件方阵分布下几乎处处成立。并不是对该参数上的每个状态点都成立。

以下更强的说法并非这里的结论：

• “饱和性让所有扩张同时在一个点态满测集上成立”；
• “条件独立当然在加入附加参数位置后保留”；
• “列独立，所以交换行列即得行独立”；
• “扩张后的 $T_Y$ 仍混合”；
• “已经有任意真子族独立，所以完整 $k$ 元组也是乘积”。

这些都不是本节证明得到的断言。原文只保留 $X$ 坐标的混合性；扩大的 $Y$ 不要求混合。

旁注：单有列方向独立，为什么确实不够

下面只是说明一个省略饱和性的捷径会出错，不是 R 的反例，也不声称此有限方阵可以延成 R 要求的完整数组塔。

取 $k=3$。令 $U_a$、$V_a$（$a=1,2,3$）及 $H$ 为七个独立的公平 0/1 位，记 $\oplus$ 为模 2 加法，定义

每一行的三个条目独立：固定任意行的输出三元组，它唯一决定 $U_a$、$V_a$、$H$，故概率为 1/8。每一列的三个条目也独立。任意两整列独立：前两列本来独立；给定第一列，第三列由独立均匀向量 $V$ 加上某个向量得到，仍是均匀向量且其分布不读第一列；第二、第三列同理。参数可以取常量。

然而每一行的奇偶值 $y_{a,1}\oplus y_{a,2}\oplus y_{a,3}$ 都等于同一个 $H$。因此观察一条完整的附加参数行 $P$ 后便知道 $H$，再观察前两整列，另一行 $A$ 的缺失条目就是

其条件分布为点质量。仅按 $A$ 自己的行分布、给定 $y_{A,1},y_{A,2}$ 时，第三条目却仍是公平位。这正是原文式(12)两边可以不同的有限示范。由原有列产品律直接写出式(12)是不合法的。R 实际先通过饱和与较小附加参数扩张推出条件核的局部依赖式，再取得式(12)；局部证明中这一段不可删除。