第五章　熵、单轨道代数与最后消去

本章对应 R Proposition 6.1、Lemmas 6.3–6.5 与 §7（pp.33–38）。输入是原始有限字母零熵混合过程，以及前章的可测有限块和。原稿先在任意固定耦合上消去每条抽象标签轨道，再用有界收敛与恒正积分矛盾。下面区分零熵估计、纯代数选择和只需混合的差分论证。

固定原文，第33页起

1. 固定一个条件空间后，实际有什么输入

先离开参数 $u$，单独固定一个概率空间 $(Y,\eta )$。只要求有可测映射 $x:Y\to X$，且 $x_*\eta =\mu _X$。不要求 $Y$ 上存在时间作用，更不要求 $\eta$ 不变、$Y$ 混合或 $Y$ 零熵。

$X$ 是一个双边有限字母平稳过程，时间为 $T_X$；其字母分割的熵率为零，且 $T_X$ 普通混合。给定固定、中心化、有限值的单坐标函数 $f$；也就是说，$f$ 只依赖 $X$ 的第0个字母。

另给可数交换群 $L$、群自同构 $G$，以及可测函数 $\chi _l:Y\to \mathbb C$，满足原文式(60)：

乘积中的常相位可以依赖 $l,l'$，但不能依赖 $y$。因 $\chi _l\chi _{-l}$ 是常相位，$\overline{\chi _l}$ 也是 $\chi _{-l}$ 的常相位倍数。不同标签的代表因此正交。

Proposition 6.1 要证明的是，对每个固定 $l\in L$，

绝对值在每项积分外、平均里面。只证明带符号或带相位的总平均趋零，远远不够接合 Proposition 5.5。

这段有两种不同的消去理由。解离的标签由字母词的零熵控制；在算术级数上成为群值多项式的标签，由普通混合与 Hilbert 空间差分控制。后一部分甚至不使用零熵。

2. Lemma 6.3：先只允许确定系数

pp.34–35。标签序列 $(l_m)$ 称为解离序列（dissociated），指任意有限非空的不同指标集合 $A\subseteq\{0,1,2,\ldots\}$，及每个 $\varepsilon_m\in\{-1,1\}$，都有 $\sum_{m\in A}\varepsilon_m l_m\ne0$。这个定义不允许重复指标；它排除零标签和重复标签，但允许群有挠元。

取任意确定复数 $w_m$，$|w_m|\le 1$，取 $0<\theta \le 1$。对实数 $t$，Taylor 余项满足 $|\mathrm{e}^{t}-1-t|\le (\mathrm{e}/2)t^{2}\le 2t^{2}$（$|t|\le 1$），所以 $\mathrm{e}^{t}\le 1+t+2t^{2}$，

右边非负，所以可以对 $m<n$ 相乘。展开积分，任何非恒定项都从一组非空的不同指标各取一个 $\chi _{l_m}$ 或其共轭。由允许常相位的乘法规则，它是某个常相位乘 $\chi_{\sum_{m\in A}\varepsilon_m l_m}$。解离条件使该标签非零，其积分为零。只有全部取常数项的部分留下。这里 $A$ 是该非恒定项选中的指标集合。因此

这里不需要各 $\chi _{l_m}$ 独立。它们满足的有限乘积积分规则已经足够；挠元也没有被忽略，因为每项只出现不同指标的 $\pm 1$ 系数。

固定 $0<\varepsilon \le 1$，选 $\theta =\varepsilon /4$。Markov 不等式给出

该估计对全部确定系数 $w_m$ 一致。不能把它直接用于任意依赖于 $y$ 的 $w_m$；下一步正是处理这个区别。

3. 随机词怎么进入：不条件化标签函数的分布

现在令 $F_m$ 在固定有限单位圆盘子集中取值，允许它们与全部标签任意耦合。只假设随机词 $W_n=(F_0,\ldots ,F_{n-1})$ 的 Shannon 熵 $H_n=o(n)$。不要求 $(F_m)$ 平稳或独立。

令

把概率至少 $\exp(-a_n n)$ 的词称为高概率词（原文 likely words）。其个数至多 $\exp(a_n n)$，因为各词概率总和至多1。随机词的自信息 $-\log P(W_n)$ 的期望为 $H_n$，所以非高概率词的总概率至多

$H_n=0$ 时该比值为零。且 $a_n\to 0$。

固定任意确定相位 $\omega_m\in\mathbb T$，定义

若 $W_n$ 等于一个确定高概率词 $v=(v_m)$，那么这一事件上 $Y_n$ 等于式(63)中 $w_m=\omega_m v_m$ 的确定系数表达式。因此

我们只是作事件包含；没有把右边的概率改成“给定 $W_n=v$ 后的概率”。后者一般会改变标签分布、均值和所有乘积积分。对高概率词作并集界，得到

极限次序是先固定 $\varepsilon$，再让 $n\to \infty$。因为 $a_n\to 0$，最终 $a_n\le \varepsilon ^{2}/16$，指数项至多 $\exp(-\varepsilon ^{2}n/16)$。这是任意耦合仍可处理的准确理由。

最后，对每个 $m$ 选择确定相位 $\omega _m$，使

为非负实数；积分为零时相位任取。这些相位是积分得到的数，不是 $y$ 的函数。于是 $|Y_n|\le 1$，且

先 $n\to \infty$，再 $\varepsilon \downarrow 0$，证明 Lemma 6.3。

原始过程的零熵只在这里使用

对固定 $p\ge 1$、$0\le j<p$，取 $F_m=f(T_X^{pm+j}x)$，并先将 $f$ 缩放到 $\|f\|_{\infty }\le 1$。该随机词是原始 $X$ 的一个连续字母窗口的函数，窗口长度至多 $pn+p$。若原字母窗口熵为 $H_X(L)=o(L)$，则

因为 $p,j$ 已固定，并且 $x_*\eta =\mu _X$。平稳性允许将窗口位置移到熵率定义所用的坐标区间。

这里从未计算 $Y$ 的熵，也没有给 $\eta$ 加上某个时间作用。不同条件空间与标签的任意耦合，不改变其 $X$ 边缘的字母词分布。

4. Lemma 6.4：一个时间轨道的代数选择

pp.35–36。结论可以理解为：或整个轨道已经解离，或在有限个固定同余类上，每条子轨道都解离，或在这些同余类上都成为群值多项式。三项不要求互斥。

4.1 一条有限 $\pm 1$ 关系为什么导致双向有限生成

若 $(G^{r}l)_{r\ge 0}$ 不解离，取一个非零有限 $\pm 1$ 关系，移去开头零项并作用 $G$ 的逆幂，写成

$q=0$ 时 $l=0$，直接属于多项式情形。设 $q\ge 1$。最高项系数为单位 $\pm 1$，使 $G^ql$ 可表示为 $l,\ldots ,G^{q-1}l$ 的整数线性组合；平移该关系，递归生成以后全部正向迭代。最低项系数同样为 $\pm 1$，使负向迭代也可递归表示。因此两侧轨道生成的群

由 $q$ 个元素 $l,\ldots ,G^{q-1}l$ 生成。若关系两端不是单位整数，此双向有限生成不能这样得到。

由有限生成交换群结构，$K$ 的挠子群 $K_{\mathrm{tor}}$ 有限，商群 $\overline K$ 是有限秩自由格。$G$ 诱导其上的整数格自同构 $\overline G$。

4.2 有膨胀特征值时，每条同余类都解离

若 $\overline G$ 在复化向量空间上有 $|\lambda |>1$ 的特征值，选非零左特征泛函 $\varphi$，满足 $\varphi\overline G=\lambda\varphi$。因为 $\overline l$ 的双边轨道张满该空间，$\varphi (\overline l)\ne 0$；否则 $\varphi$ 在全部轨道上为零，便是零泛函。

选择 $p$ 使 $R=|\lambda |^{p}>2$。对任意 $j\in\{0,\ldots,p-1\}$，

若不同 $m$ 指标上有有限 $\pm 1$ 关系，取最大指标 $M$，则其最大项模长严格大于其余项之和，因为

矛盾。故每个同余类的子轨道都解离。同一个 $p$ 对全部有限个 $j$ 有效。只需在商的线性像中排除关系，便已排除 $K$ 中的关系，不要求挠子群为零。

4.3 无膨胀特征值时，幂零差分必须包含挠元

若 $\overline K$ 有正秩且没有模长大于1的特征值，由 $\det\overline G=\pm1$，全部特征值模长都为1。下面可直接证明它们是单位根，无须省略为一个黑箱。

$\overline G^{n}$ 的特征多项式具有整数系数。固定维数 $d$ 时，其第 $a$ 个系数是 $d$ 个模长1的数的 $a$ 阶初等对称式，绝对值至多 $\binom da$，与 $n$ 无关。因此这些特征多项式只有有限种。每个 $\lambda$ 的全部正整数幂 $\lambda ^{n}$ 都是这有限个多项式的根，取值集有限，所以两次幂相等，$\lambda$ 是单位根。

取 $p$ 同时满足：$\overline G^{p}$ 所有特征值为1，$G^{p}$ 在有限群 $K_{\mathrm{tor}}$ 上为恒等。于是令 $N=G^{p}-\operatorname{id}$，存在 $d_{0}\ge 1$，使

第一式由有限维幂零性及无挠商格注入其复化得到；第二式由 $p$ 的选择得到。因此

这额外一次 $N$ 不能无理由删除，因为没有选一个被 $G$ 保持的自由部分补空间。一个简单模型是 $K=\mathbb Z \oplus \mathbb Z /2$、$G(n,e)=(n,e+n\bmod2)$：它在自由商及挠元上都是恒等，但 $G-\operatorname{id}$ 本身未必为零，其平方才为零。

$\overline K$ 秩为零时 $K$ 全有限，取 $G$ 在 $K$ 上的阶作 $p$ 即有 $N=0$，也包括在结论中。令 $d$ 为一个使 $N^d=0$ 的正整数，由整数二项式展开，

所以每条同余类上的标签是群值多项式。二项式系数是整数，这个等式在有挠元的群中也有意义，不需要除法。

5. Lemma 6.5：多项式标签只需要普通混合

pp.36–37。现在不要求 $X$ 零熵或有限字母，只要求 $X$ 混合、$x_*\eta =\mu _X$，并保留标签关系(60)。取任意固定 $p\ge 1$、任意有界中心化 $F$，以及群值多项式

目标是证明

$P(m+h)-P(m)$ 的次数至多 $d-1$，因为 Vandermonde 恒等式把 $\binom{m+h}a-\binom ma$ 写成 $\binom mb$、$b<a$ 的整数线性组合。该次数下降在任意交换群中成立。

5.1 常数标签的基例

若 $P(m)=l_0$，令 $g\in L^\infty(\mu_X)$ 满足 $g\circ x=\mathbb E[\overline{\chi_{l_0}}\mid\sigma(x)]$，其中 $|g|\le1$。则

由普通混合和 $\int F=0$ 得到。先对单项收敛，再 Cesàro 平均其绝对值，得到基例。$l_{0}=0$ 也包括在内。

这里 $g$ 可以依赖这个耦合；不需要混合对所有可能 $g$ 有统一速率。最后对每个条件空间单独应用此结论即可。

5.2 相位对齐，然后在固定 $L^{2}(\eta )$ 中差分

假设所有更低次数的结论已经证明。对当前每项积分选择确定相位 $\omega _m$ 使其对齐，在固定 Hilbert 空间 $L^{2}(\eta )$ 中定义

$\|v_m\|_{2}\le \|F\|_{\infty }$。对固定正整数 $h$，利用内积第二变量线性及标签的带常相位的乘法关系，

对齐相位及带常相位的乘法的常相位都在绝对值里消失。把 $F_h$ 写成中心化部分 $F_h-\int F_h$ 和常数部分。前者适用低一次数归纳假设，后者的每项积分绝对值至多 $|\int F_h|$，故

固定 $h$ 后才取 $n\to \infty$；没有在随 $n$ 变化的 $h$ 上直接使用归纳极限。

5.3 把 Hilbert 空间 van der Corput 算到最后

固定 $H\ge 1$。记 $A_n=n^{-1}\sum_{m=0}^{n-1}v_m$，并用

代替它。删去与补上的至多 $H$ 个边界项给出 $\|A_n-B_n\|\le 2H\|F\|_{\infty }/n$。

由平方范数的凸性，

展开平方。$H$ 个对角项至多贡献 $\|F\|_{\infty }^{2}/H$。正滞后 $h$ 有 $H-h$ 组配对，反向配对给相同实部。对每个固定 $a,h$，平移平均起点至多改变 $2a$ 个、每个模长至多 $\|F\|_{\infty }^{2}$ 的内积项，误差趋零。再用(66)，得到

普通混合与中心化给出

于是先取 $n\to \infty$ 后，再让 $H\to \infty$，右侧的对角项及加权 Cesàro 项都趋零。因此 $A_n$ 在 $L^{2}(\eta )$ 中趋零。

但相位已经对齐，所以

归纳完成。整个论证只把时间作用于 $X$ 变量；对 $\eta$ 从未作时间换元。平均 $v_{m+a}$ 只是在固定 Hilbert 空间里平移序列指标，不是声称存在保 $\eta$ 的变换。

6. 合并同余类，得到 Proposition 6.1

对固定标签 $l$ 应用 Lemma 6.4。

• 若整个轨道解离，直接把 $F_m=f(T_X^mx)$ 代入零熵引理。
• 若有固定 $p$ 使每条 $G^{pm+j}l$ 子轨道解离，对各个 $j$ 使用第 3 节的字母窗口熵估计和零熵引理。
• 若每条子轨道是式(65)的群值多项式，应用 Lemma 6.5，取 $F=f\circ T_X^{j}$。它因 $\mu _X$ 不变而仍中心化；Lemma 6.5 允许任意有界 $F$，不要求它在原点仍是单坐标函数。

设每项绝对相关为 $a_r\ge 0$、$a_r\le \|f\|_{\infty }$。对给定 $p$，将前 $N$ 项按 $r=pm+j$ 分开。第 $j$ 类的项数 $n_j(N)$ 满足 $n_j/N\to 1/p$、$n_j\to \infty$。于是，当 $N\ge p$ 时，

有限个同余类的平均均趋零，得到(61)。$p,d$ 可以依赖标签 $l$；该结论不需要对全部群标签有统一速率。

7. §7 的积分矛盾究竟用了什么

现在才回到 Proposition 5.5 的参数条件空间。它给出一个固定有限集合 $B\subseteq L$、同一个抽象群自同构 $G$、固定中心化的单坐标函数 $f$，以及下式定义的可测函数。此处将前章的抽象群 $\mathcal L$ 记作 $L$，并将 $\kappa (y)$ 简记作 $x(y)$，与原文 §6 的记号一致。

满足共同满测集上的

这些 $s_r$ 的可测性已由前篇式(58)的内在移动块上的系数和证明。这里只需要集合等式 $J_u(G^{r}B)=B_{S_{0}^{-r}b}(u)$，不需要逐标签的等变等式 $\tau _uJ_u=J_{T_Uu}G^{-1}$ 对所有 $u$ 成立。后者是更强、未经证明且本段不需要的逐标签时间规则的常数化断言。

对逐 $r$ 取得的版本相等与有界性，在可数个 $r\ge 0$ 上取交，便得上述共同满测集。这里不能重新以非可测 $J_u$ 的单标签表达式来证明 $s_r$ 可测性。

固定典型 $u$。$x$ 在 $\eta _u$ 下的边缘恰是 $\mu _X$；标签函数在这个条件空间内满足(60)。因此对有限个 $l\in B$，逐一使用 Proposition 6.1，得到

只需逐个条件空间应用，完全不要求 $\eta _u$ 不变、零熵或混合。证明中相位的选择可以依赖 $u$，不必随 $u$ 可测；将要积分的是已经独立证明可测的 $A_N$。

有限 $B$ 允许将各标签的收敛相加。若 $B$ 无限，当前论证没有提供这个求和步骤所需的统一控制，所以不能省略此前有限块构造。

由于 $0\le A_N(u)\le |B|\|f\|_{\infty }$ 且 $\nu$ 为概率测度，有界收敛给出 $\int A_N\,\mathrm d\nu\to0$。另一方面，对每个有限 $N$，积分与有限和可以直接交换，

矛盾。这是 Proposition 5.5 与 Proposition 6.1 的真实接合点。

虽然式(61)只是时间 Cesàro 消去，R 所追求的结论仍是所有时间间隔趋于无穷的布局的收敛。这里平均只用于排除一个假定最小失败阶产生的非零见证，不是把原目标弱化为平均意义的混合。

8. 极限次序与积分条件

零熵引理中：先固定 $\varepsilon$、确定词及相位，获得对这些系数一致的指数界；再对有限高概率词作并集界；最后 $n\to \infty$，再 $\varepsilon \downarrow 0$。没有条件化后的标签独立性假设。

代数引理中：先固定一个标签 $l$；若存在有限 $\pm 1$ 关系，其两端单位系数产生有限生成 $K$；之后 $p,d$ 固定，才让同余类参数 $m\to \infty$。有挠元时仍保留 $N$ 的额外一次作用。

多项式引理中：次数归纳先固定 $p$、$F$、$P$；每次先固定 $h$ 作 $n\to \infty$ 的相关估计，再固定 $H$ 展开有限滞后和，最后 $H\to \infty$。混合从未对一族随 $n$ 变化的测试函数作未经证明的统一估计。

最后回到 $u$：只需每个典型条件空间的收敛。统一可测且有界的是有限块和 $A_N$，不是每个非可测抽象识别的单标签系数；不需要一个关于 $u$ 统一的混合速率。