第四章　可测标签与有限移动块

本章对应 R Lemma 3.6（pp.13–14）、Proposition 4.8（pp.22–23）与 §5（pp.23–33）。前章固定参数逐点讨论算子；现在先补参数之间的条件独立同分布几何，再把分组结果恢复到单独坐标，建立可测标签和有限块，最后将原始见证变成有限块系数和的正积分。

固定原文，第13页起

给定局部参数 $u$ 后的概率空间 $(Y,\eta _u)$，以下称为“条件空间”（原文 fibre）；对应的 Hilbert 空间是 $H_u=L^{2}(\eta _u)$。参数元组（tuple）则是按位置排列的有限列表 $p=(p_{1},\ldots ,p_k)$。

1. 这里有三道不同的关口

前篇只证明：对一个固定典型参数方阵，一格的行可见空间与列可见空间的交，由共同精确函数线张成。本篇需要依次补上三件事。

第一，为什么单个元组分布的整个可见空间都由精确函数线张成？这不是交空间结论的直接重述。必须使用 Lemma 3.6 提供的条件独立同分布参数对，再用平均投影的核来排除漏掉的向量。

第二，即使每个元组都有可数精确函数线，怎样得到随参数变化的可测列表，而且让这个列表只依赖该格的局部参数 $u$？原文先在参数元组 $p$ 上用紧算子谱枚举，再用条件独立下降到 $u$。不能直接选择每个条件空间的基，并把这些选择当作可测。

第三，时间怎样作用到这些列表？原文最后只要求时间置换整块有限标签；它没有为每个单独标签选择一个参数无关的时间规则。正因为最终观察量是对整块求绝对系数之和，非可测的抽象群识别才不进入待积分函数。

全部张成均指闭线性包；Hilbert 内积第二变量线性。局部状态系统 $Y$ 不被假定混合或零熵，条件概率 $\eta _u$ 也不被假定在 $T_Y$ 下各自不变。

2. Lemma 3.6：对角参数为何条件独立同分布

设方阵状态为 $y_{a,j}$，局部参数为 $u_{a,j}$。记行参数 $p_a=(u_{a,j})_j$、列参数 $q_j=(u_{a,j})_a$。每个参数元组的边缘律是 $\pi$；其单坐标边缘是 $\nu$。令

记 $I=\{1,\ldots,k\}$。要证明的是，对任意 $a\in I$ 及真子集 $J\subsetneq I$，

先取 $J=I\setminus\{j_0\}$，记 $Z=Y_{a,I}$ 为整行，$O=(Y_{I,j})_{j\in J}$ 为这些整列，$S=(y_{a,j})_{j\in J}$ 为共有条目。使用不加入附加参数的滚轴扩张、投影位置 $a$。该扩张已由 Lemma 3.4 的起点验证合法。其旧 $\mathcal O_{1,j_0}$ 拉回是 $\sigma (S)$，新 $\mathcal O_{1,j_0}'$ 是 $\sigma (O)$。对整行的测试 $F$ 使用饱和性，得到

因为 $S$ 同时是 $Z$、$O$ 的函数，对有界 $F,G$，

因此 $Z$、$O$ 给定 $S$ 后独立，特别 $\operatorname{Law}(O|Z)=\operatorname{Law}(O|S)$。无条件下，$J$ 中整列相互独立，各有 $m_{1}$ 分布。对每列各自的共有条目条件化，得到

现在只取各列的参数像。在单列中，参数 $q$ 与位置 $a$ 的状态 $y_a$ 的联合律为 $\pi(\mathrm dq)\eta_{q[a]}(\mathrm dy_a)$。将 $\pi$ 在 $q[a]=u$ 上分解，等于

$\eta _u$ 集中于 $u(y_a)=u$，所以 $q$ 给定 $y_a$ 的条件核恰为 $K_a(u(y_a),\mathrm dq)$。于是给定 $Z$ 的列参数核为上式(18)的右端。它只读 $p_a$，而 $p_a$ 是 $Z$ 的函数；再向 $p_a$ 条件化就得(18)。任意更小 $J$ 取边缘即可。

在对角格令 $a=i$、$j=i$。给定 $p_i$，$q_i$ 的核是 $K_i(p_i[i],\mathrm dq_i)$。$p_i$ 自身边缘为 $\pi$，故给定共享 $u=u_{i,i}$ 后 $p_i$ 的核也是 $K_i(u,\cdot )$。于是

这里才得到后面所需的两个参数元组条件独立同分布。没有断言整个参数方阵为产品分布。

3. Proposition 4.8：从分组后的精确乘法关系还原全部坐标

固定一格 $(a,j)$。把行 $a$ 和列 $j$ 各自孤立为单元素组，再将其余行和其余列各分成两个非空组。该格的可见空间 $V$、$W$ 不受怎么分组影响，因为其余两组仍包含该行或该列的全部其它坐标。前篇给出 $V$、$W$ 投影对易，$D=V\cap W$ 由对两种三格分组都满足精确乘法关系的线张成。

关键是同一条线必须适用于所有分割。先固定行分组，变化列分组：这些共同精确函数线族都是同一个固定列分布的精确函数线正交家族的子集，且闭张成都是同一个 $D$。两个正交家族的子集若闭张成相同，必为同一子集，否则仅在一侧出现的线会与另一侧的整个闭包正交。因此这批线对所有列分割都适用。再固定最初列分组，变化行分组，同理得到对所有行分割都适用。

$k=3$ 已无待拆的组合坐标。设 $k>3$，取该格一条线的模长一代表 $\chi _j$。对 $I\setminus\{j\}$ 的每个非平凡二分 $S\cup S^c=I\setminus\{j\}$（此处补集在 $I\setminus\{j\}$ 内取），都有模长一函数 $a_S$、$b_S$，使

吸收常相位后，所有 $a_Sb_S$ 都等于同一个其余坐标函数 $\Phi =\overline{\chi _j(Y_j)}$。这些其余 $k-1$ 坐标有产品边缘，故上述函数相等也是在该产品概率空间中成立。

对每个单元素分割 $\{i\}$，$\Phi$ 落在一维线 $\operatorname{span}(a_i)$ 与其余坐标 $L^{2}$ 的张量积里。投影到各个 $\operatorname{span}(a_i)$ 的算子作用在不同张量因子，因而对易；它们全都固定 $\Phi$。其乘积投影的像是一维完整张量线，所以 $\Phi$ 是各 $a_i$ 的纯乘积乘一个常相位。于是 $\chi _j$ 可完成为全部 $k$ 个单独坐标的精确乘法元组。列方向相同。反之，完整行列精确函数线都属于 $D$。

第二项交织也能直接匹配到前篇：把给定行 $a$ 设为单组，把目标两列 $s,t$ 设为单组，其余列合成第三组；其余行分成两组。前篇 Lemma 4.4的行边交织，正是

这里 $v$ 记录其余 $k-2$ 个行内状态。没有交换两条数组轴。

若完整一行的精确乘法元组满足 $\prod_{j\in I}\chi_j(Y_j)=c$，则

标量模长为一。结合交织与 $P^W$ 的共轭不变性，一条配对函数线属于其列可见空间，当且仅当其它配对函数线属于各自列可见空间。反向边给出逆向蕴含。

所有分组、位置均有限。固定参数下的中间群或基可以非可测地选择；本命题的结论只涉及原始条件核的可见空间和精确函数线，尚未给出可测编号。

4. Lemma 5.1：从交空间到整个可见空间

令 $H_u=L^{2}(\eta _u)$。用状态空间上一套可数有界简单测试及 Gram–Schmidt，可以将这些 Hilbert 空间族放在同一可测 $\ell ^{2}$ 坐标系中；零方向留作零填充。它只读 $u$，所以共享同一个 $u$ 的两个元组使用同一 $H_u$。

记 $\Pi_i(p)$ 为 $\lambda _p$ 在位置 $i$ 的可见空间的正交投影；$C_i(p)$ 为其精确函数线的闭张成。条件期望的可数产品测试给出可见空间的可测生成族，有限维投影递增到 $\Pi_i(p)$，故 $\Pi_i$ 是可测算子场。此时还没有假定 $C_i$ 的可测性。

由第 2 节，交汇于 $(i,i)$ 的 $p,q$ 给定 $u$ 后独立同分布，共同核 $\pi_i^u=\pi(\mathrm dp\mid p_i=u)$。由第 3 节，对于几乎所有这样的参数对，

如何在 $C_i$ 尚未可测时使用“几乎所有”？先取由可数条件核等式确定的可测满测参数方阵集，再对方阵的 $(p,q)$ 像作分解。对一个可测满测的参数对集合，其条件概率集中于合格方阵和指定 $(p,q)$，所以每对至少存在一个合格完成。结论(38)只读 $p,q$ 对应的两种条件律，与选哪个完成无关。这里不选择可测完成，更不对 $C_i$ 作积分。

对典型 $u$，定义正压缩

这里 $Q_{i,u}$ 是正交投影；它只在 $H_u$ 内取核。

积分按矩阵元定义；$Q$ 是 $H_u$ 上 $(\operatorname{id}_{H_u}-B_{i,u})^n$ 的强极限，因此可测。若用环境 $\ell ^{2}$，应先把标准 $e_j$ 投影到 $H_u$，并将 $H_u$ 外的算子取零，不能把环境补空间误记为本条件空间的核。

对这些 $e_j$，

可数交并取伴随，得对几乎所有 $p$，

固定同时满足(40)及(38)满测 $q$-截面的 $p$。若 $v\in \operatorname{Ran} \Pi_i(p)$ 且 $v\perp C_i(p)$，则因投影对易，$\Pi_i(q)v$ 落在(38)的交空间，因而

积分得 $\langle v,B_{i,u}v\rangle =0$，即 $v\in \operatorname{Ker} B_{i,u}$；(40)迫使 $v=0$。每条精确函数线本来就在可见空间中，所以

同一个 $p$ 的满测 $q$-截面里，(38)已是整个子空间的断言，故本段可同时处理所有 $v$；无须选择关于 $p$ 可测的反例向量 $v$。

5. Proposition 5.2 的第一半：先在元组上做可测编号

5.1 构造可测紧算子，不先假设有可测基

固定位置 $i$ 和另一个位置 $j\ne i$。令

为从第 $i$ 格向其余全部格的条件期望。其余 $k-1$ 坐标有产品边缘，故右侧正是它们的 $L^{2}$ 空间。$\Delta$ 可测、压缩，是反方向条件期望的伴随，因此在可见空间的正交补上为零。

若 $\chi _\ell$ 是精确函数线的单位代表，$\Delta\chi _\ell$ 是其余各格的配对代表共轭的单位纯张量，乘一个常相位。取每个 $H_u$ 单位球中的可数稠密测试 $g_n(u)$。令 $\theta _g h=g\langle g,h\rangle$，定义

这些算子的矩阵元已经可测，并未使用线的编号。现在仅在固定 $p$ 上，使用第 4 节证明存在的正交精确函数线构成的基来分析 $A_n$。对不同标签，两边纯张量在每个其它位置的配对代表都正交。由于 $k\ge 3$，在 $i,j$ 以外至少还剩一个未插入 $\theta$ 的因子，它使非对角矩阵元为零。因此 $A_n$ 对角化于这些线。记 $w_{j,\ell}$ 为 $\Delta_i(p)\chi_\ell$ 在第 $j$ 个位置上的单位张量因子：它是精确元组中该位置配对代表的共轭，允许相差常相位。特征值为

后一界来自 Bessel 不等式。稠密测试检测每条线，也区分任意两条不同的线对应的系数序列。

5.2 用随机正权重去除重谱

取独立连续分布权重 $0<w_n<2^{-n}$，令 $A(p,w)=\sum_{n\ge1}w_n A_n(p)$。级数算子范数收敛、联合可测、正且迹有限，所以是紧算子。在任何尚未满足这些性质的零测参数集上可设为零；迹有限由可数对角元之和检验，是可测条件。

需要可测地识别“正特征值是否重复”。给定正紧算子 $A$，其范数 $\alpha$ 可由可数稠密向量计算；若 $\alpha >0$，则强极限 $(A/\alpha )^m$ 是最高特征值投影 $Q$。$Q$ 的矩阵元、秩都可测。移去 $\alpha Q$ 后重复这一递归，列出全部不同的正特征值及其有限维空间。因此“某一步正谱投影的秩至少为2”是可测事件。这个事件不需要预先的精确函数线可测枚举。

对每个固定 $p$，不同精确函数线的 $(a_n(\ell ))_n$ 不同。选一个差异坐标 $n$，条件于其余权重，两个加权特征值相等至多允许一个 $w_n$ 值，概率为零。每个 $p$ 只有可数条正交线，因此有重谱的权重概率为零。对前述可测碰撞事件用 Fubini，选出一套确定权重，使 $\pi$-几乎所有 $p$ 的全部正谱简单。

每条可见空间中的精确函数线都有某个 $a_n>0$，所有 $w_n$ 正，故它的加权特征值严格正；可见空间的正交补才是零空间。正特征值趋零并不会额外产生核向量。于是递归出的秩一正谱投影正好编号全部精确函数线。

5.3 向量代表、匹配与可测性

对每个秩一投影，投影第一个像不为零的可数坐标向量并归一化，选出可测单位代表。它处在一条精确函数线上，故作为函数几乎处处模长一。

在这一阶段，可测截面的参数仍是整个元组 $p$。固定位置 $i$ 后，截面的值属于 $H_{p_i}$。下面的逼近给出关于 $(p,y)$ 联合可测的函数代表。精确函数线族仅依赖局部参数 $u$ 的结论，要到本章第6节才建立。从这样的可测向量族得到联合可测的函数代表，还需要下面的逼近。用可数有理简单截面逐个条件空间逼近，误差取 $2^{-m}$，选第一个达到误差者；选择条件可测。相邻逼近在积分 $L^{2}$ 中可求和，从而在积分 $L^{1}$ 中可求和，有联合可测的几乎处处极限，且代表原截面。原文不是直接从每个条件空间存在代表推断联合可测。

一组已列出的单位模长代表 $\chi _i$ 成为精确乘法元组，当且仅当

这是可测标量条件。配对的唯一性保证它能在可数列表里定位唯一的匹配线元组。因此元组上的枚举与精确匹配都可测。

6. 从元组列表下降到局部参数 $u$

这一段不能只引用上一节的谱枚举，因为枚举目前依赖整个 $p$。

6.1 判断行标签是否属于各列可见空间：一个共同的 $0/1$ 量

固定一个典型方阵和一组沿行 $a$ 匹配的精确函数线，代表为 $v_j$。令 $Q_j=\Pi_a(q_j)$ 是对应列可见空间的正交投影。它与行可见空间的正交投影对易，交空间又由共同精确函数线张成；精确函数线相互正交，所以

该 $\varepsilon _j=1$ 恰表示此行标签同时是列的精确函数线。式(36)、投影交织和共轭不变性给出 $\varepsilon _j=\varepsilon _t$ 对所有 $j,t$。

从上一节的可测列表选择这组行标签。给定行参数 $p_a$，$\varepsilon _j$ 只读 $q_j$ 与这组已固定的代表。Lemma 3.6 使不同 $q_j$ 两两条件独立，所以 $\varepsilon _j$ 也是两两条件独立。它们又几乎处处相等，因此共同条件均值 $r(p_a)$ 满足 $r=r^{2}$，只能取 0 或1。

在对角位置 $j=a$，第 4 节的平均投影给出

严格不等式由(40)及 $v_a\ne 0$ 得到：若正算子的二次型为零，向量在其核里，而可见空间已与核正交。因此 $r=1$。对可数行标签及有限格子取交，得到每条行上的精确函数线都是其所在格的列上的精确函数线。

6.2 对角处的条件独立同分布使整族只读共享 $u$

在 $(i,i)$，两个条件独立同分布元组的第 $i$ 个位置的精确函数线族几乎处处满足包含关系。交换两个独立同分布副本得到反向包含，因而两族相等。

为把这句相等变成可测下降，不选一个依赖 $u$ 的元组。用局部稠密测试 $g_n(u)$，将正交单位线族 $\mathcal S$ 编码为

该式不依赖相位或排列，迹至多1；元组枚举已使其矩阵元可测。给定 $u$，两个独立同分布编码相等，所以每个有界矩阵元的条件方差为零，它等于自身对 $u$ 的条件期望。这些编码因而下降为只依赖 $u$ 的可测算子场。

编码确实足以找回 $\mathcal S$。对任一固定条件空间，所有 $K_n$ 在 $\mathcal S$ 上对角，稠密测试检测并区分各线；使用上一节的正权重简单谱构造，就从这些算子重新找回同一族线。因此同样可测谱递归产生局部列表 $\mathcal L_i(u)$，与几乎所有 $p$、$p_i=u$ 的原列表一致，不需要可测选择代表元组。

在非对角格 $(a,j)$，第 6.1 节的包含现在写成 $\mathcal L_j(u_{a,j})\subseteq \mathcal L_a(u_{a,j})$。该单参数边缘为 $\nu$。遍历有限个有序对 $a,j$，便知各 $\mathcal L_i(u)$ 几乎处处相等，得到一套公共局部列表 $\mathcal L(u)$。没有假定不同位置的参数元组分布可交换。

6.3 群运算、时间与方阵匹配

线的乘法取模常相位，Lemma 4.2 使 $\mathcal L(u)$ 成为可数交换群；常数线记0。不同标签正交，非零标签均值零，取可测代表 $\chi _{u,\ell }$ 满足 $\chi _{u,0}=1$，且

两个单位向量给出同一条线当且仅当内积绝对值为1。用这个可测条件在列表中查找乘积、逆及配对代表，可得可测群运算和群同构 $\Phi_{st}(p):\mathcal L(p_s)\to\mathcal L(p_t)$。

时间核的协变性 $\eta _{T_Uu}=(T_Y)_*\eta _u$、$\lambda _{T_U^I p}=(T_Y^I)_*\lambda _p$，使 $[\chi ]\mapsto [\chi \circ T_Y^{-1}]$ 给出 $\tau_u:\mathcal L(u)\to\mathcal L(T_Uu)$，并保精确匹配。可测列表及上述相等测试保证 $\tau$ 及其逆可测。对整数时间平移取可数交，分别得到局部、元组与方阵的不变满测集；不把它加强为所有好局部参数拼成的每个元组都有效。

给定方阵一格的标签，先唯一补全它的一行，再逐列唯一补全。每列代表的乘积恒定，初始行乘积也恒定，因此其余 $k-1$ 个各行函数乘积的乘积恒定。其余整行是条件独立的真子族；各行函数乘积模长一，于是各自均值的绝对值之积等于1，每个均值绝对值均为1，各行函数乘积自身恒定。所以所有行都匹配。唯一性由初始行及逐列的配对的唯一性给出。可数标签列表使这个结论在方阵参数满测集上对所有初始标签同时成立。

7. Lemma 5.3：为什么引入计数测度

令 $Z=\{(u,\ell):\ell\in\mathcal L(u)\}$，定义 $\xi(\mathrm du,\mathrm d\ell)=\nu(\mathrm du)\,\#_{\mathcal L(u)}(\mathrm d\ell)$，其中 $\#_{\mathcal L(u)}$ 是该标签群上的计数测度。每个条件空间的前 $N$ 个编号组成的集合质量至多 $N$，所以 $\xi$ 是 $\sigma$-有限。$\tau (u,\ell )=(T_Uu,\tau _u\ell )$ 保 $\xi$。

在参数元组 $p$ 上，给一个位置标签就唯一确定匹配元组。在 $\pi(\mathrm dp)$ 上对这些匹配元组计数，得到 $Z^I$ 上的 $\widetilde\pi$；在参数方阵上对匹配标签数组计数，得到 $\widetilde\vartheta$。唯一匹配保证从任何一个坐标开始数都得到同一测度。因此每个坐标边缘是 $\xi$，每行每列边缘是 $\widetilde\pi$；两种提升也由一个坐标前 $N$ 标签的逆像穷尽，故 $\sigma$-有限。

对于 $s\ne t$，转移核为

它是概率核，即便总测度无限。原因是固定源标签后，每个兼容参数元组恰有一个补全，不引入额外计数权重。同理，给定一条带标签的行后，条件参数方阵律仍是原方阵律给定该行参数的核；每个兼容方阵恰有一个标签补全。

由 Lemma 3.6，给定带标签的行，任意真子族带标签的列独立：参数列先独立，而其标签分别由自身参数和自己的共有格的标签唯一确定。

令 $(M_{st}F)(z_s)=\int F(z_t)K_{st}(z_s,\mathrm dz_t)$。两边坐标边缘均为 $\xi$，Jensen 给出 $L^{2}(\xi )$ 压缩；交换两个坐标得 $M_{st}^*=M_{ts}$。时间等变性给出 $M_{st}$ 与 $V F=F\circ \tau$ 对易。

对任意 $a\ne b$ 和 $s\ne t$，在带标签的方阵的第 $b$ 行取两个 $L^{2}$ 测试。条件于第 $a$ 行，两列 $s,t$ 的转移分别是 $M_{ab}$，且条件独立，因此

从而

所有积分由具有 $\xi$ 边缘的两坐标上的 Cauchy–Schwarz 控制；也可先取有限测度支撑的有界测试，再作 $L^{2}$ 逼近。证明没有把无限计数测度强行归一化。

8. Lemma 5.4：从确定传输到有限块

8.1 一个压缩算子中的酉部分

固定 $s\ne t$，记 $M=M_{st}$。在(47)中取 $(a,b)=(s,t)$、$(t,s)$，得到

令 $H_1=\overline{\operatorname{Ran}M}$、$H_2=\overline{\operatorname{Ran}M^*}$。第一式使 $H_{1}$ 落在 $M^*M$ 的不动空间，该空间包含于 $H_{2}$；第二式取伴随，使 $H_{2}$ 落在 $MM^*$ 的不动空间，该空间包含于 $H_{1}$。因此 $H_{1}=H_{2}=H$。

在 $H$ 上 $M^*M=MM^*=\operatorname{id}_H$；在 $H^\perp =\operatorname{Ker} M$ 上 $M=0$。所以 $M|_H$ 是酉算子，逆为 $M^*$。特别对 $F\in H$，条件期望的等范数恒等式给出

即

原转移核不一定处处确定；这里只对 $H$ 中的观察函数获得确定传输。

8.2 一个正 $L^{2}$ 测试为何重要

用局部枚举设置 $h(u,\ell _n(u))=2^{-n}$。则 $h>0$，$\|h\|_2^2\le\sum_{n\ge1}4^{-n}$。由于 $K_{st}$ 是概率核且目标边缘为 $\xi$，它对 $\xi$-零集在几乎所有源点赋零概率。因此 $v=Mh>0$ 几乎处处，且 $v\in H\cap L^{2}$。

$V$ 是酉且与 $M$、$M^*$ 对易，保持 $H$。定义可测可数向量

负 $M$ 幂只在 $H$ 上取。各坐标有共同满测集上的有限版本，且 $(0,0)$ 坐标严格正。对序列坐标定义移位 $D_{0}$、$S_{0}$：分别令 $n$、$r$ 增加1。由(51)和时间对易性，

$D_{0}$、$S_{0}$ 是可逆且对易的坐标置换。

8.3 关键可数性：目标参数不能被源标签倾斜

给定源点 $z=(u,\ell )$，$K_{st}$ 的目标参数仍有 $\nu$ 分布。这里用了 $\pi$ 中 $p_s,p_t$ 的独立性，以及固定标签没有改变参数核。前者来自 $k\ge 3$ 时两个坐标属于真子族，后者来自唯一补全的计数定义。

定义可测关系 $R(z,u')$：存在 $u'$ 条件空间中某个标签 $\ell _n(u')$，使 $\psi (u',\ell _n(u'))=D_{0}\psi (z)$。存在量词是可数并，序列相等是可数个坐标相等。式(53)说明，对 $\xi$-几乎所有 $z$，满足 $R(z,u')$ 的 $u'$ 有 $\nu$-全测度。

对 $\sigma$-有限的 $\xi\otimes\nu$ 用 Tonelli，选择一个固定 $u'$，使 $R(z,u')$ 对 $\xi$-几乎所有 $z$ 成立。该目标条件空间只有可数个 $\psi$ 值；$D_{0}$ 可逆，所以 $\psi$ 的本质值域可数。此处只选择一个固定目标条件空间，不需要可测地为每个 $z$ 选择目标标签。

取该可数值域中有正质量的值为块指标集 $\mathcal B$。令

$b$ 的 $(0,0)$ 坐标 $b_{00}$ 严格正，且

因此 $B_b(u)$ 对几乎所有 $u$ 有限。可数交后，每个好条件空间的全部标签都落在这些有限块中。仅凭这一步还不能说每块在所有条件空间里大小相同或非空。

两端边缘相同及时间保 $\xi$，使 $D_{0}$、$S_{0}$ 置换 $\mathcal B$，并沿轨道保 $\xi (E_b)$。由(53)与可数标签计数，对 $\pi$-几乎所有 $p$，$\Phi_{st}(p)$ 将每个 $B_b(p_s)$ 双射到 $B_{D_{0}b}(p_t)$。逆向包含用 $\Phi_{st}$ 的双射性和 $D_{0}$ 的可逆性，不能只写一个包含就声称相等。

8.4 相同块移位相消，才得到统一的有限大小

把满足上述条件的参数元组的可测满测集在 $(p_s,p_t)$ 上分解。其边缘为 $\nu\otimes\nu$，所以几乎每个参数对 $(u,w)$ 有一个满足上述条件的参数元组完成。Fubini 选一个共同源 $u_*$，它与几乎所有目标 $u$ 都有这样的完成。

对每个目标 $u$，仅逐点选择一个所得群同构 $I_u:\mathcal L(u_*)\to\mathcal L(u)$。每个 $I_u$ 都把块 $b$ 送到块 $D_{0}b$。这里不要求 $I_u$ 关于 $u$ 可测。

固定一个好目标 $u_{0}$，令抽象群 $\mathcal L=\mathcal L(u_0)$，设置 $J_u=I_u I_{u_{0}}^{-1}$。逆 $I_{u_{0}}$ 把目标块 $b$ 拉回源块 $D_{0}^{-1}b$，再由 $I_u$ 送回目标块 $b$；所以 $J_u$ 保每个块指标。由此各 $|B_b(u)|$ 几乎处处为同一个整数 $m_b$。式(54)使它有限且严格正。

记抽象群中的块为 $B_b=B_b(u_{0})$。在局部时间等变的共同不变满测集内，选择一个 $u$，定义

它是 $\mathcal L$ 的群自同构，并将每个 $B_b$ 送到 $B_{S_{0}b}$。取 $G=A^{-1}$，便有

$G$ 固定后实现的是所有整块的置换。没有断言 $\tau _uJ_u=J_{T_Uu}G^{-1}$ 对所有 $u$ 成立，更没有断言各条件空间内单个标签的实际时间轨道等于抽象 $G$ 轨道。这个弱于逐标签等变性的结论，正好足够下一节使用。

9. Proposition 5.5：原始见证怎样落入一个有限块

假定初始 $X$ 是 Proposition 2.1 所给的零熵有限字母混合过程，且第1层保留非零见证相关。对固定位置 $i$，给定参数元组 $p$ 后，把其余见证函数的乘积向第 $i$ 格条件期望，所得函数属于 $\Pi_i(p)$ 的可见空间。若 $f_i\circ \kappa$ 对几乎所有 $p$ 都与该空间正交，原见证积分就为零。这里可把其余函数的乘积取共轭来匹配第二变量线性的内积约定；可见空间在取共轭下不变。

由 Lemma 5.1 与局部标签列表，遂可取一个见证 $f=f_i$，使在正 $\nu$-测度的参数上至少有一个局部标签的系数非零。因 $\kappa _*\eta _u=\mu _X$，

恒等标签的系数为零，故非零标签承担这个相关。

本章继续以 $\kappa(y)$ 表示原文在此处简记的 $x(y)$。对每个块 $b$ 定义内在可测函数

块可数且覆盖全部标签。如果每个 $c_b$ 的积分都为零，则它们各自几乎处处为零，可数交后全部系数为零，与上段矛盾。因此存在固定 $b$，使 $c=\int c_b\,\mathrm d\nu>0$。又因块大小固定有限，$c_b\le m_b\|f\|_{\infty }$，所以 $c$ 有限。令 $B=B_b\subseteq\mathcal L$。

对每个好 $u$，使用已存在的保持块指标的 $J_u$，定义 $\chi _\ell ^u=\chi _{u,J_u\ell }$。虽然 $J_u$ 未知可测，但每个固定条件空间内，这族代表满足

对 $r\ge 0$，原文式(56)定义

不能仅从这个含非可测 $J_u$ 的写法断言 $s_r$ 可测。由(49)和 $J_u$ 的保块性，该式等于

右边是已可测局部列表中一个可测有限块的和，因此可测。换代表的常相位或在整块内部重排都不改变系数绝对值及总和。这正是无需可测 $J_u$ 的原因。

最后使用条件核协变，而非每个条件空间不变：

令 $y'=T_Y^{r}y$。因 $\kappa$ 保时间，$f(T_X^{r}\kappa (y))=f(\kappa (y'))$；代表 $\chi _{u,\ell '}\circ T_Y^{-r}$ 与时间搬运后标签的代表只差常相位。时间把 $B_{S_{0}^{-r}b}(u)$ 双射到 $B_b(T_U^{r}u)$，所以

$\nu$ 保时间，故对每个 $r\ge 0$，

整数 $r$ 可数，可以在同一个不变局部满测集上安排。每个条件空间的标签及标签对也可数，故函数的单位模、正交性、每个乘法关系可在局部参数满测集上对全部所需标签同时成立，并在每个典型条件空间内再取共同 $\eta _u$-满测集。这里仍不要求对每个参数值或任意参数元组都成立。

此时已经把初始非零相关转成每个时刻积分保持正值的有限块绝对系数和。

这一步没有在扩张 $Y$ 上使用混合或零熵，也没有声称 $\eta _u$ 是不变系统；后续 §6 将使用的仅是每个条件空间的 $X$ 边缘恰为原 $\mu _X$，以及上述标签函数关系。