三变量图表计算附录

本附录对应 H 第 15–20 页 Definition 4.1 与 Lemmas 4.2–4.4，只证明固定三列尺度估计所需的形式。空间变量个数记为 $s\in\{1,2,3\}$ ，避免与主文的精度参数 $k$ 混用。

1. 图表、平移与量的依赖

写 $\mathrm e(t)=\exp(2\pi it)$ 。考虑

Q(z)=\mathrm e(z^T\Lambda z+b^Tz) \sum_{n\in\mathbb Z^d}\chi(Vz-n) \mathrm e\bigl((Vz)^TC(Vz-n)\bigr),\quad z\in\mathbb R^s,

其中 $\Lambda$ 对称， $V$ 和 $b$ 任意实矩阵、向量， $C$ 为有理矩阵。复杂度 $H\ge\mathrm e^2$ 表示

d\le\log H,\quad\operatorname{ht}(C)\le H, \quad\operatorname{supp}\chi\subset[-H,H]^d,

\|\partial^\alpha\chi\|_\infty \le H^{c_0(|\alpha|+1)}(|\alpha|+1)^{c_0(|\alpha|+1)}.

固定阶 Gevrey 常数 $c_0$ 不随任何实频率改变。每一点最多有 $(2H+3)^d$ 个非零格项，所以 $Q$ 的绝对值有 $H$ 的准多项式上界，不需要控制 $V,\Lambda,b$ 。

共轭、固定个数乘积和仿射代换都保留这类形式。平移值得写清楚。取整数 $P$ 使 $PC$ 为整数矩阵；可取 $P\le H^{d^2}$ 。若水平偏移为 $a$ ，写

a=m_0+a_0,\quad m_0\in P\mathbb Z^d, \quad\|a_0\|_\infty\le P.

重新编号格点，并置 $u=Vz,w=u-n$ ，则模整数有

\begin{aligned} (u+m_0+a_0)^TC(w+a_0) ={}&u^TCw+u^TCa_0+m_0^TCu\\ &+a_0^TC(w+a_0)+m_0^TCa_0. \end{aligned}

最后一项是常数，中间两项进入无限制的普通线性相位；含 $w$ 的小偏移项吸收入平滑振幅。振幅的支持和导数只依赖有界的 $a_0$ ，不依赖可能很大的 $m_0$ 。普通二次相位的平移仅改变线性项和常数。因此在一个固定路径点 $y$ 重心化后，复杂度仍统一，所有新的实参数也沿这条路径固定。

下文用 $D_1,D_2,\ldots$ 表示 $H$ 和当前阈值倒数的准多项式数。每次只作固定次数的这种扩大。

2. 傅里叶大值控制每一个小返回

H 原稿第 16 页 · H 原稿第 17 页 · 本章主文第 6 节

令 $\vartheta$ 支持在固定盒子内，其绝对值和 Lipschitz 范数至多 $H$ 。设

F=\vartheta Q,\quad 0<\gamma<1/2, \quad\sup_\xi|\widehat F(\xi)|\ge\gamma.

傅里叶变换采用指数 $\mathrm e(-\xi\cdot z)$ 。可选统一的 $D_1$ ，使

\|F\|_2\le D_1, \quad\int(1+\|z\|)|F(z)|\,\mathrm dz\le D_1,

并使 $\widehat F$ 为 $D_1$ -Lipschitz。

记

A=C-C^T,\quad C_{\mathrm{sy}}=\frac{C+C^T}{2},\quad C_{\mathrm{sk}}=\frac{C-C^T}{2},\quad \operatorname{sym}(B)=\frac{B+B^T}{2}.

这里最后一个定义适用于任意方阵 $B$ 。对任意返回

Vh=m+d_h,\quad m\in P\mathbb Z^d,

平移变量并将格点编号改为 $n+m$ ，得到

F(z+h)=\mathrm e(c(h,m))\mathrm e(\Omega(h,m)\cdot z)F(z)+E_{h,m}(z),

\Omega(h,m)=(2\Lambda+V^TCV)h-V^TAm, \quad \|E_{h,m}\|_1\le D_1(\|h\|+\|d_h\|) \tag{返回恒等式}

当右端括号不超过 $1$ 时成立。

这里没有藏入一个依赖 $V$ 的误差。设 $u=Vz,w=u-n,d=d_h$ ，图表相位的非常数增量为

u^TCd+m^TCu+d^TCw.

前两项等于

z^T(V^TCVh-V^TAm),

后项只含振幅支持内有界的 $w$ 和小量 $d$ 。被丢弃的 $m^TCn$ 为整数。普通二次相位贡献 $2\Lambda h$ ，普通线性相位的增量是常数。平移振幅和 $\vartheta$ 的误差也由相同右端控制。

选 $\xi_0$ 使 $|\widehat F(\xi_0)|\ge3\gamma/4$ ，置

\rho=\frac{\gamma}{100D_1}.

取整数

N=\left\lceil C_sD_1^2\gamma^{-2}\rho^{-s}\right\rceil,

其中 $C_s$ 足够大，以包含维数不超过三的单位球体积常数。再令

a=\min\left\{\frac{\gamma}{100D_1N}, \frac1{100(1+\|A\|)}\right\}.

若返回满足 $\|h\|+\|d_h\|\le a$ ，则对每个 $1\le j\le N$ 可将返回恒等式用于 $(jh,jm)$ 。傅里叶变换的绝对值因此满足

|\widehat F(\xi_0-j\Omega(h,m))|\ge\gamma/2.

若 $\|\Omega(h,m)\|\ge1$ ，这些点周围半径 $\rho$ 的球互不相交；Lipschitz 界使每个球上 $|\widehat F|\ge\gamma/3$ 。Plancherel 遂给出

\|F\|_2^2\ge c_sN\rho^s\gamma^2>D_1^2,

矛盾。故每一个足够小的返回均满足

\|\Omega(h,m)\|<1. \tag{全体小返回界}

所有选择的倒数仍是 $H,\gamma^{-1}$ 的准多项式数。没有假定傅里叶上确界达到。

3. 从小返回构造有理快空间

H 原稿第 17 页 · H 原稿第 18 页 · Minkowski: Henk, Theorem 1.3, p. 2 · 本章主文第 6 节

对两个小返回，直接展开得到

h'^T\Omega(h,m)-h^T\Omega(h',m') =d_{h'}^TAd_h-m'^TAm.

由刚才对 $a$ 的明确选择，

|m'^TAm|\le2a+\|A\|a^2<1.

左边的配对是整数，故它为零。

先设 $d\ge1$ 。定义中心对称凸体

\mathcal K=P^{-1}V[-1,1]^s+[-1,1]^d.

它包含立方体，有非空内部。令 $\lambda_i$ 、 $\mu_i$ 分别为 $\mathcal K$ 、 $\mathcal K^\circ$ 对整数格的逐次极小值。所需转移界是

1\le\lambda_i\mu_{d+1-i}\le(d!)^2. \tag{极体转移界}

下界来自两组维数之和为 $d+1$ 的独立整向量之间必有非零整数配对，再用极体不等式。

上界只需 Minkowski 第二定理的上半边，准确形式见 Martin Henk, Successive Minima and Lattice Points, Theorem 1.3，第 2 页：

\left(\prod_{i=1}^d\lambda_i(B,\Gamma)\right) \operatorname{vol}(B)\le2^d\det\Gamma,

其中 $B$ 是中心对称且有内部的凸体， $\Gamma$ 为满秩格。

为使用它，取 $\mathcal K$ 中绝对行列式最大的列阵 $T$ 。最大性与凸性分别给出

TB_1^d\subset\mathcal K\subset TB_\infty^d, \quad T^{-T}B_1^d\subset\mathcal K^\circ.

因此

\operatorname{vol}(\mathcal K)\operatorname{vol}(\mathcal K^\circ) \ge\frac{4^d}{(d!)^2}.

两次 Minkowski 上界相乘，得到

\prod_i\lambda_i\mu_i\le(d!)^2.

每个反序乘积已至少为 $1$ ，故每个也不超过总乘积，证明转移界。

取

L_0=16(d!)^2, \quad b_{\max}=\frac{a}{100P(d+s+1)}.

在 $d+1$ 个半开区间

(b_{\max}L_0^{-j-1},b_{\max}L_0^{-j}], \quad 0\le j\le d,

中有一个不含逐次极小值，记左端为 $b_0$ 。置

U=\operatorname{span}(\mathbb Z^d\cap b_0\mathcal K).

每个生成整向量 $n$ 都可写成

n=P^{-1}Vh+w, \quad\|h\|_\infty,\|w\|_\infty\le b_0.

于是 $m=Pn,d_h=-Pw$ 是阈值 $a$ 内的小返回。上面的整数配对为零，证明

A|_{U\times U}=0. \tag{快空间各向同性}

阈值还有明确的下界：

b_0^{-1}\le b_{\max}^{-1}L_0^{d+1}.

由于 $d\le\log H$ ，这个倒数仍是所需的准多项式数。

设 $r_0=\dim U<d$ 。空区间保证 $\lambda_{r_0+1}>L_0b_0$ 。转移界给出 $d-r_0$ 个独立整向量

q_\nu\in(16b_0)^{-1}\mathcal K^\circ.

它们与生成 $U$ 的短整向量配对的绝对值小于 $1$ ，故配对为零，恰好张成 $U^\perp$ 。极体定义同时给出

\|q_\nu\|_1\le(16b_0)^{-1}, \quad\|q_\nu^TV\|_1\le P(16b_0)^{-1}.

令 $S$ 为这些行组成的满行秩整数矩阵，定义

P_s=S^T(SS^T)^{-1}S, \quad P_f=1-P_s.

Gram 矩阵 $SS^T$ 是可逆整数矩阵，行列式至少为 $1$ 。Cramer 法则结合有界整数子式，同时控制 $P_s$ 的有理高度与

V_s=P_sV=S^T(SS^T)^{-1}(SV)

的大小；所有界都是准多项式数。若 $r_0=d$ ，直接取 $P_s=0$ 。

4. 三个坐标方向分别控制有效二次矩阵

H 原稿第 17 页 · H 原稿第 18 页 · 本章主文第 6 节

记 $V_f=P_fV$ ，并定义

\Lambda_*= \Lambda+\frac12V^TC_{\mathrm{sy}}V+ \operatorname{sym}(V_f^TC_{\mathrm{sk}}V_s).

对每个坐标向量 $e_j\in\mathbb R^s$ ，在 $[0,b_0]$ 上等距采样

P^{-1}V(te_j)\pmod{\mathbb Z^d}.

将水平环面分成边长至多 $b_0/4$ 的立方体。取超过立方体数的采样点，存在两点落入同一个立方体。其差产生

h=t_je_j, \quad b_0/N_0\le t_j\le b_0, \quad\|d_h\|_\infty\le Pb_0/4, \quad N_0\le C(1+4/b_0)^d.

必要时增大绝对常数来处理非整数分割数。该返回仍满足阈值 $a$ ，其整数部分满足 $P^{-1}m\in b_0\mathcal K$ ，所以 $m\in U$ 。

因此

m-V_fh=-P_fd_h\in U,

而各向同性消去其中的快分量：

V^TA(m-V_fh)=V_s^TA(m-V_fh).

它由已经控制的 $V_s,A,d_h$ 给出准多项式上界。

矩阵恒等式为

2\Lambda+V^TCV-V^TAV_f =2\Lambda_*+V_s^TC_{\mathrm{sk}}V_s. \tag{矩阵余项}

代入返回增量，得到

2\Lambda_*h =\Omega(h,m)-V_s^TC_{\mathrm{sk}}V_sh +V_s^TA(m-V_fh).

右端每项都已控制。除以有定量下界的 $t_j$ ，即可逐列控制 $\Lambda_*e_j$ 。总共只有至多三个列，因此

\|V_s\|+\|\Lambda_*\|+ \operatorname{ht}(P_s)+\operatorname{ht}(P_f) \le\exp\bigl(C(1+\log H+\log(1/\gamma))^C\bigr). \tag{三变量 Weyl 输出}

当 $d=0$ 时，无水平矩阵与图表格点，全部充分小的 $h$ 都是返回，且 $\Omega=2\Lambda h$ 。取 $h=ae_j/2$ 直接控制 $\Lambda$ ，无须引入一个零维凸体。

5. 分裂之后怎样获得固定形式的频率

H 原稿第 18 页 · H 原稿第 19 页 · H 原稿第 20 页 · 本章主文第 6 节

现在只假定已经得到有理分裂，其高度、 $V_s$ 和 $\Lambda_*$ 的大小至多 $B$ 。本节不再使用傅里叶大值。

置

u=Vz,\quad u_f=P_fu,\quad u_s=P_su, \quad w=u-n.

对称部分满足

u^TC_{\mathrm{sy}}w =\frac12u^TC_{\mathrm{sy}}u+\frac12w^TC_{\mathrm{sy}}w -\frac12n^TC_{\mathrm{sy}}n.

各向同性保证 $C_{\mathrm{sk}}$ 在快空间上为零，因此

u^TC_{\mathrm{sk}}w =u_f^TC_{\mathrm{sk}}u_s-u_f^TC_{\mathrm{sk}}P_sn +u_s^TC_{\mathrm{sk}}w.

第一行的普通二次部分与第二行第一项，连同 $z^T\Lambda z$ ，合成 $z^T\Lambda_*z$ 。

取一个偶整数 $P_0$ 清除 $C_{\mathrm{sy}}$ 的分母，则

-\frac12n^TC_{\mathrm{sy}}n\pmod{\mathbb Z}

只取决于 $n\bmod P_0\mathbb Z^d$ 。再令 $q_0$ 为 $P_s$ 的共同分母。在固定的 $z$ 盒子里， $u_s=V_sz$ 有界，且 $w$ 落在振幅支持中，所以

N=P_sn=u_s-P_sw

在 $q_0^{-1}\mathbb Z^d$ 的一个有界盒中。可能的 $N$ 和余类 $a$ 均只有准多项式多个。

按 $P_sn=N$ 、 $n\equiv a\pmod{P_0\mathbb Z^d}$ 分组。移去已知的余类常数及线性相位

-u_f^TC_{\mathrm{sk}}N=\sigma_N^Tu, \quad\sigma_N=-P_f^TC_{\mathrm{sk}}N.

为对余下振幅作 Fourier 展开，引入两个独立变量 $s_0,u\in\mathbb R^d$ 。下面的截止函数均由同一个固定 Gevrey 截止函数，按已控制的尺度作坐标乘积、平移和伸缩得到，因而具有统一的相应 Gevrey 导数界。取 $\eta(s_0)$ 在全部可能的 $V_sz$ 上等于 $1$ ，其支持包含于 $[-L_\eta,L_\eta]^d$ ，可取 $L_\eta=4(1+C_{\mathrm{box}}B)$ ，其中固定常数 $C_{\mathrm{box}}$ 控制所用 $z$ 盒子内的欧氏范数；取光滑函数 $E$ ，使

E(0)=1, \quad\operatorname{supp}E\subset \{x:\|x\|_\infty<1/(3q_0)\}.

定义

\begin{aligned} F_{N,a}(s_0,u)=\eta(s_0) \sum_{n\in a+P_0\mathbb Z^d} &\chi(u-n)E\bigl(s_0-P_s(u-n)-N\bigr)\\ &\times\mathrm e\left(\frac12(u-n)^TC_{\mathrm{sy}}(u-n) +s_0^TC_{\mathrm{sk}}(u-n)\right). \end{aligned}

在 $s_0=P_su$ 时，等式截止函数的输入为 $P_sn-N$ 。这是分母 $q_0$ 的格点，所以截止函数恰好保留指定的组，而非一个近似分组。

该函数对 $u$ 具有周期 $P_0$ 。取受控整数 $P_1=\lceil4L_\eta+2\rceil$ ，则 $\eta$ 的支持严格位于这个周期盒的内部，可将 $s_0$ 方向周期化。其 Fourier 模式为

\mathrm e\bigl(p^Ts_0/P_1+\ell^Tu/P_0\bigr), \quad p,\ell\in\mathbb Z^d.

代回 $s_0=P_su$ ，再恢复上述线性相位，得到

\sigma=\sigma_N+P_s^Tp/P_1+\ell/P_0,

从而有精确绝对收敛展开

Q(z)=\mathrm e(z^T\Lambda_*z+b^Tz) \sum_\nu a_\nu\mathrm e(\sigma_\nu^TVz). \tag{展开频率的形式}

这解释了主文中 $\omega_\nu=\beta_y+V_y^T\sigma_\nu$ 的来源。剩余的实水平值只进入 $Vz$ ，没有变成无界有理系数。

6. 截断、不同分裂和固定有理评价族

H 原稿第 19 页 · H 原稿第 20 页 · 本章主文第 5 节 · 本章主文第 6 节 · 本章主文第 7 节

所有截止尺度、周期、格点组数、振幅支持及有界相位系数，均由某个 $H,B$ 的准多项式数 $D_2$ 控制。在各周期变量归一化到单位周期后，乘积与链式求导给出

\|\partial^\alpha F_{N,a}\|_\infty \le D_2^{C(|\alpha|+d+1)} (|\alpha|+1)^{C(|\alpha|+1)}.

这个界没有包含 $V$ 的无界快部分，因为求导变量是 $s_0,u$ ，并未对合成后的 $Vz$ 求导。

对非零 Fourier 指标 $v=(p,\ell)\in\mathbb Z^{2d}$ ，选其绝对值最大的坐标并分部积分 $m$ 次，得到

|\widehat F_{N,a}(v)| \le D_2^{C(m+d+1)}(m+1)^{C(m+1)} (2d)^{m/2}(1+\|v\|)^{-m}.

一层 $T\le1+\|v\|<2T$ 至多有 $(CT)^{2d}$ 个指标。取 $m$ 为 $(d+1)^2$ 的足够大固定倍数，可使该层所有组的绝对系数和不超过

D_3T^{-2}.

由于 $d\le\log H$ ，这里固定下来的大阶导数前因子仍是准多项式数。于是总绝对系数和至多 $CD_3$ ，在 $T_0$ 以上的尾部至多 $CD_3T_0^{-2}$ 。给定 $\varepsilon_0>0$ ，取 $T_0$ 为 $H,B,\varepsilon_0^{-1}$ 的准多项式数，就得到主文需要的统一一致范数截断。

有理投影矩阵的条目高度至多 $B$ ，这样的矩阵至多有

(2B+1)^{2d^2}

个。可以先对每个可能矩阵和各个有界组取上述系数上界，再求和；仍只有准多项式代价。并不要求每个矩阵都实际成为某个尺度的 Weyl 分裂。实际分裂可以在这个固定有限集合内变化。

在截断范围内， $N,P_0,P_1,P_f,P_s,p,\ell$ 的所有有理条目均有统一准多项式高度。矩阵乘积、固定维数求和与清分母把 $\sigma_\nu$ 的高度也控制在准多项式范围。对于缩放族

V=rV_y,\quad\Lambda=r^2\Lambda_y,\quad b=r\beta_y,

有效二次矩阵的未缩放条目是 $\Lambda_y$ 的条目与 $V_y$ 条目两两乘积的有理线性组合；线性频率则是 $\beta_y$ 、 $V_y$ 条目的有理线性组合。

故可把这些有限个未缩放实量组成 $\chi_y$ 。其维数至多为水平维数的固定多项式，所有评价系数的高度至多

\exp\bigl(C(1+\log H+\log B+\log(1/\varepsilon_0))^C\bigr).

这就是固定三列的尺度计数所需的全部统一性。无需给巨大实频率一个数值上界，也无需假定同一有理快空间对所有尺度有效。

7. 核查范围

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上述推导重建了第 16–20 页中供三变量六原子积分使用的 Weyl 输出和有限展开。经典输入为明确陈述的 Minkowski 第二定理上界，以及有限维 Fourier 分析中的 Plancherel、分部积分和光滑周期 Fourier 展开。后者的绝对收敛及定量尾部已在本附录展开。

本附录没有重建 Section 4 的逆定理或检测引理，也不提供 Proposition 5.6 的基本目录构造。由给定基本数据出发的路径预算与删除误差，见主文。