三个固定基本列为什么只留下有限个活跃尺度

本章精读 H 第 37–38 页的 Lemma 5.7 与 Proposition 5.8。固定原稿为 An $L^3$ bound for the trilinear Hilbert transform，October 5, 2026 版本。

第九章的目录终止论证需要两个不同的数：一条根叶路径上有多少原始列，以及这条路径上有多少活跃格。原始列少，并不意味着路径短。本章解释第二个数怎样由三个固定列的振荡与核的边缘抵消得到，并说明第一个数究竟来自哪里。

下面从第 37 页已经构造好的基本数据出发。第 35–36 页 Proposition 5.6 对这些数据的构造及其替换误差仍是来源输入；本章不倒推该构造成立。固定三列的尺度估计在本章中展开，其三变量解析计算另见本章附录。

上述来源输入的配套证明现见 H11：基本列构造，第 16 节说明它怎样输出原始路径预算。证明保留外部离散逆定理与明确的核条件，不借用本章活跃格结论；第 31、35 页的参数差异另在参数说明中作定量补写。实际后续历史、整个 helper 基和全局吸收仍未包括。

返回 H 导读

1. 原始出生、实际可用和整条路径预算

H 原稿第 7 页 · H 原稿第 37 页 · H 原稿第 39 页

固定一棵有限二进树，根为 $R$ 。每个基本标签 $v$ 有一个支持出生格 $J_v$ 、一个在该格上使用的有界基本标量列 $\phi_v$ ，以及私有坐标：

\Phi_v(y)=\bigl(\phi_v(y),\sqrt{\epsilon_v}\,e_v\bigr),\quad y\in J_v.

标量列是第 15 页 Definition 4.1 的二次图表原子；同一个标量函数重复出现时，仍可有不同标签及不同私有坐标。槽位也是原始列出现位置的一部分。

第 7 页允许某个投影只选取已经出生的部分列。记 $\mathcal V_j(I)$ 为槽位 $j$ 在格 $I$ 实际可用的基本列表。所需条件是

\mathcal V_j(I)\subseteq\{v:I\subseteq J_v\},\quad \mathcal V_j(I)\subseteq\mathcal V_j(I')

当 $I'$ 是 $I$ 的子格时成立。因此，支持出生与进入某个具体列表可以不同；一旦进入，后代继承。同一标签在后代重新拟合系数，不算再次出生。若一个原始标签只在某分支较深处首次可用，也不能把它提前放入祖先的投影。

对完整根叶路径 $\pi$ ，把各格曾经可用的基本标签取并集，而不是把每格的列表大小相加。原始预算是

n_0\ge\sup_\pi\sum_{j=0}^3 \#\bigcup_{I\in\pi}\mathcal V_j(I). \tag{原始路径预算}

若按支持出生数计费，则第 7 页的条件

\sum_v1_{J_v}(y)\le D

直接给出更强的上界。这里可合并有限个基本目录，并把槽位出现分别计数。

第 37 页选取 $D_{\mathrm{base}}$ 同时控制这些路径计数、逆私有权重、原子复杂度及当前系数和，并满足

\mathrm e^k\le D_{\mathrm{base}}\le\exp(k^{C_0}). \tag{基本预算}

第 39 页也明确允许增大这一基本预算，以控制四槽位原始顶点的合并列表。以下记这个已增大的数为 $D$ ，故可取整数 $n_0\le D$ ，并有

\log n_0\le\log D\le k^{C_0}.

这是已有基本构造的预算，不是下面的活跃格计数新产生的结论。

2. 当前基本部分与延迟差

H 原稿第 4 页 · H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页 · H 原稿第 37 页

固定两个低槽位 $i,j$ ，其余记为 $a,b$ 。第 37 页写

Y_l=B_l+U_l,\quad U_i=U_j=0,

U_{e,I}=(P^{\mathrm{new}}_{e,s+K_0}-P^{\mathrm{new}}_{e,s})F_e, \quad e\in\{a,b\},\quad s=\operatorname{depth}(I). \tag{基本分解}

这里的深度投影是相应细分分割上的直和投影。每个 $B_l$ 是至多两个当前基本投影的差。在格 $I$ 上，它的物理部分因此有常系数表示

(B_{l,I})_{\mathrm{phys}} =\sum_{v\in\mathcal V_l(I)}c_{l,v,I}\phi_v, \quad \sum_v|c_{l,v,I}|\le D. \tag{基本列展开}

系数可以随 $I$ 变化。下面不会把它们当作沿路径不变的数。

来源输入还包括所有当前 $B,U,Y$ 的有界局部归一化 $L^2$ 范数，以及原始输入在根处的归一化：

\|F_e\|_{2,R}\le C_F,\quad e\in\{a,b\}.

后一个条件来自第 4 页归一化树上的原始 $L^q$ 条件与 $q>2$ ，不能只从 $B,U,Y$ 的大小反推。限制到新子根时也须重新具备这一输入归一化。增大起始参数后，可用 $D$ 同时压住这些固定常数。较后的更新层还满足：任意两个完整 $Y$ 参数，对另两个任意归一化 $L^2(I)$ 对手的形式范数不超过

\eta_0=\exp(-k^{\theta_0}),\quad \theta_0>0. \tag{完整参数对小量}

这一条来自 Proposition 5.6；它不是纯基本列之间的逐对小量，也没有说任意单个保留模式都小于 $\eta_0$ 。

3. 固定三列的转置范数是什么

H 原稿第 4 页 · H 原稿第 37 页

固定三个不同槽位的基本标量列，空出的槽位记为 $l$ 。在它们共同可用的格上令

A_I=\sup_{\|f\|_{2,I}\le1} |H_I(\phi_0,\ldots,f,\ldots,\phi_3)|, \quad r=|I|,

其中只在槽位 $l$ 放入 $f$ 。三个既定列各自有绝对值上界 $1$ 。

原文第 4 页的归一化形式为

H_I(z)=r^{-2}\int_{\mathbb R^2} w_I(x,t)\prod_{j=0}^3z_j(x+jt)\,\mathrm dx\,\mathrm dt.

令 $u=x+lt$ ，则转置函数为

T_I(u)=r^{-1}\int_{\mathbb R} w_I(u-lt,t)\prod_{j\ne l}\phi_j(u+(j-l)t)\,\mathrm dt. \tag{转置函数}

核的支持使 $T_I$ 支持在 $I$ ，并且

H_I(\phi_0,\ldots,f,\ldots,\phi_3) =\frac1r\int_I f(u)T_I(u)\,\mathrm du, \quad A_I=\|T_I\|_{2,I}.

最后的等式是双线性配对的 $L^2$ 对偶性；若 $T_I\ne0$ ，可取 $f=\overline{T_I}/\|T_I\|_{2,I}$ 。

要证明的固定三列估计有两部分。存在固定 $C,p$ ，对 $0<\delta\le1$ 及每条空间路径，

\#\{I:A_I>\delta\} \le C\bigl(1+\log D+\log(1/\delta)\bigr)^p, \tag{大值尺度数}

\sum_{I:A_I\le\delta}A_I \le C\delta\bigl(1+\log D+\log(1/\delta)\bigr)^p. \tag{小值路径和}

只对三列已经可用的格求和。其实证明控制整个共同支持子树上的尺度；删去未使用的格不会使这些上界变坏。

4. 为什么必须固定一个路径点再缩放

H 原稿第 15 页 · H 原稿第 16 页 · H 原稿第 37 页 · 本章附录第 1 节

取路径上的一点 $y$ ，所有考虑的格都含有 $y$ 。在转置范数平方中代入

u=y+rh,\quad t=r\tau,\quad t'=r\tau'.

三个微分的因子恰好抵消 $r^{-3}$ ，得到

A_I^2=\int_{\mathbb R^3}\Theta_{I,y}(h,\tau,\tau') Q_y(rh,r\tau,r\tau')\,\mathrm dh\,\mathrm d\tau\,\mathrm d\tau', \tag{六原子积分}

其中

\begin{aligned} \Theta_{I,y}(h,\tau,\tau') ={}&w_I\bigl(y+r(h-l\tau),r\tau\bigr)\\ &\times\overline{w_I\bigl(y+r(h-l\tau'),r\tau'\bigr)}, \end{aligned}

Q_y(h,t,t')= \prod_{j\ne l}\phi_j\bigl(y+h+(j-l)t\bigr) \overline{\phi_j\bigl(y+h+(j-l)t'\bigr)}.

所有 $\Theta_{I,y}$ 支持在同一个固定盒子里，各固定阶导数有统一上界。它们允许随格独立变化。

把每个 $\phi_j(y+z)$ 在同一个 $y$ 处重心化后，令

a_j=(1,j-l,0)^T,\quad b_j=(1,0,j-l)^T.

六个原子合成一个三变量图表。其未缩放水平矩阵由各块

\theta_j a_j^T,\quad \theta_j b_j^T

组成，图表矩阵的相应对角块为 $C_j,-C_j$ ，普通二次矩阵和线性向量分别为

\Lambda_y=\sum_{j\ne l}\lambda_j(a_ja_j^T-b_jb_j^T), \quad \beta_y=\sum_{j\ne l}\beta_{j,y}(a_j-b_j).

这里重心化后的参数均已固定；其大小可以任意大。尺度 $r$ 只把这些数据变为

V_r=rV_y,\quad \Lambda_r=r^2\Lambda_y,\quad b_r=r\beta_y. \tag{固定参数的缩放}

若改用每个格自己的中心而不追踪由此改变的实参数，后面的有理高度计数便没有同一个参数向量可用。

5. 有界有理高度为什么控制尺度个数

H 原稿第 13 页 · H 原稿第 14 页 · 本章附录第 6 节

先说明第 13–14 页 Lemma 3.5 中实际用到的结论。设 $\xi\in\mathbb R^d$ 固定，考察所有条目有理高度不超过 $B\ge2$ 的向量所产生的非零数

\mathcal E=\{|q\cdot\xi|:q\in\mathbb Q^d, \operatorname{ht}(q)\le B,\ q\cdot\xi\ne0\}.

不限制 $\xi$ 的大小。

若 $q_1,\ldots,q_m$ 是最小有理相关族，则 $m\le d+1$ 。逐列清分母，再取一个满秩子矩阵的最大子式，可找到全部非零的整数 $c_i$ ，使

\sum_{i=1}^m c_iq_i=0, \quad 1\le|c_i|\le H_d=d!B^{d^2+d}. \tag{短整系数关系}

最小相关性保证这些子式对应的零空间向量没有零分量。

置 $L_d=4dH_d$ 。若一组非零评价的绝对值依次相隔超过 $L_d$ 倍，它们对应的有理向量必线性无关。否则取其中的最小相关子族，最大绝对值那一项至少为其自身，而其余项的绝对值总和小于

dH_d/L_d=1/4

倍的最大值，不可能相消。

从 $\mathcal E$ 的最小值开始，用 $[s,L_ds]$ 覆盖，再从第一个未覆盖值继续。因此至多需要 $d$ 个这样的区间。对 $r_n=r_02^{-n}$ 、 $\ell\in\{1,2\}$ ，条件

\alpha\le r_n^\ell v\le\beta

在每个区间上只允许一个长度为

\ell^{-1}\bigl(\log_2L_d+\log_2(\beta/\alpha)\bigr)

的深度区间。于是

\#\{n:\exists v\in\mathcal E, \alpha\le r_n^\ell v\le\beta\} \le C(d+1)^4\bigl(\log(2B)+\log(2\beta/\alpha)\bigr). \tag{有理高度尺度界}

实参数的大小只移动这些区间的位置，不增加区间个数。每个深度可以选不同的有理系数，因为上述集合从开始就包含所有允许的系数。

6. 三变量图表在大值尺度上的有限展开

H 原稿第 16 页 · H 原稿第 17 页 · H 原稿第 18 页 · H 原稿第 19 页 · H 原稿第 20 页 · 本章附录第 2 节 · 本章附录第 3 节 · 本章附录第 4 节 · 本章附录第 5 节 · 本章附录第 6 节

记

K=1+\log D+\log(1/\delta).

若 $A_I>\delta$ ，六原子积分在傅里叶频率零处的绝对值大于 $\delta^2$ 。第 16–18 页 Lemma 4.3 的三变量形式遂给出一个有理正交分裂 $P_f+P_s=1$ ，其高度及慢水平部分的大小至多

B_1=\exp(CK^C),

并且有效二次矩阵满足

\|r^2M_{P_f}\|\le B_1,

M_{P_f}=\Lambda_y+\frac12V_y^TC_{\mathrm{sy}}V_y +\operatorname{sym}\bigl((P_fV_y)^TC_{\mathrm{sk}}(P_sV_y)\bigr). \tag{有效二次矩阵}

此处 $C$ 是六原子的块矩阵；其对称部分、斜对称部分及 $\operatorname{sym}$ 均按附录第 2 节的除以二约定定义。附录逐步给出从傅里叶大值到小返回增量、有理分裂，再到这个矩阵界的计算；并未把前章的一参数结论直接当作三参数结论。

第 18–20 页的周期傅里叶展开，在固定盒子上截断到误差 $\varepsilon_0$ ，得到

Q_y(rz)= \sum_{\nu\in\mathcal C_I}a_{I,\nu} \mathrm e\bigl(r^2z^TM_{P_f}z+r\omega_\nu\cdot z\bigr) +E_I(z), \tag{有限图表展开}

\|E_I\|_\infty\le\varepsilon_0, \quad \sum_\nu|a_{I,\nu}|\le B_2, \quad B_2\le\exp(CK^C)

当 $\varepsilon_0$ 选为 $\delta^2$ 的一个充分小固定倍数时成立。系数及分裂可以随尺度改变。

重要的是频率的形式。它们满足

\omega_\nu=\beta_y+V_y^T\sigma_\nu,

其中 $\sigma_\nu$ 的有理高度有统一的准多项式上界。把 $\Lambda_y$ 、 $\beta_y$ 、 $V_y$ 的条目以及 $V_y$ 条目的两两乘积放入一个固定实向量 $\chi_y$ 。则每个 $M_{P_f}$ 条目与每个 $(\omega_\nu)_2$ 都是

q\cdot\chi_y, \quad \operatorname{ht}(q)\le B_3=\exp(CK^C), \quad \dim\chi_y\le CK^C. \tag{固定有理评价族}

投影矩阵的可能选择、截断频率和周期分组全部包括在这个高度界内。系数可以变，但不能产生一个新的无界有理高度族。附录给出有限展开及这一点的具体来源。

7. 非例外尺度的积分为什么必须小

H 原稿第 4 页 · H 原稿第 37 页 · H 原稿第 38 页 · 本章附录第 6 节

在有限展开和其绝对系数界固定以后，选取

\varepsilon=\frac{\delta^2}{C_*B_2}, \quad L=\frac{C_*B_2}{\delta^2}, \tag{小量与大量阈值}

其中 $C_*$ 只依赖固定核类和固定盒子，并充分大。

把以下两种尺度列为例外：某个允许的非零二次条目满足

\varepsilon\le r^2|q\cdot\chi_y|\le B_1,

或者某个允许的非零 $\tau$ 线性频率满足

\varepsilon\le r|q\cdot\chi_y|\le L.

上一节的高度界及第 5 节的尺度界说明，两类例外尺度的总数至多 $CK^p$ 。这里先对整个允许的有理评价族计数，再在每格选实际分裂，因而没有将随尺度变化的分裂误当成固定分裂。

假设某个非例外尺度还有 $A_I>\delta$ 。有效二次条目已经由 Weyl 分裂控制在 $B_1$ 内，只能全部小于 $\varepsilon$ 。在固定盒子上把该二次指数替换为 $1$ ，误差至多 $CB_2\varepsilon$ 。

对剩下的每一项， $\tau$ 频率要么绝对值小于 $\varepsilon$ ，要么大于 $L$ 。大频率项在 $\tau$ 上分部积分一次。其余线性因子与 $\tau$ 无关，故只有固定核振幅被微分；总贡献至多

CB_2L^{-1}.

小频率项的 $\tau$ 指数可替换为 $1$ ，总误差至多 $CB_2\varepsilon$ 。替换后的积分严格为零，因为固定 $h,\tau'$ 时，另一核及其余线性指数均与 $\tau$ 无关，而

\int_{\mathbb R} w_I\bigl(y+r(h-l\tau),r\tau\bigr)\,\mathrm d\tau =\frac1r\int_{\mathbb R}w_I(y+rh-lt,t)\,\mathrm dt=0. \tag{空槽位边缘抵消}

这正是第 4 页在槽位 $l$ 的精确边缘条件。

加上截断误差，选定的常数保证

A_I^2\le C\varepsilon_0+CB_2\varepsilon+CB_2L^{-1} \le\frac12\delta^2,

与 $A_I>\delta$ 矛盾。因此所有大值尺度都在例外集内，大值尺度数得证。为适应 Lemma 4.3 的严格阈值范围， $\delta\ge1/2$ 时可用固定阈值 $1/4$ 的计数；只改变绝对常数。

8. 从大值尺度数得到小值路径和

H 原稿第 38 页

把 $0<A_I\le\delta$ 分成互不相交的带

2^{-m-1}\delta<A_I\le2^{-m}\delta, \quad m=0,1,2,\ldots.

第 $m$ 带中的项数不超过阈值 $2^{-m-1}\delta$ 的大值尺度数，因此其总和至多

C2^{-m}\delta\bigl(K+(m+1)\log2\bigr)^p.

由于 $K\ge1$ ，

\sum_{m\ge0}2^{-m}\bigl(K+(m+1)\log2\bigr)^p \le K^p\sum_{m\ge0}2^{-m}(m+2)^p \le C_pK^p.

零项不贡献。于是得到小值路径和，包括恰等于阈值的项。

单纯知道每个非活跃格上 $A_I\le\delta$ 不够。即使取 $A_{I_m}=\delta/(m+1)$ ，各项均小，但路径和仍可随深度增长。本节使用的是对每个更小阈值都成立的同一个多项式计数。

9. 活跃格的定义与根叶路径计数

H 原稿第 38 页

现在固定足够大的绝对常数 $A$ ，置

\delta=D^{-A}.

一个格 $I$ 称为活跃格，当且仅当存在三个不同槽位的实际可用基本纯列，其转置范数大于 $\delta$ 。这一定义同时适用于所有保留模式，不依赖某个模式当前系数是否为零。

在一条完整路径上，把所有基本标签按槽位取并集，其总数不超过 $D$ 。因此不同槽位三元组的总数至多 $D^3$ 。每个固定三元组只在共同可用后参与测试，其活跃尺度数不超过

C\bigl(1+(A+1)\log D\bigr)^p.

对所有三元组取并集，得到

M\le CD^3\bigl(1+(A+1)\log D\bigr)^p\le D^4 \tag{活跃路径预算}

对充分大的起始 $k$ 成立。最后一个具体指数不是原文的最佳指数，只是固定参数选定后一个方便的上界；原文所需的是 $M\le D^C$ 。

若整个树有很多互不相交的分支，全树原始标签总数可以很大。计数始终在一条路径上进行，没有把别的分支的三元组加入当前路径。

10. 删除非活跃格的误差怎样按长度求和

H 原稿第 37 页 · H 原稿第 38 页

每个保留模式至少有三个 $B$ 参数。固定其中三个槽位，展开它们的基本列，而让第四个完整参数保持不动。由基本列展开和转置范数定义，在非活跃格上有

|H_I(z)|\le \|z_{l,I}\|_{2,I} \sum_{v_1,v_2,v_3} |c_{1,v_1,I}c_{2,v_2,I}c_{3,v_3,I}|A_{I;v_1,v_2,v_3}.

为避免对变化的系数作额外假设，可逐项使用

\|z_{l,I}\|_{2,I}\le D, \quad |c_{1,v_1,I}c_{2,v_2,I}c_{3,v_3,I}|\le D^3.

对固定路径先按三元组求和。每个出现的三元组在这些非活跃格上都满足 $A_{I;v_1,v_2,v_3}\le\delta$ ，故第 8 节给出

\begin{aligned} \sum_{I\in\pi\,\mathrm{inactive}}|H_I(z)| &\le CD^4D^3\delta \bigl(1+(A+1)\log D\bigr)^p\\ &\le CD^{7-A}\bigl(1+(A+1)\log D\bigr)^p. \end{aligned} \tag{非活跃路径误差}

这里宁可多花一个固定幂，也不把各格的系数错误地提出固定三元组的整个路径和。

本分解一共有三个保留模式。可取 $A=10$ ；固定 $p,C$ 后，再增大起始 $k$ ，使这三个模式的总路径误差不超过 $D^{-1}$ 。最后用有限和的 Fubini 恒等式

\sum_{I\,\mathrm{inactive}}|I|\,|H_I(z)| =\int_R\sum_{I\ni y\,\mathrm{inactive}}|H_I(z)|\,\mathrm dy. \tag{路径到长度和}

合计所有保留模式，误差至多

D^{-1}|R|\le\mathrm e^{-k}|R|.

如果最初将局部大小或基本系数和记为 $D$ 的其他固定幂，只需在固定这些成本后增大 $A$ ，其余参数顺序不变。

11. 两个延迟差为什么可以先估掉

H 原稿第 4 页 · H 原稿第 7 页 · H 原稿第 8 页 · H 原稿第 37 页

对一个高槽位，在整棵细分树上写

\Delta_h=P^{\mathrm{new}}_{h+1}-P^{\mathrm{new}}_h.

继承保证这些是互相正交的投影增量，且

U_{e,I}=1_I\sum_{j=0}^{K_0-1}\Delta_{s+j}F_e.

对固定 $j$ ，先在同一深度的互不相交格上求和，再用所有 $\Delta_h$ 的正交性，得到相应行向量的总平方范数不超过 $\|1_RF_e\|_2^2$ 。在行 Hilbert 空间中对 $j$ 用三角不等式，便有

\sum_{I\subseteq R}|I|\|U_{e,I}\|_{2,I}^2 \le K_0^2\|1_RF_e\|_2^2 \le C(1+K_0)^2|R|. \tag{延迟差平方和}

若 $K_0=0$ ，左端为零。树末端不够深时，按第 7 页约定继续继承已有列并局部重拟合，补齐所需的有限细分；不用增加新列。

两低槽位没有 $U$ ，所以含有两个 $U$ 的唯一模式为

H_I(Y_i,Y_j,U_a,U_b).

完整参数对小量与 Cauchy–Schwarz 给出

\sum_I|I|\,|H_I(Y_i,Y_j,U_a,U_b)| \le C\eta_0(1+K_0)^2|R|.

有限个先导更新层没有 $\eta_0$ 时，使用同一局部绝对 $L^2$ 估计，仍得到与树深无关的界。

12. 为什么最后出现一个最小值

H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页 · H 原稿第 38 页

对后面的更新层，来源输入使

|H_I(Y)|\le C_1\eta_0.

选一个较小但仍为正的固定指数 $\theta<\theta_0$ ，并增大起始 $k$ ，即可令

C_1\eta_0\le\eta=\exp(-k^\theta).

将完整 $Y$ 展开为三个保留模式与上述两差模式，先用三角不等式，再用

\min\left(\eta,\sum_jx_j\right) \le\sum_j\min(\eta,x_j),\quad x_j\ge0.

因此

|H_I(Y)|\le \sum_{z\,\mathrm{retained}}\min\bigl(\eta,|H_I(z)|\bigr) +|H_I(Y_i,Y_j,U_a,U_b)|. \tag{最小值归约}

在非活跃格上，再以 $\min(\eta,x)\le x$ 使用第 10 节的绝对误差。剩下的正是 Proposition 5.8 式 $(11)$ ：分别估计

\sum_{I\,\mathrm{active}}|I|\min\bigl(\eta,|H_I(z)|\bigr).

没有声称每个 $H_I(z)$ 都具有完整 $Y$ 的逐对小量。有限个先导层只需用活跃路径预算、局部绝对估计和路径到长度和，其常数可依赖那些固定层，但不依赖总深度。

13. 限制到子根时保存什么

H 原稿第 7 页 · H 原稿第 38 页 · H 原稿第 39 页 · H 原稿第 43 页 · H 原稿第 47 页 · H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页

活跃格可以不是一棵祖先闭合的树。需要树结构时，加入根及活跃格到根之间的连接格。预算 $M$ 只计活跃格；连接格仍可能很多。原始预算 $n_0$ 则必须覆盖完整路径上的所有原始出生，包括连接格上发生、到更深活跃格才读入的列。

限制到一个已经满足所需局部归一化的子根 $R'$ 时，保留原有函数、私有标签及列表。子根以上已可用的标签在新根处继承，不重新收费；子根以下的出生也不能被提前用于新根的投影。原有路径是新路径的延伸，因而 $n_0$ 与 $M$ 的上界都继续有效。第 11 节的正交平方和可以在 $R'$ 上重新证明。

后续移去两个非边槽位的滤子时，应返回本元组原来的整个 $B$ 参数。对这两个槽位 $p,q$ ，恒等式

B_pB_q=Y_pY_q-U_pY_q-Y_pU_q+U_pU_q

说明，将其恢复成完整 $Y_p,Y_q$ 后，主项能用来源输入中的逐对小量，其余项各含一个新增基本边参数。这里不能把整个 $B$ 替换为挑选出来的一部分基本列；那样并不能从同一个恒等式恢复原先的 $Y$ 。

这些是空间树及基本数据的继承约定。第 43 页历史球掩膜中的实际中心见证，以及第 47–49 页要求测试的投影词，是后来另行定义的对象。活跃路径预算本身并没有列出那些投影历史，也没有验证它们的数量。

14. 参数先后与本章留下的范围

H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页 · H 原稿第 37 页 · H 原稿第 38 页 · H 原稿第 39 页 · H 原稿第 49 页 · 本章附录第 7 节

先固定 Proposition 5.6 产生的基本目录、 $K_0$ 、局部大小及完整参数对小量，再选 $D$ 控制这些基本资料。固定三列估计的指数只依赖原子复杂度规则与固定核类，不依赖实频率、树深、分支数或三元组的出生位置。

之后固定活跃阈值指数 $A$ ，才在每个所需阈值 $\delta$ 下选 Weyl 分裂的预算、傅里叶截断以及大小频率间隙。分裂和截断的实际选择可以随格改变，其有理高度范围必须事先统一。最后增大起始 $k$ ，吸收固定多项式因子，确定 $M$ 及给第九章使用的原始预算 $n_0$ 。第九章的新模板插入不参与本章活跃性的重新定义，也不增加本章原始顶点。

在这些明确的基本数据假设下，本章推出固定三列的大值尺度数、小值路径和、活跃路径预算，以及删除非活跃格和两差项后的最小值归约。附录提供三变量 Weyl 与有限图表展开的推导。

没有在这里重建的部分是：Proposition 5.6 及更早原始目录的实际构造，完整 Lemma 3.4 的空间压缩，Proposition 6.8 的实际定位误差与历史列表，Section 7 的整个 helper 基，以及 H 的全局吸收。特别地， $n_0$ 的数值预算仍由第 37 页的基本构造提供；本章只把这一来源和后续实际需要的计数对象对齐。不能据此宣布整篇 H 已经闭合。