混合范数极大估计所用的文献版本

主文混合范数证明所对应的 H Lemma 7.1 引用 Cruz-Uribe、Martell、Pérez 的专著 Weights, Extrapolation and the Theory of Rubio de Francia（2011），Theorem 3.9。这里未直接核实该定理的书中原页，故不将其具体页码列为已核实。下面的一手文献版本足以独立支持 Lemma 7.1 的证明。

1. 任意非负函数对的加权外推

H 原稿第 52 页 · 返回混合范数证明

Cruz-Uribe、Martell、Pérez，Extensions of Rubio de Francia’s extrapolation theorem，Collectanea Mathematica Extra（2006），195–231，Theorem 3.1(a)，发表页 p.206；作者稿中的对应定理在 p.9，约定从 p.8 开始。

设 $\mathcal F$ 是非负可测函数对 $(U,V)$ 的族。若对某个 $1\le a_0<\infty$ 及每个 $v\in A_{a_0}$ ，有

\int U^{a_0}v\le C\int V^{a_0}v,

则对每个 $1<a<\infty$ 及每个 $v\in A_a$ ，有相应的 $a$ 次幂估计。常数须对函数对一致，权的依赖由其 $A_p$ 特征控制。该文 p.206 的前置约定将假设和结论都理解为对相应左端有限的函数对成立。这里不要求 $U$ 与 $V$ 之间存在算子关系。

发表原文 · 作者稿

同一位作者 Cruz-Uribe 的 Extrapolation and Factorization（2017），Theorem 5.1，p.20，及证明 pp.20–22，给出同样的函数对版本；pp.19–20 说明有限左端和常数约定。p.28 的公式 (7.1) 进一步明确：若起始范数常数由非减函数 $N_{a_0}([v]_{A_{a_0}})$ 控制，则目标常数可由

c_1N_{a_0}\!\left(c_2[v]_{A_a}^{\,1+(a_0-1)/(a-1)}\right)

控制，其中 $c_1,c_2$ 只依维数及两个指数。本节不需要最优的权特征幂。

作者原文，Theorem 5.1 · 定量公式 (7.1)

2. 有限左端与标量极大估计

H 原稿第 52 页 · H 原稿第 53 页

Cruz-Uribe 上述讲义的 Theorem 2.3，pp.6–7，对通常的非中心 Hardy–Littlewood 极大算子给出：若 $1<a<\infty$ 、 $v\in A_a(\mathbb R^n)$ ，则

\|Mf\|_{L^a(v)} \le c_{n,a}[v]_{A_a}^{1/(a-1)}\|f\|_{L^a(v)}.

强型公式在 p.7；该讲义只详细展开二进情形的证明，并说明一般情形的参考来源。

作者原文，Theorem 2.3

H 先取有界且在 $y$ 的有界区间 $I$ 上支撑的 $g$ 。其各层内范数均受常数倍的 $M_y\mathbf1_I$ 控制。由标量加权极大估计，这些左端对每个所需的 $a>1$ 、 $v\in A_a$ 都有限。随后取

g_n=\min(g,n)\mathbf1_{[-n,n]}(y)

并逐层单调收敛即可；同时 $M_yg_n\uparrow M_yg$ 。因此，有限左端版本已经足够。

Martell、Prisuelos-Arribas 的 Weighted Hardy spaces associated with elliptic operators. Part I，arXiv:1406.6285v2，Lemma 3.3，pp.10–11，也给出函数对外推及截断处理。其 p.11 特别讨论了2011专著 Theorem 3.9 的有限左端约定；这是作者对该约定的说明，不能替代对书中原页的核验。

作者原文，Lemma 3.3 及说明

3. 与 H 的范数顺序和常数的对应

H 原稿第 52 页 · H 原稿第 53 页 · H 原稿第 56 页 · H 原稿第 57 页

Lemma 7.1 的顺序是：标量加权 $L_y^t$ 估计，对 $w$ 积分；将所得函数对外推到 $L_y^s$ ，再对 $\xi$ 积分；最后将新函数对外推到 $L_y^r$ 。最终范数始终为

L_y^r(v;L_\xi^s(L_w^t)).

没有交换不同指数的范数，也没有对 $r,s,t$ 的大小排序要求。两次积分都发生在匹配的指数下；结合上述定量外推，常数不依赖两个有限测度空间的原子数。

在 Lemma 7.2 中，固定 $2<q<3$ ，实际代入的是

r=p_j/q,\quad s=4/q,\quad t=h_j/q.

H 所选的 $p_j,4,h_j$ 全部严格大于 $q$ ，故三个外推指数都大于一。对固定 $q$ ，所得常数可以依赖 $q$ ，但不能依赖 $K,N$ 或随机符号数。 $q\downarrow2$ 时部分指数趋于一，常数允许发散；这里没有得到 $q=2$ 的端点估计。

4. 两次外推中权特征的一组非锐显式界

H 原稿第 52 页 · H 原稿第 53 页 · 两次外推的使用位置

为排除“每个权各有常数”掩盖的不一致性，可以把起始常数取成有限、非减的函数。标量起点有

B_t(A)\le c_t A^{1/(t-1)},\quad A\ge1.

先用上引公式 (7.1) 从 $t$ 外推到 $s$ ，可取

D_{s,t}(A)\le c_{s,t}A^{1/(t-1)+1/(s-1)}.

匹配指数积分后，再从 $s$ 外推到 $r$ ，可取

C_{r,s,t}(A) \le c_{r,s,t} A^{[1/(t-1)+1/(s-1)][1+(s-1)/(r-1)]}.

这些幂不是最优值，也不作为后续关于 $K$ 的幂使用。实际应用是无权情形 $A=1$ ，固定 $q$ 后三个指数已经固定，全部代价进入 $C_q$ 。这组非锐界只负责证明：积分和外推没有暗中引入原子数、 $K$ 或 $N$ 。它不提供 $q\downarrow2$ 的一致界。