短深度块怎样与同一个有限深度常数比较

本章精读 H 第 52–57 页的 Lemma 7.1 与 Lemma 7.2。原稿为 October 5, 2026 的版本。

上一章把两个互补参数的转移误差分成远带与近带。远带有局部小量；近带还要在一个短深度块中估计，输入通常只在终端叶子上有归一化的平方积分界。问题在于：叶上的平方积分界并不自动成为所需的逐点界，也不自动成为全局的 $L^q$ 界。

这里采用两次取样，把一个短块的四线性和归约到原来定义的有限深度常数 $C_N(q)$ 。中间用共享的二次随机化提高快变量的可积性，只截断唯一可能较重的槽位。最后的代价明确保留为

C_q(1+C_N(q))(1+\log(K+2))(K+2)^{11(q-2)/(q-1)}. \tag{1}

由于 $q>2$ ，它不超过原文允许的 $C_q(1+C_N(q))(1+\log(K+2))^C(K+2)^{C(q-2)}$ 。这里可以先固定绝对次数 $11$ ，再选择 $q$ 。本章没有把 $C_N(q)$ 换成与 $N$ 无关的常数；后面的吸收仍需另行证明。

先看三个直接办法为什么不够

下面是帮助理解的论证重建，不是对作者实际发现经过的叙述。

第一个自然办法是直接把每个叶子的 $L^2$ 界提升为 $L^q$ 界，再使用 $C_N(q)$ 。它在最简单的尖峰上已经失败：长为一的叶子上取 $z=\varepsilon^{-1/2}1_{[0,\varepsilon]}$ ，则 $\|z\|_2=1$ ，但 $\|z\|_q=\varepsilon^{1/q-1/2}\to\infty$ 。必须产生额外的可积性，而不能从叶平均中假定它。

第二个办法是逐层使用绝对估计。这可以得到 $CK|R|$ ，却没有指数随 $q\downarrow2$ 而变小的性质。即使先截断四个槽位，若只用 $L^2$ 到 $L^{p_j}$ 的粗插值，四个截断因子相乘仍为 $A^{\sum_j(1-2/p_j)}=A^2$ ，因为 $\sum_j1/p_j=1$ 。因此需要把可能较重的输入集中到至多一个槽位，其余槽位从另一个论证取得更高可积性。

第三个办法是给四个槽位各自作独立的频率随机化。它可能改善单槽位的矩，却通常破坏原来的四因子积分。式 (29) 的两个线性约束提示我们寻找一种共享相位：它在这个零空间上总相位恰好为零，在单槽位的四阶展开上又能排除非配对共振。式 (28) 的二次相位同时做到这两件事。

这样看，叶深矩形负责“至多一个重槽位”，二次随机化负责普通槽位的四阶可积性，截断只负责那个例外。两次取样负责把这套操作放在一个快圆环中进行，最后仍回到原核，并使用同一个 $C_N(q)$ 。详细推导如下。

1. 局部形式和不能提前使用的结论

H 原稿第 4 页 · 上一章的耦合近带误差

槽位始终是 $j=0,1,2,3$ ，等差数列坐标为

y_j=x+jv.

本章用 $v$ 表示实数列公差，在取样以后另用 $u,v_1$ 表示快坐标，避免与深度指标混淆。若二进格 $I$ 长为 $r_I$ ，则

H_I(f_0,f_1,f_2,f_3) =r_I^{-2}\int_{\mathbb R^2}w_I(x,v)\prod_{j=0}^3f_j(x+jv)\,\mathrm dx\,\mathrm dv. \tag{2}

核的支持要求四个 $y_j$ 都在 $I$ 内，并离边界至少 $c_0r_I$ ；一阶导数为 $O(r_I^{-1})$ ，更高阶导数服从固定的原核类界。每个槽位方向的边缘积分为零。所有常数允许依赖这一固定核类。

区间下标表示归一化范数。例如

\|z\|_{2,I}^2=\frac1{|I|}\int_I\|z(y)\|_{\mathcal H}^2\,\mathrm dy.

不带区间下标的实变量范数使用普通 Lebesgue 测度。

记 $M$ 为实直线上的非中心 Hardy–Littlewood 极大算子，

Mf(y)=\sup_{J\ni y}\frac1{|J|}\int_J|f|, \quad M_qf=(M(|f|^q))^{1/q}.

这里的 $J$ 遍历有界区间。固定 $2<q<3$ 。H 第 4 页把 $C_N(q)$ 定义为使

\sum_{I\in\mathcal I}|I|\,|H_I(f_0,f_1,f_2,f_3)| \le C_N(q)\int_{\mathbb R}\prod_{j=0}^3 M_qf_j(y)\,\mathrm dy \tag{3}

成立的最小常数。这里 $\mathcal I$ 可以是任意有限格族，位于某个二进格网上至多 $N$ 个连续深度；核属于原来的核类；输入为紧支撑 $L^q$ 函数。右端允许无穷，但后面实际代入的积分是有限的。

目前只能使用 $C_N(q)\lesssim N<\infty$ 。理由是局部绝对估计

|H_I(f)|\le C\prod_j\|f_j\|_{2,I} \le C\prod_j\|f_j\|_{q,I} \le C\prod_jM_qf_j(y),\quad y\in I,

再在每层的互不相交格上积分，最后加至多 $N$ 层。这个推导没有提供无深度界。

本章还使用局部绝对估计的完整范围：若 $p_j\ge1$ 且 $\sum_j1/p_j\le2$ ，则

r_I^{-2}\int|w_I(x,v)|\prod_j|f_j(x+jv)|\,\mathrm dx\,\mathrm dv \le C\prod_j\|f_j\|_{p_j,I}. \tag{4}

选定两个不同槽位后， $(x,v)\mapsto(y_i,y_j)$ 的行列式是 $j-i\ne0$ ，所以两个 $L^1$ 、两个 $L^\infty$ 的端点直接成立。其余指数由正积分的 Hölder 不等式补齐。后面用到的离散乘圆环版本在第 7 节说明，不依赖核的抵消。

2. 为什么先证明一个保持顺序的极大函数估计

H 原稿第 52 页 · 实际使用的外推定理

稍后出现的是

\|f\|_{L_y^p L_\xi^b L_w^h} =\left[\int_{\mathbb R} \left(\int_X \left(\int_W|f(y,\xi,w)|^h\,\mathrm d\nu(w)\right)^{b/h} \,\mathrm d\mu(\xi)\right)^{p/b}\mathrm dy\right]^{1/p}. \tag{5}

随机变量 $\xi$ 在中间，快变量 $w$ 在最里面。通常没有理由把这三个积分次序互换；指数也没有统一的大小排列。需要的恰是对这个既定次序的估计。

设 $(X,\mu)$ 、 $(W,\nu)$ 是有限测度空间。对 $a>1$ ，标量权 $\omega\in A_a(\mathbb R)$ 的定义为

[\omega]_{A_a}= \sup_J\left(\frac1{|J|}\int_J\omega\right) \left(\frac1{|J|}\int_J\omega^{-1/(a-1)}\right)^{a-1}<\infty, \tag{6}

其中 $\omega>0$ 几乎处处。加权范数只把最外层 $\mathrm dy$ 换为 $\omega(y)\mathrm dy$ 。权不依赖 $\xi,w$ 。

需要两个经典输入。第一项采用一手文献中的版本：Cruz-Uribe，Extrapolation and Factorization，Theorem 2.3，pp.6–7。它给出标量加权极大函数定理：对每个 $a>1$ 、 $\omega\in A_a$ ，

\|Mf\|_{L^a(\omega)}\le C_a([\omega]_{A_a})\|f\|_{L^a(\omega)}. \tag{7}

第二项使用 Cruz-Uribe–Martell–Pérez，Extensions of Rubio de Francia’s extrapolation theorem，Theorem 3.1(a)，发表页 p.206。取该定理中的开放指数部分，其非负函数对外推为：若同一个非负函数对族 $\mathcal F$ 在某个 $a_0>1$ 满足

\int U^{a_0}\omega\le C_{a_0}([\omega]_{A_{a_0}})\int V^{a_0}\omega \quad\text{对全部 }\omega\in A_{a_0},\ (U,V)\in\mathcal F, \tag{8}

其中权特征控制函数可取有限、非减，且常数与函数对无关，则每个 $a>1$ 、 $\omega\in A_a$ 都有对应估计。它不要求 $U$ 是某个算子作用在 $V$ 上的结果。上述 2006 版本的前置约定允许只对左端有限的函数对使用假设与结论；下一节先确保这一条件，再作单调极限。H 原文引用的是同三位作者 2011 专著的 Theorem 3.9，该书原页在这里未经直接核实；与原引的对应及权特征的定量依赖见文献附录。我们把这两项作为外部定理，不把它们当作本章重证的结果。

由这两个输入可得，对任意 $1<r,s,t<\infty$ ，

\|M_yg\|_{L_y^r(\omega;L_\xi^sL_w^t)} \le C_{r,s,t}([\omega]_{A_r})\|g\|_{L_y^r(\omega;L_\xi^sL_w^t)}. \tag{9}

这里 $M_y$ 只作用于 $y$ ，常数与两个测度空间的原子个数无关。下一节把两次外推逐步写出。

3. 两次外推，没有一次交换混合范数

H 原稿第 52 页 · H 原稿第 53 页 · 权特征的显式依赖 · 换序为什么可能失败

先令 $g\ge0$ 有界，且在 $y$ 上支持于有界区间 $J_0$ 。这使所需左端都有限：每个内层范数被一个固定倍数的 $M1_{J_0}$ 控制，而式 (7) 保证其属于对应的加权 $L^a$ 。这里有限测度空间的总测度只用来验证有限性，不进入最后的不等式常数。

固定 $\xi$ ，定义

U_\xi(y)=\left(\int_W|M_yg(y,\xi,w)|^t\,\mathrm d\nu(w)\right)^{1/t}, \quad V_\xi(y)=\left(\int_W|g(y,\xi,w)|^t\,\mathrm d\nu(w)\right)^{1/t}.

对每个固定 $w$ 用式 (7)，再用 Tonelli 定理，得到

\begin{aligned} \int U_\xi(y)^t\omega(y)\,\mathrm dy &=\int_W\int|M_yg(y,\xi,w)|^t\omega(y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\nu(w)\\ &\le C_t([\omega]_{A_t})\int_W\int|g(y,\xi,w)|^t\omega(y)\,\mathrm dy\,\mathrm d\nu(w)\\ &=C_t([\omega]_{A_t})\int V_\xi(y)^t\omega(y)\,\mathrm dy. \end{aligned} \tag{10}

现在把所有允许的 $g$ 和 $\xi$ 产生的 $(U_\xi,V_\xi)$ 放在同一个函数对族中。式 (10) 的常数与函数对、 $\xi$ 、原子个数都无关，因而第一次外推给出其在任意 $a>1$ 和任意 $A_a$ 权下的估计。

取 $a=s$ ，在 $\xi$ 上积分。令

U(y)=\left(\int_XU_\xi(y)^s\,\mathrm d\mu(\xi)\right)^{1/s}, \quad V(y)=\left(\int_XV_\xi(y)^s\,\mathrm d\mu(\xi)\right)^{1/s}.

便有对每个 $\omega\in A_s$ 的

\int U^s\omega =\int_X\int U_\xi^s\omega\,\mathrm d\mu(\xi) \le C_{s,t}([\omega]_{A_s})\int_X\int V_\xi^s\omega\,\mathrm d\mu(\xi) =C_{s,t}([\omega]_{A_s})\int V^s\omega. \tag{11}

对新的函数对族 $(U,V)$ 第二次外推到 $r$ ，就是式 (9)。整个过程保留了 $L_y^rL_\xi^sL_w^t$ 的次序；Tonelli 只在相同幂次已经展开成非负积分时使用。

一般的 $g\ge0$ 用 $g_n=\min(g,n)1_{[-n,n]}(y)$ 逼近。此时 $g_n\uparrow g$ ，并且对每个区间先用单调收敛，再取上确界，可得 $M_yg_n\uparrow M_yg$ 。各层积分继续用单调收敛。复值函数先取绝对值。

最后对 $|f|^q$ 使用式 (9)，取

r=p/q,\quad s=b/q,\quad t=h/q.

只要 $p,b,h>q\ge1$ ，这三个指数都严格大于一。逐层直接计算得到

\big\||f|^q\big\|_{L_y^{p/q}L_\xi^{b/q}L_w^{h/q}} =\|f\|_{L_y^pL_\xi^bL_w^h}^{q}.

因此

\|M_qf\|_{L_y^pL_\xi^bL_w^h} \le C_{p,b,h,q}\|f\|_{L_y^pL_\xi^bL_w^h}. \tag{12}

常数可以在某个指数趋于端点时增大；本章只要求固定指数后它与树深、 $K,N$ 、符号个数无关。

4. 短块的准确假设

H 原稿第 53 页 · 八阶矩足够的逐项计算

令 $\mathcal T$ 为根为 $R$ 的有限二进树片。补入所有终端叶子后，叶子把 $R$ 分割；仅内部格进入形式求和。内部格位于至多 $K$ 个连续深度，并仍在定义 $C_N(q)$ 的原来的至多 $N$ 个深度内。叶子的深度在这个块中，或只比块末端深一层。若没有内部格，结论为零；以下取 $K\ge1$ 。

每个槽位有确定的 Hilbert 空间值函数 $z_j$ ，支持于 $R$ ，并且

\|z_j\|_{2,L}\le s_j\quad\text{对每个叶子 }L. \tag{13}

随机标量函数 $z_j^\sigma$ 定义在同一个概率空间上，满足点态矩界

\bigl(\mathbb E_\sigma|z_j^\sigma(y)|^a\bigr)^{1/a} \le C_a\|z_j(y)\|_{\mathcal H}. \tag{14}

各槽位之间可以相关。常数与树、 $K,N$ 、向量维数无关。本证明实际只需要不超过八阶的矩；原文假设涵盖这些矩。

任意可测系数 $|\epsilon_I(\sigma)|\le1$ 和任意内部格子族满足

\mathbb E_\sigma\left| \sum_I|I|\epsilon_I(\sigma)H_I(z_0^\sigma,z_1^\sigma,z_2^\sigma,z_3^\sigma) \right| \le C_q(1+C_N(q))(1+\log(K+2)) (K+2)^{11(q-2)/(q-1)}|R|\prod_js_j. \tag{15}

这给出 H 原式 (16) 的一个显式次数版本。

这里的短块常数也允许依赖式 (14) 中预先统一固定的八阶矩界常数和固定核类，但不依赖树、块长、原深度范围、Hilbert 空间维数或随机符号数。该矩界在任意树、栈及随机标量化的选择之前统一固定；所用低阶矩由概率测度上的范数单调性控制。

若某个 $s_j=0$ ，式 (13) 使该确定输入几乎处处为零，式 (14) 又使随机输入几乎处处为零，结论成立。否则除以各 $s_j$ ，以下设全部 $s_j=1$ 。每个内部格是完整叶子的并，因而也有

\int_I\|z_j\|^2\le |I|. \tag{16}

有限格和的期望绝对值可以写成其乘以一个共同的可测单位复数后的期望。将该复数乘进所有 $\epsilon_I$ ，便只需控制期望有符号和的绝对值。这个共同因子不改变核类，也不要求各 $\epsilon_I$ 独立。

5. 为什么要把叶深四元组分成矩形

H 原稿第 54 页 · 具体叶深分组例子

令 $k_j(y)$ 为包含 $y$ 的叶子的深度。叶深只有至多 $K+1$ 个可能值。把这一整数区间放入一个二进整数区间，其长度至多 $4(K+1)$ ，并取其标准二进细分。

先看最小深度同时由至少两个槽位达到的情形。固定最小值 $t$ 和达到它的槽位集合 $S$ 。这些槽位取深度恰为 $t$ 的叶子，其余槽位取深度大于 $t$ 的叶子。按固定规则从 $S$ 选两个槽位 $a,b$ 。这是一组乘积型掩膜，称为一个矩形。

若最小深度只由槽位 $a$ 达到，取同时包含最小值和第二小值的最小二进整数区间。记其下半部、上半部分别为 $L,U$ 。最小值在 $L$ ，第二小值在 $U$ 。固定非空集合 $S\subseteq\{0,1,2,3\}\setminus\{a\}$ ：其槽位深度位于 $U$ ，其余槽位的深度大于 $\max U$ 。槽位 $a$ 的深度位于 $L$ 。从 $S$ 固定选择 $b$ ，并令 $t=\min U$ 。这也是一个矩形。

每个叶深四元组恰落入上述一种情形、一个位置，因此形成不相交分割。分割按整数区间的长度分层，层数至多 $C(1+\log(K+2))$ 。每层只有固定个槽位分配。在一个固定层和分配中，用 $\iota=1,\ldots,J$ 表示位置， $J\le C(K+1)$ 。令 $E_{j,\iota}$ 为该矩形在槽位 $j$ 所选的完整叶子的并，则

E_{a,\iota}\text{ 随 }\iota\text{ 两两不交},\quad E_{b,\iota}\text{ 随 }\iota\text{ 两两不交}. \tag{17}

因为同层的 $L$ 互不相交，同层的 $U$ 也互不相交；非唯一最小值情形作为单独的一层，以 $t$ 为位置。其他两槽位的掩膜无须互不相交。

在共同单位复数已经放入核以后，先按这份有限的、不相交的分割展开每个数列积分，再用 $|\sum_{\text{矩形}}\mathbb E S_{\text{矩形}}|\le\sum_{\text{矩形}}|\mathbb E S_{\text{矩形}}|$ 。没有把叶深分割依赖于随机符号。以下固定一个矩形，省略 $\iota$ 。除可能的槽位 $a$ 外，所选叶子的深度都至少是 $t$ ，称为普通槽位。唯一最小值情形的槽位 $a$ 称为重槽位。

这个矩形只可能对深度 $s<t$ 的内部格有贡献。当 $s\ge t$ 时，非唯一最小值情形有选中叶子深度为 $t\le s$ ，唯一最小值情形的槽位 $a$ 更有深度小于 $t\le s$ 。二进格的嵌套性说明这样的终端叶子不可能与深度 $s$ 的内部格的内部相交。核的内支持余量保证，后面的小幅取样移动也不会重新产生这类贡献。

6. 慢格点与快圆环的精确分工

H 原稿第 54 页

深度 $s$ 的区间长度记为 $r_s$ 。取一个只依赖核支持余量的充分小的固定二进数 $\beta>0$ ，令

\delta=\beta r_t. \tag{18}

它在当前整个矩形中固定，不能随求和深度 $s$ 改变。对头两个数列坐标写

y_0=\delta(n_0+u),\quad y_1=\delta(n_1+v_1), \quad n_0,n_1\in\mathbb Z,\quad u,v_1\in[0,1).

于是

n_j=(1-j)n_0+jn_1,\quad w_j=(1-j)u+jv_1,\quad y_j=\delta(n_j+w_j). \tag{19}

注意 $n_j$ 是从前两个整数生成的整数，并不要求是 $y_j/\delta$ 的向下取整。正是保留可能为负的 $w_j$ ，才保持了精确的数列关系。

取固定圆环 $\mathbb T_0=\mathbb R/(16\mathbb Z)$ ，使用归一化 Haar 测度。槽位 $0,1$ 的快变量先限制在 $[0,1)$ ；槽位 $2,3$ 分别只需包含 $[-1,2]$ 、 $[-2,3]$ 的固定提升区间，可统一选 $[-4,4]$ 。在相应区间上定义

F_j^\sigma(n,w)=z_j^\sigma(\delta(n+w))1_{E_j}(\delta(n+w)), \tag{20}

在圆环的其余部分置零。提升区间没有自重叠；第一、二因子把原来的 $u,v_1$ 限在 $[0,1)$ ，后两因子没有绕回歧义。

将 $w_I(x,v)$ 替换为其在慢坐标

(x,v)=(\delta n_0,\delta(n_1-n_0)) \tag{21}

的值。由一阶导数界，核差为 $O(\delta/r_s)$ 。换元的 Jacobian 为 $\delta^2$ ；因此每个归一化形式具有 $(\delta/r_s)^2$ 的离散归一化因子。使用归一化 Haar 测度只产生固定的 $16^2$ 因子。

取样后的快积分就是

\Lambda_{\mathbb T_0}(F_0(n_0),\ldots,F_3(n_3)) =\int_{\mathbb T_0^2}\prod_{j=0}^3F_j(n_j,(1-j)u+jv_1)\,\mathrm du\,\mathrm dv_1. \tag{22}

其核系数仅依赖慢格点。它未必再有原核的边缘抵消，所以此时不能对这个取样核直接调用 $C_N(q)$ 。

7. 两个坐标的绝对估计怎样控制全部取样误差

H 原稿第 54 页 · H 原稿第 55 页 · 完整指数范围的推导 · 两次取样的同一质量计算

固定深度 $s<t$ 和内部格 $I$ 。所有可能参与原核、取样核或稍后窄脉冲比较的慢指标都落在长度 $O(r_s/\delta)$ 的整数区间中。每槽位用局部计数测度 $(\delta/r_s)\sum_n$ 和快变量 Haar 测度，它们的总质量有固定上界。

对不同槽位 $i,j$ ，慢指标映射

(n_0,n_1)\longmapsto((1-i)n_0+in_1,(1-j)n_0+jn_1)

在整数格上单射；不必满射。快变量的相同整数矩阵在 $\mathbb T_0^2$ 上是满射群同态，因而把归一化 Haar 测度送到归一化 Haar 测度。于是两个 $L^1$ 、两个 $L^\infty$ 的界在“局部慢计数测度乘快圆环”上也成立。结合局部测度有界和 Hölder，不等式 (4) 的整个指数范围均保留。特别是四个 $L^2$ 的界和 $(1,3,3,3)$ 的界都可使用。

把与 $I$ 有关的所有快取样窗口在槽位 $j$ 的确定平方质量记为 $M_{j,I}$ ，按窗口的有限重叠次数计数。 $\beta$ 足够小时，原核支持余量把这些完整窗口都放在 $I$ 内。因此式 (16) 和同层格不交给出

M_{j,I}\le C|I|,\quad \sum_{I:\operatorname{depth}(I)=s}M_{j,I}\le C|E_j|. \tag{23}

第二式还用了 $E_j$ 是完整叶子的并，所以其确定平方质量不超过 $|E_j|$ 。

四槽位的绝对 $L^2$ 估计，再对共享的 $\sigma$ 用四次 Hölder，将一个取样误差控制为

C\frac{\delta}{r_s}|I|\prod_j\left(\frac{M_{j,I}}{|I|}\right)^{1/2}. \tag{24}

四次 Hölder 所需的随机局部 $L^2$ 四阶矩由式 (14) 和 Minkowski 得到。它不需要各槽位的随机变量独立。

对除 $a,b$ 外的两槽位先使用 $M_{j,I}/|I|\le C$ ，再对同层格用 Cauchy–Schwarz，式 (24) 的层和不超过

C\frac{\delta}{r_s} \left(\sum_I M_{a,I}\right)^{1/2} \left(\sum_I M_{b,I}\right)^{1/2} \le C\frac{\delta}{r_s}|E_a|^{1/2}|E_b|^{1/2}. \tag{25}

由于 $\delta/r_s=\beta2^{s-t}$ ，

\sum_{s<t}\frac{\delta}{r_s}\le\beta. \tag{26}

所以一个矩形的全部取样误差为 $C|E_a|^{1/2}|E_b|^{1/2}$ 。固定长度层后，再由式 (17) 得

\sum_\iota |E_{a,\iota}|^{1/2}|E_{b,\iota}|^{1/2}\le|R|. \tag{27}

这解释了为何两次取样都只产生对数层数的代价，不产生一个 $K$ 因子。

8. 共享二次随机化为什么不改变快数列积分

H 原稿第 55 页 · 独立相位的反例

令

(c_0,c_1,c_2,c_3)=(-1,3,-3,1).

这里 $c_j$ 是固定的三阶差分系数，与核的支持余量常数不是同一个对象。对快变量 Fourier 系数定义

\widehat{U_{j,\gamma}F}(n,m) =\mathrm e(\gamma m^2/c_j)\widehat F(n,m), \quad \gamma\in\mathbb R/(3\mathbb Z),\quad \mathrm e(x)=\exp(2\pi\mathrm i x). \tag{28}

Fourier 基是 $\mathrm e(mw/16)$ 。 $\gamma$ 使用周期为三的归一化 Haar 测度，每个 $U_{j,\gamma}$ 都是 $L^2(\mathbb T_0)$ 上的酉算子。四槽位必须使用同一个 $\gamma$ 。

先对 Fourier 多项式展开式 (22)。留下的频率恰满足

\sum_jm_j=0,\quad \sum_jjm_j=0. \tag{29}

这个二维零空间由 $(c_j)_j$ 和 $(jc_j)_j$ 张成，故可写 $m_j=c_j(h+jh')$ 。又因 $\sum_j j^\ell c_j=0$ 对 $\ell=0,1,2$ 成立，便有

\sum_j\frac{m_j^2}{c_j} =\sum_jc_j(h+jh')^2=0. \tag{30}

因此每个存活 Fourier 项乘上的总相位都是一，快积分逐个 $\gamma$ 不变。

对单槽位却有一个额外的平均四阶界：

\mathbb E_\gamma\int_{\mathbb T_0}|U_{j,\gamma}F(w)|^4\,\mathrm dw \le2\|F\|_2^4. \tag{31}

展开四次方后， $w$ 积分要求两边频率和相等， $\gamma$ 积分要求两边频率平方和相等。两个数的和与平方和同时相等，意味着它们的无序对相同。两种配对产生 $2(\sum_m|\widehat F(m)|^2)^2-\sum_m|\widehat F(m)|^4$ ，从而得到式 (31)。

上述等式首先对 Fourier 多项式成立。快数列积分有四槽位 $L^2$ 连续界，式 (31) 又对差函数成立。因此可以在 $L^2$ 中逼近，得到一般 $L^2$ 输入的积分不变性和四阶估计。这里没有声称固定 $\gamma$ 的 $U_{j,\gamma}$ 从 $L^2$ 映入 $L^4$ ；四阶增益只在对 $\gamma$ 平均之后成立。

9. 普通槽位为什么不需要截断

H 原稿第 55 页

令 $e_j(n)$ 为式 (20) 对应确定输入的快 $L^2$ 大小，即以 $\|z_j\|1_{E_j}$ 替代 $z_j^\sigma1_{E_j}$ 后的快范数。点态矩界和 Minkowski 给出

\left(\mathbb E_\sigma\|F_j^\sigma(n,\cdot)\|_2^a\right)^{1/a} \le C_a e_j(n)\quad(a\ge2). \tag{32}

较小阶数可由概率测度上的范数单调性得到。取样窗口长度是 $O(\delta)$ ，相邻窗口的重叠次数固定，故

\delta\sum_ne_j(n)^2\le C|E_j|. \tag{33}

若槽位普通，所有选中叶子的长度至多 $r_t$ 。一个长 $O(\delta)$ 的窗口所碰到的互不相交叶子，除最多两个跨过窗口端点的叶子外，都包含于窗口。其完整长度之和不超过 $C\delta+2r_t$ 。对这些完整叶子使用式 (13)，再除以 $\delta$ ，得到

e_j(n)^2\le C(1+r_t/\delta)\le C_\beta. \tag{34}

$\beta$ 已由核类固定，因此这是与 $K$ 无关的界。

即使是重槽位，与某个内部格 $I$ 相关的慢指标仍有局部总质量界

\frac\delta{|I|}\sum_{n\text{ 与 }I\text{ 相关}}e_j(n)^2\le C. \tag{35}

这是完整窗口包含于 $I$ 以及式 (16) 的结果。重槽位不具有式 (34) 的逐慢指标界，两者不能混淆。

10. 只截断重槽位，并完整估计误差

H 原稿第 56 页 · 重槽位的尖峰例子

记 $G_j^{\gamma,\sigma}=U_{j,\gamma}F_j^\sigma$ 。若有重槽位 $a$ ，取

A=(K+2)^{10},\quad G_a^A=G_a\min(1,A/|G_a|), \tag{36}

并在 $G_a=0$ 时按零解释。径向截断满足 $|G_a^A|\le A$ 和

|G_a-G_a^A|\le A^{-1}|G_a|^2.

在局部慢计数测度乘快 Haar 测度下，酉性给出

\|G_a-G_a^A\|_1 \le A^{-1}\|G_a\|_2^2=A^{-1}\|F_a^\sigma\|_2^2. \tag{37}

对 $(\gamma,\sigma)$ 取四阶范数，右端需要 $F_a^\sigma$ 的局部 $L^2$ 八阶矩。式 (14)、Minkowski 和式 (35) 使它不超过 $C/A$ 。

普通槽位的局部 $L^3$ 范数具有有界的四阶随机矩。事实上，局部测度总质量有界，故

\begin{aligned} \left(\mathbb E_{\gamma,\sigma}\|G_j\|_{L^3(\text{局部})}^4\right)^{1/4} &\le C\left(\mathbb E_{\gamma,\sigma}\|G_j\|_{L^4(\text{局部})}^4\right)^{1/4}\\ &\le C\left(\frac\delta{|I|}\sum_ne_j(n)^4\right)^{1/4}\le C. \end{aligned} \tag{38}

第二步用式 (31)、(32)，最后一步先用式 (34)，再用式 (35)。

因此对重槽位尾部使用局部绝对指数 $(1,3,3,3)$ ，再对四个共享随机因子使用四次 Hölder，单格期望误差至多为 $C|I|/A$ 。每个矩形至多 $K$ 层，每层格长和不超过 $|R|$ ；一个固定长度层至多 $C(K+1)$ 个位置，故该层的全部截断误差至多

C\frac{(K+2)^2}{A}|R|\le C|R|. \tag{39}

这里使用了一个刻意较粗的计数。指数十事先固定，不随 $q$ 变化。以后若有重槽位，将截断后的函数继续记为 $G_a$ 。

11. 用窄脉冲回到连续输入

H 原稿第 56 页 · 脉冲面积与归一化

现在对固定 $\gamma,\sigma,u,v_1$ ，允许 $u,v_1$ 在整个快圆环上变化，定义

g_j(y,w)=\sum_nG_j^{\gamma,\sigma}(n,w) 1_{\{|y-\delta n|<c\delta\}}(y),\quad w_j=(1-j)u+jv_1\pmod {16}, \tag{40}

其中 $0<c<1/20$ 为固定常数。实际代入槽位 $j$ 的是 $g_j(y,w_j)$ 。每个慢指标对应一个窄脉冲，相邻脉冲不交。

若一个实数列同时碰到四个脉冲，可写 $y_j=\delta(n_j+a_j)$ ， $|a_j|<c$ 。数列关系要求

n_j-((1-j)n_0+jn_1)=(1-j)a_0+ja_1-a_j.

右端绝对值至多 $2jc\le6c<1$ ，左端为整数，故它必须为零。慢中心仍然满足精确的整数数列关系。

对固定慢中心，允许的 $(a_0,a_1)$ 构成固定多边形

P_c=\{(a_0,a_1): |(1-j)a_0+ja_1|<c,\ 0\le j\le3\}. \tag{41}

由于中间两坐标是端点坐标的凸组合，这个多边形等于 $\{|a_0|<c,|-2a_0+3a_1|<c\}$ ，其面积恰为 $\kappa_c=4c^2/3>0$ 。连续换元的 Jacobian 为 $\delta^2$ 。把连续核替换为慢中心值后，积分恰等于 $\kappa_c\delta^2$ 乘相应慢格点的四因子乘积。再对快圆环积分，就恢复式 (22) 的取样形式，只差固定的归一化因子。

这一方向的核替换也有 $O(\delta/r_s)$ 误差。虽然后来的 Fourier 演化改变了快支持，它不新增慢指标；各慢指标最初对应的完整窗口仍在 $I$ 内。对每个慢指标，酉性和截断保证变换后的快 $L^2$ 范数不超过原 $F_j^\sigma$ 的范数。因此第 7 节同一个 $M_{j,I}$ 和同一个绝对 $L^2$ 论证继续适用。第二次取样误差也由式 (25)–(27) 控制。

现在出现的是原来的连续核 $w_I$ 和原来的求和格，可以合法使用式 (3)。只有误差比较使用取样核；原核的四个边缘抵消没有被改变。于是当前矩形的主项至多为一个固定倍数的

C_N(q)\int_{\mathbb R} \mathbb E_{\gamma,\sigma}\int_{\mathbb T_0^2} \prod_{j=0}^3M_qg_j(y,(1-j)u+jv_1)\,\mathrm du\,\mathrm dv_1\,\mathrm dy. \tag{42}

慢指标只有有限个；对几乎每个参数， $g_j$ 是有限个有限高度脉冲的和，因此是紧支撑 $L^q$ 函数。原来的 $z_j$ 只有 $L^2$ 并不妨碍这里使用 $C_N(q)$ 。

12. 三层 Hölder 的次序和具体指数

H 原稿第 56 页 · H 原稿第 57 页 · 一组具体的开放指数

设

p_*=2+2(q-2)=2(q-1),\quad p_a=p_b=p_*,\quad p_j=\frac{2p_*}{p_*-2}\quad(j\notin\{a,b\}). \tag{43}

这四个指数满足

\sum_j\frac1{p_j}=1,\quad p_j>q. \tag{44}

其中 $p_*-q=q-2>0$ ，而对另两个槽位

\frac{2p_*}{p_*-2}-q =\frac{-q^2+4q-2}{q-2}>0\quad(2<q<3).

若有重槽位，取 $h_a=p_*$ ；每个普通槽位取 $h_j=4$ 。于是每个 $h_j>q$ ，随机指数 $4>q$ ，并且 $\sum_j1/h_j\le2$ 。

对式 (42)，先固定 $y,\gamma,\sigma$ ，对快数列积分使用第 7 节的指数范围，得到

\int_{\mathbb T_0^2}\prod_jM_qg_j(y,w_j) \le C\prod_j\|M_qg_j(y,\cdot)\|_{L_w^{h_j}}.

再对共享的 $(\gamma,\sigma)$ 用四次 Hölder，最后对 $y$ 用指数 $p_j$ 的 Hölder，得到

\text{式 (42)}\le C C_N(q)\prod_{j=0}^3 \|M_qg_j\|_{L_y^{p_j}L_{\gamma,\sigma}^{4}L_w^{h_j}}. \tag{45}

三个步骤的先后不能倒换。尤其没有把随机四阶范数移到实变量范数外面。

现在式 (12) 以完全相同的范数次序给出

\text{式 (45)}\le C_q C_N(q)\prod_j\|g_j\|_{L_y^{p_j}L_{\gamma,\sigma}^{4}L_w^{h_j}}. \tag{46}

所有外推指数都严格在开放范围内。这里的 $C_q$ 可以依赖 $q$ ，但没有引入 $K,N$ 或符号个数。

13. 普通槽位和重槽位的混合范数分别计算

H 原稿第 57 页

普通槽位的 $h_j=4$ 。由式 (31)、(32)，对每个 $n$ ，

\left(\mathbb E_{\gamma,\sigma}\int_{\mathbb T_0}|G_j(n,w)|^4\,\mathrm dw\right)^{1/4} \le Ce_j(n).

脉冲支撑不交，每个脉冲长度 $2c\delta$ ，所以

\begin{aligned} \|g_j\|_{L_y^{p_j}L_{\gamma,\sigma}^4L_w^4} &\le C\left(\delta\sum_ne_j(n)^{p_j}\right)^{1/p_j}\\ &\le C_q\left(\delta\sum_ne_j(n)^2\right)^{1/p_j} \le C_q|E_j|^{1/p_j}. \end{aligned} \tag{47}

第二步使用 $p_j>2$ 和普通槽位的式 (34)，不是交换任何混合范数。

重槽位使用截断后的 $G_a$ 。对每个 $\gamma,\sigma,n$ ，

\|G_a(n,\cdot)\|_{p_*} \le A^{1-2/p_*}\|G_a(n,\cdot)\|_2^{2/p_*} \le A^{1-2/p_*}\|F_a^\sigma(n,\cdot)\|_2^{2/p_*}. \tag{48}

取四阶随机范数时，右边需要 $F_a^\sigma$ 的 $8/p_*$ 阶局部 $L^2$ 矩。由于 $2<p_*<4$ ，有 $2<8/p_*<4$ ，式 (32) 可用。于是

\|G_a(n,\cdot)\|_{L_{\gamma,\sigma}^{4}L_w^{p_*}} \le C_q A^{1-2/p_*}e_a(n)^{2/p_*}.

最后才对 $y$ 取 $p_*$ 阶范数：

\|g_a\|_{L_y^{p_*}L_{\gamma,\sigma}^4L_w^{p_*}} \le C_q A^{1-2/p_*}\left(\delta\sum_ne_a(n)^2\right)^{1/p_*} \le C_q A^{1-2/p_*}|E_a|^{1/p_*}. \tag{49}

没有重槽位时，也可在上界中无害地乘上 $A^{1-2/p_*}\ge1$ ，以统一写法。

14. 两个指定掩膜怎样留下一个趋零的幂

H 原稿第 57 页 · 位置因子不能直接丢弃

将式 (47)、(49) 代入式 (46)，当前矩形的主项至多

C_q C_N(q)A^{1-2/p_*} |E_a|^{1/p_*}|E_b|^{1/p_*} \prod_{j\notin\{a,b\}}|E_j|^{1/p_j}. \tag{50}

后两槽位的掩膜都在 $R$ 内，其贡献至多 $|R|^{1-2/p_*}$ 。固定长度层和槽位分配后，式 (17) 与三因子 Hölder 给出

\begin{aligned} \sum_{\iota=1}^{J}|E_{a,\iota}|^{1/p_*}|E_{b,\iota}|^{1/p_*} &\le \left(\sum_\iota|E_{a,\iota}|\right)^{1/p_*} \left(\sum_\iota|E_{b,\iota}|\right)^{1/p_*} J^{1-2/p_*}\\ &\le J^{1-2/p_*}|R|^{2/p_*}. \end{aligned} \tag{51}

第三个 Hölder 指数为 $(1-2/p_*)^{-1}>1$ 。这里只要求指定的两个掩膜族各自不交；不能假设四个掩膜族都不交。

利用 $J\le C(K+1)$ 和 $A=(K+2)^{10}$ ，这一层的主项至多

C_q C_N(q)(K+2)^{11(1-2/p_*)}|R| =C_q C_N(q)(K+2)^{11(q-2)/(q-1)}|R|. \tag{52}

两次取样误差由式 (27) 各贡献 $C|R|$ ，截断误差由式 (39) 贡献 $C|R|$ 。再乘 $C(1+\log(K+2))$ 个长度层和固定个槽位分配，就得到式 (15)。恢复 $s_j$ 后证明结束。

15. 哪些量先固定，哪些量允许变大

H 原稿第 6 页 · H 原稿第 53 页 · H 原稿第 57 页 · 仍需后续证明的部分

这个比较对每个固定的 $2<q<3$ 都成立，不要求先知道哪一个 $q$ 最终能够吸收。参数次序是：先固定核类、圆环长度、支持余量所需的 $\beta$ 、脉冲宽度 $c$ 、截断次数十和位置求和产生的一次；它们产生绝对次数十一。然后选择 $q$ ，固定由式 (43) 得到的全部指数和混合范数常数，并预先统一固定式 (14) 的八阶矩上界。所有短块常数可以依赖这一矩界及原核类。最后才允许任意有限的 $K,N$ 和有限树，并选取满足固定假设的任意随机栈。

特别是

\vartheta(q)=1-\frac2{p_*}=\frac{q-2}{q-1}\le q-2,

故 $A^{\vartheta(q)}$ 付的是 $10\vartheta(q)$ 次幂，位置求和付的是另一个 $\vartheta(q)$ 次幂。不能把它们写成一个未说明依赖关系的 $(K+2)^{C_q(q-2)}$ 再声称指数趋于零；实际可用的是绝对次数。

加权极大函数和外推可能使 $C_q$ 在 $q\downarrow2$ 时很大。这不妨碍先固定同一个 $q$ ，再选后面的尺度参数；但不能让 $q=q_K$ 随块长改变，然后仍把 $C_N(q_K)$ 当作同一个待吸收量。

本章输出的是固定栈的短块比较。块内变化的侧输出怎样改写成这样的固定栈、近带耦合和怎样保持到全局求和、完整线性侧的平方能量怎样产生，以及最终怎样让 $C_N(q)$ 的系数小到可吸收，仍分别需要 H 后面的 §§7.3–7.7、第 8 节及第 10 节。这里没有提前使用它们。