短块比较的计算补充与边界试验

本附录配合短块比较主文，补充三个容易被一句话略过的推导，再用具体例子说明主文各对象的角色。除特别标明的已知输入外，以下是对 H Lemmas 7.1–7.2 的直接计算。边界例子用于否定过强的中间断言，不是在否定 H 的短块比较。

A. 两个坐标的端点界怎样填满指数范围

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考虑一个非负四线性积分 $\mathcal A(f_0,f_1,f_2,f_3)$ 。它可以是有界归一化区间上的数列积分，也可以是主文第 7 节的局部计数测度乘圆环积分。设对任何至多两个槽位取 $L^1$ 、其余取 $L^\infty$ ，都有统一端点界。零个或一个 $L^1$ 的端点由两个 $L^1$ 的端点和局部测度总质量有界得到。

写 $r_j=1/p_j$ 。多面体

\{r\in[0,1]^4:\textstyle\sum_jr_j\le2\}

的顶点正是至多两个坐标为一的零一向量。可直接检查：若至少两个坐标严格介于零与一，保持总和不变可沿它们的差方向移动，故不是顶点；若恰有一个非整数坐标，且总和不等于二，则可单独移动；若总和等于二，其余整数坐标又迫使这个坐标为整数。因此 $r=\sum_\ell\lambda_\ell v^{(\ell)}$ ，其中 $\lambda_\ell\ge0$ 、 $\sum_\ell\lambda_\ell=1$ ，每个 $v^{(\ell)}$ 至多有两个一。

先设所有 $p_j<\infty$ 。由于

\prod_j|f_j|= \prod_\ell\left(\prod_j|f_j|^{p_jv_j^{(\ell)}}\right)^{\lambda_\ell},

对底层非负积分用 Hölder，再对每项用相应端点界，可得

\mathcal A(f) \le C\prod_\ell\prod_{j:v_j^{(\ell)}=1} \left(\int|f_j|^{p_j}\right)^{\lambda_\ell} =C\prod_j\left(\int|f_j|^{p_j}\right)^{r_j} =C\prod_j\|f_j\|_{p_j}. \tag{A1}

含 $p_j=\infty$ 的槽位直接提出上确界即可。这里不需要一个未说明常数的多线性插值定理。

离散端点的唯一额外事实是整数坐标映射的单射性；它的像可能有有限指数，但我们只是把非负和扩充到全部坐标对，因此不会付这个指数。圆环上的同一整数矩阵虽然可能多对一，却是满射群同态，归一化 Haar 测度的推前正好仍是 Haar 测度，因此同样没有一个随格点数增长的因子。

B. 随机局部平方范数的矩如何从点态矩得到

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设 $(S,\lambda)$ 为任意测度空间， $a\ge2$ 。Minkowski 对非负函数 $|F|^2$ 给出

\begin{aligned} \left(\mathbb E_\sigma\left(\int_S|F^\sigma|^2\,\mathrm d\lambda\right)^{a/2}\right)^{2/a} &\le\int_S\left(\mathbb E_\sigma|F^\sigma|^a\right)^{2/a}\,\mathrm d\lambda\\ &\le C_a^2\int_S Z^2\,\mathrm d\lambda. \end{aligned} \tag{A2}

于是 $\|\|F^\sigma\|_{L^2(S)}\|_{L_\sigma^a}\le C_a\|Z\|_{L^2(S)}$ 。

在第一次取样误差中，取 $a=4$ ，四个槽位分别用式 (A2)，再用概率空间上的四次 Hölder。重槽位尾部中， $\|G-G^A\|_1\le A^{-1}\|F\|_2^2$ ，其四阶随机矩是原来 $L^2$ 大小的八阶矩，故取 $a=8$ 。普通槽位的 Fourier 四阶估计取 $a=4$ 。最后重槽位混合范数取 $a=8/p_*\in(2,4)$ 。因此点态八阶界连同概率范数单调性足够覆盖整个证明。

若栈用一组或两组独立 Rademacher 符号随机化，矩常数可与维数无关。先对实系数用

\mathbb E\exp\left(t\sum_m\varepsilon_m a_m\right) =\prod_m\cosh(ta_m) \le\exp\left(\frac{t^2}2\sum_ma_m^2\right).

由指数 Markov 不等式及最优 $t$ 得到双侧高斯尾界，再积分 $\mathbb E|X|^a=a\int_0^\infty u^{a-1}\mathbb P(|X|>u)\,\mathrm du$ ，可得

\left\|\sum_m\varepsilon_m a_m\right\|_{L^a} \le C_a\left(\sum_m|a_m|^2\right)^{1/2}. \tag{A3}

复系数分实部与虚部处理，仍只改变 $C_a$ 。若 $X=\sum_{m,n}\varepsilon_m\varepsilon'_na_{mn}$ ，先对 $\varepsilon$ 用式 (A3)，再对 $\varepsilon'$ 使用式 (A2) 的有限求和形式，得到

\|X\|_{L^a_{\varepsilon,\varepsilon'}} \le C_a^2\left(\sum_{m,n}|a_{mn}|^2\right)^{1/2}\quad(a\ge2). \tag{A4}

低阶矩由二阶界得到。这证明了原文所说的至多两次独立 Rademacher 随机化具有所需矩界。四个槽位彼此不必独立；独立性只用于每个具体随机化中的符号族。

C. 把两个取样误差放进同一条质量计算

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令 $B_j$ 为槽位 $j$ 的固定提升区间。对给定内部格 $I$ ，令 $S_{j,I}$ 包含所有可能碰到原核、慢中心核或窄脉冲核支持的慢指标。每个这样的指标对应完整窗口 $\delta(n+B_j)$ 。原核支持余量至少为 $c_0r_I$ ，全部移动距离至多固定倍数的 $\delta$ 。因 $s<t$ 、 $\delta/r_I\le\beta/2$ ，先取 $\beta$ 足够小，就有这些窗口全部包含于 $I$ 。

一个明确可用的质量定义是

M_{j,I}=\sum_{n\in S_{j,I}} \int_{\delta(n+B_j)}\|z_j(y)\|^2 1_{E_j}(y)\,\mathrm dy. \tag{A5}

若某槽位的 $B_j$ 比实际支持大，就仍把相应零延拓算进去。各 $B_j$ 的长度固定，故同一实点在式 (A5) 中出现至多固定次。完整窗口包含于 $I$ ，使得

M_{j,I}\le C\int_I\|z_j\|^2\le C|I|, \quad \sum_{I\text{ 同层}}M_{j,I}\le C\int_{E_j}\|z_j\|^2\le C|E_j|. \tag{A6}

快 Haar 归一化与慢计数归一化满足

\frac\delta{|I|}\sum_{n\in S_{j,I}} \int_{\mathbb T_0}|F_j^\sigma(n,w)|^2\,\mathrm dw =\frac1{16|I|}\sum_{n\in S_{j,I}} \int_{\delta(n+B_j)}|z_j^\sigma(y)|^2 1_{E_j}(y)\,\mathrm dy. \tag{A7}

第一个取样差具有额外的 $\delta/r_I$ ，其余归一化由式 (A1) 的四个 $L^2$ 范数承担。式 (A2)、(A7) 于是给出主文式 (24)。

第二个取样差的快函数已经变成 $U_{j,\gamma}F_j^\sigma$ ，重槽位还经过截断。但每个 $n$ 的快 $L^2$ 范数逐 $\gamma$ 不增加，所以式 (A7) 的右边依旧是其上界。对脉冲偏移多边形额外积分只付固定面积因子；即使核差依赖偏移，它的上界仍是 $C\delta/r_I$ 。再次用式 (A1)、(A2)，得到完全相同的式 (24)。

归一化常数也可完全写明。若 $T_0=16$ ，第一次取样后的形式是

\operatorname{Samp}_I(F) =T_0^2\frac{\delta^2}{r_I^2} \sum_{n_0,n_1}w_I(\delta n_0,\delta(n_1-n_0)) \Lambda_{\mathbb T_0}(F_0(n_0),\ldots,F_3(n_3)).

这里的 $T_0^2$ 正好抵消两个归一化 Haar 测度的分母。返回窄脉冲后，如果先把核固定在中心，再对快变量积分，则得到

\operatorname{BurstCenter}_I(G) =\kappa_c\frac{\delta^2}{r_I^2} \sum_{n_0,n_1}w_I(\delta n_0,\delta(n_1-n_0)) \Lambda_{\mathbb T_0}(G_0(n_0),\ldots,G_3(n_3)).

因为 $a_1=(a_3+2a_0)/3$ ，偏移多边形的面积为 $\kappa_c=4c^2/3$ 。所以 $\operatorname{Samp}_I(G)=(T_0^2/\kappa_c)\operatorname{BurstCenter}_I(G)$ 。这个固定因子与 $K,N,q$ 都无关；第二个中心化误差乘它以后仍有前述上界。

这里不能只说“Fourier 酉性保持支持”。它不保持快变量的支持。真正保持的是慢指标和每个慢指标的快平方范数，而进入 $M_{j,I}$ 的是变换前的完整窗口。

D. 一组具体指数和一个完整例子

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取 $q=5/2$ 。主文的指数为

p_a=p_b=3,\quad p_c=p_d=6.

若有重槽位，它的快指数为三，其余快指数为四；随机指数都是四。对极大函数实际使用的三个指数分别为

(6/5,8/5,6/5)\quad\text{重槽位},

(6/5,8/5,8/5)\quad\text{普通指定槽位},\quad (12/5,8/5,8/5)\quad\text{另两个普通槽位}. \tag{A8}

它们都严格大于一，但不存在一个覆盖所有槽位的“先按从小到大排列再应用”的统一次序。实际次序始终是实变量、随机变量、快变量。

取 $R=[0,1]$ ，树的内部格为深度零和一，四个终端叶子全在深度二。令 $z_j(y)=1_R(y)\mathrm e(y)$ ，不作额外符号随机化。每个叶子的归一化平方范数恰为一。任取这些内部格的求和子族及原核。

所有参与的叶深四元组都是 $(2,2,2,2)$ 。因此只有非唯一最小值的一个矩形， $t=2$ ，可指定 $a=0,b=1$ ，四个掩膜均为 $R$ ，并且没有重槽位。取 $\delta=\beta/4$ ，慢指标有限；式 (20) 在槽位零、一的快区间上保留真实取样值，在另外两槽位使用指定提升区间。两次核替换的深度因子分别为 $\delta/r_0=\beta/4$ 、 $\delta/r_1=\beta/2$ ，总和为 $3\beta/4$ 。

共享二次随机化逐慢数列保持快四因子积分。普通槽位由叶长恰为 $r_t$ 得到 $e_j(n)\le C_\beta$ ，四个槽位都直接使用平均四阶估计，无须截断。返回窄脉冲输入后，式 (A8) 中相应的普通槽位指数允许使用混合范数极大估计。每个 $|E_j|=1$ ，其混合范数贡献至多为固定常数。因此这一例实际上得到

\mathbb E\left|\sum_I|I|\epsilon_IH_I(z)\right| \le C_q(1+C_N(q))|R|, \tag{A9}

不需要一般式中的位置幂或对数层数。

这个例子并非必然是零形式。例如在一个足够小、使四坐标都位于 $I$ 内部的开集上选紧支撑、非负的 Gevrey 函数 $\phi$ ，令核为固定归一化倍数的 $\prod_{j=0}^3(\partial_v-j\partial_x)\phi(x,v)$ 。每个边缘积分因相应方向导数而为零。四个输入的相位乘积为 $\mathrm e(4x+6v)$ ，分部积分的四个频率因子为 $6,2,-2,-6$ ，都非零。把 $\phi$ 的支持取足够小，可保证相应 Fourier 积分非零。核经过固定尺度归一化后属于一个固定容许核类。例子的目的不是求这个数值，而是说明整个短块比较可在非零形式上运行。

再看一个真正区分重槽位的深度四元组 $(1,2,5,6)$ 。在整数区间 $[0,8)$ 的标准二进细分中，最小值一和第二小值二的最小共同区间是 $[0,4)$ ，其下半部为 $[0,2)$ ，上半部为 $[2,4)$ 。因此 $a=0,b=1,t=2$ ，只有槽位零可能较重；另两槽位被限制为深度大于三。这个组合例说明矩形掩膜怎样选，不额外断言每种抽象叶深四元组都能在任意指定树中由一个有贡献的实数列实现。

图中只表示叶深标签怎样分组。它不声称这些深度在每棵指定树中都对应一个有贡献的实数列。

E. 八个不能越过的边界

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E1. 叶上的平方平均不控制高阶平均

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长为一的叶子上取 $f_\varepsilon=\varepsilon^{-1/2}1_{[0,\varepsilon]}$ 。则 $\|f_\varepsilon\|_2=1$ ，而对固定 $q>2$ ， $\|f_\varepsilon\|_q=\varepsilon^{1/q-1/2}\to\infty$ 。因此不能在取样和随机化之前直接把原输入交给 $C_N(q)$ 。

E2. 混合范数交换会引入维数因子

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令 $I_1,\ldots,I_m$ 为实线上互不相交的单位区间， $X=\{1,\ldots,m\}$ 取计数测度， $f(y,i)=1_{I_i}(y)$ 。则

\|f\|_{L_y^p\ell_i^b}=m^{1/p},\quad \|f\|_{\ell_i^bL_y^p}=m^{1/b}. \tag{A10}

当 $p\ne b$ 时，不可能用与 $m$ 无关的双向常数互换它们。这个例子不否定有正确指数方向的 Minkowski 不等式；它否定在没有检查方向时随意换序。

E3. 最外层指数不能取极大函数端点

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取 $f=1_{[0,1]}$ 。对 $y>1$ ， $Mf(y)\ge1/y$ ，所以 $\int Mf=\infty$ 。于是 $M_q$ 不在 $L^q$ 上强有界。将 $p=q$ 代入式 (12) 已经在没有内层变量时失败。本例没有断言所有其他内层端点都由同一个例子否定。

E4. 重槽位不能冒充普通槽位

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在一个长度为 $\ell$ 的重叶子中，取一个长为 $\delta$ 的小区间 $J$ ，令 $z=(\ell/\delta)^{1/2}1_J$ 。它在整叶的归一化平方范数为一。但覆盖 $J$ 的快窗口可有 $e(n)^2$ 与 $\ell/\delta$ 同阶。当重叶比取样尺度长很多时，这个量无统一界。式 (35) 的局部总质量界仍然成立，因此正确补救是只截断这个槽位。

E5. 四个独立二次相位不保持原积分

H 原稿第 55 页

在快圆环上取四个纯 Fourier 模式 $F_j(w)=\mathrm e(c_jw/16)$ 。频率向量 $m=c=(-1,3,-3,1)$ 满足两个数列约束，所以原快积分为一。共享 $\gamma$ 时，额外总相位为 $\mathrm e(\gamma\sum_jc_j)=1$ 。若每个槽位使用独立 $\gamma_j$ ，相位平均是 $\prod_j\mathbb E_{\gamma_j}\mathrm e(\gamma_jc_j)=0$ 。原积分被消掉了，故这种独立化不能作为等价变换。

E6. 固定 $\gamma$ 没有平均四阶增益

H 原稿第 55 页

取 $\gamma=0$ ，此时 $U_{j,0}$ 是恒等算子。对圆环上高而窄的尖峰， $L^4/L^2$ 比可以任意大。式 (31) 的平均不能删除。

E7. 两个掩膜不交后的剩余位置因子不能直接丢弃

H 原稿第 57 页

令 $J$ 个指定掩膜各自等长， $|E_{a,\iota}|=|E_{b,\iota}|=|R|/J$ 。主文式 (51) 左边恰为

J^{1-2/p_*}|R|^{2/p_*}. \tag{A11}

所以在仅有这两个不交条件和 $p_*>2$ 时， $J^{1-2/p_*}$ 正是这个求和步骤需要的因子。它不证明 H 最终的 $K$ 指数最优，却说明不能在该步骤无理由去掉它。

E8. 有限不等于统一有界，趋零指数也不等于零

H 原稿第 4 页 · H 原稿第 57 页

数列 $a_N=N$ 对每个有限 $N$ 都有限，却没有统一上界。相同的量词问题适用于本章所知的 $C_N(q)<\infty$ 。另一方面，对任何固定 $q>2$ ， $(K+2)^{11(q-2)/(q-1)}$ 仍随 $K$ 增大。只能在另有负幂收益时比较它，不能把“当 $q\downarrow2$ 指数趋零”写成“已无 $K$ 损失”。

F. 尚未在这里证明的后续部分

H 原稿第 53 页 · H 原稿第 57 页 · 参数与结论范围

本章从每叶归一化的固定确定栈和其随机标量化出发。没有构造块内变动侧的固定栈，没有构造完整辅助侧基，没有证明线性侧平方能量，也没有证明近带耦合和的一次幂全局估计。最终选择同一个 $q$ 、固定其常数、使 $C_N(q)$ 的系数可吸收，还必须使用 H 后续的参数安排。

阅读后续证明时，还需要逐一核对各类侧输入是否满足主文式 (13)–(14)：共同停止是否保证叶上的归一化，随机化是否作用于完整的固定栈，原来的耦合和是否仍被保留。本附录的计算没有替代这些后续论证。