第三章　算子方阵与精确函数线的完备性

所谓“精确函数线”（exact line），是由一个模长一函数张成的一维空间；该函数能与同一行或列其余位置的模长一函数相乘，得到常相位。

本章对应 R Definition 4.1 与 Lemmas 4.2–4.7（pp.14–21）。固定一个满足前章分组局部核的参数方阵，原稿将行列共同可见的函数空间分解为精确函数线。下面逐步证明投影交织、固定正部、交换酉群及完备性的反向包含。

固定原文，第14页起

1. 这一段要证明的结论

固定一个满足 Proposition 3.5 的完整参数方阵 $E$，以后所有概率分布都条件于这个 $E$。把行分成三个非空组 $P,A,B$，列分成三个非空组 $r,s,t$。一个矩形格 $Y_{i,l}$ 是相应矩形里的整个状态向量，而不是一个原始坐标。

令 $H_{i,l}=L^{2}(\mu _{i,l})$，其中 $\mu _{i,l}$ 是这个矩形格的边缘。内积取第二变量线性：

以下所有“张成”均指闭线性包。某格的行可见空间 $V$（原文 row-active space）是同一行其它两格的有界函数向此格条件期望的闭线性包；列可见空间 $W$（column-active space）用同列其它两格定义。它们都含常数，且在复共轭下不变。

目标不是只找几个特殊函数，而是证明 $D=V\cap W$ 由同时完成行、列乘法关系的模长一函数张满。在角格 $(P,r)$，原文最终得到更具体的描述

其中 $h(z)$ 取值于一个在证明中构造的交换酉群。群的有限特征标单项式作用于 $h(z)$，都是行列同时满足精确乘法关系的函数，而且张满这个 $L^{2}$ 空间。

这里还须证明的是“张满”：找到精确函数线，只能得到 $L^{2}(\sigma (h))\subseteq D$。反向包含必须另证，不能先把 $D$ 当作一个函数代数。

2. 概率输入只有哪些

R 第 3 节给出以下三条，对行组、列组的每种次序均成立：

1. 每个分组后的行、列中的三个矩形格两两独立。
2. 给定完整的分组行 $P$ 后，任意两个分组列独立；每列的条件分布只读该列在 $P$ 内的条目。
3. 给定行组 $P$ 和除 $t$ 外的两整列后，$Y_{A,t}$ 的条件分布等于它自己行分布中给定 $Y_{A,r},Y_{A,s}$ 的核。

这些输入不包括三个矩形格共同独立，不包括行、列两轴可交换，也不包括辅助状态系统仍混合。

记

$(z,c,d)$ 和 $(z,x,y)$ 都两两独立。由第 2 条，给定 $(z,c,d)$，$(x,y)$ 的条件核只读 $z$。因此 $(c,d)$ 与 $(x,y)$ 在给定 $z$ 后条件独立。又因为 $x$ 与 $z$ 独立，对任意有界 $f,g$，

所以 $x$ 与整个 $(c,d)$ 独立。$y$ 也一样；反过来 $c$、$d$ 各自与整个 $(x,y)$ 独立。再结合 $c$ 与 $d$、$x$ 与 $y$ 分别独立，得到后面实际需要的四个三元产品分布：

这里没有声称 $(x,y,c,d)$ 四者共同独立。稍后群结构正是利用了它们允许保留的四阶相关。

3. 精确乘法元组的两个基本事实

Definition 4.1 和 Lemma 4.2，pp.14–15。对一个 $m$ 元分布 $\lambda$，精确乘法元组（exact tuple）指 $|\chi _i|=1$ 且 $\prod \chi _i(Y_i)=c$，$c$ 是固定的模长一常数。乘积等式在 $\lambda$ 下几乎处处成立。相差常相位的 $\chi _i$ 视为同一条线。

首先，精确函数线属于该坐标的可见空间。因为

已经是其它坐标的有界函数；向 $Y_i$ 条件期望后右侧仍等于 $\chi _i$。

其次，若 $m\ge 3$ 且每个 $m-1$ 坐标子族独立，则不同精确函数线正交，配对函数线唯一。这里的配对函数线，指其余坐标中与它一起组成精确乘法元组的函数线。证明如下。设 $a_i=|\int \chi _i \,\mathrm{d}\mu _i|$。解出 $\chi _i$ 再对其它坐标积分，得

若某个 $a_i=0$，乘积式要求至少另一个 $a_j=0$；此后每个方程右边都含一个零，所有 $a_j$ 都是零。若全正，令 $b_i=-\log a_i\ge 0$，便有 $2b_i=\sum _jb_j$。加总得 $(m-2)\sum _jb_j=0$，故所有 $a_i=1$。$|\chi _i|=1$ 且 $|\mathbb E[\chi_i]|=1$ 意味着 $\chi _i$ 几乎处处常值。因此精确乘法元组要么全为常数，要么每个分量均值零。

两组精确乘法元组的逐坐标商仍是精确乘法元组。如果某格的两条线不同，商函数不为常数，所以所有商函数均值零，得到各格对应代表正交。如果某格的两条线相同，该商为常数，前一结论迫使所有商均为常数，配对函数线因而唯一。乘法、共轭给出群运算；正交非零线在可分 Hilbert 空间中至多可数。

本篇后面的完备性论证主要使用“精确函数线必在可见空间中”和共轭不变性；不会以配对的唯一性替代算子论证。

4. 四个边算子与两条矩形恒等式

对应 Lemma 4.3，pp.16–17。算子按它把函数送往的方向记箭头：

例如在 $A$ 行分布中，

$x$ 与该行 $s$、$t$ 单格各自独立，所以给定 $x$ 后这两个边缘仍是固定 $\mu _{A,s}$、$\mu _{A,t}$。Jensen 不等式给出

故它是固定 Hilbert 空间之间的压缩；伴随就是同一条件联合核的反向条件期望。其余三条边同理。以可数稠密测试检查矩阵元，正则条件核给出参数可测性，进而得到逐向量强可测算子族。

现在固定五格 $(z,c,d,x,y)$。给定行组 $P$ 后，$s$ 列与 $r$ 列独立，$t$ 列与 $r$ 列也独立。因此再条件于 $x,y$ 后，$s$ 列剩余两格的边缘仍是给定 $c$ 的列条件核；$t$ 列对应给定 $d$ 的核。记两对剩余格子的联合 $L^{2}$ 空间为 $\mathcal H_s$、$\mathcal H_t$，并令 $Q:\mathcal H_t\to \mathcal H_s$ 为它们在五格条件下的条件期望算子。

把单格函数嵌入对应双格空间，记等距嵌入 $\iota _{A,s}$、$\iota _{B,s}$、$\iota _{A,t}$、$\iota _{B,t}$。第 2 节输入的第 3 条精确给出

反向观察 $s$、$t$，仍可用同一输入，得

同时 $J_s=\iota _{A,s}^*\iota _{B,s}$，$J_t=\iota _{A,t}^*\iota _{B,t}$。于是

反向的一条则为

这就是原文式(23)。两条都需要；第一条本身并不自动提供后面投影的双向交织。由可数稠密向量测试和算子有界性，可以使它们在一个五格分布满测集上成为整个算子的等式。

5. 先证交织，再定义共同可见空间的正交投影

Lemma 4.4，pp.17–18。下面不能先假设 $V$、$W$ 的正交投影对易。

5.1 边算子的本质像张成什么

$L_A(x)$ 的本质闭像包是 $V_{A,s}$。原因是其它两格上的产品测试 $w(x)h(Y_{A,t})$，向 $Y_{A,s}$ 条件期望后等于 Bochner 积分，即 Hilbert 空间中的范数积分：

其它两格的联合边缘为产品分布，所以这些产品测试的有限和在它们的 $L^{2}$ 中稠密。若 $v$ 与所有上式正交，固定一个稠密族 $h$，再变化有界 $w$，得到 $\langle v,L_A(x)h\rangle =0$ 对几乎所有 $x$。稠密性与统一压缩界将它升级到全部 $h$。因此“与所有积分正交”恰好等价于“与几乎所有边算子的像正交”。反方向直接积分即可。

同样论证适用于每条边及反向边。因此边算子的像落在目标的本方向可见空间，且它消灭源端本方向可见空间的正交补。这里以及下文的范围论证都先对可数稠密向量进行，再去掉统一零集。

5.2 一条交织实际用了两条矩形式

由 $L_AJ_t=J_sL_B$，$J_s(c)L_B(y)$ 的像落在 $V_{A,s}$。而 $(c,y)$ 是产品分布。Fubini 使对几乎所有固定 $c$，该像包含对几乎所有 $y$ 成立；$L_B(y)$ 的本质像张满 $V_{B,s}$，故

第二矩形式取伴随得到 $J_s(c)^*L_A(x)=L_B(y)J_t(d)^*$。同样用 $(c,x)$ 的独立性和 $L_A$ 的本质像，得到

后一句等价于 $J_s(c)$ 把 $V_{B,s}$ 的正交补送入 $V_{A,s}$ 的正交补。两句合在一起才是

类似地，第一矩形式及 $(x,d)$ 的产品分布先给 $L_A(x)W_{A,t}\subseteq W_{A,s}$；第二矩形式及 $(x,c)$ 产品分布给伴随方向。于是

同一推导适用于每条边和允许的组次序。

5.3 对易及限制后的像稠密性

由式(25)，$P^V_{A,s}$ 保持 $J_s(c)$ 的本质闭像包 $W_{A,s}$。它是自伴投影，所以也保持 $W_{A,s}^\perp$。因此 $P^V$ 与 $P^W$ 对易。到这里才可写

共轭不变性也保留到 $D$。结合式(26)与 $L_A$ 自身的行可见限制，得到

其余边同理。最后将 $L_A$ 的本质像张成式投影到 $D_{A,s}$，并用上式，得到限制族 $L_A|_D$ 的本质像张满目标 $D$。反向族亦然。下一步要取消算子时，用的是这一已证明的稠密像性质。

6. 正部怎样成为固定算子

Lemma 4.5，pp.18–19。在四个 $D$ 空间上记

设 $H_{1}=D_{A,s}$、$H_{2}=D_{A,t}$、$H_{3}=D_{B,s}$、$H_{4}=D_{B,t}$。类型为 $F:H_{2}\to H_{1}$、$G:H_{4}\to H_{3}$、$K:H_{3}\to H_{1}$、$N:H_{4}\to H_{2}$。这样每个乘积的域、陪域都可以逐项检查。

两条矩形恒等式是原文的式(27)：

结合这两式及其伴随，逐式算得

例如第一式：由第二矩形式的伴随得 $K^*F=GN^*$，左乘 $K$，再代入 $KG=FN$。其余三式同样只用合法组合，不需要逆。

式(28)第一式的参数为 $(c,x,d)$，是产品分布。另取独立 $c'$，对共同 $x,d$ 比较两式并相减，得

对几乎所有 $(c,c',x)$ 成立。$F(x)$ 的本质像张满 $H_{1}$，故括号内算子为零。于是 $KK^*$ 与 $c$ 无关。对同一式取伴随，再比较 $d,d'$，用 $F^*$ 的本质像张满 $H_{2}$，得到 $NN^*$ 固定。

式(28)第二式的产品参数是 $(c,y,d)$，同一比较得到 $K^*K$、$N^*N$ 固定。式(29)第一式的产品参数 $(x,d,y)$ 给出 $F^*F$、$G^*G$ 固定，第二式的产品参数 $(x,c,y)$ 给出 $FF^*$、$GG^*$ 固定。比较所需的是第 2 节已证明的三元产品分布，并非假设四个参数共同独立。

若 $v\in \operatorname{Ker}(F^*F)$，由于源平方已经固定，$F(x)v=0$ 对几乎所有 $x$ 成立。故 $v$ 与几乎所有 $F(x)^*$ 的像正交，而这些像张满 $H_{2}$。因此 $v=0$。每个源平方和目标平方同理为单射。

对典型 $x$，$F(x)$ 既无核又有稠密像：后者由 $\operatorname{Ker} F(x)^*=0$ 得到。其极分解 $F(x)=U_F(x)|F|$ 的初始空间和终空间都满，所以 $U_F(x)$ 是四个 $D$ 空间之间的酉算子。并非只得到一个有真初始空间的部分等距。

6.1 保留矩形恒等式时，不取有界逆

置 $A=|F|$、$B=|G|$，它们是固定、正、单射的压缩。由 $F^*FN=NG^*G$，得 $A^{2}N=NB^{2}$。对平方根函数在 $[0,1]$ 上作一致多项式逼近，得到 $AN=NB$。

把 $F=U_FA$、$G=U_GB$ 代入 $FN=KG$，则

这里不能写乘以“有界 $B^{-1}$”。单射正算子 $B$ 只保证 $\operatorname{Ran} B$ 稠密，因为 $(\operatorname{Ran} B)^\perp =\operatorname{Ker} B=0$。括号中是有界算子，已在稠密的 $\operatorname{Ran} B$ 上为零，所以它在全 $H_{4}$ 上为零。

于是 $U_FN=KU_G$。写出两侧的极分解：

正部均正，前面的乘积均酉。极分解唯一性给出

作为区别，$\ell ^{2}$ 上 $Be_n=n^{-1}e_n$（$n\ge1$） 是单射且像稠密，但其逆没有有界延拓。本段的取消对这样的 $B$ 也成立，故确实不需要正部有统一下界。

极部的逐向量强可测性来自

每个近似算子范数至多 1，源平方固定且单射，谱演算给出强极限；取可数 $\varepsilon$ 序列即可处理可测性。

7. 从极部分的矩形关系到一个交换群

Lemma 4.6，pp.19–20。以下将四个极部依次记为 $a(x)$、$b(y)$、$c_{0}(c)$、$d_{0}(d)$。它们满足原文式(30)。此时它们仍是不同 $H_{i}$ 之间的酉算子，还不能直接说它们属于同一个酉群。

7.1 在一个典型 $z_{0}$ 处选择参考识别

固定典型 $z_{0}$。给定 $z_{0}$，两对 $(a,b)$ 和 $(c_{0},d_{0})$ 独立；每个单独变量的条件边缘均等于其无条件边缘，因为 $z$ 与 $x,y,c,d$ 分别独立。

酉算子的强算子拓扑是可分可度量的；在酉算子上，乘法和取逆连续。恒等式 $a d_{0}=c_{0} b$ 是闭条件。既然条件联合律是两对分布的乘积，它就在两对条件支撑的全部笛卡尔积上成立：若某个支撑点不满足，连续性给出一个正测度开邻域与几乎处处恒等式冲突。

从两个支撑各选一点 $(a_*,b_*)$、$(c_*,d_*)$。它们满足 $a_*d_*=c_*b_*$。选 $\mathcal H=H_4$，固定四个识别

将每条边换成 $J_{\mathrm{target}}^* UJ_{\mathrm{source}}$ 后，四条参考边全变成 $\operatorname{id}$，而且矩形关系不变。这些 $J_{i}$只选一次，之后不随 $x,y,c,d$ 或 $z$ 变化。

两对条件支撑现在都含 $(\operatorname{id},\operatorname{id})$。把第二对固定为 $(\operatorname{id},\operatorname{id})$，矩形关系迫使第一对支撑上的 $a=b$；反过来使 $c_{0}=d_{0}$。因此 $a$、$b$ 的无条件边缘相同，记为 $\rho$；$c_{0}$、$d_{0}$ 的边缘相同，记为 $\tau$。二者支撑都含 $\operatorname{id}$。

在 $z_{0}$ 的两对支撑上分别代入 $(u,u)$、$(v,v)$，得到 $uv=vu$。故 $\operatorname{supp} \rho$ 与 $\operatorname{supp} \tau$ 中的元素交叉交换。此时尚不能把“交叉交换”提前写成每个支撑自身是群。

7.2 一般 $z$ 给出支撑上的平移不变性

给定一般典型 $z$，再固定一对 $(c_{0},d_{0})=(u,v)$，由条件独立性，$a$、$b$ 的边缘仍各是 $\rho$。矩形关系 $a=u b v^{-1}$ 因而给出

这里 $u\rho v^{-1}$ 是把 $\rho$ 经 $w\mapsto uwv^{-1}$ 推前所得的概率律。对实际的 $(c_{0},d_{0})$ 几乎处处成立。又因 $c$ 与 $d$ 独立，这两个极部变量的无条件分布是 $\tau \otimes \tau$。

对有界连续测试 $f$，

连续：群运算连续，逐点收敛后由有界收敛传过积分。因此上述概率测度恒等式从 $\tau \otimes \tau$-几乎处处延伸到 $\operatorname{supp} \tau \times \operatorname{supp} \tau$ 全部点。交换两对角色，同样得到 $\tau =u\tau v^{-1}$ 对所有 $u,v\in \operatorname{supp} \rho$ 成立。

记 $S=\operatorname{supp} \rho$、$T=\operatorname{supp} \tau$。取 $v=\operatorname{id}$，得到每个 $u\in T$ 都满足 $uS=S$；因为 $\operatorname{id}\in S$，所以 $u\in S$，故 $T\subseteq S$。反过来 $S\subseteq T$。于是 $S=T=\mathcal G$。

$\mathcal G$ 在环境酉群中闭。对 $g\in \mathcal G$，$g\mathcal G =\mathcal G$，所以它对乘法封闭；$\operatorname{id}\in g\mathcal G$ 又给出 $g^{-1}\in \mathcal G$。交叉交换此时成为群内交换。因此 $\mathcal G$ 是闭交换酉子群，$\rho$ 在其上对所有左平移不变。

7.3 比值为什么是 $z$ 的函数

由于 $\mathcal G$ 交换，矩形关系成为

给定 $z$，两边是独立随机元，同时又几乎处处相等。这迫使共同条件分布为点质量。可用可数确定类验证：对其中任意事件 $A$，若条件概率为 $p$，则“两者一个落入 $A$、另一个不落入 $A$”的概率为 $p(1-p)$，但相等性使它为零；标准 Borel 空间上的条件核因此退化为一个点。

正则条件分布关于 $z$ 可测，Dirac 概率核可以还原为可测点，所以存在可测 $h(z)\in \mathcal G$，使

还原可测点只在固定 $E$ 下进行；不声称这些参考识别或随后的基向量已经关于整个 $E$ 可测。

8. 为何确实有离散共同特征基

不能从“酉算子相互交换”直接得到共同特征向量基。例如 $\ell ^{2}(\mathbb Z )$ 的双边移位所生成的交换酉群没有非零特征向量：特征方程迫使各坐标模长相同，与平方可和矛盾。

本段真正多出的条件，是刚证明的左不变概率分布 $\rho$。取 $\mathcal H$ 的一个正交基 $(e_n^0)$，选 $q_n>0$、$\sum q_n<\infty$，定义 $Q e_n^0=q_n e_n^0$。它正、单射且迹类。形成迹范数 Bochner 积分

这个积分有完整意义。对有限秩 $Q$，强酉收敛 $U_m\to U$ 意味着 $U_mQU_m^*$ 在迹范数收敛；一般 $Q$ 用有限秩逼近，并用 $\|U(Q-Q_N)U^*\|_{1}=\|Q-Q_N\|_{1}$，一致控制尾项。因此被积函数迹范数连续且范数恒为 $\|Q\|_{1}$，积分存在并为正迹类算子。

对每个 $V\in \mathcal G$，$\rho$ 的左不变性给出

故 $Q_{0}$ 与整个 $\mathcal G$ 对易。又对任意 $v\ne 0$，

因为 $U^*v\ne 0$ 且 $Q$ 单射，每个被积数都严格为正。这里不需要存在统一正下界；严格正的可测函数对概率测度积分仍严格正。因此 $Q_{0}$ 单射。

正紧算子的谱定理说明：每个非零特征值的特征空间有限维；这些正特征空间的正交和张满 $\operatorname{Ker} Q_{0}$ 的正交补，也就是全部 $\mathcal H$。由于 $Q_{0}$ 与 $\mathcal G$ 对易，每个有限维特征空间在所有群元素下不变。其上是一族相互交换的酉矩阵，可以同时对角化。将各个有限维空间的共同特征基合并，得到 $\mathcal H$ 的正交特征基 $(e_n)$。

所以“离散共同特征基”的依据是正、单射、紧的交换算子 $Q_{0}$，而非对交换群的无条件谱论断言。证明也没有先假定 $\mathcal G$ 紧或调用一个尚未构造的 Haar 测度。

写 $U e_n=\gamma _n(U)e_n$。每个 $\gamma _n$ 是连续的圆值群特征标：它取值于单位圆周，并保持群乘法。对角酉算子的逐坐标收敛等价于强收敛：对 $v=\sum v_ne_n$，先固定有限坐标使 $\sum_{n>N}|v_n|^2$ 足够小，再用有限坐标收敛控制前部。反方向只需作用于每个 $e_n$。因此这些坐标生成 $\mathcal G$ 的 Borel 信息。

对 $h(z)$，有限坐标上的三角多项式在其实际概率分布的 $L^{2}$ 中稠密；理由是三角多项式一致稠密于有限维环面的连续函数，后者在有限 Borel 概率的 $L^{2}$ 中稠密。再用有限坐标 $\sigma$ 域的递增条件期望，得到所有有限特征标单项式

其中 $J$ 是共同特征基指标集的一个有限子集；$m_n$ 对每个 $n\in J$ 都是整数。

张满 $L^{2}(\sigma (h(z)))$。$h(z)$ 的分布无需先识别为 Haar 测度。

由式(31)，

在列 $r$ 中，三个代表 $\gamma (h(z))$、$\overline{\gamma (a(x))}$、$\gamma (b(y))$ 的乘积为 1；在行 $P$ 中同理取 $\overline{\gamma (c_{0}(c))}$、$\gamma (d_{0}(d))$。所以 $\gamma (h(z))$ 同时满足行、列的精确乘法关系，进而属于 $D_{P,r}$。到这里证明了 $L^{2}(\sigma (h(z)))\subseteq D_{P,r}$，还没有反向包含。

9. 完备性的反向包含，不假定 $D$ 是代数

Lemma 4.7，p.21。任取一个三格行，将其位置记 $r,s,t$，设 $P_r$、$P_s$、$P_t$ 是已经证明存在的共同可见空间的正交投影。定义双线性收缩

因为 $(Y_s,Y_t)$ 的边缘为产品分布，

再用条件期望压缩性，得到原文式(35)：

这是在所有 $g,h\in L^{2}$ 上的估计，不要求投影 $P_s g$、$P_t h$ 仍有界。

9.1 两种入射边推出式(33)

令 $L_{r\leftarrow t}(v)$ 是给定 $Y_s=v$ 后从 $t$ 到 $r$ 的行条件核。对有界测试，先按 $Y_s$ 分解且使用 $Y_s$ 与 $Y_r$ 独立，得

利用已证明的交织 $P_rL_{r\leftarrow t}(v)=L_{r\leftarrow t}(v)P_t$，把有界线性投影移入 Bochner 积分，得到

另一方面，选给定 $Y_t$ 的边 $L_{r\leftarrow s}$，同理得到

上述 Bochner 积分本身也可延拓到全部 $L^{2}$ 输入，因为

由式(35)和 $L^{2}$ 稠密逼近，两式对全部 $L^{2}$ 输入成立，包括不一定有界的投影输入。再用幂等性，

这正是原文式(33)。

因此若 $g\in D_s$、$h\in D_t$，则 $C_r(g,h)$ 被 $P_r$ 固定，属于 $D_r$。更强地，它们张满 $D_r$：全部未限制的产品收缩张满行可见空间 $V_r$，而 $P_rV_r=D_r$；式(33)把每个投影后的收缩变成双输入都限制在 $D$ 内的收缩。列方向作同一论证。

这里既没有用 $D$ 对乘法封闭，也没有从单条边交织推断双输入张成；两种入射边都确实用到了。

9.2 第一次使用张成：把 $A$、$B$ 两格的函数压到极部变量上

在 $A$ 行，取 $g\in D_{A,s}$、$h\in D_{A,t}$。向 $x=Y_{A,r}$ 收缩时，由固定边缘，

共轭号来自内积第二变量线性的约定，不能删。$D$ 在共轭下不变，故这个公式可以完全在限制后的 $D$ 空间上计算。

固定源正部 $A_{0}=|L_A|$，便有 $L_A(x)|_D=a(x)A_{0}$。在第 7 节的固定 Hilbert 识别后，正部只被一个固定酉识别共轭，仍不依赖 $x$。因此上面的系数是 $a(x)$ 的可测函数。上一小节的限制收缩张成式以及 $L^{2}(\sigma (a(x)))$ 的闭性，给出

同理 $D_{B,r}\subseteq L^{2}(\sigma (b(y)))$。这里只需包含，不曾声称等号。

9.3 第二次使用张成：把角格全部 $D$ 函数压到 $h(z)$ 上

现在用列 $r$ 的限制收缩张成式。其输入来自 $D_{A,r}$ 与 $D_{B,r}$，因此可分别写成 $f(a(x))$、$g(b(y))$ 的 $L^{2}$ 函数。

先令 $f,g$ 有界。给定 $z$，$b$ 的分布仍为固定 $\rho$，而 $a=h(z)b$。故

右侧只依赖 $h(z)$，所以属于 $L^{2}(\sigma (h(z)))$。

若 $f(a)$、$g(b)$ 只在 $L^{2}$ 中，则分别用其自身 $\sigma (a)$、$\sigma (b)$ 中的有界截断逼近。截断不必留在 $D$；这不是缺口，因为这里只用它们证明目标收缩对 $\sigma (h)$ 可测，不对截断本身应用限制张成。$x$、$y$ 的产品边缘 及式(35)给出

目标 $L^{2}(\sigma (h))$ 闭，故全部限制收缩都在其中。它们张满 $D_{P,r}$，遂得 $D_{P,r}\subseteq L^{2}(\sigma (h(z)))$。

与第 8 节已证的反向包含合并，得到式(34)。乘法结构是在这条等式之后才可以识别出来，不是先验输入。允许重新排列行组与列组后，可将每个矩形格放到角格，得到每格共同可见空间的精确函数线完备性。

10. 量词与共同满测集

各原始概率核先在可数确定类上选版本；边算子关系先对可数稠密向量对成立，压缩性使它升级为整个算子的等式。参数的产品边缘允许每一次具体的 Fubini 比较和“取两个独立参数值”。这些步骤不需要对全部有界函数各自的零集作不可数交。

Lemma 4.6 的 $z_{0}$、参考酉识别、共同特征基都是在固定典型 $E$ 下选取。这里得出的最终结论只谈原条件分布的可见空间与精确函数线，因而是内在的。不能由此宣布这些中间选择关于 $E$ 已经可测；第 5 节需要另外建立可测标签族。