原始基本列怎样产生，以及一条路径究竟要预留多少标签

本章说明 H 第 35–36 页 Proposition 5.6 的构造。固定原稿为 October 5, 2026 版本，下文页码均按该版本标注。

第九章需要原始标签数，第十章证明活跃格数。二者的计数对象不同。本章从旧投影的贪心构造开始，接着插入预测列和高槽位的精确拟合列，最后才把它们合并成原始预算。主要计数式是

它不使用活跃格数，不使用 Proposition 6.8，也不使用 Lemma 6.7 的终止结论。

空间压缩、延迟替换及原始标签计数在下文和附录中证明。检测所用的离散二次逆定理是注明来源的外部输入；全尺度 Fourier 尾部与尺度和的证明另见固定预测目录附录。本文的结论限于基本目录构造及其后续输入接口。

1. 固定对象和三个不同的数

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固定有限二进树，根为 $R$。对每个实际输入 $f_e$，令 $F_e=(f_e,0)$。原来的归一化条件是

该条件要求在原归一化树的格上成立。后来为了取延迟投影而加入的更细格，不自动满足这个条件。

核的归一化四线性形式为

核有统一的内支持、缩放导数界和四个边缘零积分。特别地，选任意两个槽位作坐标后，沿任一坐标的边缘积分为零。只有物理坐标进入这个形式。

这里要分别保留三个数。$N_{\mathrm{base}}$ 计一条路径上全部原始标签的出生；$M$ 计这条路径上的活跃格；$n_r$ 计加入第六节各秩列之后、秩不超过 $r$ 的全部标签。式 $(1)$ 产生第一个数。第十章才能由第一个数产生第二个数。第九章的目录终止再以这两个数为输入产生第三个数。

2. 一个标签可以先出生，稍后才用于投影

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一个原始标签 $v$ 有支持出生格 $J_v$、标量原子 $\phi_v$、私有权重 $\epsilon_v>0$，以及列

不同标签的 $e_v$ 正交；两个标量原子即使完全相同，也不因此成为同一个标签。槽位出现也分别计数。

投影在格 $I$ 使用的列表 $\mathcal V_e(I)$ 须满足

当 $I'$ 是 $I$ 的子格时成立。它不要求所有支持已出生的标签立刻进入投影。高槽位构造正需要这个区别：标签支持在深度 $s$ 的粗格出生，却只在深度 $s+K_0$ 的子格投影中可用。

给定列表后，$P_{e,I}$ 是 $L^2(I;\mathcal H)$ 中向这些列的常系数组合的正交投影。限制旧组合到子格仍是允许的组合，故细分分割上的直和投影递增。对子格重新拟合系数不产生新标签。

若

则任意完整路径上所有曾经可用标签的并集至多为 $N$。这里把所有原始出生计入，包括在连接格出生的列和在最后一个求和格之后才进入细分投影的列。不能只看当前活跃格的列表。

3. 私有坐标的两个用途

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假定一格上至多有 $N$ 个标签，$|\phi_v|\le1$，且 $\epsilon_v\ge\epsilon_*$。对任意系数有

所以系数唯一。若 $P_IF=\sum_vc_v\Phi_v$，则收缩性和 Cauchy–Schwarz 给出

这既控制常系数和，也控制物理部分的上确界。

第二个用途是每次新插入都能产生能量增量。设 $W$ 是旧空间，$r=F-P_WF$，新的列为 $\Phi=(\phi,e_v)$，其中 $e_v$ 在旧空间和 $F$ 中均未出现。若

则 $\langle r,\Phi\rangle_I$ 恰为这个物理矩。令 $q=(1-P_W)\Phi$。由于 $r\perp W$、$\|q\|_{2,I}\le\sqrt2$，增大的空间 $W'$ 满足

若矩非零，$q\ne0$，所以该除法合法。反复使用同一个私有坐标时，这个论证一般失效。

4. 检测究竟提供什么

H 原稿第 27 页 · H 原稿第 28 页 · H 原稿第 29 页 · 检测的两次分解

对槽位 $e$ 的物理残差 $r$，记 $d_{e,I}(r)$ 为形式绝对值的上确界：其余三个槽位中一个放归一化 $L^q(I)$ 输入，另外两个放归一化 $L^2(I)$ 输入，并对这三个位置的选择取上确界。

H 第 27–29 页 Lemma 4.12 的输出是：当 $\|r\|_{2,I}\le C_1$ 且 $d_{e,I}(r)>\delta$ 时，可取有界二次图表原子 $\phi$，满足

指数 $c$ 与 $q$ 无关；常数和起始参数可以依赖 $q$。若形式绝对值的上确界未取到，先取超过所需阈值一半的对手，只改变固定常数。

局部残差检测附录 给出这条输入的来源链和推导。它依次使用有界连续二次逆定理、Hahn–Banach 分解、两次有界输入分解及单尺度分离。只有固定次数的准多项式复合。离散逆定理是外部输入，既不依赖基本目录，也不依赖第六节的同标签检测。

5. 旧拟合列：先有能量界，再有路径界

H 原稿第 33 页 · H 原稿第 34 页

固定一个更新精度 $\delta=\mathrm e^{-k}$。从根处空列表开始，按深度处理归一化格。在一格上，若残差未达到 $d_{e,I}\le\delta$，应用式 $(5)$ 并加入一列权重为一的新列，重新拟合，直到测试通过或达到请求上限。

因为 $\|F_e\|_{2,I}\le1$，每次测试的残差 $L^2$ 范数至多为二。故可以预先固定同一个 $\rho=\exp(-k^{O(1)})$ 和同一个复杂度上界。重复拟合和细分拟合都是全根 $L^2(R;\mathcal H)$ 中递增空间的投影。由式 $(4)$，

这一积分计数没有直接给出逐路径上界。必须再作停止。

取整数 $N=\lceil A_0\rho^{-2}\rceil$，$A_0$ 为足够大的固定常数。在一条路径即将超过 $N$ 次请求的第一个格停止，把它及其后代的求和交给新尝试。令这些格的并为 $E$。它们互不相交，而每个 $y\in E$ 已经过至少 $N$ 次请求，所以

取 $A_0\ge8$，便有 $|E|\le|R|/4$。若实现时先插入导致超额的最后一列再停止，预算用 $N+1$，结论不变。

在新根重复，根长总和至多为 $4|R|/3$。每个保留片段上有

私有权重为一时，式 $(3)$ 还给出物理上确界至多 $\sqrt{N+1}$。这就是 Lemma 5.4 的构造，不是先假定某个有限目录再说明怎样投影。

6. 为什么一个四元组只涉及有界个旧目录

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按固定循环次序更新四个槽位，令

$g_{t,I}$ 表示第 $t$ 层在其槽位的拟合，尚未更新时取零。固定最早两个不同槽位的增量层 $u<t$，相应槽位为 $i,j$，其余为 $a,b$。四个完整参数是

先在有限更新截止处把每个实际输入写成此前全部增量与终端残差的和。展开四线性形式后，凡含至少两个增量的项，按最早两个层 $u<t$ 归类；在其余槽位，把全部较后增量与终端残差重新求和，恰好得到式 $(7)$ 的 $F_e-g_{e,\mathrm{prev}}$。因此没有丢失或重复这些项。剩余项是四个终端残差，或一个整个终端投影乘另外三个终端残差。由第 15 节的先后精度比较，两个不同槽位终端残差的形式范数趋零，另外两参数的 $L^2$ 范数一致有界。在固定有限格集合上，剩余项于是趋零。这里只先取有限树、再令更新截止趋于无穷；没有提前交换无限树与更新极限。

对一个固定四元组，所需旧投影最多六个。每一投影有自己的标签和继承片段；取这有界个片段族的公共细化后，每个新根是某个原片段根或原总根。根长总和仍受固定倍数控制。

在一个公共片段中，把这六个目录的槽位出现分别计数，记路径总预算为 $N_{\mathrm{old}}$，并用 $D_{\mathrm{old}}$ 同时控制其数量、复杂度及系数和。因为所有这些层的参数不超过 $k=k_t$，

不需要取从第一层到第 $t$ 层所有目录的并集。

7. 固定一对低列以后，预测目录必须全尺度固定

H 原稿第 29 页 · H 原稿第 30 页 · H 原稿第 31 页 · H 原稿第 32 页 · H 原稿第 35 页 · 固定目录的完整推导 · 两处精度记法

把两个低参数在当前粗格展开为常系数原始列。固定一对标签 $(v,w)$，只在二者共同可用的子树上考虑它们。其最早共同可用格是较深的出生格，若两列由片段根继承，则是该片段根。更一般的继承掩膜可以有多个互不相交的最早共同可用格，但每条路径至多遇到其中一个。

Corollary 5.2 的结论不是“每格有一个有限展开”。它需要同一对子树上一个固定的有限三元组列表

其中 $\|\psi_{e,\nu}\|_\infty\le1$，系数允许随尺度变化，保留项为

列表数量、原子复杂度和绝对系数和均由 $D_{\mathrm{pred}}$ 控制。以误差指数 $B\ge1$ 表示精度时，

绝对长度尺度和的误差为

这里 $D_{\mathrm{high}}$ 是高槽位投影目录预算；其影响只有对数的固定幂。$L$ 是能量型对手的平方和常数。

要得到同一个列表，必须先把所有允许高度的有理分裂、格点余类和 Fourier 指标统一计入，之后才按尺度选实际展开；巨大实频率始终是同一个固定参数向量的有理评价。再以全尺度可求和的系数尾部截断。只证明每格一致逼近，无法推出式 $(9)$。详细证明另见固定预测目录附录。

原稿第 35 页说“precision log B”，而第 31 页把 $B$ 本身定义为误差指数。本文统一采用后一种记号，实际选 $B$ 为 $k$ 的固定多项式。这一直接选择补足了应用中所需的定量步骤，不能据此认定原段落无需补写。若把两页的 $B$ 逐字视为同一参数，现有复杂度上界不足以推出所需的 $\log D_{\mathrm{pred}}\le k^{O(1)}$，并非已经证明实际目录必然超标。原稿是否另指误差倒数，在此处未明确。来源原页及同时满足两条预算的显式选择见参数选择说明。

8. 预测列的出生数只由低列对计数

H 原稿第 35 页

对每个 $(v,w,\nu)$，在两个高槽位各插入一列

共轭选择是为了使投影残差与 $\psi_{e,\nu}$ 作双线性配对。列在低列对首次共同可用时插入，以后继承；不因尺度系数变化而重新出生。

一条路径上低槽位标签并集至多分别为 $N_i,N_j$，其中 $N_i+N_j\le N_{\mathrm{old}}$。故低列对至多为 $N_iN_j\le N_{\mathrm{old}}^2$。每对每个高槽位最多产生 $D_{\mathrm{pred}}$ 个标签，所以全部预测列的路径出生数至多为

全树在不同分支上可以有任意多个标签。式 $(10)$ 从未用全树标签总数。

9. 空间压缩为什么必须是完整的 Lemma 3.4

H 原稿第 9 页 · H 原稿第 10 页 · H 原稿第 11 页 · H 原稿第 12 页 · H 原稿第 13 页 · 全深度空间压缩

预测目录的绝对尺度和要把 Bessel 行作用在每格当前投影上。行所属格的深度可以各不相同；在插入次数上作二进分块，并不能直接解决这个问题。

空间压缩附录 重建第 9–13 页的完整证明。结论是：固定一个路径出生预算为 $D$ 的列系统，$m$ 个继承投影族以及满足

的局部行，则

常数与空间深度、不同分支上的总标签数无关。证明先用相同第一层矩的有界代表替换输入，再按末层系数变化停止；长度和代表能量同时收缩，才能把尝试加起来。对系数误差的估计使用出生预算的积分形式。

式 $(11)$ 只从已经固定的有限列系统出发。在本章中，它用于验证“任意一次有限高目录扩大后的替换误差”。高目录最终有限来自式 $(4)$ 的能量停止，不是由该替换误差推出。因此没有用最终目录终止来证明空间压缩。

10. 延迟替换中的精确矩恒等式

H 原稿第 32 页 · H 原稿第 33 页

固定预测列和其乘子 $\psi$。令 $P_h$ 为深度 $h$ 分割上的投影，$E_h$ 为条件期望，并令

若预测列系数为 $a_{h,p}$，正交性给出

故 $\mu_{h+1}-\mu_h$ 是 $\sqrt\epsilon$ 乘以投影增量的第 $p$ 私有坐标。任意加入其他新私有列，都不破坏这个等式。

对深度 $s$ 的格 $I$ 和光滑归一化 bump $\omega_I$，取 $H=s+K_0$。直接望远镜相消得到

所有积分均关于 $\mathrm dy$。有限截断后的余项为 $\int_I \mathcal D_{N+1}(\omega_I-E_{N+1}\omega_I)$。投影在 $L^2(I)$ 上收缩，故 $\mathcal D_{N+1}$ 一致有界；光滑 bump 的条件期望误差趋零。因此余项趋零，不需要假设 $P_hF\to F$。

两个无限和中的 bump 误差均为 $O(2^{s-h})$。固定偏移 $h-s$ 时，不交格上的局部行平方和及各深度投影增量的正交性给出行范数 $O(2^{s-h})\|1_JF\|_2$。对偏移求和，总代价为 $O(2^{-K_0})\|1_JF\|_2$。

若 $\int_I\omega_I=0$，第一项可以用 $\mu_H-\mu_s$ 替换 $\mu_H$。拆成 $K_0$ 个私有增量，其总行范数至多

这里的均零条件不能删掉。

11. 从矩恒等式到整个形式的替换误差

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先把式 $(8)$ 的二次相位替换为一。变成两高槽位坐标后，核沿两个变量的边缘积分均为零。对双重原函数作 Fourier 展开，再分别求导，便得到绝对可求和的均零 tensor bump。将式 $(13)$ 的误差行与另一槽位的 Bessel 行配对；若另一槽位是当前投影，使用式 $(11)$；若是能量序列，使用其逐格平方和。

对差核 $w_I(\mathrm e^{2\pi\mathrm i\lambda t^2}-1)$，不再要求 tensor bump 均零。其固定阶导数付出 $|\lambda||I|^2$ 乘 $D_{\mathrm{pred}}$ 的固定幂。式 $(12)$ 和投影收缩给出首项的逐深度范数 $O(\sqrt\epsilon)\|1_JF\|_2$。固定 $\lambda\ne0$ 后，

$\lambda=0$ 时差核为零。因此额外首项仍可求和。

得到 Lemma 5.3 的实际界：

先替换一个高槽位后，第二次替换的对手为

第二项满足保守的平方能量预算 $L\le C(1+K_0)$。在完整递增深度分割上，直接使用正交性还给出其平方和至多 $K_0\|F\|_2^2$；本章不需要较好的常数。

对固定低列对的共同出生根 $J$ 使用式 $(9)$、$(14)$，再乘当前低系数的统一上界。系数可以随格变化，但绝对误差和只需其上界。对所有低列对根，Cauchy–Schwarz 与路径重数给出

这一步不将变化系数当成固定 Fourier 系数。

实际的两次替换由多线性恒等式组织。记 $P^d_eF_e=P^{\mathrm{new}}_{e,s+K_0}F_e$，并令 $\mathcal H_I(A,B)$ 表示在原槽位 $i,j$ 固定放入 $X_i,X_j$、在原槽位 $a,b$ 放入 $A,B$ 的形式。于是

第一次的对手 $X_b$ 是固定输入减旧当前投影；第二次的对手 $Y_a$ 是新当前投影、滚动差和旧当前投影的和。它们均属于前述允许类别。分别在替换前后使用式 $(9)$ 并对保留项使用式 $(14)$，最后按式 $(15)$ 求和，第 14 节的选择使总误差至多 $C\mathrm e^{-k}|R|$。再对有界打包的片段根求和，得到 Proposition 5.6 声称的绝对长度误差。

12. 高槽位的额外列怎样共同插入细格

H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页

预测列只保证替换的绝对误差，尚未保证所有完整参数的两两小量。因此还要在每个高槽位作更准确的残差拟合。

按投影深度 $h$ 处理。先加入该深度已有资格使用的预测列，再测试深度 $s=h-K_0$ 粗格 $I$ 上的残差

这里 $P^{\mathrm{new}}_{e,h}$ 在 $I$ 的细分分割上是正交投影，所以 $\|r_I\|_{2,I}\le2$。不需要任何细格上的 $L^q$ 归一化。

若测试失败，检测产生 $|\phi|\le1$ 和粗格矩 $\rho_e>0$。在所有深度 $h$ 的子格 $Q\subset I$ 上加入同一个标签 $(\phi,e_v)$，支持出生格取 $J_v=I$，并在这些子格的后代继承。不同子格允许独立系数，但私有标签仍是同一个。

记 $m_Q=|Q|^{-1}\int_Qr_I\overline\phi\,\mathrm dy$。每个细格的能量增量由式 $(4)$ 的证明至少为 $|Q||m_Q|^2/2$。由于

加权 Cauchy–Schwarz 给出总增量

因此每次粗格请求仍能按粗格长度计费。不能只选其中一个细格，也不应把路径标签数乘上细格个数 $2^{K_0}$。

深度递增、同深度逐次插入及预测列的加入共同组成递增投影序列。预测列只增加能量，并不减少式 $(16)$ 已有的累计增量。照第 5 节取

在粗路径首次超额格停止。新根长度占比可以预先取得足够小。

13. 粗格停止为什么不破坏更细的投影

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当粗格 $I$ 在投影深度 $h=s+K_0$ 被停止时，所有严格祖先粗格所需的延迟深度都小于 $h$，其求和已经归给旧尝试。旧尝试的投影族在 $I$ 以下继续保留已有额外列、保留预测列并局部重拟合。它不再为交给新尝试的粗格作额外检测。这正是式 $(13)$ 所需的完整后代投影族。

新尝试可以为后代粗格从新的额外目录开始。旧尝试和新尝试的额外标签不能混成一个无限累计的目录，再声称它仍有单次路径上限。每份估计使用其自己已经固定并向下延续的投影族；尝试之间用根长打包求和。

两高槽位的粗片段再与最多六个旧目录片段取公共细化，根长仍有统一界。限制到公共子根时，已有标签按原函数和原私有坐标继承；未来标签保持原来的可用阶段，不提前加入根投影。这一限制不增加任何路径出生预算。

14. 所有参数可以按前后顺序选择

H 原稿第 31 页 · H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页 · 显式参数计算

先固定 $q$、核类、检测和 Fourier 估计中的绝对指数，再固定循环增长指数 $A$，使它超过旧拟合物理上确界预算的指数，并留固定余量。固定一个四元组后，顺序如下。

首先确定 $k=k_t$、$D_{\mathrm{old}}$。若全部旧标签和系数成本为 $D_{\mathrm{old}}^{p_o}$，明确取 $B=\lceil8k+2(p_o+1)\log(2D_{\mathrm{old}})\rceil$。这样在后续固定多项式成本之前，预测误差已有 $\mathrm e^{-8k}$ 的余量。预测目录由此确定 $D_{\mathrm{pred}}$。置

选

若式 $(14)$ 中预测成本为 $D_{\mathrm{pred}}^{p_d}$，可取 $C_*=p_o+p_d+20$。这在后续固定多项式成本之前留下 $\mathrm e^{-20Q_0}$ 的余量。完整计算见参数选择说明；这里不作无限次未知的缩小。

随后选第一高槽位的精度 $\delta_a=\exp(-p_a(k))$，使 $p_a$ 超过所有旧投影、预测列和式 $(18)$ 的预算。检测与式 $(17)$ 决定其新目录数量。对深度 $s+K_0$ 的细格 $Q\subset I$，

结合式 $(3)$，第一高投影在粗格的物理上确界至多

其中 $N_a^{\mathrm{all}}$ 包括其预测列。这只依赖已经固定的量。再选第二高槽位精度 $\delta_b=\exp(-p_b(k))$，使其超过式 $(19)$ 的对数和之前的全部成本。

全部选择只有固定次数多项式复合，故最终 $\log D_{\mathrm{high}}$ 仍为 $k$ 的固定多项式。式 $(9)$、$(14)$ 中未知的后续成本只是 $\log D_{\mathrm{high}}$ 的固定幂，亦即 $k$ 的固定幂。前面预留的指数余量在起始 $k$ 足够大时吸收它。这里不需要先知道最后目录的实际大小，也没有使用 Lemma 6.7。

15. 两种准确度为什么得到完整参数对小量

H 原稿第 34 页 · H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页

若不同槽位的两拟合精度层为 $h>\ell$，先把较准确投影换成实际输入，再换较早投影。第一步把早投影的物理上确界用作对手的 $L^q$ 大小；第二步对手已是归一化实际输入。因此两投影对与两实际输入对的形式范数之差至多

$A>d$ 时，较后精度压过较早投影的上确界。高槽位新精度也按第 14 节满足同一种先后关系。

最终参数为

每个旧投影在原粗格上收缩，新的延迟投影在粗格的完整细分分割上收缩，因此 $\|Y_e\|_{2,I}\le2$。这同样不需要逐细格归一化。

任取一对完整参数。若 $u<t-4$ 且选中了早低参数，就直接将另一个较后差分或残差中的拟合与其实际输入比较；它的实际输入项相消，不需要依靠早低参数自身的小误差。其最小旧精度层至少为 $t-4$，严格晚于这个低参数中出现的层。

其余情况，所有相关的非零旧拟合层至少为 $t-7$。逐项使用式 $(20)$ 后，所选两个完整参数中至少一个在用实际输入替代全部拟合后变为零。于是两实际输入项相消。初期未出现的零投影不会破坏此点，因为 $t\ge12$ 时另一个被选中的较后完整参数仍具有相消。

由 $k_{t-7}=k_t^{A^{-7}}$，可选固定 $0<\theta<A^{-7}$，适当增大起始参数后得到

这条估计针对完整的 $Y$ 参数。它不声称某个基本列对、某个任意删列部分或每个后续展开模式均满足同一个小量。

16. 输出给染色和目录终止的确切内容

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把旧标签、预测标签及两个高槽位额外标签合并，式 $(10)$、$(17)$ 得到式 $(1)$。取至少为一的整数

若支持出生预算取到了空目录，可无害地把记账预算取为一。再选 $D_{\mathrm{base}}\ge\mathrm e^k$，同时覆盖 $N_{\mathrm{base}}$、所有列复杂度、逆私有权重、式 $(3)$ 的系数和及式 $(19)$ 的粗格上确界，则

这里 $C_0$ 是固定指数，可以增大；起始 $k$ 可依赖 $q$。

第 37 页把高参数分为当前基本部分和延迟差：

只有当前 $B$ 的常系数原始列进入原始顶点列表；$U$ 保持整体，不在每个细格展开后把那些出现误当粗格当前顶点。但式 $(23)$ 预留整条路径的原始标签，所以未来成为当前列的标签也已计费。

Lemma 6.3 的染色只需要这些原始顶点、其固定曲率标签、继承的实际可用列表和 $D_{\mathrm{base}}$。不同分支总顶点数无需受控。它不需要主目录和 helper 目录已经闭合。

Lemma 6.7 接收式 $(24)$ 作为秩零原始预算，并另接收第十章的活跃格路径预算 $M$。主目录和 helper 新列附着在原始顶点上，不增加图顶点；它们仍增加自己的标签计数。实际历史名字、掩膜选择及完整 helper 基必须由后面的定位和转移逐一提供，本章没有代替这项工作。

本章的结论只到这里。式 $(24)$ 使用了注明的离散二次逆定理、有理分裂和全尺度预测等输入；若省略其中一项，就不能仅由后续 $n_r$ 的递推反推出原始 $n_0$ 的预算。后面的实际历史、整个 helper 基、误差吸收和整篇 H 的主定理不在本章结论中。

本章的基本预算可用于 H12 的实际历史清单。该章证明当前组局部化及给定固定完整侧基后的局部远带转移，保留原始格上的最小值与完整组和；完整侧基的实际构造、线性侧能量和近带全局估计仍未包含在内。