参数说明：预测误差与原始目录预算怎样同时满足

H 第 31 页 Corollary 5.2 以 B 为误差指数，第 35 页 Proposition 5.6 的应用段却使用了 log B 的措辞。本说明直接选择第 31 页的误差指数，并逐步核算误差和目录大小。这是一项可验证的定量补写，不预先判断原作者是否另作了参数换名。它接续主文第 7 节的预测目录，并补全第 14 节的参数选择。

1. 原文的两个参数约定

H 原稿第 31 页 · H 原稿第 35 页

H 第 31 页 Corollary 5.2 说“For every B ≥ 1”，随后的误差是

\mathrm e^{-B}\operatorname{poly}\bigl(\log(2D_{\mathrm{high}}),1+L\bigr) \|1_JF_a\|_2\|1_JF_b\|_2,

并规定

\log D_{\mathrm{pred}} \le\operatorname{poly}\bigl(1+B,\log(2H_{\mathrm{low}})\bigr). \tag{P1}

H 第 35 页应用 Corollary 5.2 时的原句为：

“using a precision log B that is a sufficiently large fixed polynomial in k.”

上述两个链接都指向 October 5, 2026 版本的原页。这个差异可能涉及误差倒数的另一种命名，但原文此处没有明确说明参数换名，因此不能替作者断言其意图。

如果把第 35 页的 B 与第 31 页的 B 逐字当作同一个变量，并选 log B 为 k 的正次幂，那么 B 本身指数增长，式 (P1) 提供的上界便不足以保证 log D_pred 是 k 的固定多项式。这是由已给估计无法推出目标预算，不是目录实际大小必然超标的反例。

2. 直接选择误差指数 B

H 原稿第 31 页 · H 原稿第 35 页

设旧目录已满足

\log D_{\mathrm{old}}\le C_o k^{d_o}, \quad H_{\mathrm{low}}\le D_{\mathrm{old}}, \quad k\ge1.

把所有旧标签计数和旧系数和成本写成 $D_{\mathrm{old}}^{p_o}$ ，其中 $p_o$ 是在选 B 前固定的常数。把 Corollary 5.2 中固定次数多项式粗略写成

C(1+K_0)^{p_L}\bigl(1+\log(2D_{\mathrm{high}})\bigr)^{p_h}.

此处 $K_0,D_{\mathrm{high}}$ 尚未选择；稍后只证明它们的对数预算是固定多项式。

实际选择

B=\left\lceil8k+2(p_o+1)\log(2D_{\mathrm{old}})\right\rceil. \tag{P2}

于是

\mathrm e^{-B}D_{\mathrm{old}}^{p_o}\le\mathrm e^{-8k}. \tag{P3}

式 (P2) 明确选的是第 31 页的误差指数 B，不是它的对数。

设 (P1) 右侧可由

C_p(1+B+\log(2H_{\mathrm{low}}))^{d_p}

控制，并令 $d_0=\max(1,d_o)$ 、 $d_p\ge1$ 。则

B\le Ck^{d_0},\quad \log D_{\mathrm{pred}}\le Ck^{d_0d_p}. \tag{P4}

所以由 (P2) 获得足够小的预测误差，同时仍得到所需的目录规模。

3. 延迟和私有权重的显式选择

H 原稿第 32 页 · H 原稿第 33 页 · H 原稿第 35 页

设 Lemma 5.3 的已知成本再付 $D_{\mathrm{pred}}^{p_d}$ ， $p_d$ 在此之前固定。令

Q_0=1+k+\log(2D_{\mathrm{old}})+\log(2D_{\mathrm{pred}}), \quad C_*=p_o+p_d+20.

选择

K_0=\left\lceil\frac{C_*Q_0}{\log2}\right\rceil, \quad\epsilon=\exp(-2C_*Q_0). \tag{P5}

便同时有

2^{-K_0}\le\mathrm e^{-C_*Q_0}, \quad\sqrt\epsilon=\mathrm e^{-C_*Q_0}.

因此除暂留的固定多项式因子以外，延迟误差受

\begin{aligned} &D_{\mathrm{old}}^{p_o}D_{\mathrm{pred}}^{p_d} \bigl(2^{-K_0}+(1+K_0)\sqrt\epsilon\bigr)\\ &\hspace{1em}\le (2+K_0)\mathrm e^{-20Q_0} \end{aligned} \tag{P6}

控制。这里 K₀ 与 log(1/ε) 都是固定多项式大小，并且在两高精度之前确定。

4. 后来高目录的固定多项式因子如何吸收

H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页

令局部检测的固定指数为 $c_{\mathrm{det}}$ 。在已经固定 Q₀ 后，第一高精度的负对数可以选成

p_a\le C Q_0^{r_a},

其中 $r_a$ 是覆盖旧成本所需的固定整数。检测和粗格请求封顶给出

\log N_a+\log H_a\le C Q_0^{r_ac_{\mathrm{det}}}.

第一高投影的粗格物理上确界 S_a 满足

\log S_a \le\frac{K_0\log2}{2} +\frac12\log N_a^{\mathrm{all}} +\frac12\log(1/\epsilon) \le C Q_0^{\max(1,r_ac_{\mathrm{det}})}.

再选第二高精度

p_b\le C Q_0^{r_b\max(1,r_ac_{\mathrm{det}})},

其中固定整数 $r_b$ 足以覆盖第一高的上确界与旧预算。于是存在固定 E，满足

\log D_{\mathrm{high}}\le C Q_0^E, \quad E\ge\max\bigl(1,r_ac_{\mathrm{det}}, r_bc_{\mathrm{det}}\max(1,r_ac_{\mathrm{det}})\bigr). \tag{P7}

这只有固定次数复合；第二高精度不反过来改变第一高目录。

由 (P4)， $Q_0\le Ck^{d_0d_p}$ 。因此式 (P3)、(P6) 暂留的全部因子

C(1+K_0)^p\bigl(1+\log(2D_{\mathrm{high}})\bigr)^p

至多为 $Ck^T$ ，其中 T 在完成两高精度的固定选择后也是固定数。增大起始 k，使 $Ck^T\le\mathrm e^k$ ，就得到：预测误差至多 $\mathrm e^{-7k}|R|$ ，延迟误差至多 $\mathrm e^{-19k}|R|$ ，再吸收固定个替换项和根长打包常数仍远小于 $C\mathrm e^{-k}|R|$ 。

注意这里只让起始 k 依赖最终固定指数 T；没有回去增大已选 B、K₀ 或改变前面目录。故该顺序没有循环。

5. 同一个选择下的 n₀ 预算

H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页 · H 原稿第 37 页 · 接回原始标签预算

路径出生数满足

N_{\mathrm{base}} \le N_{\mathrm{old}}+2N_{\mathrm{old}}^2D_{\mathrm{pred}}+N_a+N_b.

由 (P4)、(P7)，

\log(2+N_{\mathrm{base}})\le C Q_0^E \le Ck^{d_0d_pE}.

逆私有权重、系数和和粗格上确界的对数也受相同类型的固定多项式控制。增大一个固定指数 C₀ 后，可以取

1\le n_0\le D_{\mathrm{base}}, \quad \mathrm e^k\le D_{\mathrm{base}}\le\exp(k^{C_0}).

所以 (P2) 的具体选法确实同时满足绝对误差和原始 n₀ 的预算。

6. 这项定量补写的范围

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(P2) 至 (P7) 是可验证的定量补写：这个直接选择同时给出所需绝对误差和原始目录对数预算，不增加数学假设，也不更换检测或目录构造。若把两页的 B 逐字视为同一变量，原应用段所列上界不足以支撑目标预算；上面的选择明确补足了这一步。

这些计算既不能证明第 35 页的同变量字面选法足够，也不能证明原命题为假。把第 35 页某个误差倒数的对数对应于第 31 页的 B，是一种可能的重命名解释，原段落却没有写明。因此，结论限于这里给出的定量选择。它为主文第 16 节提供原始预算；后续实际历史、整个 helper 基及最终全局吸收仍须另行完成。