技术附录：固定两低列的全尺度预测目录

本附录从 H 第 18–22 页的图表展开出发，证明第 29–32 页 Lemma 5.1 与 Corollary 5.2 所需的有限预测目录。要点是先固定未缩放标签，再证明绝对尺度和；逐尺度的一致近似本身不够。原文采用 October 5, 2026 版本，下文页码均按该版本标注。

固定输入和平方能量序列先由 Fourier 分析处理。投影输入还需要空间压缩附录的全深度估计。有理分裂及有限展开使用第十章技术附录中的解析结果。本文不以 Lemma 5.1 或 Corollary 5.2 自身的结论为输入，也不使用后续的基本目录或活跃格结论。

1. 目标与依赖边界

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取一个出生区间 J，两条固定的低列分别处在不同的槽 i,j，其他槽为 a,b。对任意有限 dyadic 后代集合，要求选出固定三元组

(\Psi_{a,\nu},\Psi_{b,\nu},\lambda_\nu),\qquad \nu\in\mathcal C,

使原低列乘积在局部形式中可以替换为

\sum_{\nu\in\mathcal C} c_\nu(r) \Psi_{a,\nu}(y_a)\Psi_{b,\nu}(y_b) w_I(x,t) e(\lambda_\nu t^2),\qquad r=|I|,

其中目录及其原子均固定在 J 上，仅系数和启用标签可以随尺度改变；启用时 $|\lambda_\nu|r^2\le D_{\rm pred}$ 。目录大小、系数绝对和、原子复杂度均至多 $\exp(\operatorname{poly}(1+B+\log(2H_{\rm low})))$ 。误差需要满足绝对长度加权尺度和，而非逐尺度误差。

使用的输入如下。

H p.4 的核假设：内部支撑、四个槽的单点边缘消失、归一化导数界。
有理分裂见 Lemma 4.3（H 第 16–18 页），固定盒上的有限展开见 Lemma 4.4（H 第 18–20 页）；两者所需的形式见第十章技术附录。这里尤其使用有理投影的高度界和缩放后二次部分的大小界，全尺度池化尾部则在本附录中证明。
基础 Fourier 展开、Plancherel、区间 Poincaré 不等式、有限矩阵余子式估计。它们在下文的用途均明确。
Lemma 3.4（H 第 9–13 页）只在投影序列处使用，证明见空间压缩附录；它先固定列系统，再作全深度估计，不由预测目录倒推。

不使用：Lemma 5.1、Corollary 5.2、Proposition 5.6 或任何后续结论作为黑箱。

2. Lemma 4.4：真正固定的标签是什么

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来源：H pp.18–20；原子及高度约定见 p.15。

先固定一个分离项 Q，其未缩放参数为 $(\lambda,\beta,\theta,C,\chi)$ 。在尺度 r 上应用 Lemma 4.3，输入是

V=r\theta,\qquad \Lambda=r^2\lambda.

若 Fourier 下界为 $\delta$ ，得到一个有理正交投影 $P_s$ ，其高度及 $rP_s\theta$ 、 $r^2\lambda_{P_s}$ 的大小均有一个共同的 quasipolynomial 上界 R，且

\lambda_{P_s}=\lambda+\tfrac12\theta^TC_{\rm sy}\theta +(P_f\theta)^TC_{\rm sk}(P_s\theta),\qquad P_f=1-P_s.

这里右侧完全没有 r。不同 r 可以选不同 $P_s$ ，但所有允许的 $P_s$ 组成有限集，其大小至多 $R^{O(d^2)}$ 。

按 p.19 的构造，令 $P_0$ 为清除对称有理矩阵分母的偶数， $q_0$ 清除 $P_s$ 的分母。标签还包括

P_sn=N\in q_0^{-1}\mathbb Z^d,\qquad n\equiv h\pmod {P_0\mathbb Z^d},

以及 Fourier 指标 $v=(p,\ell)\in\mathbb Z^{2d}$ 。因为在所有允许尺度上 $rP_s\theta$ 有统一界， $N$ 位于一个固定有界集合。可以预先统一选定慢变量 cutoff 及其周期，不必每尺度另选一个新对象。对应未缩放线性频率为

\gamma=\beta+\sigma^T\theta, \quad \sigma=\sigma_N+P_s^Tp/P_1+\ell/P_0, \quad \sigma_N^Tu=-(P_fu)^TC_{\rm sk}N.

故 $\gamma$ 的有理系数高度至多 $D(1+\|v\|)$ ，而 $\lambda_{P_s}$ 是 $\lambda$ 及 $\theta_j\theta_k$ 的固定有理组合。周期 $P_1$ 、 $N$ 、 $h$ 、 $P_s$ 都可以提前放进总标签。

2.1 池化包络的充分形式

H 原稿第 19 页 · H 原稿第 20 页

无需依赖“合并相同频率”这一记账方式。保留重复标签反而更容易证明：对每个标签 $\alpha=(P_s,N,h,p,\ell)$ 取系数的统一上包络 $b_\alpha$ ，包括允许振幅与有界慢参数的上确界。对任意固定 J，可取

\sum_{\alpha:T\le1+\|v\|<2T}b_\alpha \le D_J T^{-J(d+1)^2}.

理由：每个 Fourier 系列有 $2d$ 个指标；m 次分部积分给 $(1+\|v\|)^{-m}$ ，而所有 m 阶导数在统一支撑和周期上有

D_0^{C(m+d+1)}(m+1)^{C(m+1)}

的界。选择 $m\ge J(d+1)^2+4d+4$ ，再将有限投影、格点及剩余类的数量吸收到 $D_J$ 。因 $d\le\log H$ ，这一常数仍是 quasipolynomial。同一导数界对每个允许振幅一致成立，因此可以对每个 Fourier 系数先取统一上包络，再对这些包络求和。

若需要按相同 $(\lambda,\gamma)$ 合并，就在每个纤维内把 $b_\alpha$ 相加，绝对和只会保持不变。原稿所说再吸收频率计数并非不可行，但并不是必要步骤。

因此，这里的统一目录由未缩放标签组成。对每个 r 独立列一个数值频率表，不能代替这个构造。

3. Lemma 4.5 与 4.6 提供什么，不提供什么

H 原稿第 20 页 · H 原稿第 21 页 · H 原稿第 22 页

来源：H pp.20–22。

Lemma 4.5 中选取 $\sum\alpha_j=\sum j\alpha_j=0$ 后，令 $S=\sum j^2\alpha_j$ ，其相位恒等式把原二列分离成

\sum_s c_s\psi_{a,s}(y_a)\psi_{b,s}(y_b)Q_s(t).

整数提升差 $k_i,k_b$ 受原支撑约束而有界，产生的附加项只是固定线性相位；其大小不计入原子复杂度。剩余耦合振幅在三个独立提升变量上光滑，Fourier 展开后确实分成三因子。两列分离只作两次，故维数及 quasipolynomial 预算可控。按 shell T，系数绝对和为 $DT^{-100}$ ，复杂度为 $(DT)^C$ 。以上步骤不依赖区间尺度。

Lemma 4.6 的第一部分可直接由 Fourier/Plancherel 重建：在 $(y_a,y_b)$ 坐标中，归一化光滑核有绝对可和 Fourier 展开；去掉它后是卷积核 $Q(t)\zeta(t/r)$ 。其乘子界为 $CrA_r$ ，抵消形式归一化及 L² 缩放后得到 $CA_r$ 。固定有界因子 $\psi_a,\psi_b$ 可作为乘子。

Lemma 4.6 的后半部只证明单尺度可分离近似，不能直接用来构造全尺度目录：其一般光滑 bump 有额外的尺度 r。目录构造应停在 Lemma 4.4 的 $e(\lambda_*t^2+\gamma t)$ ，只把 $e(\gamma t)$ 分到两槽，并保留原核 $w_I$ 与二次相位。这正是 Corollary 5.2 应走的路线。

4. 固定线性频率的尺度和

H 原稿第 30 页 · H 原稿第 31 页 · 投影输入的空间压缩

以下先不引用任何 height-bin 多频结论。

由四边缘消失条件，在 $(y_a,y_b)$ 坐标中， $w_I$ 对任意一个变量积分均为零。其双重原函数紧支撑在 $I\times I$ 的内部矩形。将归一化双重原函数作 Fourier 展开后分别求导，得到绝对收敛的 tensor 展开

w_I(y_a,y_b)=\sum_{p,q}d_{I,p,q}\, \omega_{I,p}(y_a)\widetilde\omega_{I,q}(y_b),

两边的一维 bump 均均值为零，归一化导数界以 p,q 的固定次幂增长，系数则可取任意固定高次幂衰减。所有常数与尺度数无关。

固定一个频率 $\nu$ 。对均零 bump 的行

W_{I,\nu}G=|I|^{-1/2}\int_I e(\nu y)\omega_I(y)G(y)\,dy,

按相对频率 $|\xi+\nu|\asymp 2^\ell/r$ 分解。固定尺度所有区间不交。若 $\ell<0$ ，先减去区间平均，再用 Poincaré，行族范数为 $O(2^\ell)$ ；若 $\ell\ge0$ ，在频率支撑上取两次反导并对 bump 分部积分两次，行族范数为 $O(2^{-2\ell})$ 。对固定 $\xi\ne-\nu$ 与 $\ell$ ，相应 r 只有有界多个。Plancherel 与 $\ell$ 的可和性证明

\sum_I|W_{I,\nu}G|^2\le C\|G\|_2^2,

常数与 $\nu$ 、深度、任意子集合均无关。这里固定 $\psi$ 可以通过 $G=\psi F$ 吸收；并不是声称 $\psi\omega_I$ 仍然均零。

于是：

固定输入 F：直接使用上式。
能量序列 $Z_I$ ：每行用 $|W_{I,\nu}Z_I|\le C\|Z_I\|_{L^2(I)}$ ，再使用给定能量和，得到 L² 因子。
投影输入 $P_IF$ ：行族 $W_{I,\nu}M_\psi$ 局部且 Bessel；此处且仅此处调用 Lemma 3.4，付出 $\operatorname{poly}(\log(2D_h))$ 。

经 tensor 指标求和和两槽 Cauchy–Schwarz，固定线性相位 $e(\gamma t)$ 的绝对尺度和受

C\operatorname{poly}(\log(2D_h),1+L)\|F_a\|_2\|F_b\|_2

控制。固定输入和能量序列版本删去 $D_h$ 即可。

4.1 池化尾项的绝对尺度和

H 原稿第 30 页

现固定一个尾标签，未缩放相位为 $(\lambda,\gamma)$ ，其系数可随尺度变化，但绝对值至多 $b_\alpha$ 。该标签只有在 $|\lambda|r^2\le R$ 的尺度被启用。

写

e(\lambda t^2+\gamma t)=e(\gamma t) +e(\gamma t)(e(\lambda t^2)-1).

线性部分使用上一节。二次误差直接由核支撑上的 $|t|\le Cr$ 得

|e(\lambda t^2)-1|\le C|\lambda|r^2.

因此只需局部绝对 L²×L² 估计，完全不需要重新作光滑 Fourier 展开。在固定深度，区间不交、投影为压缩、能量序列在这一层的能量不超过总能量，故可付 $C(1+L)^2\|F_a\|_2\|F_b\|_2$ 。而当 $\lambda\ne0$ 时，

\sum_{r\text{ dyadic}:|\lambda|r^2\le R}|\lambda|r^2\le \tfrac43R;

$\lambda=0$ 时误差就是零。此估计允许使用尺度任意子集。故所有尾标签的总损失至多

C\Big(\sum_{\alpha\text{ tail}}b_\alpha\Big)(1+R) \operatorname{poly}(\log(2D_h),1+L)\|F_a\|_2\|F_b\|_2.

选择 pooled tail mass 小于 $e^{-2m}(1+R)^{-2}$ ，就得到可接受的绝对尺度和误差。选择截断所需的对数预算仍为 $\operatorname{poly}(1+m+\log H)$ 。

此处无循环：线性固定频率 Bessel 已在本节独立证明；几何和使用的是固定未缩放 $\lambda$ ，不能允许每尺度换一个完全无关的 $\lambda_r$ 。池化正是保证这一点。

5. 有界高度如何控制尺度，而不支付目录大小

H 原稿第 13 页 · H 原稿第 14 页

来源：H pp.13–14 的 Lemma 3.5；此处说明其独立基础及适用方式。

给定有限维实参数向量 $\Theta\in\mathbb R^d$ ，考虑有理系数高度至多 R 的所有非零评估 $|a\cdot\Theta|$ 。对任何最小线性依赖的系数向量组清分母，整数余子式给出非零整数依赖系数，其大小至多 $d!R^{d^2+d}$ 。因此若非零评估的大小逐次相差超过 $4d\,d!R^{d^2+d}$ ，相应系数向量必线性无关。最多只能选 d 个。

贪心选取最小未覆盖的评估，故所有非零值的对数位于至多 d 个长度 $O(d^3\log(2R))$ 的区间，因而只占 $O(d^4\log(2R))$ 个 dyadic magnitude bins。由此有：

$\alpha\le r^j v\le\beta$ 的尺度数至多 $\operatorname{poly}(d,\log(2R),\log(2\beta/\alpha))$ ， $j=1,2$ 。精确计数中可保留 $d\log(\beta/\alpha)$ 因子；本文只用此多项式版本。
$\sum_r\max\{r^jv:r^jv\le\tau\}\le C d^4\log(2R)\tau$ 。这由每个已占 magnitude bin 的几何和直接得到。

这不是关于任意有限频率集的断言。必要条件是频率来自维数可控的同一个参数向量，且有理高度受控。

对一个固定分离项，可以取

\Theta_{\rm quad}=(\lambda,(\theta_u\theta_v)_{u,v}), \quad \Theta_{\rm lin}=(\beta,\theta_1,\ldots,\theta_d).

其维数分别为 $O((d+1)^2)$ 、 $d+1$ ，且 $d\le\log H$ 。有限目录中的所有二次参数、所有线性中心差都是这些向量的有界高度评估。

6. 单个 Fourier 上确界带的估计

H 原稿第 29 页 · H 原稿第 30 页 · H 原稿第 31 页

固定 $e^{-m-1}<A_r\le e^{-m}$ ，令 $K=1+m+\log(2H)$ 。若固定 cutoff 的积分大于 1，则把最上面的有界数量个 bands 合并进 m=0；这只改变绝对常数。由 Lemma 4.3 与第 2、4 节，先取得一个主目录，满足：

投影及频率有理高度、启用二次项的 $|\lambda|r^2$ 、主系数绝对和 A 均至多 $\exp(\operatorname{poly}K)$ ；
丢弃尾项的绝对尺度和为 $e^{-2m}\operatorname{poly}(\log(2D_h),1+L)\|F_a\|_2\|F_b\|_2$ 。

选 $0<\tau\ll1$ ，使 $\log(1/\tau)=\operatorname{poly}K$ 、 $\tau^{-1}>2R$ ，且

A\tau\operatorname{poly}(K)\le e^{-2m}.

把存在某个可能非零 $\lambda$ 或中心差 $\gamma-\gamma'$ 使

\tau\le r^2|\lambda|\le\tau^{-1} \quad\text{或}\quad \tau\le r|\gamma-\gamma'|\le\tau^{-1}

的尺度标为例外。第 5 节给出例外尺度总数 $\operatorname{poly}K$ 。每个这样的尺度直接用原始卷积乘子界 $CA_r\le Ce^{-m}$ ，不能先对指数多主系数求绝对和再估计。因此例外尺度总损失是 $e^{-m}\operatorname{poly}(K,1+L)\|F_a\|_2\|F_b\|_2$ 。

6.1 非例外尺度的替换误差

H 原稿第 30 页

启用的二次项满足 $|\lambda|r^2\le R<\tau^{-1}$ ，故在非例外尺度必为 $<\tau$ 。线性中心形成小簇：簇内直径 $<\tau/r$ ，簇间距离 $>\tau^{-1}/r$ 。可用 tiny-distance 连通分量定义；因为没有中间距离，且 $2\tau<\tau^{-1}$ ，tiny 关系本身具有传递性。原稿选择更小阈值再按目录数调整也可行。

把二次相位改成 1，每簇的线性中心改成某个原目录代表。由第 5 节的微小量总和，全部尺度的替换误差至多

CA\tau\operatorname{poly}K\,(1+L)^2\|F_a\|_2\|F_b\|_2,

符合预算。这里还没有使用所要证明的 band 估计。

6.2 合并系数为何是 $O(e^{-m})$

H 原稿第 31 页

令 $c_C(r)$ 是簇 C 的合并系数，代表为 $\gamma_C$ 。把原函数 $Q(r\cdot)$ 与 $\zeta(u)e(-r\gamma_Cu)$ 配对：本簇贡献为

c_C(r)\int\zeta,

其他簇因为归一化间距超过 $\tau^{-1}$ ，贡献绝对值至多 $C_NA\tau^N$ 。截断、二次与小簇替换给出已控制的一致小误差。又 $\zeta\ge0$ 、 $\int\zeta>0$ ，且原配对至多 $A_r\le e^{-m}$ ，所以

|c_C(r)|\le Ce^{-m}.

此论证必须以原始 Q 的 Fourier supremum 为输入；仅靠主目录的系数绝对和 A 不会得到该结论。

6.3 多中心、全尺度 Bessel 的详细计数

H 原稿第 31 页

对每个尺度与簇代表取 $\nu=\pm\gamma_C/(b-a)$ ，考虑第 4 节的行。先把固定有界乘子 $\psi$ 吸收为固定输入乘法算子。按

|\xi+\nu|\asymp2^\ell/r

分解。固定尺度、固定中心时，行算子范数仍是

a_\ell\le C2^\ell\quad(\ell<0),\qquad a_\ell\le C2^{-2\ell}\quad(\ell\ge0).

固定任意 Fourier 变量 $\xi$ 后，所有非零 $|\xi+\nu|$ 是同一参数向量

(\xi,\beta,\theta_1,\ldots,\theta_d)

的有界高度有理评估。第 5 节于是说明，对固定 $\xi,\ell$ ，可出现的尺度数仅为 $\operatorname{poly}K$ ，与目录元素数量无关。在一个尺度上，中心间隔大于 $1/r$ ，长度 $O(2^\ell/r)$ 的 shell 至多容纳 $C(1+2^\ell)$ 个中心。总 Fourier 重叠次数为

M_\ell\le\operatorname{poly}K\,(1+2^\ell).

Plancherel 后取重叠次数平方根，再求和，得到

\sum_\ell a_\ell\sqrt{M_\ell} \le \operatorname{poly}K \left(\sum_{\ell<0}2^\ell+\sum_{\ell\ge0}2^{-3\ell/2}\right) <\infty.

这是联合 Bessel 界。精确中心 $\xi=-\nu$ 只形成有限个零测点。它们不能构成 L² 中的额外原子项。

对投影序列，把这个整体局部 Bessel 行族交给 Lemma 3.4，才引入 $\operatorname{poly}(\log(2D_h))$ 。对能量序列，在单个 I 上用分离中心的 Bessel 界，然后加给定能量和；不需 compression。两槽 Cauchy–Schwarz、 $|c_C(r)|\le Ce^{-m}$ 、tensor 系数求和，共同给出

\sum_{I\text{ in band}} |I|\,|H_I(\psi_az_{a,I},\psi_bz_{b,I};Q)| \le e^{-m}\operatorname{poly}(K,\log(2D_h),1+L) \|F_a\|_2\|F_b\|_2.

至此，单个 Fourier 上确界带的估计已经由前面的分析步骤证明，尚未引用 Lemma 5.1 的结论。

7. 从 band 估计得到统一有限三元组列表

H 原稿第 31 页 · H 原稿第 32 页 · 接回主文预测目录

以下按参数选择顺序完成误差预算。

由第 3 节展开固定低列对。shell T 的系数质量为 $DT^{-100}$ ，该 shell 的单项复杂度至多 $(DT)^C$ 。
对其中每项应用刚刚独立证明的 band 估计并对 m 求和，得到该项的全尺度界，复杂度损失只是 $\operatorname{poly}(\log(2H_s))$ 。因此高 separation shells 的总损失为

\sum_{T>T_0}DT^{-100}\operatorname{poly}(\log D+\log T).

选择 $\log T_0\le\operatorname{poly}(B+\log(2H_{\rm low}))$ 使其至多预算的固定一部分。

剩余项有限，系数总质量与复杂度均有 quasipolynomial 界。对这些项，丢弃足够小的 Fourier-supremum bands，即 m 大于某个 $M\le\operatorname{poly}(B+\log(2H_{\rm low}))$ 。因为 $\sum_{m>M}e^{-m}\operatorname{poly}(m+\log H_s)$ 指数衰减，这部分误差也在预算内。
对每个留下的分离项统一用 $\delta=e^{-M-1}$ 取得所有允许有理投影；用第 2 节的固定总标签及第 4.1 节的绝对尺度和尾估计截断。选尾质量时先除以已知分离系数预算、二次规模预算及有限项数。它们的对数均为多项式，所以最终 Fourier 截断仍为 quasipolynomial。
保留项的线性相位严格分配为

e(\gamma t)=e\big(-\gamma y_a/(b-a)\big) e\big(\gamma y_b/(b-a)\big).

因而设

\Psi_a=\psi_a e\big(-\gamma\,\cdot/(b-a)\big),\qquad \Psi_b=\psi_b e\big(\gamma\,\cdot/(b-a)\big).

这些是固定有界原子；无限制实线性调制不增加复杂度。 $\lambda$ 也来自固定标签。每尺度只改变启用标签和系数。

有限项数、标签数、系数界及原子复杂度均满足

\log D_{\rm pred}\le\operatorname{poly}(1+B+\log(2H_{\rm low})).

三个丢弃部分的绝对长度加权总误差不超过

e^{-B}\operatorname{poly}(\log(2D_h),1+L) \|1_JF_a\|_2\|1_JF_b\|_2.

整个目录不依赖树的深度，不依赖 a,b 槽的具体输入或所选后代集合。它只依赖固定低列、核类及 B。投影预算仅出现于误差界的外接 compression 常数。

8. 证明中需要保留的条件

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8.1 全尺度求和中的五个要点

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Lemma 4.4 的有限投影池化与尾部包络：保留重复标签即可直接证明。
固定尾相位的绝对尺度和：先独立固定调制 Bessel，再使用二次几何尾；非循环。
height-bin 在 Bessel 中的用法：必须给每个 Fourier 变量临时加一个实参数 $\xi$ ，其维数只增加 1，不能逐个频率累加 Bessel 常数。
无限深度的细尺度：零二次相位不产生可和绝对误差，但线性部分由均零 Bessel 控制，故无需截断深度。
接近共振的小除数：只移动尺度区间的位置，不增加超过多项式的已占 magnitude bins 数量。

8.2 各步的使用次序

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第 30–31 页所需的固定线性频率 Bessel 估计在本附录第 4 节先行证明；尾部估计因此不使用尚待证明的多频结论。
第 19–20 页的 cutoff、周期和格点标签按同一高度预算统一选取，且 $\lambda,\gamma$ 是未缩放参数。
第 30 页逐深度的收缩估计分别用于固定输入、投影输入和能量序列。能量参数在两槽都出现时允许 L²，统一放进固定次数多项式。
第 31 页的固定乘子作为 Bessel 行族的预复合使用；乘完之后的 bump 不必均零。
第 32 页的截断按如下顺序进行：先截分离壳层，再截小 $A_r$ band，最后截 pooled Fourier tail；不能先定一个不含前面系数预算的最终精度。

8.3 另外两项解析结果

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Lemma 3.4 的全深度空间压缩见空间压缩附录。本附录的行族局部且联合 Bessel，列族继承，因此满足其假设。固定输入和能量序列不使用这项压缩。
有理分裂来自 Lemma 4.3，固定盒上的有限展开来自 Lemma 4.4；两者所需的形式见第十章技术附录。这里只使用这些解析结果，不使用活跃格计数；所需全尺度池化尾部由本附录证明。

8.4 如何接回基本目录构造

H 原稿第 31 页 · H 原稿第 32 页 · H 原稿第 35 页 · H 原稿第 36 页

本附录的输出是每对低列固定的有限预测目录和绝对尺度和误差。主文第 7–8 节据此产生预测列并计数；第 10–14 节还需延迟替换、高槽位检测和先后精度选择，才能完成 Proposition 5.6 所需的基本预算。实际后续历史、整个 helper 基和整篇 H 的主定理不由本附录推出。