附录：局部残差为什么能检测到一列

本附录说明主文式 $(5)$ 的来源。范围是 H 第 15–29 页中为基本列构造必需的检测链。三变量有理分裂及有限展开见第十章技术附录；这里仅引用其解析输出，不使用该章对活跃格的结论。连续逆定理中的离散输入仍是外部定理，以下不声称重证它。

1. 原子与允许的定量操作

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写 $e(t)=\exp(2\pi\mathrm i t)$ 。二次图表原子是

\phi(y)=e(\lambda y^2+\beta y) \sum_{n\in\mathbb Z^d}\chi(\theta y-n) e\bigl((\theta y)^TC(\theta y-n)\bigr). \tag{B1}

$C$ 是有理矩阵； $\lambda,\beta,\theta$ 是无限制的实参数。复杂度 $H\ge e^2$ 控制 $d\le\log H$ 、 $C$ 的有理高度、 $\chi$ 的支持盒及固定阶 Gevrey 导数界。任意固定个这样的预算作准多项式复合后，仍为

\exp\!\left(C\left[1+\sum_\nu\log H_\nu\right]^C\right).

有界原子指全实轴上绝对值至多一的原子。

共轭和固定个乘积分别用矩阵变号及水平坐标直和实现。平移可能产生巨大整数水平偏移，不能直接放入振幅导数。先取 $P$ 清 $C$ 的分母，将偏移写成 $m_0+a_0$ ，其中 $m_0\in P\mathbb Z^d$ 、 $\|a_0\|_\infty\le P$ ，再重新编号格点。 $m_0$ 只进入常数相位和线性相位；振幅只见有界 $a_0$ 。仿射缩放只改变无限制实参数。这证明 H 第 15–16 页 Lemma 4.2 所需的稳定性。

2. 两列沿四项等差数列的分离

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固定两个源槽位 $i,k$ ，其余为 $a,b$ 。先对源原子 $\phi_i$ 选固定有理数 $\alpha_j$ ，满足

\alpha_i=1,\quad\alpha_k=0, \quad\sum_{j=0}^3\alpha_j=\sum_{j=0}^3j\alpha_j=0.

这些系数高度只受四个槽位控制。向 $\theta y_a,\theta y_b,\theta t$ 插入非负 Gevrey 整数分割，记升起变量为 $d_a,d_b,d$ 。令

d_j=\theta y_j-m_j, \quad k_j=d_j-d_a-(j-a)d.

因为 $y_j=y_a+(j-a)t$ ， $k_j$ 是整数向量；支持约束使其只有准多项式多个可能值。 $k_a=0$ 。用在非零整数向量上严格为零的 equality cutoff 实施这些等式，仍为精确展开。

令 $S=\sum_jj^2\alpha_j$ 。直接代入并用两条消失矩关系可得

\sum_j\alpha_j\left[\lambda y_j^2+(\theta y_j)^TCd_j\right] =S\left[\lambda t^2+(\theta t)^TCd\right] +\sum_j\alpha_j(\theta y_j)^TCk_j. \tag{B2}

最后一项是 $x,t$ 的线性函数，可分配到 $y_a,y_b$ 。其余耦合振幅是有界盒内 $(d_a,d_b,d)$ 的光滑函数，取乘积截止后作 Fourier 展开，每一 Fourier 项分离为三个振幅。对 $\phi_k$ 重复并相乘，得到

\phi_i(y_i)\phi_k(y_k) =\sum_\nu c_\nu\psi_{a,\nu}(y_a) \psi_{b,\nu}(y_b)Q_\nu(t). \tag{B3}

三因子都是有界原子，与区间尺度无关。固定足够高的导数阶可使指标壳 $T\le1+\|\nu\|<2T$ 上的绝对系数和至多 $DT^{-100}$ ，壳内复杂度至多 $(DT)^C$ 。积分分部的阶数超过 Fourier 维数加固定常数；维数至多 $\operatorname{poly}(\log H)$ ，因此前因子仍为准多项式。这是 Lemma 4.5 的完整代数输入。

3. 单尺度如何变成两个分离矩

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固定式 $(\mathrm{B3})$ 一项。先取一个固定的非负光滑紧支撑函数 $\zeta$ ，使它在所有允许局部核的 $t/|I|$ 支持范围上恒为一；可取固定 Gevrey 截止。令固定常数 $C_\zeta$ 满足 $\operatorname{supp}\zeta\subseteq[-C_\zeta,C_\zeta]$ ，再令 $r=|I|$ 并定义

A_r=\sup_\xi\left|\int_{\mathbb R}Q(ru)\zeta(u)e(-\xi u)\,\mathrm du\right|.

在 $(y_a,y_b)$ 坐标中把光滑核作绝对可求和 Fourier 展开，每项只调制两个输入。余下是核为 $Q(t)\zeta(t/r)$ 的卷积算子。Plancherel、固定坐标 Jacobian 和归一化因子给出其双线性范数至多 $CA_r$ 。有界 $\psi_a,\psi_b$ 不增加输入 $L^2$ 范数。

若 $A_r\ge\delta>0$ ，第十章附录的 Fourier 大值到有理分裂及有限一致展开，在固定缩放区域 $|t|\le C_\zeta r$ 上一致给出

Q(t)=\sum_\mu a_\mu e(\lambda_\mu t^2+\gamma_\mu t) +O(\varepsilon), \quad |\lambda_\mu|r^2\le D,

其中复杂度和绝对系数和是 $H,\delta^{-1},\varepsilon^{-1}$ 的准多项式。这里只需要单尺度有限一致展开，不使用全尺度绝对和尾部估计。

将 $e(\gamma t)$ 分配给两槽位，剩余光滑核在缩放坐标中的导数受控；对它作有限 Fourier 分离。区间光滑 bump 可在一个额外的、零矩阵的慢水平坐标上表示为图表原子：把 $I$ 映到一个整数格的内区，把振幅支持限制在该格，便只有所选格点项贡献。于是得到

\sum_\nu c_\nu \left(\frac1{|I|}\int_I R\varphi_{\nu,a}\right) \left(\frac1{|I|}\int_I v\varphi_{\nu,b}\right) \tag{B4}

的有限和逼近，误差可预先任意规定。各因子有界，所有预算保持准多项式。

4. 离散逆定理是明确的外部输入

H 原稿第 22 页 · H 原稿第 23 页 · 离散逆定理原文第 1 页 · 离散逆定理原文第 7 页 · 离散逆定理原文第 8 页 · 离散逆定理原文第 11 页 · 离散逆定理原文第 12 页 · 离散逆定理原文第 15 页

使用 Leng–Sah–Sawhney 的 Theorem 1.2，arXiv:2402.17994v3，第 1 页的 $s=2$ 情形：对 $0<\delta<1/2$ ，区间上的一有界函数若 $U^3$ 范数至少为 $\delta$ ，则与一个适配次数至多二滤过的多项式幂零序列有准多项式下界的相关；维数为对数多项式，复杂度、Lipschitz 范数和相关倒数为准多项式。其 Definitions 3.3–3.5 第 11–12 页明确给出有理 Malcev 基、整数第二类坐标的格及含上确界项的 Lipschitz 范数。原文不要求均值为零。

区间范数按该文 Definition 1.1（第 1 页）理解：先补零到足够大的循环群，再除以区间指示函数的同阶范数。多项式轨道须适配上述滤过，具体约定见 Definitions 2.5–2.7（第 7–8 页）与 Definition 3.14（第 15 页）。这里采用不共轭的相关配对；将原定理的输出函数取共轭即可，相关下界、Lipschitz 范数和复杂度均不变。

这是本章唯一不重新证明的深层逆定理。下述从该定理到连续图表原子的处理根据 H 第 23–26 页展开；大实轨道参数不能进入复杂度。

5. 从连续函数取样，不要求取样数有先验界

H 原稿第 23 页

把 $I$ 归一化为 $[0,1)$ ，在圆群 $\mathbb R/(16\mathbb Z)$ 上补零并用概率 Haar 测度定义 $U^3$ 范数。八顶点混合 cube 形式受八个 $L^2$ 范数乘积控制：将顶点分成

\{000,100,010,001\},\quad\{111,011,101,110\},

每组四个线性式均给四维 Haar 变量的整数可逆变换；先作 Cauchy–Schwarz，再分别变换变量。由 cube Cauchy–Schwarz 还有三角不等式，故该范数对 $L^2$ 收敛连续。

对 $|g|\le1$ ，令

g_L(j)=L\int_{j/L}^{(j+1)/L}g(y)\,\mathrm dy, \quad 0\le j<L.

连续有界函数的离散原始 cube 平均趋向连续平均。一般 $g$ 用一有界连续函数在 $L^1$ 中逼近，八因子逐项相减的误差至多八倍 $L^1$ 误差；取单元平均不增加它。因此同一收敛成立。

支持在 $[0,1)$ 的非零 cube 可把三个差变量升起到 $[-1,1]$ ，所有顶点位于 $[-3,4]$ 。模 16 不会制造额外支持顶点。离散区间归一化的分母也收敛到固定正常数，故大 $L$ 时 $\|g_L\|_{U^3[L]}\ge c\delta$ 。没有必要定量选择这个 $L$ 。

6. 幂零序列到整数取值的图表原子

H 原稿第 23 页 · H 原稿第 24 页 · H 原稿第 25 页

在适配二次滤过的第二类坐标 $(z,s)$ 中，群律为

(z,s)(z',s')=(z+z',s+s'+B(z,z')),

$B$ 为受控有理双线性映射。二步情形交换坐标因子只产生中央交换子，故该表示无需无限 BCH 级数。格恰为整数坐标。多项式轨道满足 $z(n)=z_0+n\theta$ ， $s(n)$ 是次数至多二的普通向量多项式。

取非负 Gevrey 分割 $\sum_m\rho(z-m)=1$ 。右乘格点 $(-m,0)$ 得到

F(g(n)\Gamma)=\sum_{m\in\mathbb Z^p}\rho(z(n)-m) \widetilde F\bigl(z(n)-m,s(n)-B(z(n),m)\bigr).

$\widetilde F$ 在中央坐标周期，在有界水平盒内具有受控坐标 Lipschitz 范数。后者可直接由

(w,u)(w',u')^{-1} =(w-w',u-u'-B(w-w',w'))

验证：只出现有界 $w'$ ，不出现巨大的轨道坐标。

加水平截止、周期化，并以乘积 Fejér 核逼近。次数 $N$ 的误差至多为坐标 Lipschitz 常数乘 $Cd\log(2N)/N$ 。选 $N$ 为准多项式使误差小于相关量四分之一。所得有限 Fourier 系数和不超过 $CK(2N+1)^d$ ，仍为准多项式。

对中央频率 $k$ 定义 $z^TC_kw=k^TB(z,w)$ 。对应项为

e\bigl(k^Ts(n)-z(n)^TC_kz(n)\bigr) \sum_m\rho(z(n)-m) e\bigl(\ell^T(z(n)-m)/P\bigr) e\bigl(z(n)^TC_k(z(n)-m)\bigr).

外部相位是普通二次相位，水平参数为仿射函数。第 1 节去掉偏移后，它就是图表原子。非负分割保证该原子有界。有限系数和分摊相关量，至少有一个整数取值原子 $a(n)$ 与 $g_L$ 相关不小于 $\kappa$ ，且 $\log(1/\kappa)$ 和复杂度对数均为 $\operatorname{poly}(\log(1/\delta))$ 。

7. 精确取整插值消除取样数依赖

H 原稿第 25 页 · H 原稿第 26 页

仅把整数原子写成同一公式的连续函数可能失败，因为它能在每个取样单元内任意振荡。先选 $P$ 清 $C$ 的分母，在整数输入上用格点重编号把 $\theta$ 改为 $0\le\theta_j<P$ 。把相应修正后的 $\lambda,\beta$ 模一归约到 $[0,1)$ 。这些归约只要求在整数点相等。

令 $\alpha=2\lambda+\theta^TC\theta$ ， $\Theta=(\theta,1,\alpha)^T$ ，并用块矩阵

\widetilde C=\begin{pmatrix}C&0&0\\0&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}.

取 $0\le\eta\le1$ ，支持在 $(0,1)$ ，除总长至多 $2\varepsilon$ 的端点带外恒为一；再取一维 Gevrey 整数分割 $\rho_0$ 。新振幅为

\widetilde\chi(w,h,r)=\chi(w-\theta h)\eta(h)\rho_0(r) e\bigl(-h\theta^TCw+(\lambda+\theta^TC\theta)h^2-\beta h\bigr).

对应于 $(\Theta,\widetilde C)$ 的新原子 $A(v)$ 精确满足

A(v)=\eta(\{v\})a(\lfloor v\rfloor). \tag{B5}

这里 $\{v\}=v-\lfloor v\rfloor\in[0,1)$ 。验证时支持强制整数指标 $m=\lfloor v\rfloor$ ，另一格点和为一。写 $h=v-m$ 、 $w=\theta v-n$ ，相位化为

\lambda v^2+\beta v+(\theta v)^TCw -(2\lambda+\theta^TC\theta)vh-h\theta^TCw +(\lambda+\theta^TC\theta)h^2-\beta h,

直接整理即为 $\lambda m^2+\beta m+(\theta m)^TC(\theta m-n)$ 。

所有进入振幅的参数都已受控；按下文的具体选择， $\varepsilon^{-1}$ 只付准多项式成本。原子满足 $|A|\le1$ 。单元平均的精确恒等式为

\int_0^1g(y)a(\lfloor Ly\rfloor)\,\mathrm dy =\frac1L\sum_{j=0}^{L-1}g_L(j)a(j).

改为 $A(Ly)$ 的误差至多 $2\varepsilon$ 。预先把相关下界缩小到不超过一，并明确取 $\varepsilon=\kappa/8$ 。这样既保留受控相关，也使逆精度保持准多项式预算。伸缩 $v=Ly$ 只改变无限制实参数，所以最终复杂度与未知的巨大 $L$ 无关。这得到 Lemma 4.9。

8. Hahn–Banach 分解的闭包步骤

H 原稿第 26 页

取 $0<\tau<1/2$ 、 $\sigma=\tau/2$ 。令 $\mathcal A$ 为上节在阈值 $\sigma^2$ 提供的全部有界原子，相关下界为 $\kappa$ 。明确取 $M=\max(1,2\sigma/\kappa)$ ，从而同时保留所需下界和准多项式上界，考虑

\mathcal B=M\operatorname{absconv}(\mathcal A) +\{u\in L^2:\|u\|_U\le\sigma\} +\{v\in L^2:\|v\|_1\le\sigma\}.

此集合包含 $L^2$ 原点邻域，因为 $\|u\|_U\le C\|u\|_2$ 。若 $|f|\le1$ 却不在其 $L^2$ 闭包内，实 Hahn–Banach 与复 Riesz 表示给出 $h\in L^2$ ，使

\operatorname{Re}\langle f,h\rangle>1, \quad\sup_{z\in\mathcal B}\operatorname{Re}\langle z,h\rangle\le1.

各平衡求和项分别蕴含

\|h\|_\infty\le\sigma^{-1},\quad |\langle u,h\rangle|\le\sigma^{-1}\|u\|_U, \quad\sup_{\phi\in\mathcal A}|\langle h,\phi\rangle|\le M^{-1}.

第一条用有界简单函数测试 $L^1$ 球即可，不调用未说明的 $L^1$ 对偶表示。首个严格配对使 $\|h\|_2>1$ ，再取 $u=h$ ，得到 $\|\sigma h\|_U>\sigma^2$ 。连续逆定理提供矩至少 $\kappa/\sigma>M^{-1}$ ，矛盾。

所以 $f$ 在闭包中。取 $z=s+u+v\in\mathcal B$ ，使 $\|f-z\|_2<\tau/2$ ，其中 $s$ 是有限结构组合。将 $L^2$ 逼近误差 $f-z$ 加入原有的 $L^1$ 小项 $v$ ，得到

f=\sum_\nu c_\nu\phi_\nu+u+v, \quad\sum_\nu|c_\nu|\le D_\tau, \quad\|u\|_U\le\tau,\quad\|v\|_1\le\tau. \tag{B6}

三部分均在 $L^2$ ，原子复杂度及 $D_\tau$ 是 $\tau^{-1}$ 的准多项式。这里没有把闭包中的无限结构和误认为有限目录。

9. 局部形式检测的两次分解

H 原稿第 27 页 · H 原稿第 28 页 · H 原稿第 29 页 · 接回原始列检测

对 $R,g\in L^2(I)$ 及另外两个有界输入，沿另外三个非零槽位方向连续作三次 Cauchy–Schwarz，得到

|H_I(R,g,b,c)|\le C\|R\|_{2,I}\|g\|_{U(I)}\|b\|_\infty\|c\|_\infty.

固定平滑核可先作绝对可求和的 Fourier 展开；线性调制不改变上述范数。另由两槽位坐标变换有

|H_I(R,g,b,c)|\le C\|R\|_{1,I}\|g\|_{1,I}\|b\|_\infty\|c\|_\infty. \tag{B7}

设 $q>2$ 、 $C_1\ge1$ 、 $0<\delta<1/2$ ，且 $\|R\|_{2,I}\le C_1$ 。其余是 $\|h\|_{q,I}\le1$ 、 $\|u\|_{2,I},\|v\|_{2,I}\le1$ ，且形式的绝对值大于 $\delta$ 。取

B=\max\left(2,(100CC_1/\delta)^{q/(q-2)}\right).

截断对手至绝对值 $B$ 。 $h$ 的 $L^2$ 尾部至多 $B^{-(q-2)/2}$ ； $u,v$ 的 $L^{q'}$ 尾部至多 $B^{-(q-2)/q}$ 。局部绝对形式界分别用指数组 $(2,2,2,2)$ 和 $(2,q,q',2)$ ，故总误差小于 $\delta/4$ 。

对 $h_B/B$ 使用式 $(\mathrm{B6})$ ，精度

\tau_1=\frac{\delta}{100CC_1B^3}.

结构系数和 $A_1=BD_{\tau_1}$ ，均匀项误差用本节前面的广义 von Neumann 界控制， $L^1$ 小项误差用式 $(\mathrm{B7})$ 控制。再对 $u_B/B$ 分解，取

\tau_2=\frac{\delta}{100CC_1A_1B^2}, \quad A_2=BD_{\tau_2}.

逐个第一原子求和后误差仍受控。于是某对有界原子满足

|H_I(R,\phi,\psi,v_B)|>\frac{\delta}{4A_1A_2}. \tag{B8}

用式 $(\mathrm{B3})$ 分离；先用绝对壳尾舍去高指标，再取一个仍大的项。第 3 节双线性上界迫使其 $A_r$ 有准多项式下界，因而可使用有限单尺度矩分离 $(\mathrm{B4})$ 。每个 $v_B$ 的矩不超过一，有限系数和于是迫使 $R$ 的某个原子矩具有准多项式下界。

只有两次有界输入分解、一次等差数列分离和一次单尺度分离。唯一随 $q$ 变化的截断幂是 $q/(q-2)$ ，它只乘进 $\log B$ 的常数，而不改变这些固定复合的对数指数。因此恰得主文式 $(5)$ 。当 $q\downarrow2$ 时，常数可以发散；本文没有声称在 $q=2$ 端点或对所有 $q>2$ 有统一常数。

10. 本附录的输入与范围

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外部输入是离散二次逆定理、Hahn–Banach、Plancherel 及基本 Fourier/Gevrey 估计。前者按第 4 节所列定理和复杂度约定使用，不在这里重证。三变量有理分裂与有限展开来自第十章技术附录；这一部分不使用活跃格计数或基本目录假设。

第 2 节的代数分离、第 5–7 节的连续化、第 8 节的闭包和第 9 节的两次分解共同推出所需局部检测。此处不涉及后续目录终止、实际历史构造或全局吸收。