从实际搜索历史到当前组局部化，再把远带移向侧参数

本章精读 H 第 47–52 页的滤子安排、Proposition 6.8 与 Lemma 6.9。原稿为 October 5, 2026 的 93 页版本，下文页码均按该版本标注。

已经构造的基本列告诉我们每个参数由什么组成；历史掩膜告诉我们哪些曲率可以放在同一组；有限目录保证一份事先列定的残差测试清单能够全部满足。本章把这三项结合起来：先列出二进搜索实际会使用的投影词，再证明局部化，最后逐方向核对滤子转移。

本章仍有一项明确的后续输入：用于辅助目录的完整侧状态必须先由H 第 7–8 节构造并固定，其数量须满足规定的预算。本章给出在这些固定状态给定后所需的全部转移历史，不把有限目录终止本身当成完整侧状态已经存在的证明。

1. 固定格上的对象与输入

H 原稿第 37 页 · H 原稿第 38 页 · H 原稿第 39 页 · H 原稿第 42 页 · H 原稿第 43 页 · H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · 基本列与原始路径预算 · 有限目录的固定输入

在一个归一化根 $R$ 内固定一棵有限二进树。$\mathcal I$ 表示本次成功尝试中原有的活跃求和格：颜色标记失败的首次根已经按 Lemma 6.3 送往新尝试。每条向下路径至多经过 $M$ 个这样的活跃格。失败根的长度预算是前章输入，本章不重证它，也不在局部化时重新裁剪输入函数。记格 $I$ 的深度为 $s$，归一化范数为

只有 $F$ 的物理坐标进入四线性形式 $H_I$。槽位始终为 $0,1,2,3$；以后写成 $(a,b,c,d)$ 只是在公式中说明各参数的角色，不是把核当成对称核。

基本模式 $z=(z_0,z_1,z_2,z_3)$ 至少含三个粗参数 $B_e$，至多含一个基本侧参数 $U_e$。每个 $B_e$ 是至多两个基本投影输出之差。各 $B,U$ 的局部归一化 $L^2$ 范数有统一上界 $C_b$。基本列、它们的私有坐标、当前可用性以及整个活跃格族已经固定。以下不重新细分这些原始求和格。

使用 H 第 37–43 页及前面各章的预算

这里输入归一化指数 $q>2$ 已经固定；其中 $L$ 是颜色数，$P=\lceil\eta^{-\alpha}\rceil\ge1$ 是平均长度；各固定指数先于后续参数优化确定。原始图顶点沿路径不超过 $D$ 个。新增主列和辅助列只附着于原始顶点，不增加顶点、颜色或图上下文。

成功颜色、历史掩膜的包含与分离、纯列分离估计分别来自 H Lemmas 6.3、6.4、6.1。有限目录的构造采用 Lemma 6.7；它需要的实际历史清单在第 6 节列出。本文始终区分“有限名称已经列定”与“后来插入哪些具体列”。

2. 两类掩膜及秩、pad 的具体安排

H 原稿第 43 页 · H 原稿第 44 页 · H 原稿第 45 页 · H 原稿第 47 页 · 历史掩膜的邻居闭包

深度 $s$ 的图距离记为 $d_s$，随深度非增，允许为无穷。颜色随深度非增，顶点只增加。因此

随深度增加；固定深度时也随 $h$ 增加。空目标集的距离规定为无穷。若一个当前顶点与 $U_{m,h}(I)$ 中某点相邻，三角不等式使它属于 $U_{m,h+1}(I)$。

另一个掩膜是历史球 $M_{G,h}(I)$。它保留同一组 $G$ 在当前祖先路径上的历史中心。第二章区分“实际当前使用”与“供嵌套用的继承端点”的结论在这里具体用成三件事：在组的实际当前使用处，当前中心的图球包含于 $M_{G,h}$；当前图邻居进入 $M_{G,h+1}$；同色不同组在重叠可用端点上的任意两掩膜标签距离严格大于一。这里所有顶点都必须当前已经存在。

给定槽位 $e$、秩 $r$ 与掩膜 $A$，记

为格 $I$ 上的普通正交投影：像空间由所有当前可用、秩不超过 $r$、所附原始顶点属于 $A$ 的列作常系数组合而成。原始列的秩是零。投影是向量函数空间中的投影，绝不是只投影物理坐标。

累积滤子在切分颜色 $m$ 时使用

终点的四个球滤子按插入次序 $j=1,2,3,4$ 使用

同一滤子内部，投影随 $p$ 嵌套；固定 pad 的正投影在继承格上也嵌套。平均及其补算子都是收缩算子。来自不同掩膜的投影不要求交换，它们的乘积也不必是投影。

这里最大的球 pad 连同一次邻居放大不超过

后一严格不等式对 $L,P\ge1$ 都成立。因此后面的一步邻居闭包不会超出历史掩膜的定义域。

3. 残差测试与系数和的准确配合

H 原稿第 47 页 · H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · 残差阈值的归一化

采用第九章的累计预算，预先给定 $1\le n_0\le n_1\le\cdots\le n_{L+5}$，界定一条路径上秩不超过 $r$ 的全部列数。即使实际原始目录为空，也仅在记账中取 $n_0=1$，不向投影加入虚构列。若 $g$ 是一个固定基本 $B$ 或 $U$，$Wg$ 是清单中的历史，目标投影为 $Q=Q_{e,r,A,I}$，则 H 原式 (13) 要求：对于任意可用的较低秩纯源列 $\Phi_v$，只要其标签属于 $A$，以及另外两个任意向量函数 $f_1,f_2$，都有

槽位在省略号中保持原来的位置。右端用的是固定基 $g$ 的范数，不是可能随着目录改变的 $Wg$ 的范数。零范数的基对应零历史，测试自动成立。分母准确地是 $D\sqrt{n_{r-1}}$。

为什么这个分母正好合适？若 $X=\sum_v c_v\Phi_v$ 属于秩不超过 $r-1$ 的一个正投影像空间，私有权重的逆平方根至多为 $D$，便有

第一式来自私有坐标的正交性，第二式来自 Cauchy–Schwarz。若 $X=Q'Y$，或 $X$ 是同一家嵌套投影的一个正交带，则 $\|X\|_{2,I}\le\|Y\|_{2,I}$。对式 (3) 乘系数并求和，恰得

这一步没有遗留一个完整列数的平方根。只有在处理不同标签的小量配对时，才另行计入主目录与辅助目录系数预算的固定幂。

对于基本 $B$，可直接在它所属的基本列并空间中使用私有坐标界；也可分别展开它的至多两个基本投影，只多一个固定常数。不能把只保留某些标签后的物理部分，未经证明便当成一个收缩输出。后面的分组只在线性系数计算中进行。

4. 二进搜索如何给出真实的算子词

H 原稿第 49 页 · 搜索规则的完整不变量

从颜色区间 $[1,L]$ 开始。每个槽位最初的历史词 $W_e$ 是恒等算子。选一个确为基本 $B$ 的槽位作为上保留槽位 $u$，例如按槽位编号选第一个；最初没有下保留槽位。上保留槽位的用途是提供一个可展开的正投影源。下保留槽位一旦产生，就保留一个未经覆盖的外层补投影，用来消去较早颜色。

对当前非单点区间 $[\ell,h]$，取 $m=\lfloor(\ell+h)/2\rfloor$。按固定规则选一个既不是上保留槽位、也非已有的下保留槽位的槽位 $t$。四个槽位保证总有这样的选择。用恒等式

产生两支。

正支把 $C_{t,m,I}$ 左乘到 $W_t$，令 $t$ 成为新的上保留槽位，释放旧上保留槽位，颜色区间变为 $[\ell,m]$。残差支把 $1-C_{t,m,I}$ 左乘到 $W_t$，令 $t$ 成为新的下保留槽位，释放旧下保留槽位，区间变为 $[m+1,h]$。另一个保留槽位不动。被保留的槽位在释放以前从不再次被左乘。

这是对四线性形式反复使用式 (6)，所以在每个原始格上都有精确恒等式

$\Lambda$ 是固定的颜色搜索树叶集合，至多有 $L$ 个叶；当完整保留全部颜色时恰有 $L$ 个。每条路径的切分数不超过 $m_* =\lceil\log_2 L\rceil$，$L=1$ 时取零。四个词的总因子数就是这条路径的切分数。词内次序是实际左乘次序，不能因为每个因子有界就调换它们。

某格上某个颜色为空，也照样保留同一个搜索叶。选择槽位和切分点都不依赖该格有没有这个颜色。只有这样，搜索历史才能在各格统一命名，且后面的空间压缩可以使用同一份词。

5. 叶上的两个保留槽位为什么具有恰好的秩差

H 原稿第 49 页 · H 原稿第 50 页

固定叶颜色 $j$。如果上保留槽位来自一次正支，它最后一次被选中时的切分点就是 $j$，否则最终上端点不会是 $j$。所以它的外层是秩

的累积平均，单独 pad 在 $[10Pr_++1,10Pr_++P]$ 内。若上保留槽位还是初始基本参数，则搜索从未走过正支，故 $j=L$；把它的源秩记为零、上 pad 记为零。

若 $j>1$，下保留槽位最后一次被选中时的切分点是 $j-1$，它的外层是秩

的补累积平均。逐 pad 展开后，任意下保留槽位 pad 与任意非初始上保留槽位 pad 之间至少相差

目标秩比源秩严格高一。初始基本上保留槽位的情形，源秩零且 pad 零，同样满足严格秩序及所需包含。若 $j=1$，没有下保留槽位，也没有旧颜色需要删除。

固定上保留槽位的一个单独 pad $h_+$，并展开它的外层正投影。称一个纯源标签为旧标签，如果

对于初始基本上保留槽位，$h_+=0$。所有旧标签都属于下保留槽位的每一个目标掩膜，且源秩严格低于目标秩。保持下保留槽位的补投影不动，就能对每个旧源使用式 (3)，再由式 (4)–(5) 消掉源系数和。

若一个非旧源属于上累积掩膜，定义中至少有一个当前顶点 $v_0$ 满足颜色不超过 $j$、距离不超过 $h_+$。非旧条件迫使这个见证的颜色正好为 $j$。若是初始基本源，则它自己的原始顶点就是颜色 $j=L$ 的见证。这里证明的是存在当前中心，不能用一个仅在祖先上出现过的中心替代。

6. 目录中实际需要哪些历史

H 原稿第 47 页 · H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · H 原稿第 50 页 · H 原稿第 51 页 · 逐项历史清单 · 有限目录终止

第九章的目录终止适用于预先给定的有限清单。现在明确这份清单如何从第 4 节的搜索生成。每个名称注明槽位、固定基、目标秩、目标掩膜、按原次序排列的内历史、各因子的正/补选择，以及每个单独 pad。名称不包含触发失败的纯源身份。

第一类是叶上旧源的测试。记录下保留槽位的目标累积投影，以及删去该最外层补算子后的完整内词。这个内词仍可含正因子和补因子。上保留槽位稍后是否展开、另一个槽位稍后是否加入球滤子，都不改变这个目标历史，因为另外两槽只作为任意 $L^2$ 观察参数。

第二类是四次球插入的测试。在每个叶上，先按固定规则选一个非保留槽位作为第一个球槽位；再按固定顺序安排其余三个槽位。对第 $j$ 个球目标，记录其秩 $L+j$、每个单独球 pad，以及这个槽位原来的完整累积词 $W_ez_e$。同一槽位只插入一次球。后面的其他球不会加入它的内历史。

第三类是主目录的转移测试。对每个叶、每个允许的互异角色 $(a,b,c,d)$，要求 $c,d$ 的基本输入为 $B_c,B_d$。把这两槽每个补平均写成恒等减正平均；每一种选择都产生保持原次序的正因子子词。每个槽位外面还有它自己的球平均。按第 12 节的删除规则，依次记录每次待移除滤子的目标，以及删去它后余下的内词。还要把带的两端目标都列入；这些端点只用已有的 $1,\ldots,P$ 个投影，不新造第零或第 $P+1$ 个掩膜。

第四类是稍后辅助阶段的测试。给定固定的完整侧基 $S_a$ 后，按同样的删除序列，在槽位 $a$ 记录此前已经转移来的辅助正平均乘积，以及下一待移除掩膜对应的辅助目标。辅助秩始终是 $R_*=L+5$，源只允许来自已固定的主目录。辅助内历史可以包含同秩辅助因子，主目录内历史则完全不含辅助因子。

每一类都把所有单独 pad 选择列入，而不是只测试其中一个“典型” pad。若一个历史有 $m$ 个因子，就列出最多 $P^m$ 种内选择，并列出目标 pad。第三、四类的长度都不超过 $m_*+2$：两槽共有至多 $m_*$ 个累积因子和两个球因子。

设一格上所需原始掩膜上下文名不超过 $D^{C_{\mathrm{ctx}}}$，固定完整侧基数不超过 $\exp(k^{C_{\mathrm{side}}})$。搜索叶数、槽位角色数、正/补展开数、删除位置数、目标及内 pad 数相乘，得到清单总数的一个充分上界

其对数是 $k$ 的固定幂。这里只计名称，不计图距离的数值，不计后来生成的列数，也不按每个可能的触发源重复计数。

因此主清单确由实际局部化与转移步骤产生，满足 Lemma 6.7 的有限性假设。辅助清单的形状也已确定；其中完整侧基的实际构造及其数量界仍需要H 第 7–8 节的输入。

7. 为什么恢复平均不引入 pad 总数

H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · H 原稿第 52 页 · 目录中的 pad 平均

若 $\overline Q=P^{-1}\sum_pQ_p$，则

对任意固定次序的 $m$ 个正/补平均，分配律给出

没有使用交换性。对每个右端历史，式 (3) 的界使用同一个 $\|g\|_{2,I}$。把一致的界乘以权重 $P^{-m}$ 后求和，总权重为一。再平均目标 pad，结论不变。

这和第 6 节的清单计数是两件事。为了确保每一种历史都通过测试，目录计数确实包含 $P^m$；在已经得到测试后，实际形式估计只取凸平均，不再产生 $P^m$。即使不同参数共享某些 pad，仍是总权重为一的有限平均，同样成立。

稍后把 $1-\overline Q$ 改写为两项有符号展开，是为了只转移正滤子；那时会出现 $2^{m_*}$ 个正词。这是多项式于 $k$ 的不同搜索项数，不能与 pad 平均混为一谈。

8. 非旧源为什么恰好匹配一个当前组

H 原稿第 43 页 · H 原稿第 44 页 · H 原稿第 45 页 · H 原稿第 50 页 · 当前中心球包含

固定叶 $j$ 和一个非旧上源 $v$。第 5 节找到一个当前颜色 $j$ 的中心 $v_0$，且 $d_s(v,v_0)\le h_+$。令 $G(v)$ 为这个中心当前所属的组。第一个球的最小 pad 是 $20P(L+1)+1$，大于任何可能的 $h_+$。由 Lemma 6.4 的中心球包含，$v$ 属于这个组第一个球的每个目标掩膜。

若同一个源还匹配另一个当前同色组，则这个顶点同时属于两个同色组的允许掩膜。在当前格上两者都是实际使用，因而都是可用端点。两个标签可以取为同一个 $v$，距离为零，与 Lemma 6.4 的严格大于一矛盾。因此匹配的是唯一的组；并不要求见证中心唯一。

更强的是：对另一个当前同色组 $G'$，$v$ 与 $G'$ 球掩膜内的每个纯源标签距离都大于一。这正是应用 Lemma 6.1 控制错配项所需的形式小量，而不只是“两个集合不相交”。

若该叶颜色在当前格没有中心，便没有非旧上源。这一叶的整个形式由旧源误差控制。无需改变搜索树或删除这个固定叶。

9. 第一个球如何插入，同时保持下保留槽位

H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · H 原稿第 50 页

固定叶，记四个当前参数为 $X_e=W_ez_e$，并选第一个球槽位 $t$，它不同于上、下保留槽位。设 $\mathcal G_j(I)$ 为当前颜色 $j$ 的实际组。我们证明

组和只在当前原始格上进行。

先固定上源平均的一个 pad，展开上保留槽位的外层纯源 $\sum_v c_v\Phi_v$。对于旧源，式 (12) 左边的纯源项由未改动的下保留槽位控制；右边每个组的纯源项仍由同一个下保留槽位控制，因为球输出只是一个收缩的 $L^2$ 观察参数。然后对 $|c_v|$ 求和，式 (5) 消去源系数。这里始终用原来的低秩上源测试下保留槽位；没有把高秩新球列误当成下保留槽位允许的较低秩源。

对于非旧源 $v$，令唯一匹配组为 $G(v)$。原纯源项减去 $G(v)$ 对应项，恰是在槽位 $t$ 放入

上源秩严格低于 $L+1$，而标签进入这个球每个目标掩膜。因此第 6 节第二类历史的测试适用，得到式 (5) 型误差。

对于 $G\ne G(v)$，再展开 $L_{t,G,I}^{(1)}X_t$ 的一个正投影源。两纯源标签的距离大于一，Lemma 6.1 使该项至多为 $\tau_2$ 乘另外两参数的范数。两份系数和可以使这个误差含主目录预算的固定幂；这正属于在选 $\tau_2$ 时预留的错配误差。

最后恢复上源和球目标的平均。第 7 节说明不额外产生 pad 数。这就得到式 (12)。注意证明没有把上参数永久截成每组一个非正交子和；式 (12) 右边仍保留原来的完整 $X_e$。这样后面估计的主项不会携带一次完整列系数展开的损失。

10. 其余三个球与 Proposition 6.8 的精确输出

H 原稿第 49 页 · H 原稿第 50 页

在式 (12) 的一个固定组项中，第一个球槽位 $t$ 保持不动，作为接下来三次插入的源。展开它的一个单独正投影时，所有源秩至多为 $L+1$。依次向其他三个槽位插入秩 $L+2,L+3,L+4$ 的球平均。

相邻球的最大旧 pad 与最小新 pad 相差 $9P+1$。同组掩膜随 pad 增加，故第一个球的全部纯源标签属于后三个目标的每个掩膜。每次都有严格的源秩小于目标秩；目标内历史仍是原来的 $W_ez_e$。式 (5) 控制每次替换残差，其他参数只是任意 $L^2$ 观察参数。

这一步可以覆盖原来的上保留槽位，也可以覆盖下保留槽位，因为旧源消去和第一球插入已经完成。此后不再把这些已被覆盖的参数用作旧源的残差保留槽位。最终每个槽位恰有一个外层正球平均，得

这就是 H 原式 (14)。$W_e$ 只依赖搜索叶和槽位，不依赖 $G$；外层 $L_e$ 才依赖当前组。

所有测试误差在每格只留下 $\tau_3$ 乘基本范数及叶、组、插入位置的固定幂计数。每格当前组数不超过当前中心数，因而不超过 $D$。令所有这些固定幂合为 $D^{C_0}$，可写成

其中 $D_m$ 同时控制主目录的个数、系数和等预算；固定局部基本范数已收入 $C$。于是

这里使用 $\sum_I|I|=\int_R\sum_I1_I(y)\,\mathrm dy\le M|R|$。先把 $C_\tau$ 选得足够大，利用 $D\ge\mathrm e^k$ 控制第一项；在已有先验主目录预算后把 $\tau_2$ 选得足够小，控制第二项，得到 $C\mathrm e^{-k}|R|$。没有把空间深度数作为额外因子。

11. 最小值留在原始格及完整组和外面

H 原稿第 9 页 · H 原稿第 10 页 · H 原稿第 11 页 · H 原稿第 12 页 · H 原稿第 13 页 · H 原稿第 38 页 · H 原稿第 50 页 · 全深度空间压缩 · 活跃路径预算

Proposition 5.8 留下的是

由式 (13)，对每一个原始格分别有

最后一步的证明是：若所有 $|S_\lambda|<\eta$，右端为它们的和；若至少一项不小于 $\eta$，右端至少为 $\eta$。第一步还用了函数 $x\mapsto\min(\eta,x)$ 在非负轴上单调且为一 Lipschitz。

因此可以逐叶处理最小值，但每个 $S_{\lambda,I}$ 内部的当前组求和必须原样保留。本章没有把它改成 $\sum_G|H_I(Z_G)|$，没有在新小格上重新定义最小值，也没有提前对将来的模式分量分别取最小值。那些改写即便提供某个较大的上界，也不再保留后续核心估计所使用的组间抵消。

对于基本粗输入，$B_e$ 又是至多两个基本投影作用于 $F_e$ 的有符号和，所以球以前的整个历史是长度 $O(\log L)$ 的固定正/补投影词，展开后仍只有 $2^{O(\log L)}$ 项。Lemma 3.4 的空间压缩因此只产生

级别的损失。这里 $\log D_m\le k^{O(1)}$。在非实际使用的中间格，需要嵌套时仍在继承端点上评价正掩膜及历史；在尝试根以前可把球输出置零。这不增加当前组求和的实际使用地点。

12. 转移以前，先固定侧状态并安排删除顺序

H 原稿第 48 页 · H 原稿第 50 页 · H 原稿第 51 页 · 辅助目录的固定基条件 · 辅助历史的实际清单

现在固定式 (13) 的一个实际组使用。两个槽位 $a,b$ 放完整侧状态 $S_a,S_b$，它们在辅助插入以前已经固定。允许它们含额外私有坐标，但这些坐标必须与所有新辅助坐标不同。每格跨槽位、组及模式的完整侧基数须为 $\exp(k^{O(1)})$。单个模式、幅度箱或一次频率展开不另算一个侧基。

另两个槽位 $c,d$ 的基本输入确为 $B_c,B_d$。先把其每个 $1-C$ 展开成 $1-C$ 的两个有符号项，保留原乘法次序。至多产生 $2^{m_*}$ 个正滤子词。接下来对一个这样的词工作。

每一步只比较 $c,d$ 当前最外面的正滤子，删除其中秩较大的一个；已经无滤子的基本 $B$ 视为秩零。所有正秩互异：搜索路径的各切分点不同，映射 $m\mapsto L-m+1$ 单射；四个球秩不同且都大于累积秩。因此只要尚有滤子，较大外层秩 $r$ 严格大于另一槽位当前源的外层秩 $r'$。

这里只要求两个当前最外层之间的秩序，未声称同一槽位从外到内的秩一定递减。删去一个外层后，可能露出较大的内层；下一步重新比较即可。无滤子的 $B$ 可以直接作秩零基本源展开。

若本步待移除槽位为 $c$，它的单独投影记为 $Q_{c,p}$，$1\le p\le P$。在 $a$ 槽构造同一掩膜、同一 pad、但秩为 $R_*=L+5$ 的辅助投影 $Q_{a,p}$。主目录不再改变。令

其中 $D_a$ 按已经发生的转移次序由辅助正平均左乘而成，开始为恒等算子。所有这些历史都是收缩乘积。

13. H 原式 (15) 的符号和两个终端带

H 原稿第 50 页 · H 原稿第 51 页 · 低阶参数与终端带

对 $e=a,c$，补上两个代数端点

它们不需要新掩膜。嵌套性说明 $A_e^p$ 是相互正交的投影，并且 $\sum_{p=1}^{P+1}A_e^p=1$。平均在第 $p$ 个带上的权重是

特别地 $w_{P+1}=0$，而不是把该带从恒等分解中删除。

把 $x_a,x_c$ 分别按各自的带展开。第一项中的权重来自 $c$ 带，第二项中的权重来自 $a$ 带，因此

这里参数写成角色次序，实际槽位不改变。这就是 H 原式 (15)，系数是 $(p-q)/P$。两个终端带 $A_a^{P+1}$ 与 $A_c^{P+1}$ 都必需。例如 $x_a$ 全在其终端带、$x_c$ 全在第一带时，第一项可能非零而第二项为零；删除终端行就破坏恒等式。

每个高带有以下残差表示：

第一个带则是正投影 $A_e^1=Q_{e,1}$。下一步对两个远带方向分别选用这两种表示。

14. 第一方向：辅助带较高，展开较低的主带

H 原稿第 51 页 · H 原稿第 52 页

设 $p>q+2$。必有 $q\le P$，所以 $A_c^qx_c$ 落在主投影 $Q_{c,q}$ 的像空间，能直接作纯主列展开。其标签属于待移除掩膜的第 $q$ 个 pad，秩至多为待移除主秩 $r<R_*$。系数和满足

无需先把它拆成两份正投影后分别估计；一个正交带本身是收缩，且像空间包含于较大的正投影像空间。

若 $p\le P$，式 (19) 在 $a$ 槽产生 pad $p-1,p$ 的两个辅助残差。掩膜随 pad 增加，且 $q<p-1$，故每个主源属于这两个目标掩膜。若 $p=P+1$，只有 pad $P$ 的一个辅助残差，包含关系同样成立。

对每个主源使用辅助版式 (3)。它的固定基是完整 $S_a$，内历史是已转移的 $D_a$，另外两个任意 $L^2$ 观察参数是 $S_b,x_d$。乘式 (20) 并求和，得到

因 $\|x_d\|_{2,I}\le\|B_d\|_{2,I}$。终端高带只需一个残差，系数二仍是统一上界。式 (20) 的完整主源系数和已由辅助测试的分母消掉。

此方向只需要同一家 pad 掩膜的单调性，不需要调用邻居闭包，也不展开任何辅助源。

15. 第二方向：主带较高，必须另找较低秩主源

H 原稿第 43 页 · H 原稿第 44 页 · H 原稿第 45 页 · H 原稿第 51 页 · H 原稿第 52 页 · 逐一 pad 邻居闭包

设 $q>p+2$。此时 $p\le P$，所以 $A_a^px_a$ 是一个辅助正像空间中的带。如果把它展开后直接用作主残差的源，秩会高于待移除主秩，违反式 (3)。正确的源来自另一非侧槽位 $d$。

按第 12 节的顺序，$x_d$ 的外层主秩 $r'$ 严格低于待移除秩 $r$；无滤子时使用秩零基本展开。因此

记待移除滤子在 pad $h+p$ 的顶点掩膜为 $M_p$。它可以是累积掩膜，也可以是当前组的球掩膜。把 $d$ 槽纯源分为两类：标签距 $M_p$ 至多一的为近源，其余为远源。若 $M_p$ 为空，则 $A_a^p=0$，本项已经为零。

对近源，存在 $M_p$ 内当前顶点与之相邻或同标签。累积掩膜用三角不等式，球掩膜用当前实际使用处的 Lemma 6.4，均得源标签属于 $M_{p+1}$。因为 $q\ge p+3$，

若 $q\le P$，将高 $c$ 带写成 pad $q-1,q$ 的两个主残差；若 $q=P+1$，相应包含关系只写为 $M_{p+1}\subseteq M_P$，并只用 pad $P$ 的一个主残差。所有目标都包含这个近源，而且源秩小于目标秩。

所以主版式 (3) 可作用于已经列入主清单的内历史 $x_c$。整个 $A_a^px_a$ 只作为一个任意 $L^2$ 观察参数，其范数不超过 $\|S_a\|_{2,I}$。乘式 (22) 的系数并求和，近源部分至多为

辅助的后来插入只改变了一个允许任意变化的观察参数，不能使这个已经成立的主测试失效。

对远源，才进一步展开辅助带。其全部标签属于 $M_p$，因此每一对 $d$ 槽远源与 $a$ 槽辅助源的距离都大于一。Lemma 6.1 在这两个不同槽位上给出 $\tau_2$；另外两槽的整个 $c$ 带和 $S_b$ 作为观察参数。两份系数和至多带来主目录与辅助目录预算的固定幂，故这一部分至多为

其中 $D_{\mathrm{tot}}$ 只指包含主目录及辅助目录的先验预算，满足 $\log D_{\mathrm{tot}}\le k^{O(1)}$；它不包括H 第 8 节以后另行构造的模式目录。这一小量由预先选择的 $\tau_2$ 控制。

两个方向由此明显不同：第一方向用辅助残差测试承接较低主带；第二方向用另一个较低主槽位测试主残差，只把辅助带当观察参数。对第二方向的远源，才允许展开辅助纯支持作错配估计。

16. 远带总误差、迭代与保留的近带

H 原稿第 51 页 · H 原稿第 52 页 · 误差量词与参数选择

固定一个预先指定的常数 $C_3>0$。式 (18) 的权重绝对值不超过一，带对至多有 $(P+1)^2$ 个。由式 (21)、(24)、(25) 及基本范数界，一个转移步骤的全部远带绝对值至多为

由于 $P\le D^{C_P'}$，先选 $C_\tau$ 控制这个固定幂、$C_3$ 及所有多项式转移位置的余量，再用先验目录预算选择 $\tau_2$，可使每格每组的总远带误差不超过

这是对事先给定 $C_3$ 的参数选择，不是声称一套固定精度同时胜过所有 $C_3$。式 (27) 还是局部范数乘积界；把它在全部侧状态上求和仍需要H 第 7–8 节的侧平方预算。

每一步只把转移后的主项继续转移，近带缺陷留下另估。所有 $c,d$ 正滤子删完后，主项为

其中 $D_a$ 的辅助因子数不超过 $m_*+2$。前面有符号展开的各项再按原符号相加。第 7 节的凸平均论证同样适用于这些辅助历史，不按已转移的 pad 组合数再乘一次。

保留的近带必须按固定差 $\delta=q-p$ 放在一起：

$\delta=0$ 的系数为零。其余四个耦合和仍在一次幂上保留；现在逐个带取绝对值再求和，会丢掉H 第 7 节联合平方估计所需的形式。式 (29) 不是本章已经完成的近带估计。

固定栈在短块上的估计见 H13。把块内变动的侧输出改写为这些固定栈、获得完整侧能量并作全局近带求和，仍需后续证明。

17. 终端范围与恢复完整参数

H 原稿第 37 页 · H 原稿第 38 页 · H 原稿第 52 页

若待移除滤子是球滤子，$c$ 槽的终端带是

删去这个球以后，$x_c$ 只含与组无关的累积历史，所以第一项是组无关的恒等部分，第二项仍有一个可用的正球范围。其他非终端主带都位于相应正球像空间。这里必须保留有符号分解，不能声称整个终端补空间也属于球范围。

若待移除滤子是累积滤子，该槽自己的最外层球此前已经被删除；它剩余的全部累积带族因而与组无关。另一非侧槽位 $d$ 也只有两种情形：仍以一个正球滤子为最外层，或者球已删去而整个历史与组无关。这些范围约定用于后来估计近带缺陷，并不改变式 (28) 的主项转移。

最后恢复完整参数 $Y_e=B_e+U_e$。逐槽相减得到精确恒等式

每个误差项至少含一个额外基本侧 $U$。完整的 $Y_c,Y_d$ 才恢复 Proposition 5.6 的全参数对小量；这些额外侧项及近带耦合和要由 H 第 7 节另行估计。式 (31) 没有宣称它们在本章已全部求和。

18. 参数先后及本章结论的边界

H 原稿第 48 页 · H 原稿第 49 页 · H 原稿第 51 页 · H 原稿第 52 页 · 目录预算与图阈值 · 基本预算的构造 · 仍需的后续定理

先固定基本预算、搜索规则、$P,L$、模板复杂度及所需完整侧基数量的先验上界。对预定误差幂选定 $C_\tau$，再由第 6 节的名称计数和 Lemma 6.7 取得主目录与辅助目录的先验列数界；这些界只依赖上下文的名称数，不依赖图距离的数值或 $H_{\mathrm{ed}}$。随后选 $\tau_2$ 控制所有错配系数和，最后由 Lemma 6.1 选择 $H_{\mathrm{ed}}$。有了实际图、成功颜色及掩膜，才运行相应列目录的插入构造。这是先定界、后造对象的次序。

主目录先完成。完整侧状态在其后独立于辅助插入构造并固定，然后运行辅助目录。这里“先验给出侧基数量上界”不等于“提前知道侧基的具体向量”，也不等于可以允许辅助的每次插入重新改变侧基。

在这些明确输入下，本章得到：实际搜索历史属于一份可控制的有限清单；Proposition 6.8 在原始活跃格上成立，并保留逐叶完整组和及原始最小值；Lemma 6.9 的精确带恒等式成立，两个远带方向分别具有式 (27) 的误差界，最终主项为式 (28)。尚未在这里完成的是完整侧状态的构造、线性侧能量、近带耦合估计及它们在全部格和组上的总和。

实际历史的逐项列举与误差量词详见历史与精度附录。各节所附链接指向固定原稿的相应页面。